В круге первом. [Парадокс]

Аватар пользователя Vadim Sakovich
Систематизация и связи
Логика
Ссылка на философа, ученого, которому посвящена запись: 

Эпиграф:

А.Иванов, пародия на поэта Ю.Ряшенцева

Заколдованный круг

              Площадь круга… Площадь круга… Два пи эр…
              — Где вы служите подруга?
              — В АПН…
                                                  Юрий Ряшенцев

Говорит моя подруга чуть дыша:
— Где учился ты, голуба, в ЦПШ?

Чашу знаний осушил ты не до дна
Два пи эр — не площадь круга, а длина,
И не круга, а окружности притом
Учат в классе это, кажется, в шестом.

Ну поэты! Удивительный народ!
И наука их, как видно, не берёт
Их в банальности никак не упрекнёшь,
Никаким ключом их тайн не отомкнёшь.

Все б резвиться им, голубчикам, дерзать…
Образованность все хочут показать…

 

 

Итак, как обещано в эпиграфе, шестиклассного образования вполне достаточно! Достаточно, чтобы получить шанс отправиться в психбольницу при разрешении следующего геометрического парадокса.

Впрочем, здесь нечего даже формулировать. Достаточно взглянуть на рисунок, где изображен один полный поворот круга радиуса Ry, "катящегося" по прямой. Внутренний круг с радиусом Rx делает, естественно, тот же оборот. Вот и всё.

Ну, разве что... длина развёрнутой от такого оборота окружности (YY') от большого круга оказывается равной длине окружности внутреннего круга (XX'). А так, в остальном, всё ОК !

Комментарии

Аватар пользователя boldachev

Хорошо. Заменим "принципиально некорректно" на "излишне": при обсуждении аксиом конкретной теории следует ссылаться только и исключительно на логику данной теории, то есть логику, в которой доказываются теоремы и не доказываются аксиомы. А какая она там эта логика - дело десятое.

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 13:05, ссылка

Базовый посыл моего поста был вне этого нашего маленького диспута о некорректности вашего  "принципиально некорректно"

Он про другое.
Он про доказываемость аксиом.
Мой тезис -- аксиомическое высказывание нужно доказывать на его аксиономичность.
Т.е. аксиома не есть теорема.

Аватар пользователя boldachev

Мой тезис -- аксиомическое высказывание нужно доказывать на его аксиономичность.
Т.е. аксиома не есть теорема.

Ну это как бы общее место - минимизировать число аксиом в теории, то есть оставить в аксиомах только те, которые нельзя вывести из других. Но это больше не про структуру теории, а про ее кухню, то есть не имеет отношения к "проблеме" "доказательства аксиом".

 

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 15:00, ссылка

Но это больше не про структуру теории, а про ее кухню, то есть не имеет отношения к "проблеме" "доказательства аксиом".

Так камень преткновения в тезисе - аксиомы надо доказывать - был не в структуре или кухне теории.
И в этом контексте (мною сформулированном)  --

ДА!
Аксиомы надо доказывать
(доказывать не как доказываются теоремы, а доказывать невыводимость высказывания, тестируемого на аксиономочность высказывания из др. аксиом по правилам из области знания, к коему тестируемое высказывание принадлежит)

Аватар пользователя boldachev

Аксиомы надо доказывать

Это игра в слова.

Аксиома не доказывается. Можно только доказать, что выражение, претендующее на роль аксиомы в теории не является аксиомой, то есть выводится из других аксиом. Но эту процедуру принципиально нельзя назвать "доказательством аксиомы". Она называется доказательством теоремы.

Доказать же обратное, что аксиома не выводима нельзя. (Возможно я ошибаюсь, приведите примеры доказательства невыводимости аксиом).

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:04, ссылка

Доказать же обратное, что аксиома не выводима нельзя.

Мы с вами про одно и то же. Но разве доказательство невыводимости высказывания следует обзывать др. словом?, Т.е. подобное вдруг перестаёт быть доказательством?
Но ежели вдруг (а ну как случится такое горе wink) для некоей "аксиомы"  будет найден в рамках др. утверждений и правил в заданной области знаний, где это утверждение изначально было аксиомой, выводимость ея -- всё, кирдык аксиоме.
По этому пункту у вас будут возражения?

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:04, ссылка

К своему ссылка  на ваш

Доказать же обратное, что аксиома не выводима нельзя.

Добавлю.
К моему сожалению и с прискорбием сообщу, - то что я пропишу далее -- возможно будет не совсем на языке принятом при описании математических выкладок. Но знатоки поправят (надеюсь)smiley

1. Различают счётную бесконечность и бесконечность континуальную.
2. Строго доказано -- доказать наличествование неких промежуточных бесконечностей невозможно!
3. И также строго доказано -- доказать полное отсутствие подобных промежуточных бесконечностей невозможно тоже.

