Так вы же не старушка, которую надо  переводит через улицу... Сами можете открыть любой учебник или словарь и прочитать:

АКСИОМА — (греч. axioma, от axium признавать, почитать). Истина, не требующая доказательств, … Словарь иностранных слов русского языка

АКСИОМА — (от греч. axioma значимое, принятое положение) исходное, принимаемое без доказательства положение к. л. теории, лежащее в основе доказательств др. ее положений. … … Философская энциклопедия

Аксиома —  Аксиома  ♦ Axiome    Недоказуемое положение, служащее для доказательства других положений.… … Философский словарь Спонвиля

АКСИОМА — (от греческого axioma принятие положения), исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства … Современная энциклопедия

АКСИОМА — (греч. axioma) положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории … Большой Энциклопедический словар

АКСИОМА — АКСИОМА, ы, жен. 1. Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений (спец.). 2. Положение, принимаемое без доказательств (книжн.). | прил. аксиоматический, ая, ое. Толковый словарь… … Толковый словарь Ожегова

АКСИОМА — (axiom) Самоочевидное утверждение, т. е. утверждение, относительно которого существует уверенность, что оно истинно, однако его приходится принимать на веру, поскольку оно не может быть доказано. Экономика. Толковый словарь. М.: ИНФРА М ,… … Экономический словарь

АКСИОМА — постулат, т. е. положение, принимаемое без доказательства, рассматриваемое как исходное при построении какой либо теории … Большая политехническая энциклопедия

Аксиомой называется то и только то суждение, которое не может быть доказано. А то, что может быть доказано, что доказуемо называется теоремой. Из чего следует, что фраза "аксиомы доказываются (axby1, 22 Февраль, 2018 - 21:10, ссылка)" - это оксюморон. 

Наверное, единственное различие между этими терминами заключается в том, что в науке (в физике) чаще декларируют постулаты, а в математике аксиомы. А так и то, и другое означают основание логической системы принимаемое за истинное без доказательства. Просто прижилось два слова - одно латинское, другое греческое.

1. какой эмпирической очевидностью обладают следующая математическая аксиома (одна из формулировок аксиомы выбора из теории множеств)?

Каждая сюръективная функция  имеет правую обратную функцию , то есть их композиция  является идентичной функцией на  или, другими словами,  для всех элементов .

типа аксиома - это произвольное недоказуемое выражение принимаемое без доказательства за истинное в некой логической системе (теории). Постулат - также недоказуемое (в теории), но эмпирически очевидное истинное утверждение ... Или наоборот, поскольку судя по приведенным вами фрагментам единого мнения тут нет. Тогда мы получаем два основания теории - одно невозможно ни доказать (логически), ни обосновать эмпирически, а второе недоказуемо логически, но которое можно обосновать с эмпирической позиции.

И выше предложил где-то близкое различение, которое уже и так зафиксировалось в том, что в современной математике мы имеем дело с аксиомами, а в физике с постулатами.

Ну, конечно,  по своей сути, суждения принимаемые за истинные и лежащие в основании философских теорий ближе к постулатам, чем к аксиомам (если следовать выше предложенному мной различению). Правда, в отличие от физических постулатов философские не ищут, не выдвигают в качестве гипотез, а принимают их как абсолютно безусловные истины, даже можно сказать догмы, поскольку они не подвергаются никакому анализу, относительно их у философствующих нет никаких сомнений. Поэтому и философская теория у человека может быть только одна, а не несколько как у физиков. 

А вот математическая аксиоматика предельно далека от философской - там возможен полный произвол: убрал аксиому, добавил аксиому, поменял аксиому и теорему местами и пр.

Да вроде вполне очевидная лексическая разница: доказательство - это логический вывод, а подтверждение - сопоставление с эмпирическим суждением. Скажем, можно доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, а можно подтвердить это измерением. Конечно, иногда в быту слово "доказать" используют в значении "Подтвердить", но в строгом тексте лучше их различать.

Так вы же его уже процитировали:  "доказательство - это логический вывод". Это краткое определение. Можно расширить:

Доказательство (теоретическое, логическое) - это логический вывод, то есть  процедура переноса истинности от одних сужений/высказываний/выражений логической системы, истинность которых уже установлена, на другие сужения/высказывания/выражения. Реализуется вывод применением логических операций по правилам принятым для построения данной логической системы.

