...продолжаю...

III

В качестве примера можно рассмотреть вполне житейскую дискретную ситуацию, которая может быть описана импликацией.

Представим себе, что пенсионер ездит на свою дачу за городом, где на своём участке им высажено множество кустов, с которых он во время цветения собирает этот цвет для лечебных целей, высушивает его, распределяет по пакетикам, а потом в течении года продаёт. Выручка является небольшим подспорьем к его пенсии на протяжении уже нескольких лет.

Его родственник живёт и работает не очень далеко – в пригороде, и когда есть время посещает пенсионера, чтобы чем-то ему помочь. Всё это происходит ещё в доинтернетовскую эпоху, когда не только мобильников не было, но и обычный телефон был далеко не у всех, тем более – на дачах или в посёлках.

И вот, когда у родственника появляется время, и он решает посетить одинокого пенсионера, но связаться с ним по телефону он не может, он стоит перед выбором – ехать электричкой в город, и потом на трамвае, чтобы добраться до квартиры пенсионера, или на велосипеде из посёлка – к даче пенсионера, где тот нередко бывает. Время на поездку примерно одинаковое, но в обоих случаях он может не застать своего родственника на месте.

Однако, бывают ситуации, когда он наверняка застанет его на даче. Это то время, когда цветут те самые кусты, с которых пенсионер имеет дополнительный заработок. Мало того, рядом с домом родственника растёт один такой же куст, и когда он видит, что на нём есть цвет, то он знает, что можно смело брать велосипед и ехать на дачу к пенсионеру, а не электричкой в город.

Итак, эта ситуация описывается импликацией следующим образом.

Если цветёт куст (К), то для данного примера это значение И – истина, а если не цветёт, то Л – ложь.

Родственник может воспользоваться транспортом (Т): велосипедом – это будет И - истина, а если не может (надо ехать электричкой), то значение будет Л – ложь.

Все четыре возможных комбинации запишем в два столбика, а результат (Р) импликации согласно таблице истинности – в третий столбик:

К   Т    Р
И  И   И  если цветёт, то велосипедом на дачу. Застаёт на даче.
И  Л   Л  если цветёт, то электричкой в город. Не застаёт в квартире.
Л  И   И  если не цветёт, то велосипедом на дачу. Застаёт на даче.
Л  Л   И   если не цветёт, то электричкой в город. Застаёт в квартире.

Все четыре случая вполне адекватны: 1) если кусты цветут, то пенсионер наверняка на даче и можно ехать велосипедом; 2) если кусты цветут, а родственник поехал в город электричкой, то он наверняка не застанет там пенсионера; 3) если кусты уже (или ещё) не цветут, то  и этот вариант (пенсионера застали на даче), и вариант 4) пенсионер в своей квартире (в городе) – вполне могут быть истинными, так как пенсионер посещает свою дачу не только для сбора цвета с кустов, но и просто, чтоб побыть на свежем воздухе.

Однако, если таки цветёт, то все другие решения у родственника бдут ошибочными. То есть, ситуация довольно точно моделируется импликацией.

Почему же так? Ведь с точки зрения логики взятое как отдельное суждение: “если куст цветёт, то электричкой ехать не надо” смотрится довольно глупо, чтобы считать его некой истиной, хотя на самом деле это высказывание отражает суть процесса.

И тут настал черёд дать по мозгам “профессиональным” логикам. Для этого надо дополнить вышеописанный пример несущественными детальками. Действительно несущественными! А именно: оказывается родственник приходился пенсионеру племянником; квартира пенсионера находилась в городе Киеве; а кусты с лечебными цветами – были кустами бузины. И получается, что импликация описывала выражение «в огороде бузина, а в Киеве дядька». Именно это бессвязное выражение логики-профи на уровне профессоров и академиков обычно приводят в качестве наглядного примера парадоксальности импликации.

Интересно, что особых жалоб на операцию, например, конъюнкция (логическое ‘И’) от наших академиков не поступало. Но можно легко, не отходя от кассы, представить простейший пример конъюнкции, о которой академик с профессором скажут, что это бред сивой кобылы.