В начинающей своё развитие области знаний, получившей пока название - теория выводимости - отсутствие выводимости у аксиом -- либо уже есть как подраздел, либо это подраздел безусловно будет.

Необходимость этого уже назрела.

 

Аватар пользователя boldachev

Возможно назрела.

А пока я исхожу и того, что можно доказать, что аксиома не является аксиомой, а представляет собой теорему (что естественно, если есть доказательство), но нельзя доказать, что аксиома является аксиомой.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Аксиома не доказывается. Можно только доказать, что выражение, претендующее на роль аксиомы в теории не является аксиомой

Это правильно. Но проблема совсем в другом. Ведь когда говорят, что "аксиомы доказываются" или "аксиома требует доказательств", или и.т.д. то дело совсем не в сути сформулированного того или иного выражения в тексте аксиомы.

Дело лишь в несогласии axby1 с использованием русского или любого другого языка! Ведь значение слова аксиома подразумевает именно то, что принимается без доказательств (в отличие от теорем).

И получается, что он возражает этим идиотам - носителям родного языка - в том, что они ложку называют ложкой, а вилку - вилкой. То есть, он просто претендует на то, что тот предмет, которым мы кушаем бульон надо обозначать словом вилка, а тот предмет, с помощью которого мы кушаем спагетти - ложкой.

Другими словами, поцоватое население не понимает своего счастья - им бы переименовать слово аксиома на то, что доказывается, и - считай - коммунизм уже в кармане! Единственный просчёт, который делает axby1, заключается в том, что он не предлагает этим идиотам отдушину - какое-нибудь слово, которое обозначает нечто, не требующее доказательств. Ну, и ещё мелочь: ему надо бы сказать (после введения нового значения слова аксиома) в какую жопу теперь надо засовывать слово теорема.

Аватар пользователя Один

Добавлюsmiley

ряд теорем - истинность которых доказывается в логике теории исходя из аксиом и определений.

Логикой теории аккурат и является свойство набора правил этой теории согласно которому возможна теореметрическая выводимость результатов, отличных от значений аксиом теории (не постулатов в общем случае).

Аватар пользователя axby1

 boldachev :

Итак, еще раз приношу свои извинения, что пропустил момент переобувания и надеюсь, что мы  больше не встретим на ФШ эту безграмотную фразу про доказательство аксиом.

  Тут уже не возникает никаких сомнений в том, что мою позицию Вы извратили намеренно - думаю Вы прекрасно понимаете что я не считаю эту фразу безграмотной и могу привести исчерпывающие тому обоснования :

В других случаях общепринятые решения могут оказаться ошибочными, и таковым например является утверждение о недоказуемости аксиом. На основании ПМД оно однозначно идентифицируется как "логическое несостоятельное", поскольку за одними и теми же по сути действиями (рассуждениями), приводящими к одному и тому же по сути результату (установление истинности), приходится закреплять разные термины - то есть плодить их без всякой на то необходимости.

  Если Вы считаете целенаправленное искажение слов собеседника грамотным подходом к ведению дискуссии, тогда не обессудьте если и по отношению к Вам другие тоже будут так поступать. К тому же своими действиями Вы противоречите сами себе : с одной стороны утверждаете о том что каждый имеет право на свою "понятийную сетку", а с другой пытаетесь всеми правдами и неправдами навязать остальным свою персональную терминологию, выбирая из толковых словарей только те определения которые удобны Вам и называя "безграмотными" любые не соответствующие Вашим субъективным предпочтениям.

Аватар пользователя boldachev

Тут уже не возникает никаких сомнений в том, что мою позицию Вы извратили намеренно

Извините, вы вроде бы вполне однозначно написали:

аксиому хоть и нельзя доказать средствами ФЛ, но тем не менее существует принципиальная возможность объяснить истоки происхождения её формулировки 

Разве этим текстом вы не сообщаете нам, что

  • аксиомы не могут быть доказаны
  • вы отказываетесь от формулировки "аксиомы доказываются" 
  • то, чем вы занимаетесь, это объяснение истоков происхождения формулировки аксиомы

Разве не это то, что вы хотели написать? Мы можете уточнить, что я извратил в изложении вашей позиции.

Вы противоречите сами себе : с одной стороны утверждаете о том что каждый имеет право на свою "понятийную сетку", а с другой пытаетесь всеми правдами и неправдами навязать остальным свою персональную терминологию

Уважаемый  axby, вам никто не запрещает иметь собственную понятийную сетку. Даже с терминологией полностью противоположной общепринятой. Но иметь собственную понятийную сетку означает одно - ее надо иметь, то есть уметь описать используемые понятия. Так вот, сколько раз я ни просил вас пояснить, в каком значении вы используете термин "аксиома", какое понятие вы им обозначаете, но так и не дождался. Поэтому приходится использовать общепринятую терминологию, в которой фраза "доказанная теорема" является нонсенсом. 

