Математика и фальсификационизм

Докладчик: 
Александр Болдачев
Семинар Философского штурма
Дата: 
02.04.2016
Систематизация и связи
Гносеология
Логика
Философия науки и техники
Ссылка на персону: 
Карл Поппер
See video

(Ниже некоторые фрагменты из обсуждения в ЖЖ: Теория и экспериментМатематика и фальсификационизмМатематика и наука).

Вообще надо четко понимать, что мы с вами обсуждаем три темы лишь косвенно связанные между собой:

(1) место и роль фальсификации/верификации в математике (эта тема не имеет никакого отношения к Попперу),

(2) применимость критерия Поппера для сепарации математических теорий (прямое применение попперовского критерия к математическим теориям),

(3) проблема научности математики (практически никакого отношения к первой темы и сомнительное отношение ко второй).

Особый мир математики

Очень часто указывая на сам факт возможности фальсификации математической теории и ссылаясь на Поппера, делают вывод о научности математики. Но при этом игнорируют, что

(а) критерий Поппера применим к конкретным теориям, а не к дисциплинам - он не позволяет делать хоть какие-то обобщения о познавательных дисциплинах;

(б) на основе принципа фальсификации мы не можем сделать утверждение о научности теории, он лишь позволяет заключить о ее ненаучности: теория не является научной, если не предполагает фальсификации;

(в) под фальсификацией в науке (а критерий Поппера изначально относился к теориям претендующим на научность), так вот под научной фальсификацией подразумевается исключительно и только проведение экспериментов над предметами теории, которые существуют вне и до нее и науки в целом (хотя этот момент не столь строгий как (а) и (б), его можно обсуждать).

Получается, что если мы оставим в стороне пункт (в), то, согласно критерию Поппера, указав на возможность фальсификации некоторой математической теории, мы можем сделать вывод только о том, что данную теорию мы не должны относить к ненаучным. Но у нас нет никаких оснований считать ее научной и, тем более, переносить этот вывод на всю математику.

Особого внимания заслуживает пункт (в) относительно независимого существования познавательной дисциплины и предметов ее теорий. Я склоняюсь к мысли, что познавательные дисциплины, предмет которых находится внутри них и формулируется на языке самих дисциплин – такие как математика и философия – нельзя относить к научным. Но даже если не принять данный тезис, то все равно следует признать, что принцип фальсификации не имеет никакого отношения к признанию некоторой познавательной дисциплины научной.

И, конечно, следует развивать представление о математике как об особом мире, в котором есть собственные предметы (те же топологические пространства), теоретические и «эмпирические» методы их описания (расчетные, контр примеры, мысленные эксперименты, прямой перебор и даже физические эксперименты), а значит и возможность верификации/фальсификации математических теорий.

Эксперименты в математике

Если констатировать реальность математических объектов (к примеру, топологических пространств), то термин "эксперимент" можно трактовать более обобщенно (к чему, безусловно, всегда надо стремиться).

Итак:

  • у нас есть предмет теории, существующий вне и до теории (некоторая "реальность"),
  • есть теория предмета – его знаковая модель,
  • есть теоретические суждения о предмете – предсказания теории.

Так вот, если у нас есть некоторая процедура, с помощью которой мы можем получить суждения о предмете независимо от теории, то такие сужения можно назвать "эмпирическими" (не теоретическими), а саму процедуру – экспериментом. При этом следует говорить о верификации/фальсификации теории экспериментом, путем сопоставления теоретических и эмпирических суждений.

Эта схема вполне применима к математике, в которой есть «реальные», существующие независимо от теории предметы, теоретические суждения об этих предметах и методы проверки истинности этих суждений, реализуемые независимо от теории (скажем, расчетные методы). Следовательно, вполне корректно говорить о том, что предсказания математической теории (ее теоретические суждения) могут быть опровергнуты или подтверждены математическим экспериментом, то есть путем сопоставления теоретических и эмпирических суждений.

Итак, в описанной термино-логической схеме допустимо говорить как о научных, так и математических теориях и экспериментах, а также о научной и математической верификации/фальсификации. Различаются же научные и математические теории и эксперименты по предметам. Как отличить предмет науки от математического предмета - это отдельная проблема, (хотя решение ее вполне очевидно). 

0
Ваша оценка: Нет
Связанные материалы Тип
Математика и фальсификационизм. Подходы к решению проблемы. Виталий Андрияш Запись

Комментарии

Аватар пользователя Дмитрий

По поводу отличия математической теории и научной. 

Непонятно, что именно означает "предмет в теории" и "предмет вне теории"? Как бы то ни было, говоря о природе математики, надо постоянно иметь в виду две ее характерные особенности, которые бросаются в глаза: первая - это поразительная точность и ясность математических построений, вторая - ее широкая применимость в прикладных науках. Если математика - это особый мир, и предмет ее находится в теории, как возможно, что она так активно применяется в реальном мире, допустим, при решении физических задач?

По поводу верификации. Любая теория либо допускает экспериментальную проверку, либо не допускает. Математика не допускает экспериментальной проверки. Во-первых, из-за абстрактности ее предмета, во-вторых, как выше предполагалось - предмет находится в теории. Я слыхивал что-то об "экспериментальной математике" - предприятие довольно молодое, трактующее термин "эксперимент" в каком-то ну очень широком смысле. Эдак, можно сказать, что экспериментальная математика - это когда я не в уме, а на микрокалькуляторе считаю. :)

Аватар пользователя boldachev

Непонятно, что именно означает "предмет в теории" и "предмет вне теории"? 

Вы точно уверены, что слышали про "предмет в теории"? Я такого сказать не мог (если только не оговорился). Речь шла о предмете вне познавательной дисциплины в внутри нее. Предметы научных теорий лежат вне науки, а предметы  математических теорий лежат внутри математики.

Если математика - это особый мир, и предмет ее находится в теории, как возможно, что она так активно применяется в реальном мире, допустим, при решении физических задач?

Да, есть такая философская проблема: эффективность применения математики в науках. Но эта проблема является проблемой, а не общим местом, именно потому и только потому, что сама по себе математика про математику, про математические объекты, а не про электрический ток. В том-то и загадка, что то, что придумал математики решая сугубо математическую задачку не выходя из своего математического кабинета вдруг (именно загадочно вдруг) применяется для создания некой физической теории.

