1. Логическое равенство (эквивалентность), согласно математике, определено таблицей истинности:

0~0=1, 0~1=0, 1~0=0, 1~1=1. Другими словами,

False~False=True, False~True=False,True~False=False,True~True=True.

2. Можно переписать:

(False~False)=True, (False~True)=False,(True~False)=False,(True~True)=True.

3. В таком виде, если рассмативаются истина и ложь,(различий между понятиями эквивалентно и равно) - нет:

(False=False)=True, (False=True)=False,(True=False)=False,(True=True)=True

4. Другое дело, если рассматриваются равенства: (X = X ) и (not X = not X). Эти равенства равны, естественно. Тогда о (Х) и о (not X), каждое из которых есть True, можно сказать, что: высказывание X о самом себе вида (Х = Х) и высказывание (not X) о самом себе вида (not X = not X) – эквиваленты, поскольку возвращают True.

   Имеем: (Х = Х) ~ (not X = not X) = True.

   Иначе говоря, (True) ~ (True) = True

5. Тогда в предикативной форме можно записать: =(X), =(not X). Другими словами, Х — истинно (True), not X – истинно (True)

6. А что можно сказать о False? Единственный способ задать ложь — это сказать, что [False=(False=True)], т.е. [ложь — то же самое, что (ложь то же самое, что истина)]. Все неразрешимые парадоксы, начиная с лжеца, строятся согласно этой формуле. Неразрешимы же (не существует решений, ноль решений) они потому, что для формулы (Х = not X) не найдется такое Х, при котором (Х = not X) было бы истинно. Такая формула (Х = not X) всегда ложна!

7. Какой смысл вкладывается в эквивалентность множеств? Ссылка: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/2-ekvivalentnost-mnozhestv-schetnye-i-neschetnye-mnozhestva/

Цитата:
Определение. Множества A и B называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Комментарий:
Допустим, имеем два множества {a} и {b}. Они, согласно этому определению, эквиваленты, поскольку элементу а первого множества однозначно соответствует элемент b второго множества. Другими словами, =(a) и =(b) можно приравнять через их предикат "существует" (но сами элементы, естественно, не равны).