Аватар пользователя axby1

Разве этим текстом вы не сообщаете нам, что

  • аксиомы не могут быть доказаны
  • вы отказываетесь от формулировки "аксиомы доказываются" 
  • то, чем вы занимаетесь, это объяснение истоков происхождения формулировки аксиомы

  Нет, это явно притянутая за уши интерпретация моих слов, которая может свидетельствовать лишь о крайне невнимательном прочтении Вами моих комментариев. У Вас ведь тоже не вызывают восторга случаи приписывания собеседником Вашим словам того чего в них и близко нет - то есть я не более чем апеллирую к соблюдению Вами собственных принципов. Я ведь не требую от Вас соучастия в развитии моих тем, единственная мысль которую я пытаюсь до Вас донести - так это то, что предмет для разногласий между нами отсутствует как таковой, и вся эта полемика раздувается Вами на ровном месте, а мною подхватывается из тех банальных соображений, что мне не нравится когда люди извращают мои мысли до неузнаваемости. Пожалуйста, прочитайте внимательно дальнейший текст - тогда и мне не придётся переживать по вышеупомянутому поводу, и у Вас не возникнет повода для забивания своего ОЗУ избыточной информацией.

  • аксиомы не могут быть доказаны

  Во избежание недоразумений предлагаю скорректировать это утверждение так :

  • вопросы происхождения формулировок аксиом формальной логикой не затрагиваются

  Ну и чем оно Вас не устраивает ? Можете привести хоть малю-ю-сенький аргумент в пользу того, что подобная корректировка предложенной Вами формулировки хоть как-то скажется на формальной логике ?

  • вы отказываетесь от формулировки "аксиомы доказываются"

  На каком основании ? Я таких оснований не вижу по той простой причине, что мне известно общепринятое определение доказательства как "процедуры установления истинности". С этим Вы уже согласились :

  • аксиому хоть и нельзя доказать средствами ФЛ, но тем не менее существует принципиальная возможность объяснить истоки происхождения её формулировки - а не так что "запомни и не задавай вопросов"

  То есть Вы не возражаете против того, что истинностной оценке аксиомы может предшествовать некая процедура подтверждения (установления) её истинности. Таким образом, имеем полное соответствие с общепринятым определением термина "доказательство", и думаю что в подтверждение этой мысли мне не составит труда привести длинный список определений, взятых из толковых словарей и прочих информационных источников - в общем всё как Вы любите. Так на каком основании Вы мне предлагаете отказаться от этой формулировки ?

  • то, чем вы занимаетесь, это объяснение истоков происхождения формулировки аксиомы

  Похоже что договорились - по крайней мере я не вижу для Вас возможности это  отрицать, так чтобы не противоречить самому себе.

Уважаемый  axby, вам никто не запрещает иметь собственную понятийную сетку. Даже с терминологией полностью противоположной общепринятой.

  То есть я не вижу ни малейших оснований считать мою терминологию "противоположной общепринятой". Эта явно утрированная интерпретация моей позиции - на что я собственно и пытаюсь обратить Ваше внимание.

Но иметь собственную понятийную сетку означает одно - ее надо иметь, то есть уметь описать используемые понятия.

  Выражению "описать используемые понятия" я предпочитаю словосочетание "определять используемые термины", причём делать это строго и корректно - то есть так как это принято в логике.

Так вот, сколько раз я ни просил вас пояснить, в каком значении вы используете термин "аксиома", какое понятие вы им обозначаете, но так и не дождался.

  Но ведь это явное отрицание фактов, и об этом мы уже с Вами говорили :

axby1, 6 Сентябрь, 2018 - 23:03, ссылка

  Аксиома - это истинное суждение, принимающееся в математике без доказательств. По-моему это и детям известно, поэтому я никак не мог понять чего конкретно Вы от меня добиваетесь. То есть с моей точки зрения Вы просто раздули проблему на ровном месте, и приложили все усилия для того чтобы она недайбог не сдулась.

  Я не могу понять зачем Вам понадобилось раздувать эту проблему из ничего.

Поэтому приходится использовать общепринятую терминологию, в которой фраза "доказанная теорема" является нонсенсом.

  По крайней мере я обосновал ту причину, по которой в общепринятой терминологии эта фраза не является нонсенсом, причём эти обоснования были достаточно строгими, а не так - на уровне моих субъективных предпочтений. Ваша же оценка, напротив - является явно предвзятой и создаёт лишь видимость недоразумений, возникающих между нами по этому поводу. То есть я с Вами даже не спорю, а пытаюсь донести до Вас ту мысль, что спорить нам попросту не о чем.

Аватар пользователя boldachev
  • аксиому хоть и нельзя доказать средствами ФЛ, но тем не менее существует принципиальная возможность объяснить истоки происхождения её формулировки - а не так что "запомни и не задавай вопросов"

  То есть Вы не возражаете против того, что истинностной оценке аксиомы может предшествовать некая процедура подтверждения (установления) её истинности. 