Математика не допускает экспериментальной проверки.

Целью доклада было как раз показать, что некоторый класс математических теорий допускают верификацию/фальсификацию. Если хотите разобраться подробнее, то посмотрите обсуждение проблемы с математиком Mikhail Patrakeev на странице  Математика и наука.

Аватар пользователя Дмитрий

Вы точно уверены, что слышали про "предмет в теории"?

Возможно мне послышалось. Но слышал от вас это раньше и в тексте обсуждения с Mikhail Patrakeev такие обороты встречаются. Но я понял вашу мысль. Для большей ясности можно сказать, что предмет научной теории существует самостоятельно и независимо от этой науки, а в математике оперируют некоторыми качествами, отвлеченными от реальных предметов и не существующие самостоятельно. И даже не надо объяснять широкое применение математических теорий.

Я выше написал, что математика славится своей ясностью - забудьте об этом, я такого не писал. Давно уже не славится, что демонстрирует ваша беседа с математиком. 

Замечу, что если допустить опровержение математической теории какими-либо расчетными методами, то возникает некоторое затруднение. Расчетные методы тоже предполагают математическую теорию, например, счет осуществляется по правилам арифметики. Так что же? Любая математическая теория должна предполагать опровержение арифметикой?

И если допускаете возможность верификации в математике, то тогда уж и про философию не забудьте словечко замолвить.

Аватар пользователя boldachev

Но слышал от вас это раньше и в тексте обсуждения с Mikhail Patrakeev такие обороты встречаются.

Вы наверное, все же читали/слышали фразу о включенности  предмета математической теории в математику, как включенность его в саму теорию. Но ведь это бессмысленно - предмет теории всегда находится вне теории. Вопрос только в том, существует ли он до и вне познавательной практики (науки и математики) или порождается самой этой практикой.

Замечу, что если допустить опровержение математической теории какими-либо расчетными методами, то возникает некоторое затруднение. Расчетные методы тоже предполагают математическую теорию, например, счет осуществляется по правилам арифметики. 

Давайте сформулируем, что мы называем верификацией/фальсификацией и тогда поймем, что никакого затруднения нет: верификация/фальсификация теории - это подтверждение или опровержение истинности теоретических суждений (выводов теории) внешними относительно самой теории методами. И тогда понятно, что неважно что такое расчетные методы - главное, что они не имеют отношения к самой теории, не являются ее частью. Как не имеют отношения к теории эксперименты с предметами научных теорий. То есть речь идет не о том, чтобы опровергнуть или подтвердить выводы математической теории чем-то не математическим, а просто чем-то вне самой теории.

Так что же? Любая математическая теория должна предполагать опровержение арифметикой?

Речь не идет о любой математической теории - фальсифицируются только интерпретированные теории. Ну и арифметика тут ни причем. 

И если допускаете возможность верификации в математике, то тогда уж и про философию не забудьте словечко замолвить.

В философии другая ситуация. Главное отличие математики от философии - это независимость первой от познающего субъекта. Можно сказать, что мир математики объективен, то есть математические объекты и операции с ними однозначно воспроизводимы любым математиком. И именно поэтому можно говорить об однозначной верификации/фальсификации: некто доказал теорему о некотором математическом объекте, а другой расчетными методами показал, что теорема неверна. И этот расчетный метод может применить кто угодно.

В философии же теория и предмет теории не только находятся внутри самой философии (как и предмет математической теории внутри математики), но и внутри мышления философа - предметом философского мышления является само это философское мышление и теория философа есть теория его же (формальная модель) мышления. По сути, конечно, философ может придумать мысленный эксперимент, провести какие-то рассуждения, не входящие в его теорию, или обратиться к практике своего мышления с помощью которых он может верифицировать/фальсифицировать свою теорию. Подумав он решит: да, выводы моей теории соответствуют предмету этой теории - моему мышлению. (К этому выводу приходят поголовно все философы.) Но поскольку предмет философской теории недоступен для других познающих философских субъектов, то такую верификацию могут делать (и делают) только сами авторы этой теории. Дальше дело вкуса: считать или не считать верификацией утверждение философа, что его теория хорошо подтверждается практикой его мышления или этого явно недостаточно.

Аватар пользователя Дмитрий

верификация/фальсификация теории - это подтверждение или опровержение истинности теоретических суждений (выводов теории) внешними относительно самой теории методами. 

Совершенно верно.

И тогда понятно, что неважно что такое расчетные методы - главное, что они не имеют отношения к самой теории, не являются ее частью. 

В том-то и дело, что расчетные методы являются частью соответствующей математической теории. Откуда берутся расчетные методы? Это нечто независимое от математики, как опыт в науке?

Есть, допустим, мы выполняем арифметические расчеты, мы следуем правилам арифметики. Если у нас есть некая математическая теория, то мы согласно правилам этой теории выполняем расчеты. Расчеты к математической теории относятся не так, как опыт к научной теории. Во втором случае опыт принимается как объективный критерий, по которому мы судим о теории - соответствует она опыту или нет. Но расчеты - другое дело. Странно было бы требовать, чтобы математическая теория соответствовала расчетам, которые и осуществляются по правилам этой самой теории.

Аватар пользователя boldachev

В том-то и дело, что расчетные методы являются частью соответствующей математической теории. Откуда берутся расчетные методы? Это нечто независимое от математики, как опыт в науке?

Я кажется понял источник недопонимания и вашего прочтения  "предмет в теории" и "предмет вне теории". Математическая теория - это не вся математика, а конкретная самостоятельная локальная теория - язык, аксиомы и правила вывода. Математика состоит из множества теорий. Некоторые теории имеют в качестве своего предмета математические объекты (топологические пространства, различные математические структуры и пр.), о которых делают некоторые суждения, которые можно проверить сторонними, скажем, расчетными не входящими в эту теорию методами. Эти методы входят в математику, они часть математики, но не являются часть теорий, которые мы хотим фальсифицировать. И ваш вопрос "Это нечто независимое от математики, как опыт в науке?" корректно надо задать так: Это нечто независимое от математической теории, как опыт в науке? Поэтому я и говорю о математике как об особом мире, в котором есть математические объекты, есть теории, описывающие эти объекты и есть свои опыты (расчетные методы), которые позволяют получить суждения об этих объектах независимо от теорий этих объектов. 