Например, пусть в логической операции ‘И’ (которая как известно, истинна только тогда, когда оба её операнда имеют значение Истина), есть два операнда: первый (‘майский’) может иметь значения ‘грозы’ или ‘зори’; а второй (‘яркий’) может иметь значения ‘розы’ или ‘маки’.

С учётом таблицы истинности для конъюнкции (которая представлена слева, ниже) можно записать такие выражения:

И  И  И   майские грозы – яркие розы.
И  Л  Л   майские грозы – яркие маки.
Л  И  Л   майские зори   – яркие розы.
Л  Л  Л   майские зори   – яркие маки.

Любой академический оценщик настоящих Истин скажет, что с этими “мудрыми” высказываниями надо обращаться не ко мне – логику, а к торговцам семечек на базаре, потому что наша гвардия, прикреплённая к академии всяческих наук, не рассматривает бессмыслицы. И всё же... Даже самый захудалый поэт скажет этому профессору, что мы имеем дело с самой настоящей конъюнкцией, так как в представленных выражениях действительно только первое является истинным. В нём соблюдается рифма! В отличие от трёх других.

И что же это за дисциплина такая – эта математическая логика? Куда не плюнь – всё противоречиво, парадокс на парадоксе. А за попытку обращения к здравому смыслу истинный логик предлагает наказывать, как за попытку к бегству. А уж поэтов... так сечь всех подряд (не говоря уже о тех, кто имеет родственников у бандеро-фашистов в Киеве). А всё объяснение сводится к тому, что ты – падла – должен думать, как положено! А как положено – не говорят.

В продолжении именно об этом и будет речь. О том, почему логики это не объясняют, и как надо бы объяснять.

... продолжение части IV (см.)

V

Далее текст будет содержать минимумом “развлекухи”, так как в большинстве своём здесь будут выборки и выжимки из Г.П.Мельникова.

О естественном понимании импликации

Обычно импликацию ассоциируют с выражением если… то… Поэтому, приступая к анализу импликации, сразу возникает мысль, что сейчас из чего-то одного будет вытекать что-то другое. Например, из причины возникать следствие, или некое воздействия будет образовывать результат, или, принимая во внимание одно, будет некий новый взгляд на другое, или, изменяя значение аргумента получим новое значение функции и т.д. и т.п.

И тут надо вспомнить, что сам процесс познания во многом как раз и представляет собой обнаружение системных связей между объектами, явлениями, их изменения при воздействии на них других объектов… Собственно, это и есть процесс выявление структуры отношений в сложных системах. Из этих соображений логическая операция, описывающая отношение если… то… конечно же обязана играть в науке важную роль. Правда, само собой разумеется, что одна импликация не в состоянии описать более-менее сложную структуру отношений. Поэтому дискретные отношения в системе обычно описывают цепочками импликаций (нередко – совместно с другими логическими операциями).

Одна из типичных задач в таких случаях – установление влияния изменения состояния элемента системы испытывающего воздействие на состояние другого элемента, который проявляет результат. И если при этом исключены случаи, когда такой же результат получается при изменении состояния других элементов (например, в эксперименте удалось хорошо изолировать исследуемый объект), то подобные связи обычно описывают логической операцией эквивалентность (если и только если).

Но очень часто надо просто учитывать (предполагать), что такой же результат может возникнуть под влиянием изменения состояния другого элемента исследуемой системы, и тогда такие ситуации моделируются менее строгой логической операцией – если… то… (импликацией). Другими словами, если… то… описывает анализируемую зависимость результата от одного источника воздействия с учётом существования других воздействий, приводящих к тому же результату.

Если под математической логикой (формальной логикой, булевой логикой, булевой алгеброй,…) понимать такую дисциплину, с помощью которой можно моделировать дискретные системы (их структуры, отношения между элементами системы), то системы, состоящие из высказываний надо рассматривать как частный случай математической логики.

При таком рассмотрении возникает вопрос – почему при моделировании каких угодно дискретных систем (типа электронных схем или при анализе бухгалтерских отчётов и пр.) никаких парадоксов не возникает – ни с импликациями, ни с другими логическими операциями. Но когда рассматриваются высказывания, где им приписываются состояния истина или ложь, парадоксы возникают и широко обговариваются в литературе. Поэтому задачу можно сформулировать довольно просто: в чём заключается специфика именно таких дискретных систем?