Извините, но вы действительно банальный шулер: написать фразу "возможность объяснить истоки происхождения её формулировки", а потом утверждать, что вы имели в виду "процедуру подтверждения (установления) её [формулировки] истинности".

Извините, что рискнул ответить на ваш комментарий, в котором, как мне показалось, вы заняли волне здравую позицию. Оказалось, что это была очередная подтасовка.

Успехов

Аватар пользователя axby1

Извините, но вы действительно банальный шулер: написать фразу "возможность объяснить истоки происхождения её формулировки", а потом утверждать, что вы имели в виду "процедуру подтверждения (установления) её [формулировки] истинности".

  Вы опять всё извратили : я не отождествлял эти утверждения а говорил о том, что второе следует из первого на основании общепринятого определения доказательства как "процедуры установления истинности". Процедура есть ? Есть, по крайней мере вполне допустима - Вы сами это подтвердили. Для чего она нужна - так, для мебели, или для подтверждения истинности формулировки аксиомы ? То есть я просто подставил те факты, против которых Вы не возражаете, в общепринятое определение доказательства. Получается что Вы запрещаете мне пользоваться определениями по их прямому назначению. Ну и кто из нас после этого шулер ? И какой тогда толк от этих определений, если ими не пользоваться а тупо складировать их как бесполезный информационный балласт ? Думаю Вы просто не разобрались в сути вопроса, иначе не реагировали бы на мои комментарии на уровне автоматизмов. Максимум к чему Вы можете здесь апеллировать - так это к тому, что одно общепринятое определение противоречит другому. То есть по меньшей мере этот вопрос неоднозначен и требует разрешения возникшего противоречия. Я Вам предложил наиболее простой выход из этой ситуации :

  Во избежание недоразумений предлагаю скорректировать это утверждение так :

  • вопросы происхождения формулировок аксиом формальной логикой не затрагиваются

  Ну и чем оно Вас не устраивает ? Можете привести хоть малю-ю-сенький аргумент в пользу того, что подобная корректировка предложенной Вами формулировки хоть как-то скажется на формальной логике ?

  А Вы опять перевели всё на полемику, даже не задумавшись над тем что описанное мною терминологическое несоответствие имеет место быть и как следствие требует разрешения. Получается что Вы не допускаете в этом вопросе компромисса и пытаетесь всем навязать свою персональную понятийную сетку. Я бы может и рад интерпретировать Ваши слова как-то по-другому, но своими ответами Вы просто не оставляете мне выбора.

Аватар пользователя Дмитрий

Я не думаю, что стоит загонять себя в угол вопросом:  а из чего состоит эта длина?

А вот я - такой упрямый - задаю этот вопрос. Представляете, какой я нехороший? Было так удобно, а я взял и все испортил.

А вы можете ответить на вопрос: что такое линия?

"отрезок - это расстояние по прямой между двумя границами"

Это тавтология. 

Вы понимаете к чему я? Для того, чтобы быть корректными (ясными и логичными), то есть, чтобы нигде не учитывать размер вашей точки, нам надо во всей геометрии заменить слово "точка" на термин "граница".

Точка пересечения двух прямых - это граница чего? Что такое точка пересечения?

Но в геометрии нет такой проблемы.

Ну просто по факту того, что геометрия прекрасно обходится без этих ответов уже не одно тысячелетие. 

Да, это, по ходу, только моя личная проблема.

А в геометрии словом "точка" обозначали и будут обозначать именно границу, то есть то, что не имеет протяженности, не пытаясь из этих границ что-то составлять.

Общепринятого определения точки не существует.

Аватар пользователя boldachev

Точка пересечения двух прямых - это граница чего? Что такое точка пересечения?

 Не "точка пересечения", а просто "пересечение". И вот это самое пересечение и следует называть точкой.

А с границей  все предельно просто: граница между двумя частями прямой (как граница на плоскости - это граница между двумя частями плоскости). И пересечение определяется как взаимное ограничение двух прямых. 

Кстати, возможно обойтись и одной прямой и дать такое определение точки: точка это граница делящая прямую на две части. Далее части прямой отбрасываем и остается точка.

Хотя возможно для того, чтобы не вносить произвол (а откуда взялась эта граница?) лучше говорить о получении этой границы при пересечении прямой другой прямой.

Надо подумать.

Аватар пользователя Дмитрий

Миллион раз встречал словосочетание "точка пересечения". И чего проще сказать, что точка пересечения - это место пересечения двух прямых. Но Александр не разрешает нам такое дикое преступление, и поэтому придется говорить, что точка пересечения - это граница четырех полупрямых.

А вот одна из аксиом геометрии говорит, что какова бы ни была прямая, существуют точки, которые ей принадлежат, и точки, которые ей не принадлежат. Подставим вместо точек границы и получится черт знает что.

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

А вот одна из аксиом геометрии говорит, что какова бы ни была прямая, существуют точки, которые ей принадлежат, и точки, которые ей не принадлежат. Подставим вместо точек границы и получится черт знает что.