Итак, математика - это познавательная дисциплина, состоящая из объектов, теорий, среди которых есть теории этих объектов и различных методов манипуляций с этими объектами, которые существуют независимо от теорий. Поэтому возвращаясь к началу нашего разговора повторю: предмет математической теории безусловно существует вне теории, но внутри математики (а предмет научной теории существует вне науки). 

Странно было бы требовать, чтобы математическая теория соответствовала расчетам, которые и осуществляются по правилам этой самой теории.

Теперь понимаете, что теория предмета - это теория (формальная логическая система, модель, в минимальном варианте - формула), а перебор всех возможных отношений в предмете теории - это нечто вне теории, его можно выполнить до существования теории - просто ввести все данные в компьютер и пересчитать.  

Аватар пользователя Дмитрий

У нас получается какая-то необычная ситуация. Допустим, я ввел все данные в компьютер и он мне выдал некий результат расчетов - что теперь с этим делать? С чем сравнивать?

Потом, на мой взгляд, вы все же предлагаете сравнивать одну математическую теорию с другой. Ученые проверяют свои теории опытом - они как бы обращаются к самой природе за подтверждением. Математики должны обращаться за подтверждением к компьютеру - произведению отнюдь не природы, а человека - к коробочке, которая работает по логике, которую заложил в нее сам человек. Все это сомнительно.

Аватар пользователя boldachev

Потом, на мой взгляд, вы все же предлагаете сравнивать одну математическую теорию с другой.

Вы, на мой взгляд, все продолжаете  смешивать математическую теорию и математику вообще. Математическая теория - это логическая модель, конечная логическая система, построенная на логическом выводе (ну типа евклидовой геометрии, в которой нет никаких расчетов, а только логический вывод). И вот скажем, что некоторая логическая теория доказывает теорему, что в такой-то математической структуре, скажем, в каком-то топологическом пространстве чего-то не может быть. А теперь просто берем и на компьютере перебираем все возможные структуры в этом пространстве и показываем, так вот же оно - есть. То есть фальсифицируем теорию. Итак, предмет теории (скажем, топологическое пространство) существует до и вне теории, мы знаем о его существовании до всяких теорий, и возможно создать множество теорий об этом предмете. Расчетный метод так же не является теорией - это может быть просто перебор всех возможных вариантов отношений элементов предмета. Расчетный метод никак не опирается на теорию, он вообще не знает о ее существовании.

Давайте еще раз закрепим: в математике не все является теориями, теория - это вполне конкретная логическая структура. Операции с математическими объектами (скажем простой перебор со сравнением) не являются теориями.

Ученые проверяют свои теории опытом - они как бы обращаются к самой природе за подтверждением.

Так и математики проверяющие математические теории некоторого математического объекта обращаются к самому этому объекту - проводят с ним математические эксперименты.

Математики должны обращаться за подтверждением к компьютеру - произведению отнюдь не природы, а человека - к коробочке, которая работает по логике, которую заложил в нее сам человек. Все это сомнительно.

Ну это как сказать, что и физики обращаются не  к самой природе, а к приборам - "коробочкам работающим по логике, которую заложил в нее сам человек. Все это сомнительно". 

У нас получается какая-то необычная ситуация. Допустим, я ввел все данные в компьютер и он мне выдал некий результат расчетов - что теперь с этим делать? С чем сравнивать?

Теперь ситуация прояснилась? Есть теория математического объекта, скажем, некоторой математической структуры. В теории доказывается теорема о том, что в этой структуре каждый элемент имеет связь не более чем с тремя другими. Это теоретическое суждение. Потом мы строим компьютерную модель этой структуры и запускаем программу, которая перебирает все элементы структуры и находит такой у которого есть четыре связи с другими элементами (это эмпирическое суждение). Вот и имеем факт фальсификации математической теории. Этот факт может свидетельствовать либо о том, что в теории была допущена логическая ошибка, либо что теория не является теорий данного объекта.

Аватар пользователя Дмитрий

Теперь ситуация прояснилась?

Как говорила Алиса в стране чудес: Все страньше и страньше...

Я сразу у вас спросил: как объект может быть вне или в теории? Теперь вы говорите, что объект математической теории вне теории, но в самой математике.

Этот факт может свидетельствовать либо о том, что в теории была допущена логическая ошибка, либо что теория не является теорий данного объекта.

Скорее всего, этот факт может свидетельствовать только о том, что в теории была допущена логическая ошибка. 

Разве та же евклидова геометрия предполагает опровержение? В ней приняты определенные аксиомы, доказаны теоремы, все строго и логично. Опровергнуть ее можно только опровергнув те положения, на которых она основана, а они неопровержимы. Забейте в компьютер евклидову геометрию и какие бы действия он не предпринимал, что бы он не рассчитывал, не перебирал - все варианты будут строго укладываться в рамки евклидовой геометрии.

Аватар пользователя boldachev

Я сразу у вас спросил: как объект может быть вне или в теории? Теперь вы говорите, что объект математической теории вне теории, но в самой математике.

А я вам сразу и ответил: "Я такого [про предмет внутри теории] сказать не мог (если только не оговорился). Речь шла о предмете вне познавательной дисциплины и внутри нее. Предметы научных теорий лежат вне науки, а предметы  математических теорий лежат внутри математики." А потом еще пояснил: "Вы наверное, все же читали/слышали фразу о включенности  предмета математической теории в математику, как включенность его в саму теорию. Но ведь это бессмысленно - предмет теории всегда находится вне теории. Вопрос только в том, существует ли он до и вне познавательной практики (науки и математики) или порождается самой этой практикой.

Не может быть предмет внутри теории и я того не говорил - вы сами это придумали и стали с этим бороться))))

Скорее всего, этот факт может свидетельствовать только о том, что в теории была допущена логическая ошибка.

Профессиональный математик утверждает, что теория может быть логически строгой, не содержать математических ошибок, но быть фальсифицированной по причине того, что она не является теорией того объекта, о котором она делает теоретические суждения. А вы в ответ: нет, этого не может быть, потому, что мне это не понятно. Согласитесь, что это по крайней мере странно?

Забейте в компьютер евклидову геометрию и какие бы действия он не предпринимал, что бы он не рассчитывал, не перебирал - все варианты будут строго укладываться в рамки евклидовой геометрии.