Истинность - специально значение выражения, определяющее возможность, допустимость его включения в логическую систему. Логическая система (теория) состоит из истинных выражений и истинность выражения констатируется только относительно конкретной логической системы.

Логические правила -  конечный список норм/законов, согласно которым происходит перенос истинности от истинных выражений теории на другие выражения, то есть доказательство истинности.

Истинные выражения теории разделяются на два типа: аксиомы и теоремы.

Аксиома - выражение теории, истинность которого принимается по умолчанию, без доказательства. 

Терема - выражение теории, истинность которого доказывается, то есть обосновывается логическим выводом (доказательством) из аксиом.

Никакое единичное выражение (суждение, высказывание) взятое обособленно, само по себе не является аксиомой или теоремой  - статус аксиомы или теоремывыражение приобретает только в конкретной логической системе. Причем одно и тоже выражение выступая в одной теории в качестве теоремы, в другой может играть роль аксиомы.

Фразу "истинность аксиом принимается по умолчанию, без доказательства" следует понимать буквально: внутри конкретной логической системы нет и не может быть процедур установления истинности аксиом, произведенных по логическим правилам данной системы. Список аксиом для логических систем (теорий) формируется эвристически, интутивно, методом подбора, то есть иррационально.

Я исхожу из простых рациональных принципов:

1. если значение термина определено, то нечто поименованное этим термином принимает значение этого термина, то есть если аксиома - это истинное и не доказуемое выражение, то выражение названное аксиомой по определению истинно и недоказуемо, если это выражение доказывается или признается ложным в данной теории, то оно не может быть поименовано термином "аксиома". 
2. истинность выражения может быть зафиксировано только и исключительно внутри некой конкретной логической системы - у него нет и не может быть никаких собственных истинностных значений как отдельно взятого.

Давайте все же попытаемся навести порядок в головах (буду использовать ранее данные мной определения основных понятий).

Выражение  (суждение, предложение, высказывание) - формула, построенная из символов некоторого языка согласно правилам этого языка (его синтаксиса); если говорить формуле обыденного языка (суждении), то  это повествовательное предложение, утверждающее или отрицающее нечто о предмете повествования.

Логические правила/законы - преобразования, позволяющие делать однозначный переход от одних выражений к другим или строить новые выражения на основе существующих. 

Логическая система - совокупность выражений, связанных друг с другом преобразованиями на основе фиксированного набора правил.

Истинность - специально значение выражения, определяющее возможность, допустимость включения этого выражения в логическую систему. Логическая система состоит из истинных выражений, и истинность выражения фиксируется только относительно конкретной логической системы. Формально, констатация истинности выражения в конкретной логической системе означает, что данное суждение является элементом этой системы.

Стать элементом системы, то есть приобрести истинность в данной системе, выражение может двумя способами. (1) Выражения могут быть включены в систему "механически", то есть просто констатацией, что данное суждение входит в систему. Выражения, включенные в систему таким способом, то есть признанные истинными без каких-либо оснований, называются аксиомами. (2) Выражения могут стать элементом системы, то есть  получить статус истинного в ней, в результате построения их из других истинных выражений по правилам системы (то есть путем переноса истинности от других истинных выражений). Такие истинные суждения системы называются теоремами.

Итак, истинное суждение - это суждение являющее элементом некоторой логической системы. Элементы системы, то есть истинные в ней суждения бывают двух видов: аксиомы и теоремы.

Доказательство (теоретическое, логическое) - это процедура переноса истинности от одних выражений логической системы, истинность которых уже установлена (которые уже являются элементами системы), на другие выражения. Реализуется вывод применением логических правил, установленных для построения данной логической системы.

Аксиома - выражение теории, истинность которого принимается по умолчанию, без доказательства (по правилам этой системы). 

Терема - выражение теории, истинность которого доказывается, то есть обосновывается логическим выводом (доказательством) из аксиом.