Да, лёгкого перехода не будет. 

Аватар пользователя boldachev

Но Александр не разрешает нам такое дикое преступление

Вы же писали мне про мои мысли - вот я акцентировал ваше внимание на том, что в предложенной мной схеме (и только в ней) некорректно говорить "точка пересечения". А вы "дикое преступление"... караул-караул)

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 26 Октябрь, 2018 - 19:06, ссылка

 Не "точка пересечения", а просто "пересечение". И вот это самое пересечение и следует называть точкой.

А что такое "пересечение"? Чем это понятие яснее и очевидней, чем начальное понятие "точка"? Ведь ежели вы понятие "точка" объясняете посредством понятия "пересечение", то именно "пересечение" должно быть исходным понятием геометрии, а "точка" - определяемым.

И откуда вам известно, что место пересечения двух линий не может представлять собой несколько точек? В аксиоматической философии, к примеру, две линии могут пересекаться в одной, двух, трёх точках. То есть это общие точки, принадлежащие обеим линиям. Всё зависит от угла, под которым прямые пересекаются, а также от кривизны линий, если это не прямые.

Аватар пользователя Один

Пенсионер, 27 Октябрь, 2018 - 09:03, ссылка

В аксиоматической философии, к примеру, две линии могут пересекаться в одной, двух, трёх точках.

Да.
Всё зависит от исходных аксиом.
В вашем случае - на каких аксиомах ваш тезис будет соблюдаться? 

Аватар пользователя boldachev

В аксиоматической философии, к примеру, две линии могут пересекаться в одной, двух, трёх точках.

Философий много. И чего там только не встретишь. Сами понимаете, что это не аргумент.

Ведь ежели вы понятие "точка" объясняете посредством понятия "пересечение", то именно "пересечение" должно быть исходным понятием геометрии, а "точка" - определяемым.

Правильно понимаете. Ведь это очевидно, что аксиоматика может быть любой. Можно принять за исходное понятие точку и прямую, а можно - пространство и границу. Что-то принимается за непосредственное неопределенное, не определяемое начало, а остальное уже выводится. 

И тут спасибо и Дмитрию ("Можно различать два понятия: точка и граница. И тогда проблем не будет. Граница не имеет протяженности"), и Юрию Павловичу ("Вообще-то, по-моему, вся геометрия - о границах. Границами являются и точки, и прямые (да и вообще линии), и плоскости (да и вообще поверхности)").

Чем лучше оперировать границами? Как минимум тем, что не приходится извиваться при попытке дать ответ на законный вопрос: а сколько точек в 1 см, если он состоит из точек. В описании геометрии, через границы отрезок это линия между двумя границами на прямой. Можно и нужно, конечно, писать "между двумя точками", но имея в виду, что точка - это граница на линии. У этой границы, как и у каждой границы нет протяженности.

Итак, давайте попробую повторить еще раз:

  1. исходным не определяемым понятием геометрии, что и естественно, является пространство (тут надо просто развести руками и сказать что-то типа "вот это все, где мы будем строить нашу геометрию);
  2. далее отмечается, что пространство делимо, в нем можно выделять области,
  3. то, что отделяет одни области пространства от других областей следует называть границами, граница - это то, что между областями
  4. поверхность - это граница между областями пространства 
  5. линия - это граница между между областями на поверхности
  6. точка - это граница между областями на линии

Далее еще одни важный момент: отмечаем, что точек (границ) на линии может быть множество. И если мы выделим на линии одну из точек, то все остальные точки на линии относительно нее будут характеризоваться неким свойством, который можно назвать удаленностью. То есть некоторые точки на линии будут менее удалены (ближе) от выделенной точке, а другие более удалены (дальше).

Теперь можно ввести понятие "расстояние между точками". Для этого отметим, что границы областей (точки) на разных линиях могут совпадать и линии с совпадающими точками будем называть пересекающимися. Понятно, что линии могут пересекаться во множестве точек. То есть через две точке на некой линии может проходить множество других линий и на каждой линии из этого множества удаленность одной точки от другой будет разная. И среди всех линий найдется такая, на которой удаленность точек друг от друга будет минимальной. Эту линию будем называть прямой (по крайней мере на отрезке между двумя этими точками).

  1. прямая - это линия, для двух любых точек которой будет выполняться условие минимальности их удаленности друг от друга по сравнению со всеми другими линиями проходящими через эти две точки.
  2. расстояние между точками - удаленность друг от друга точек, расположенных на прямой.
  3. отрезок - область прямой между двумя точками
  4. длина отрезка - расстояние между границами отрезка
  5. длина точки (границы) согласно п.10 равна 0
  6. точка на поверхности - это любая точка/граница на линии, являющейся границей областей на этой поверхности
  7. плоскость - это поверхность, на которой прямая линия, проведенная между любыми двумя точками на поверхности является линией (границей между областями) этой поверхности.