Вы постоянно смешиваете понятия. То отождествляете математическую теорию с математикой (читая фразу "предмет математики находится внутри математики", как "предмет математической теории находится внутри теории"), то, сейчас спутали предмет теории с самой теорией. Прочитайте, что было написано у меня: "строим компьютерную модель этой структуры и запускаем программу, которая перебирает все элементы структуры" (ссылка), то есть строим компьютерную модель предмета теории. Вы же пишете "забейте в компьютер евклидову геометрию", то есть введите в компьютер саму теорию. Так и ясен пень, не имеет никакой разницы просчитать ввод теории руками или на компьютере. Суть то в том, что расчетные методы применяются не к теории, а к предмету теории. Перечитайте внимательно мои пояснения - в них все предельно корректно и точно расписано. 

Разве та же евклидова геометрия предполагает опровержение?

Конечно, предполагает. Все зависит от подхода и формулировок. Допустим мы еще ничего не знаем о пространствах с ненулевой кривизной, а предполагаем, что пространство одно и едино и оно таково, каким его описывает евклидова геометрия. То есть перед нами предмет теории "пространство" и теория, которая делает об этом предмете некоторые теоретические суждения, скажем, что сумма углов треугольника равна 90 градусов. После чего мы берем длиннющие веревки (или лазеры), строим большой треугольник, измеряем сумму его углов и получаем, что она отличается от 90 (так будет, если пространство имеет ненулевую кривизну). Вот и имеем: евклидова геометрия фальсифицирована. Какой вывод мы делаем? Ошибку в теории мы не найдем. Значит следует второй из преложенных мной вывод: евклидова геометрия не является теорией любого пространства, ее предмет следует ограничить только одним типом пространства - с нулевой кривизной. Вроде все тривиально.

Аватар пользователя Дмитрий

Я, слава богу, не профессиональный математик, мне жить легче. Представить себе, что объекты теории находятся вне теории, но внутри дисциплины, что математическая теория и математика - разные вещи, я, действительно, не могу и вряд ли когда-нибудь смогу - от того и путаница у меня от ваших суждений.

сумма углов треугольника равна 90 градусов

Замечательно, как раз думал об этом примере и вот - как раз кстати. Смотрите, у нас есть некая строгая и логически безупречная теория - она предполагает возможность опровержения - и вот она опровергнута опытом. Что мы будем делать с этой теорией? Либо начнем пересматривать ее, дополнять как-то, либо просто выбросим, если случай безнадежный. Теория опровергнута.

А какой пример вы привели? Измерили углы треугольника - оказалось, что сумма углов не равна двум прямым. Геометрия Евклида пересмотрена? От геометрии Евклида надо отказаться? Какое влияние это оказало на геометрию Евклида? Да никакого. Как была евклидова геометрия, так и осталась ею. Она не опровергнута, она не сфальсифицирована.

 

Критерий Поппера касается исключительно эмпирических наук - наук, которые в своей практике опираются на индукцию. Для дедуктивных систем (которые, в основном, и есть математические теории) чем-то вроде критерия будут теоремы Геделя. Любая формально-логическая система (в том числе и геометрия Евклида) неполна. А ведь это не значит, что опровержима.

Аватар пользователя boldachev

От геометрии Евклида надо отказаться? Какое влияние это оказало на геометрию Евклида? Да никакого. Как была евклидова геометрия, так и осталась ею. Она не опровергнута, она не сфальсифицирована.

Извините, но вы все же как-то странно читаете - через слово, а пропуски заполняете собственными домысливаниями.  Разве я писал о том, что от евклидовой геометрии надо отказаться? А вот то, что фальсификация оказала на теорию влияние, так это очевидно. Читаем еще раз вывод: "евклидова геометрия не является теорией любого пространства, ее предмет следует ограничить только одним типом пространств - с нулевой кривизной" (ссылка).  

Была теория, которая утверждала, что она теория пространства вообще, как скажем, и ньютоновская механика, считалась теорией движения вообще, всякого движения. Дальше проводим эксперименты, которые фальсифицируют теории: сумма углов не равна предсказанной, а при скоростях движения близких к световым классические законы не работают. Вывод: предъявленные теории не являются теориями заявленных предметов. При этом понятно, что с самими теориями ничего не надо делать, не надо их модифицировать и уж подавно отменять - надо лишь установить новые границы их предметов: предметом евклидовой геометрии является только пространство с нулевой кривизной, а предметом классической механики - движения со скоростью значительно ниже световой.

И теперь возвращаемся к исходному тезису: "Этот факт [фальсификации математической теории] может свидетельствовать либо о том, что в теории была допущена логическая ошибка, либо что теория не является теорией данного объекта" (ссылка). Теперь понятно, что значит "не является теорией данного объекта"? Евклидова геометрия фальсифицирована как теория пространства вообще, но является истинной математической теорией пространства с нулевой кривизной.

Критерий Поппера касается исключительно эмпирических наук - наук, которые в своей практике опираются на индукцию.

Да, критерий Поппера имеет отношения только к наукам (правда индукция тут совершенно ни при чем, и сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию). Но на этой странице мы и не обсуждали критерий Поппера, а только и исключительно фальсификацию в математике. Читаем в вводном тексте: "(1) место и роль фальсификации/верификации в математике (эта тема не имеет никакого отношения к Попперу)".

Для дедуктивных систем (которые, в основном, и есть математические теории) чем-то вроде критерия будут теоремы Геделя. Любая формально-логическая система (в том числе и геометрия Евклида) неполна. А ведь это не значит, что опровержима.

А это не имеет отношения ни к фальсификации, ни к Попперу, ни к критерию научности. Критерием истинности логических систем (теорий) является их логическая непротиворечивость. Начиная обсуждение проблемы фальсификации теорий, мы изначально подразумеваем, что теории непротиворечивы. (Это замечание делалось в обсуждении с математиком).

Аватар пользователя Дмитрий

У меня сложилось впечатление, что вам больше надо отстоять свою позицию, чем услышать доводы оппонента.