В первую очередь надо отметить, что логика высказываний работает с чисто логическими объектами – имеющими отношение к сознанию и мышлению. Но так как сознание – это прежде всего структурная МОДЕЛЬ внешней действительности, воплощённая в сети нейронов, то мышление в таком случае – это процесс и установления соответствия между структурой связей объектов действительности со структурой связей в МОДЕЛИ (в сети нейронов), и непрерывный процесс подстройки структуры модели для установления максимального соответствия модели с оригиналом (с внешней действительностью). Ясно, что такое соответствие не бывает полным. Расхождения будут особенно заметны тогда, когда сопоставляются между собой фрагменты структурных моделей в сознаниях разных людей несмотря на то, что они моделировали один и тот же “оригинал” – одну и ту же действительность.

Когда анализируется истинность сложного высказывания, то всё время надо иметь в виду, что эти высказывания могут относиться к двум планам: считаем ли мы их словесным описанием непосредственно плана действительности (т.е. некоторой реальной системы, находящейся вне человек), либо мы анализируем лишь модель этой системы в сознании конкретного человека.

Так вот, если под логикой понимать только лишь науку о законах мышления, то она должна интересоваться только задачами второго типа (рассматривать не внешний по отношению к сознанию мир, а лишь модель этого мира в сознании). Тогда и при определении связанности или несвязанности двух высказываний по их смыслу, и при определении истинности каждого элемента высказывания логика должна исходить из тех конкретных свойств рассматриваемых объектов, которые составляют знания и представления человека, логичность мышления которого исследуется. В большинстве случаев результаты будут такими же, как если бы их сравнивали с результатами, полученными, например, при непосредственном наблюдении объектов действительности. Ведь речь идёт о достаточно вменяемых людях.

Проблемы возникают тогда, когда о состоянии элементов модели мы судим не на её основе, а на основе обращения к состояниям оригинала. И тогда выводы о функционировании модели могут оказаться неверными и даже абсурдными. Именно такое положение может получиться, когда об истинности составных элементов судят на основании обращении к действительности, а выводы делаются о работе некоторой конкретной модели этой дей­ствительности (в сознании). При этом вполне могут возникнуть парадоксы.

Поэтому, если всегда помнить, что в логике высказываний всегда анализируется модель действительности (находящаяся в сознании), то из соображений общности нельзя исключать те ситуации, когда знания конкретного человека содержат некую замеченную им связь между объектами действительности, которая осталась невидимой для многих других. Мало того, она для этих “других” выглядит абсурдной. А ещё более абсурдной будет ситуация, когда на всём белом свете есть один только человек, который заинтересовался обнаруженной им связью. Именно такая ситуация произошла в описанном ранее случае с дядькой в Киеве и бузиной. Связь между этими объектами была актуальна лишь для одного человека во Вселенной. И она была совершенно не парадоксальной, хотя для всех (в той же Вселенной) – это был ОБРАЗЕЦ парадокса импликации.

В связи с тем, что логика высказываний интересуется в первую очередь именно структурой мыслительного процесса, а не его содержанием, то главная задача логики при анализе умозаключений – установить, правильно ли связано выведенное знание из заданного исходного знания, независимо от того, правильно ли исходное знание моделирует действительность. Ведь нельзя же сказать, что правильность умозаключений племянника по отношению к бузине и его дядьки в Киеве, можно считать правильным моделированием действительности – связей всех дядек с бузиной, киевской пропиской и ездой на велосипеде. Однако именно конкретное умозаключение племянника в рамках логики высказываний было верным и совершенно не парадоксальным.

Когда же анализируется любая конкретная, жизненная дискретная система (см. пример с проверкой полицейских), а не её мыслительная модель, то условия для появления логических парадоксов вообще исчезают, так как в этом случае при определении состояний логических переменных ВХОДЯЩИХ в логическую операцию (даже в такую, как импликация) неконтролируемые перескоки с объекта на модель и обратно практически исключаются.