Можно еще шлифовать, но и так очевидно, что такая схема ввода геометрический понятий менее противоречива и более стройна, чем традиционный подход с суммированием точек. 

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 11:16, ссылка

Философий много. И чего там только не встретишь. Сами понимаете, что это не аргумент.

Я не знаю другой аксиоматической философии, кроме дихотомической. Если вам известно что-то на этот счёт, сообщите.

Во всём остальному соглашусь с вами, хотя, если судить строго логически, это только первые шаги на пути построения вашей аксиоматической теории, но ещё не сама теория.

Намекну, что вы занимаетесь определением частей, отдельных элементов общей категории "пространство", но само пространство у вас не определено. А традиционные представления о нём слишком размыты, чтобы обошлось без противоречий типа колеса Аристотеля или числа точек пересечения секущей в зависимости от наклона прямой.

Готовлю сообщение на эту тему, это принципиально важно - разобраться в том, что такое пространство и как оно устроено. Евклид здесь очень многое не договорил. Сегодня этих школьных представлений явно недостаточно. Задачи физики всё более усложняются и углубляются в микромир, а наше понятие "пространство" - всё такое же туманное, интуитивное и неопределённое.

Аватар пользователя Один

Пенсионер, 27 Октябрь, 2018 - 12:51, ссылка

 но само пространство у вас не определено.

Помимо различных правил построения любых дефиниций, - у любой дефиниции есть так же и прагматическая составляющая (именно та, которая и определяет ответ на вопрос -- это вы про что собсна?).
Т.е. ежели некая дефиниция вдруг непонятна в данной аудитории, для которой эта дефиниция была сформулирована -- аудитория вправе конкретно попросить у дефинатора уточнение (одно ли неск), но не надо требовать от дефинатора дефиниций по всем составляющим словам сформулированной дефинатором его дефиниции. Ни к чему кроме увеличения количества букафф это не приведёт.

(мелким шрифтом:
а ежели ещё и наложить запрет на синонимы и повторные термины в зависимых высказываниях -- задача не решаемая вприцыпе
конец текста с мелким шрифтом)

Аватар пользователя axby1

не надо требовать от дефинатора дефиниций по всем составляющим словам сформулированной дефинатором его дефиниции. Ни к чему кроме увеличения количества букафф это не приведёт.

  Не могу удержаться от подкрепления Вашего актуального и злободневного высказывания своим наглядным и поучительным примером :

axby1, 21 Август, 2018 - 03:24, ссылка 

  • ничто "неотнимаемо"
  • всё "недобавляемо"

  Далее приведу примеры "вынесенных за рамки" определений, названных Вами "не явленными формами" :

  • добавление - это действие, в результате которого чего-то становится больше чем было
  • действие - это то что ведёт к изменениям
  • изменение - это нарушение самотождественности

  Ну и так далее - количество терминов растёт в геометрической прогрессии, и очевидно что в контексте исходного определения вся эта информация будет избыточной по той простой причине, что смысл этого определения уже однозначно зафиксирован, а следовательно никаких уточнений здесь не требуется.

Аватар пользователя boldachev

но само пространство у вас не определено.

Конечно, не определено и определено быть не может, поскольку принимается за базовое понятие. Но в отличие от традиционной геометрии, где не определены ни точка, ни  прямая, ни плоскость, понятие "пространство" не используется в построениях и доказательствах. Так что эту неопределенность пережить легко)

чтобы обошлось без противоречий типа колеса Аристотеля

В колесе Аристотеля нет никаких противоречий, перед нами банальная история использования терминов без их определения. 

А что там за проблема с точками пересечения? Не сталкивался.

это только первые шаги на пути построения вашей аксиоматической теории, но ещё не сама теория.

Это вообще не теория, а просто схема корректного ввода основных понятий в геометрии, в которой не требуется иметь ясное представление о пространстве (все теоремы доказываются без этого). 

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 11:16, ссылка

исходным не определяемым понятием геометрии, что и естественно, является пространство (тут надо просто развести руками и сказать что-то типа "вот это все, где мы будем строить нашу геометрию);

Но вы же уже же и прям тут же,  это "неопределяемое" понятие и определили. smiley
Тут, следовало указывать -- неопределяемое по типовому правилу [род-вид-отличие]. На то действительно есть причина, но неопределяемое согласно правилу [род-вид-отличие] вовсе не означает -- неопределяемое вовсе. Просто для определения термина который вне [род-вид-отличия] применяют др. методы построения дефиниций.

Аватар пользователя boldachev

Тут скорее речь не про то, а можно ли хоть как-то определить, а про то, что в геометрии это определение не требуется. Достаточно представления, что пространство есть то, где реализуются геометрические построения.

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:18, ссылка

Тут скорее речь не про то, а можно ли хоть как-то определить, а про то, что в геометрии это определение не требуется. Достаточно представления, что пространство есть то, где реализуются геометрические построения.