Вот, почитайте на досуге:

https://www.google.ru/webhp?sourceid=chrome-instant&ion=1&espv=2&ie=UTF-8#q=%D0%BF%D0%BE%D0%BF%D0%BF%D0%B5%D1%80%20%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8

http://gtmarket.ru/laboratory/basis/4291/4293

Аватар пользователя boldachev

У меня сложилось впечатление, что вам больше надо отстоять свою позицию, чем услышать доводы оппонента.

Во-первых, вы пришли на эту страницу с вопросом и моя цель ответить на него, попытаться донести до вас суть моей позиции, мое видение проблемы. Если вам это не интересно, то давно надо было прекратить обсуждение.

Во-вторых, никаких "доводов оппонента" я не услышал, а видел лишь недопонимание вами самой сути проблемы, неразличение понятий, с помощью которых она формулируется. В этом нет ничего страшного - тема действительно сложная и даже экстравагантная. И я искренне хотел вам помочь в ней разобраться. Но вы встали в позу. Увы. 

Вот, почитайте на досуге

Зачем вы мне прислали ссылки про Поппера и индукцию? Во-первых, проблема индукции не имеет никакого отношения  обсуждаемому вопросу о фальсификации в математике. Во-вторых, если бы сами почитали на досуге, то нашли основной вывод Поперра по поводу индукции:

идея индукции на основе повторения должна рассматриваться как возникшая по ошибке — как своего рода оптическая иллюзия. Короче говоря: не существует такой вещи, как индукция на основе повторения. (Карл Поппер. Объективное знание. Глава 1. Предположительное знание: мое решение проблемы индукции)

Аватар пользователя Дмитрий

Если вам это не интересно, то давно надо было прекратить обсуждение.

Мне это очень интересно, как и вам. Просто я думал, что на этот форум приходят люди, чтобы вместе разобраться в философских проблемах, а оказывается, что люди сюда идут, чтобы проконсультироваться с Александром Болдачевым, чтобы он помог им решить возникающие у них вопросы. Если это тема не для обсуждения, так сразу бы и сказали. Я бы ничего не стал писать здесь. 

Вы так любите требовать от других признания в своих ошибках, но сами этого делать не любите. Вот и теперь, когда на вашу реплику "правда индукция тут совершенно ни при чем, и сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию" я вам привел ссылку, где он эту индукцию обсасывает со всех сторон. Или вы думаете, он свой критерий с потолка взял? Вместо того, чтобы просто ничего не писать, вы выхватили цитату из целой главы и обозвали ее "основным выводом". Смешно.

Аватар пользователя boldachev

Вместо того, чтобы просто ничего не писать, вы выхватили цитату из целой главы и обозвали ее "основным выводом". Смешно.

Давайте посмеемся вместе - вот полная цитата (которую я обрезал для краткости):

Один из моих главных выводов состоит в том, что, поскольку Юм прав в том, что в логике не существует такой вещи, как индукция на основе повторения, то по принципу переноса такой вещи не может быть и в психологии (или в научном методе и в истории науки): идея индукции на основе повторения должна рассматриваться как возникшая по ошибке — как своего рода оптическая иллюзия. Короче говоря: не существует такой вещи, как индукция на основе повторения.

Это последний абзац параграфа "МОЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ ИНДУКЦИИ".

Читаем дальше:

И все же ясно, что «индукция» ... индуктивно неверна и даже парадоксальна.

Первоначально я ввел понятие подкрепления (corroboration), или «степени подкрепления», с целью ясно показать, что всякая вероятностная теория предпочтительности (и, следовательно, всякая вероятностная теория индукции) абсурдна.

Исторически я нашел свое новое решение юмовской психологической проблемы индукции прежде, чем предложил решение логической проблемы: именно в связи с этим я впервые понял, что индукция — формирование веры на основе повторения — это миф.

Я думаю, что подобные различия между разновидностями «веры» не представляют никакого интереса для моей объективистской теории познания, но они должны бы представлять интерес для того, кто принимает всерьез психологическую проблему индукции — чего я не могу сказать о себе.

Как только мы поймем это, станут совершенно очевидными не только тезис Юма, что обращение к вероятности не может изменить ответ на проблему HL (и, следовательно, на L1и Pr1), но и неверность всякого «принципа индукции».

Вместе с тем, если имеется в виду «полагаться» в смысле Рr1, то любой такой принцип индукции просто окажется неверным.  

Вроде отношение Поппера к индукции очевидно.

Вы так любите требовать от других признания в своих ошибках, но сами этого делать не любите. Вот и теперь, когда на вашу реплику "правда индукция тут совершенно ни при чем, и сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию" я вам привел ссылку, где он эту индукцию обсасывает со всех сторон. 

Вы можете четко сформулировать в чем состояла моя ошибка? Вы обосновали, что индукция имеет отношение к проблеме фальсификации в математике? Или, что Поппер активно выступал за использование принципа индукции в научном методе?  Да, Поппер "обсасывает эту индукции со всех сторон", но только с одной целью, чтобы  показать "неверность всякого «принципа индукции»". Вам все же надо было не заголовок главы прочитать, а ее содержание (на досуге).

Просто я думал, что на этот форум приходят люди, чтобы вместе разобраться в философских проблемах.

Но вы же не захотели разбираться ("Представить себе, что объекты теории находятся вне теории, но внутри дисциплины, что математическая теория и математика - разные вещи, я, действительно, не могу и вряд ли когда-нибудь смогу - от того и путаница у меня от ваших суждений." ссылка). Я вам честно помогал, терпеливо объяснял несколько раз и с разных сторон. Теперь же и сам виноват. И должен извиняться. Извините, что решил подробно ответить на ваш вопрос. Над было просто послать подальше, как это традиционно делается на ФШ. Извините.

Аватар пользователя Дмитрий

Вы все же прочтите эту главу как-нибудь целиком вдумчиво, когда остынете. Поппер выделяет логическую и психологическую сторону проблемы индукции и сосредоточивает внимание на логической стороне. Вы, стало быть, дальше психологии читать не стали. Я не буду цитировать, укажу только на разделы: 5. ЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА ИНДУКЦИИ: ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА И РЕШЕНИЕ, и 6. КОММЕНТАРИИ К МОЕМУ РЕШЕНИЮ ЛОГИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ ИНДУКЦИИ. Прочтите их очень внимательно, они небольшие.

Вот это -

Над было просто послать подальше...

я принимаю, как признание ошибок.