Никакое единичное выражение взятое обособленно, само по себе не является аксиомой или теоремой  - статус аксиомы или теоремы выражение приобретает только в конкретной логической системе. Причем одно и тоже выражение выступая в одной теории в качестве теоремы, в другой может играть роль аксиомы.

Фразу "истинность аксиом принимается по умолчанию, без доказательства" следует понимать буквально: внутри конкретной логической системы нет и не может быть процедур установления истинности аксиом, произведенных по логическим правилам данной системы. Список аксиом для логических систем (теорий) формируется эвристически, интутивно, методом подбора, то есть иррационально.

А теперь повторю это менее формально и с привязкой к текущему обсуждению.

1. Принципиально недопустимо говорить об аксиомах просто так - привести суждение и сказать, что это аксиома. Аксиома - это роль/функция конкретного суждения  в конкретной логической системе и только в ней. То есть слово "аксиома" допустимо использовать только выражении типа "аксиома такой-то теории": аксиома геометрии Евклида, аксиома теории множеств и т.д. Без указания теории перед нами будет просто сингулярное суждение, построенное по правилам синтаксиса некоторого языка. (Все сказанное касается и теорем - любая теорема является теоремой только в рамках некоторой конкретной теории/логической системы.)
2. Логическое доказательство может быть реализовано только в рамках некоторой конкретной теории, в которой есть фиксированный набор правил, по которым и производится это доказательство (вывод теорем). Когда мы говорим, что аксиома - это суждение, истинность которого принимается без доказательства, то (учитывая п.1) должны понимать, что речь идет не вообще о доказательстве, а конкретном доказательстве по правилам той теории, в которой суждение принято за аксиому. Итак, тут строжайшая термино-логическая схема: суждения принимаются/считаются аксиомами только в конкретных теориях и именно в этих теориях они приобретают истинность не через доказательство (логический вывод), как другие суждения (теоремы), а просто по факту их изначального включения.
3. Можно ли доказать истинность или ложность суждения, которое в некоторой теории принято в качестве аксиомы? Да, конечно, но за пределами указанной теории - в другой логической системе. Это фактически означает, что некоторое суждение, играющее роль аксиомы в одной теории, может иметь статус теоремы (доказуемого суждения) в другой. Можно ли это доказательство истинности суждения в другой теории обозначить фразой "доказательство аксиомы"? Принципиально нельзя: наше конкретное суждение в новой системе доказывается уже как теорема, в то время как аксиома она фигурировала в первой теории, где ее истинность была принята без доказательства.
4. Влияет ли, доказанность истинности некоторого суждение (как теоремы) в одной теории, на истинность этого суждения, скажем, как аксиомы, в другой теории? Вообще никак.  Даже если мы укажем на то, что некоторое суждение является теоремой (то есть доказано) в десятке теорий, то будучи принятым в качестве аксиомы в некоторой одиннадцатой теории, истинность этого сужения будет признана без доказательства.
5. Существует множество методов доказательства теорем, среди которых есть "доказательство от противного". Этот метод ничем не лучше, ни хуже других. Единственным ограничением, накладываемым на доказательство/логический вывод является соблюдение правил/законов построения конкретной логической системы. 
6. Можно ли считать индукцию ("Перебираем все возможные варианты и приходим к выводу") логическим доказательством? Хотя чисто формально индукцию и относят к методам доказательства, но этот метод уж точно не логический, а скорее эмпирический. Далее читаем Юма и Поппера, которые обоснованно отвергали индукцию как логически достоверный метод. Ну а если мы рассуждаем не вообще, а рамках логики построения теорий, где единственным доказательством считается перенос истинности аксиом на теоремы по правилам конкретной теории, то упоминать индукции просто неприлично.

Итак, какие формальные ошибки допустил  axby1 в данной дискуссии.

1. Он стал обсуждать аксиомы вне конкретных теорий, так как будто суждения могут  являться аксиомами сами по себе, по факту их произнесения.
2. Из доказательства истинности некоторого сингулярного суждения сделал недопустимый вывод о доказательстве аксиомы (произвольно посчитав это суждение аксиомой, см. п.1)
3. Использовал индукцию как метод логического доказательства, хотя таковой она не является.
4. Недопустимо ограничил методы доказательства теорем только одним из них - "от противного".