НЕ СОГЛАШУСЬ.

Без априорного контекста о том, про что писал Дмитрий в Дмитрий, 27 Октябрь, 2018 - 13:42, ссылка 

Мы же приписываем этому пространству какие-то признаки: однородность, непрерывность, ..

говорить о введении пространства в геометрию бессмысленно.

Аватар пользователя boldachev

Ответ в ответе Дмитрию.

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:58, ссылка

Ответ в ответе Дмитрию.

Мы, к сожалению, не на первой странице топика.
Найти ваш ответ без доп. указаний я не могу.
Скопипастите тут плз, пару - тройку слов из вашего ответа Дмитрию и ... будет мне щастьеsmiley 

Аватар пользователя boldachev

Мы же приписываем этому пространству какие-то признаки: однородность, непрерывность, трехмерность.

Это вопрос предметной области и аксиоматики. Насколько важно упоминание однородности и непрерывности пространства для геометрии? Я подумал и не придумал, в каких теоремах используются эти понятия. А если не используются, если ни на что не влияют, то зачем их вводить?

Трехмерность также нигде не фигурирует, как самостоятельное понятие. Эта трехмерность получается автоматом при делении пространства границами на области: раз разделили - получили поверхности, два разделили - линии, и три - точки. То есть вводить специально трехмерность в определение пространства не требуется.

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 18:21, ссылка

Насколько важно упоминание однородности и непрерывности пространства для геометрии?

Ежели под геометрией априорно подразумевать тока евклидовую -- то да.
Говоря тока о евклидовасти мы априорно подразумеваем и всю ту кучу знаний что этой геометрии присуще, но вот к примеру фрактальная геометрия -- сложно говорить и о однородности и о неразрывности и о ...

Там другие принципы. Причём эти др. принципы неподразумевают в качестве инструментов ни цыркуля ни линейки. Но это геометрия. Со всеми вытекающими для геометрии, кроме тех ограничений, про которые я уже приписал.

А кто запрещает строить геометрии в принципиально случайно затасованных подпространствах, количество которых изначально либо оч. много, либо принципиально неопределено?*

Вопрос ведь не в том, де - пока нет -- значит и невозможно и никто и никогда подобной задачи и не поставит и не решит.
Вопрос, он в другомsmiley, в принципиальной возможности подобной темы.

А из этого следует, что в самом-самом общем случае, надо, как минимум, дать сноску на тот класс геометрий (их свойств, качеств, операционных правил, допустимые вх/вых значения итд), про которые будет дальнейший спитчъ.

 

* сие я без учёта прагматики, т.е. без ответа на вопрос -- ЗАЧЕМ?-

Аватар пользователя boldachev

но вот к примеру фрактальная геометрия

Но ведь понятно, что задача не ставилась в общем виде. Речь зашла только об евклидовой геометрии.  

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 19:12, ссылка

Коли так, то возражений нет
Но тогда непонятно -- о чём диспут в вопросе о пространстве и ваши уточнения по этому вопросу?
Ну да ладо.
Спасибо.yes

Аватар пользователя axby1

Но тогда непонятно -- о чём диспут в вопросе о пространстве и ваши уточнения по этому вопросу?

  Мне если что это тоже непонятно. Обычно когда мне что-то непонятно я начинаю об этом думать. Начинаю я об этом думать отсюда :

http://philosophystorm.org/printsip-fraktalnoi-razvertki

  Точка остаётся тождественной самой себе (то есть предопределённой) на протяжении всей геометрии как "науки о точках" ; в то время как определение числа, наоборот - уточняется по мере развития алгебры как "науки о числах".

  Следующим шагом прихожу к такому выводу (думаю что промежуточные рассуждения Вам здесь не понадобятся) : пространство определимо в геометрии ровно настолько, насколько определимо в алгебре число - то есть где-то в бесконечно-далёкой перспективе развития математики. Так далеко я заходить не буду, а сделаю наоборот - опишу несколько первых итераций в сторону дефинируемости этих фундаментальных математических абстракций.

  Прежде всего числа можно сравнивать, получая в качестве результата ответ на вопрос "кто слева а кто справа" расположен на числовой оси - отсюда натуральный ряд. Как только мы узнаём о сложении и вычитании, наши представления о числах расширяются до "целых" ; об умножении и делении - до "рациональных" ; о степенях и логарифмах - до "действительных". Там по дороге попадаются интересные случаи вроде "нуля в знаменателе" и "корня из минуса", но расписывать весь процесс развёртки алгебры до текущего её состояния в мои планы не входило - так, сопровождаю исходный тезис картинками, пытаясь показать что с геометрией  происходит по сути та же фигня : первое представление о пространстве мы получаем из числа "ноль" в показателе пространственной размерности, потом идёт прямая (алгебраическим аналогом которой выступает координатная ось), потом ортогональное пространство, потом случаи нарушения этой ортогональности, потом случаи пространственной дробномерности (думаю что названия соответствующих разделов Вам здесь не понадобятся), ну а такую гадость как "мнимая пространственная метрика" я ещё не пытался себе представить. В промежутках своего развития теория разбавляется "кривыми линиями и поверхностями", "сферической системой координат" и прочими антитезисами прямолинейности, и аналогичную тенденцию можно проследить в развитии представлений о числе на примере, скажем, тригонометрии как антитезиса "прямолинейным элементарным функциям" (ну или как они там называются - в диапазоне между постоянной и логарифмической) в противовес "циклическим".