Аватар пользователя boldachev

Я не буду цитировать

Будьте добры, все же процитируйте, пожалуйста.

Напомню вам ваш текст:

Вы так любите требовать от других признания в своих ошибках, но сами этого делать не любите. Вот и теперь, когда на вашу реплику "правда индукция тут совершенно ни при чем, и сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию" я вам привел ссылку, где он эту индукцию обсасывает со всех сторон. 

Итак, я еще раз прошу: уточните в каких ошибках я должен признаться. Я привел множество цитат подтверждающих своей тезис про отношение Поппера к индукции. Вы же пока ссылаетесь только на оглавление. Согласитесь, что это не очень убедительно. И ваши обвинения (без цитат) выглядят голословными. 

Ждем цитат, опровергающих мои слова "Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию".

Аватар пользователя Дмитрий

Вы издеваетесь? Пятый раздел - он малюсенький, вам его всего процитировать? 

Вы писали:

Да, критерий Поппера имеет отношения только к наукам (правда индукция тут совершенно ни при чем, и сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию)

А чего же он тогда всю главу об этой самой индукции и долдонит? Утверждает, что "решил проблему индукции"? В этой главе, кстати, он дает свой критерий фальсифицируемости. Цитат давать не буду принципиально, если вам это действительно интересно и нужно - читайте и разбирайтесь сами. У меня, вообще, возникают подозрения, что вы даже не понимаете о какой такой проблеме индукции идет речь. Тут уже можно цитаты из учебника по логике приводить. 

Сделаю одно замечание: Поппер в данной работе выступает с критикой индукции: ее принципов и правил. И предлагает свой критерий. Дам все же несколько цитат:

В результате я могу сформулировать юмовскую логическую проблему индукции следующим образом: L1 Можно ли истинность некоторой объяснительной универсальной теории оправдать «эмпирическими причинами», то есть предположением истинности определенных проверочных высказываний, или высказываний наблюдения (которые, можно сказать, «основаны на опыте»)? Мой ответ на эту проблему такой же, как у Юма: нет, это невозможно; никакое количество истинных проверочных высказываний не может служить оправданием истинности объяснительной универсальной теории.

Это и есть проблема индукции. Никакое количество проверочных высказываний не может служить оправданием истинности теории. Поппер соглашается с Юмом. Ниже он пишет:

По-моему, все известные мне возражения против моей теории подходят к ней с точки зрения вопроса о том, разрешила ли моя теория традиционную проблему индукции, то есть обосновал ли я вывод по индукции. Конечно, я этого не сделал.

Далее:

Однако есть еще вторая логическая проблема L2 индукции, являющаяся обобщением проблемы L1. Она получается из L1 простой заменой слова «истинность» словами «истинность или ложность»: L2 Можно ли истинность или ложность некоторой объяснительной универсальной теории оправдать «эмпирическими причинами», то есть может ли предположение истинности определенных проверочных высказываний оправдать истинность или ложность универсальной теории? На эту проблему я даю утвердительный ответ. Да, предположение истинности проверочных высказываний иногда позволяет нам оправдать утверждение о ложности объяснительной универсальной теории.

Некоторое количество проверочных высказываний может служить оправданием ложности теории.

И третья формулировка:

L3 Может ли предпочтительность — с точки зрения истинности или ложности — некоторых конкурирующих универсальных теорий по сравнению с другими быть оправдана «эмпирическими причинами?» В свете моего ответа на L2 ответ на L3 становится очевидным: да, иногда это возможно, если повезет. Ведь может так случиться, что наши проверочные утверждения опровергнут некоторые — но не все — из конкурирующих теорий, а так как мы ищем истинную теорию, то отдадим предпочтение тем из них, ложность которых пока еще не установлена.

Думаю, комментарии не нужны. Вот так вот - обещал не давать цитат и все-таки дал.

Вы утверждаете, что критерий Поппера к данной теме не имеет никакого отношения. Извините, но когда я слышу слово "фальсификационизм", мне на ум тут же приходит критерий Поппера. Говорим "Поппер", подразумеваем - "фальсификационизм", говорим "фальсификационизм", подразумеваем - "Поппер". И я, наверное, как и всякий, понял название темы так: можно ли в математике говорить о фальсифицируемости теории как и в эмпирических науках. А вы утверждаете, что к Попперу это не имеет никакого отношения, все равно, что сказать: математика к фальсификационизму не имеет никакого отношения. А я, кстати, с этим и согласен. В математике мы имеем дело с дедуктивными системами: приняли аксиомы и логически строго построил на них систему, о какой фальсифицируемости тут говорить? О фальсифицируемости аксиом?

Итак, я еще раз прошу: уточните в каких ошибках я должен признаться.

Не надо признаваться в каких-то ошибках. Я надеюсь, что наш спор внесет некоторую ясность и развеет заблуждения. 

Кстати, представьте, что мы ничего не знаем о неевклидовых пространствах, геометриях и т.д. Вот вы даете задание компьютеру: перебери мне всевозможные треугольники, измерь у каждого сумму углов и если наткнешься на сумму не равную 180, останови перебор и выдай сообщение. И вот компьютер вдруг выдает сообщение, что найден такой треугольник. Вам не кажется, что это - сцена из научно-фантастического фильма? Вы ничего не знаете о неевклидовых пространствах, откуда компьютеру знать о неевклидовых пространствах? Мы даем условия компьютеру и действует он всегда в рамках заданных нами условий.

Аватар пользователя boldachev

Думаю, комментарии не нужны. Вот так вот - обещал не давать цитат и все-таки дал.

А по мне так очень нужны. Причем тут проблема ложности теории? Я так и не понял к чему все эти цитаты, какую мысль вы хотели подтвердить этими цитатами? Вы можете ее сформулировать? 

По сути, вы стали опровергать мою фразу "сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию" (ссылка). Которую я впоследствии подтвердил многими цитатами ("Один из моих главных выводов состоит в том, что ... не существует такой вещи, как индукция на основе повторения", "«индукция» ... индуктивно неверна и даже парадоксальна", "неверность всякого «принципа индукции»"). Могу добавить:

"Поппер отверг всякую достоверность и индукцию как метод познания." 
Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.

"Как и большинство совр. философов науки, Поппер полагает, что традиц. индукция непригодна для обоснования науч. знания, универс. законов..."
Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

И чем вы опровергли это? Как и где ваши цитаты доказывают, что Поппер "выступал за применение метода индукции"?

