Разговор о парадоксе Рассела, вдруг, вошёл в новый поворот на 365-ом шаге дискуссии. Приходится всё начинать по-новой... а счастье было так близко!

Опять повторяю открытую мною тему и переношу сюда интересный ответ Олег П. от 15-го июля (с обновлением от 21-го июля 2017) .

_______________________________________________________

Лаконичная запись парадокса Рассела о множествах звучит так:

Пусть дано множество C всех множеств, не содержащих самих себя в качестве своего элемента. Тогда:
- если C не принадлежит C, то (по определению C) C       принадлежит C;
- если C       принадлежит C, то (по определению C) C не принадлежит C.

Данная, форма записи наглядно разграничивает условия парадокса и выводы. Больше того, в каждом из двух противоречащих друг другу выводов, идёт напоминание об условии (мол, "по определению C").
Сейчас мы не будем рассматривать в условии парадокса довольно дискуссионное понятие "всех" [множеств], а сосредоточимся на не менее спорном выражении "самих себя" в условии.
Для того чтобы вникнуть в словосочетание "множество не содержащее само себя в качестве элемента", хорошо бы сначала разобраться в понятии "множество содержащее само себя в качестве элемента".

К этому выражению можно подойти с двух сторон: а) с позиции "приземлённой" аристотелевской логики и б) с позиции "небесной" математики (т.н. чистой математики).

А) Первый подход подразумевает, что множество, которое содержит само себя в качестве элемента, должно каким-то образом возникнуть. Не обязательно в материальном смысле. Достаточно сформировать его в процессе логического рассуждения. И тут обнаруживается, что это сделать невозможно, потому что, имея какое-либо множество из одного или более элементов, и когда мы хотим поместить в него самого себя, то мгновенно обнаруживается, что мы поместили туда множество, которое ещё не содержало себя в качестве элемента. И при этом, одновременно, изначальное множество преобразовалось в другое.
Таким образом, множество "внутри" (помещённое в качестве элемента) не то же самое множество, что "снаружи", которое пополнилось новым элементом, ведь, помещаемое множество было без оного. Получается, что у выражения само в себя составляющие "само" и "себя" означают не одно и то же, хотя предполагалось, что они тривиально эквивалентны. Другими словами, происходит нарушение закона тождества: задумывалось, что "само" и "себя" - это одинаковые сущности, а на самом деле они разные.
Из этого можно сделать вывод, что парадокса как такового не существует из-за логической ошибки ещё на стадии условия задачи.
Тут следует оговориться, что понятие существование математического объекта (в нашем случае – множества содержащее само себя в качестве элемента) в данном подходе опирается на практическую сферу использования математики и логики.

Б) Второй подход не подразумевает этапа возникновения множества содержащего самого себя в качестве элемента. Потому что математические объекты в чистой математике не возникают, "не рождаются", а они сразу же существуют в заданной аксиоматической "реальности" и опровергнуть их существование можно лишь доказав, что они противоречат введённым аксиомам (или сами аксиомы противоречивы).
В таком случае получается, что в новейших теориях множеств данный парадокс… тоже не существует, но вовсе не потому, что найдена логическая ошибка! И даже больше того! Парадокс был признан, а для борьбы с ним были выстроены аксиомы с такими свойствами, чтобы данный парадокс не возникал. А так как он может возникнуть только при попытке умственно сотворить множество содержащее само себя в качестве элемента, то математическое сообщество условилось одним махом покончить со всеми этими дьявольскими творениями и считать, что математические объекты даны нам от… (тут указательный палец направляется вверх). То есть, они начинают существовать мгновенно, стоит только произнести что-либо после волшебного слова "пусть".
Основу такого подхода к понятию существование в математике положил Кантор в самом конце XIX века, пытаясь создать свою непротиворечивую математику на основе теории множеств. По-настоящему же этот принцип взял на вооружение не менее знаменитый Гильберт, который понятие существование в математике провозгласил основополагающим подходом под красивым лозунгом: если непротиворечиво, значит существует. Однако в таком подходе есть "детальки".
Во-первых, в основе формулировок самих аксиом лежит целый набор таких слов естественного языка, которые обладают лишь интуитивной строгостью. То есть, возникает очевидное несоответствие между исключительной (чуть ли не абсолютной) строгостью теории множеств построенной на таких аксиомах и инструментом, с помощью которого были сформулированы эти аксиомы – во многом с помощью чисто интуитивных понятий на естественном языке.
Во-вторых, уже после построения Гильбертом [якобы] строгой аксиоматической арифметики, когда он напряженно работал над такой же строгой математикой (вообще), появилась работа Гёделя, в которой показано, что не всё в математике формально доказуемо, хотя содержательно доказуемо всё.

Итак, главный аспект проблемы заключается в соразмерности использования чистого и прикладного подходов к самой математике. Казалось бы, исключительная чистота никогда не повредит, т.к. кашу маслом не испортишь. С другой стороны – нельзя же делать булочки из одного только изюма.
Прикладное рассмотрение предусматривает мысленное создание такого математического объекта, который моделирует реальный (или даже предполагаемо реальный) объект. Сугубо же математический подход не требует этого, т.к. математические объекты "сразу же" существуют, если они описаны без нарушений в рамках принятой (: очередной :) аксиоматической системы.

Интересно отметить, что ещё за сто лет до Гёделя, два выдающихся математика - Гаусс и Коши - в своих трудах как бы символизировали такие подходы.
Гаусс вообще работал в основном "в стол", т.к. считал, свои разработки ещё сыроватыми, недостаточно строгими (конечно же, в сравнении с нашей бытовой строгостью они были божественно строги). И он публиковал свои работы с большой задержкой и только тогда, когда в них были убраны все "лишние" слова, особенно касающиеся неких сомнений и вариантов решений.
Коши действовал наоборот. Он считал, что другим математикам будут полезны и интересны его сомнения и "переживания", и поэтому обставлял свои выводы многими вспомогательными обоснованиями и предупреждал о ложных путях решения. То есть, он давал возможность математической общественности порыться в своих умственных закромах.
Поэтому Гаусс говорил, что Коши страдает математическим поносом. А Коши считал, что Гаусс страдает математическим запором. Впрочем, это отступление имеет уж о-очень косвенное отношение к парадоксу Рассела. Так что в этой писанине мне вроде уже пора сливать воду. :)