Вы утверждаете, что критерий Поппера к данной теме не имеет никакого отношения. Извините, но когда я слышу слово "фальсификационизм", мне на ум тут же приходит критерий Поппера. 

Да, критерий Поппера - фальсификационизм - не имеет никакого отношения к проблеме фальсификации в математике. В заголовок вынесена проблема соотношения математики и фальсификационизма и в итоге обсуждения было сделано заключение: да, в математике возможна фальсификация, но она не имеет никакого отношения к принципу Поппера, то есть не свидетельствует о научности  математических теорий (это было на видео). 

от вы даете задание компьютеру: перебери мне всевозможные треугольники

Тут вы не точно обошлись с приведенными мной примерами: треугольник не является предметом  геометрии как теории - предметом является пространство, которое мы не можем запихнуть в компьютер, поэтому и пример для фальсификации геометрии был приведен с измерением треугольников на местности. А вот если предметом математической теории является некоторая математическая структура, которую можно смоделировать на компьютере, тогда да, можно рассуждать о фальсификации этой теории расчетными (компьютерными) методами. В этих вопросах надо быть предельно точным.

Аватар пользователя Дмитрий

Как и где ваши цитаты доказывают, что Поппер "выступал за применение метода индукции"?

А вам не кажется, что это как-то странно звучит "выступал за применение метода индукции"? Эмпирические науки - это науки, которые опираются на метод индукции. Отвергнуть индукцию - все равно что отвергнуть опытное познание. Мы ведем наблюдения, собираем факты, материал, ставим опыты, проводим эксперименты и обобщаем полученные данные. Поэтому в этих вопросах надо быть предельно точным. Такие фразы, как "Поппер отверг всякую достоверность и индукцию как метод познания" и т.д. некорректны. Сам Поппер, видимо, был не совсем корректен в формулировках. Вы обращаете внимание на фразы типа "не существует такой вещи, как индукция на основе повторения" или "«индукция» ... индуктивно неверна и даже парадоксальна" (эта фраза вобще сама по себе парадоксальна - индукция индуктивно неверна), но не обращаете внимание на его фразы "решение проблемы индукции", "переформулировка проблемы индукции" и т.д.

Поппер выступал против индукции в том смысле, что она не дает достоверного познания. 

Еще раз. Первое: проблема индукции - никакое количество проверочных высказываний не может служить оправданием истинности теории. Опыт не может доказать теорию! (многих здесь заклинивает, и как следствие, не могут понять сути критерия).

Второе: некоторое количество проверочных высказываний может служить оправданием ложности теории. Опыт может опровергнуть теорию!

И третье, вывод: из всех теорий мы должны предпочесть только те, которые не опровергнуты, но могут быть опровергнуты опытом. 

Опыт опровергает научные теории. Что же может опровергнуть математические теории? Компьютер? Вспомните про такое понятие, как "число, квадрат которого равен -1" и тогда поймете, что математические теории неопровержимы. "Истинных" или "ложных" теорий в математике нет. 

 

Аватар пользователя boldachev

Это хорошо, что у вас есть свое, отличное от Поппера, мнение по поводу индукции. Но какое это имеет отношение к возникшей конфликтной ситуации, когда вы, по сути, обвинили меня в искажении позиции Поппера:

Дмитрий, 11 Апрель, 2016 - 23:54, ссылка

Вы так любите требовать от других признания в своих ошибках, но сами этого делать не любите. Вот и теперь, когда на вашу реплику "правда индукция тут совершенно ни при чем, и сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию" я вам привел ссылку, где он эту индукцию обсасывает со всех сторон. ... Вместо того, чтобы просто ничего не писать, вы выхватили цитату из целой главы и обозвали ее "основным выводом". Смешно.

Надеюсь, что теперь, когда я подкрепил свою реплику множеством цитатат из самого Поппера плюс фрагментами из энциклопедических статей, вы понимаете, что ваши обвинения были некорректными? Единственно за что могу извиниться, так за то, что написал  "основной вывод", в то время как у Поппера было написано "один из моих главных выводов".))

А по поводу обсуждаемой темы про фальсификацию математических теорий могу лишь выразить свое недоумение по поводу того, что вы беретесь обсуждать проблему, признавая при этом, что не понимаете, не различаете основные ее понятия. Причем я отмечаю это больше не со своей стороны, а с позиции профессионального математика, который поднял эту тему и привел несколько конкретных примеров фальсификации математических теорий из своей математической практики. 

Конечно, вы можете иметь свое мнение и по этой теме, но я все же предпочел бы ориентироваться на опыт профессионала.

Успехов

Аватар пользователя Дмитрий

Это хорошо, что у вас есть свое, отличное от Поппера, мнение по поводу индукции.

Знаете в чем проблема? Когда не понимают сути проблемы, начинают заниматься "буквоедством" и выхватывать фразы игнорируя общее содержание.

вы понимаете, что ваши обвинения были некорректными?

Видимо, мы по-разному понимаем слова обычного языка. Вы писали: "правда индукция тут совершенно ни при чем, и сам Поппер активно выступал против какой-либо ссылки на индукцию". Да как же индукция тут не при чем? Я вам дал ссылку на первоисточник: Объективное знание. Глава 1. Предположительное знание: мое решение проблемы индукции. И вы утверждаете, что индукция здесь не при чем? В этой главе он рассматривает первую формулировку проблемы индукции (L1) и соглашается с нею, затем приводит вторую формулировку (L2), а после - третью (L3), которая, собственно, и выражает критерий фальсифицируемости. Все строго увязано с проблемой индукции и все на ней держится. Вас ткнули носом, вы все равно уперлись и не хотите ничего признавать.

Может быть, эта ссылка поможет:

http://psylib.ukrweb.net/books/ivina01/txt11.htm#2

могу лишь выразить свое недоумение по поводу того, что вы беретесь обсуждать проблему, признавая при этом, что не понимаете, не различаете основные ее понятия.

Чьи понятия? Ее понятия или ваши, или профессионального математика? А вы не интересовались у этого профессионального математика - является ли он профессиональным логиком? Т.к. проблемы, которые вы пытаетесь обсуждать, больше касаются логики, чем математики.

К слову, кстати, напоследок уж закончу рассуждением о нашей дурацкой российской системе образования. Почему в школьной программе отсутствует такой предмет как логика? Зато есть такой предмет, как геометрия. Ведь прежде чем изучать геометрию - доказательную науку, следовало бы ознакомится с основами логики, силлогистики и т.д. Каких в итоге профессионалов даст нам такая система? Вот и получается: учился в школе, увлекался математикой, получал пятерки, пошел на матфак, стал ученым, профессором, а в логических проблемах несилен. Я не хочу оспорить чей-то профессионализм (ваш математик, кстати, как мне показалось, воздерживался от каких-либо строгих категорических суждений). Если у человека нет никаких понятий по какому-нибудь вопросу, суждение "профессионала", конечно, будет иметь больший вес для него, чем суждения "любителя". Но если у человека есть понятия и он знает, о чем говорит, то суждение "профессионала" будет для него не бесспорным. В конце концов, все мы люди и все мы можем ошибаться.

Лучше не отвечайте, а если уж невмоготу - покороче, пожалуйста.

 

Аватар пользователя Корнак7

Математика не допускает экспериментальной проверки.

А нельзя ли принять за экспериментальную проверку математики, например,  геометрию?

А в квадрате - квадрат. А в кубе - куб. Дальше сложнее. ))

Я как-то увидел математическую запись следующего  характера. 2-1=1 

Решил проверить. Съел одно из двух яблок и точно - одно осталось.

Аватар пользователя Дмитрий

Хм... Смотрите, вы часто видели математиков, проверяющих свои теории экспериментально? Даже анекдот есть такой заезженный: 

Ректор университета просмотрел смету, которую ему принес декан физфака, и, вздохнув, сказал:- Почему это физики всегда требуют такое дорогое оборудование? Вот например математики просят лишь деньги на бумагу, карандаши и ластики. - И, подумав, добавил. - А философы, те еще лучше. Им даже ластики не нужны.

Математика широко применяется в самых разных сферах - можно ли это считать ее экспериментальной проверкой?

Вот вы проверили запись характера 2-1=1. Проверьте мне такую запись:  x^2 =  -1.  Или такую 1+1=0.

Математика - дедуктивная наука, все ее суждения строго выведены из аксиом. Если истины аксиомы, значит истинно все то, что из них следует. Как экспериментально проверить, например, аксиому: среди трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими? Ее даже и проверять не надо, это всем очевидно. Вроде как.

Аватар пользователя Корнак7

среди трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими? Ее даже и проверять не надо, это всем очевидно. Вроде как.

А вот геометры, экспериментально проверив данную "аксиому", как минимум подвергнут ее сомнению, а то и вовсе развенчают. Стоит всего лишь согнуть лист с этой прямой в трубку и "аксиома" самоликвидируется.

Аватар пользователя Дмитрий

Я говорю: Среди трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Вы отвечаете: А если согнуть лист в трубку?

А я в ответ: А если просто взять и поджечь этот лист?

Чего вы мудрите-то?

Аватар пользователя Корнак7

Я говорю: Среди трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Вы отвечаете: А если согнуть лист в трубку?

А я в ответ: А если просто взять и поджечь этот лист?

Чего вы мудрите-то?

Разве это я мудрю?
Лобачевский Николай Иванович

Аватар пользователя Дмитрий

Вы понимаете, что математические аксиомы физическим сгибанием листов не опровергаются?

Аксиоматика геометрии Евклида совпадает с аксиоматикой геометрии Лобачевского за исключением аксиомы о параллельных прямых.

Аватар пользователя Корнак7

Вы понимаете, что математические аксиомы физическим сгибанием листов не опровергаются?

У меня не такое узкое понимание как у вас.

Любая истина работает только в определенных рамках. 
Стоит ей из этих рамок выйти - и свершается "чудо".

Аватар пользователя Дмитрий

У меня не такое узкое понимание как у вас.

Да, ваше понимание не знает пределов. :))

Аватар пользователя Konan

     Прошу прощения, что не ознакомился со всем обсуждением, но все же хотел бы высказаться. 

Предметы научных теорий лежат вне науки, а предметы  математических теорий лежат внутри математики.

     Это можно сказать основа всего сказанного.

     Любая наука работает только с теми терминами и постулатами которые введены внутри нее и которые лишь в какой то степени соответствуют реальным. Физика - тела. К ним относятся и не делается принципиальных отличий между камнями, зайцами, элементарными частицами подобно цифрам (условно) в математике и т.д. В биологии это животные растения и немного еще. В химии - химические элементы и их соединения. Во всех случаях с физикой, биологией, химией и даже математикой проводятся эксперименты над предметом изучения. Т.к. математика это "цифры", то и проверяются они "цифрами". Можно конечно и зайцами, но вдруг один из зайцев убежит! И что тогда теорема не будет доказана? Или брошенный воробей не попавший  в мишень отменяет гравитационное взаимодействие? Конечно зайца и воробья можно приблизить как то телам которые изучает физика например оборвав ноги и крылья, но не абсолютно (и не этично) и 100% подтверждения расчетной траектории все равно не будет. Все мы работаем с идеалами - это сущность человека. Одним из идеалов является цифра со своими цифровыми законами.

     Естественно, что науки проникают друг в друга. Это неизбежно. Заяц это не только ценный мех, но и животное и тело цифра со всеми последствиями. Любое свойство этого объекта изучается и проверяется внутри конкретной науки.

Аватар пользователя Корнак7

Т.к. математика это "цифры", то и проверяются они "цифрами".

Я бы сказал, что математика - это в первую очередь логика.

А  цифрами мы можем  татуировки делать, или стены в подъезде расписывать.

Аватар пользователя Konan

Я бы сказал, что математика - это в первую очередь логика. А  цифрами мы можем  татуировки делать, или стены в подъезде расписывать.

     "Цифры" у меня стоят в кавычках. Почему я думал это было ясно всем и без слов. Но для Вас я объясню. "Цифра" у меня это просто символ математики, считайте знамя, сокращение и т.д. Это чтоб слишком длинно не писать. Почему я принял такое сокращение я думаю здесь обсуждать бессмысленно.

     Также предлагаю грамматику и синтаксис мои не обсуждать, тем более что они не безупречны.