  На этом вопрос об определимости геометрического пространства я полагаю исчерпанным. Это вдогонку к Вашему здесь : Один, 27 Октябрь, 2018 - 16:08

Аватар пользователя Один

Добавлюsmiley

Это вопрос предметной области и аксиоматики.

А это и есть априорный контекст. 

Аватар пользователя Дмитрий

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 11:16, ссылка

Все замечательно, вот только пункт 7 какой-то непонятный и пункт 12 тоже.

Сколько в геометрии говорят о точках на поверхности, и это значит граница на линии, но линию для дальнейших рассуждений можно убрать и оставить одну точку - дырка от бублика какая-то. В общем, я пошутил про то, что все замечательно.

Вы берете пространство в качестве исходного понятия. А исходное понятие - это, стало быть, неопределимое понятие? Просто, по ходу дела, я ведь тоже беру его в качестве исходного. Только в понятии пространства я, кажется, кое что мыслю. Мы же приписываем этому пространству какие-то признаки: однородность, непрерывность, трехмерность. Пространство - это трехмерная протяженность. И вот я выбираю в качестве меры точку. А вы, прибавляя к пространству понятие "граница" (тоже ведь какая-то протяженность :) ), образуете понятие поверхности.

Я готов предложить такой вариант (только как вариант). Пусть точка - это граница. Единицей протяженности будет минимальная удаленность (хороший термин) между двумя границами. Прямая - это линия бесконечной длины. Линия одномерна. Далее мы прибавляем второе измерение и говорим о двумерных объектах, затем трехмерных.

Аватар пользователя Один

Дмитрий, 27 Октябрь, 2018 - 13:42, ссылка

вот только пункт 7 какой-то непонятный

Любая дефиниция формулируется текстом на исходном (принятом в аудитории) языке*.
Дефиниция по пп.7 у boldachev-а сформурирована по классической схеме типо: род-вид-отличие.
Сформулированна однозначно. Что именно вы в ней не поняли?

Мы же приписываем этому пространству какие-то признаки: однородность, непрерывность, трехмерность. Пространство - это трехмерная протяженность.

А с чего вы решили, де у  boldachev-а что-то в контексте иначе? Читаемsmiley

тут надо просто развести руками и сказать что-то типа "вот это все, где мы будем строить нашу геометрию

Ну неск. др. словами -- а замысел тот же**

 

 

* язык - это не только набор слов-терминов, но и набор правил, определяющий и очерёдность употребления слов в тексте и безусловную связь текста с некоторыми априорными знаниями аудитории, знаниями контекста, - если угодно.

** я не буду тут акцентировать смысл на том, что пространства могут быть и мерностями, отличными от 3-х, вплоть до мерностей дробных, отрицательных, мнимых итдsmiley
Эта вспомогательная, чисто математическая абстракция, называемая нами - пространство - может иметь любые вспомогательные и нужные нам же для наших дальнейших действий признаки-атрибуты-свойства.

 

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Я готов предложить такой вариант (только как вариант). Пусть точка - это граница. Единицей протяженности будет минимальная удаленность (хороший термин) между двумя границами. Прямая - это линия бесконечной длины. Линия одномерна. Далее мы прибавляем второе измерение и говорим о двумерных объектах, затем трехмерных.

Вы всё стараетесь выйти на единицу размерности протяжённости? Я сегодня тоже над этим думал. В итоге пришёл к тому, что точки должны быть трёх видов: линейные, плоскостные и объёмные.) А ещё между ними нужно некое количественное соответствие. Типа того, что одна объёмная точка содержит в себе столько-то плоских, а те в свою очередь содержат в себе столько-то линейных.) В общем, в итоге понял, что абсурд получается.( 
Так что, как не крути, точка всегда одна, и размер у неё один, а размерностей у неё столько, сколько нужно в данном конкретном случае.

Аватар пользователя Один

Юрий Павлович и..., 27 Октябрь, 2018 - 15:31, ссылка

Так что, как не крути, точка всегда одна, и размер у неё один, а размерностей у неё столько, сколько нужно в данном конкретном случае.

Когда мы говорим за геометрию (ту ли иную) мы забываем о неразрывной связке [геометрия ⇔ алгебра], забываем о том, что геометрия -- это визуализация алгебры.
Всё то, что можно с помощью инструментов типо цыркуль и линейка в геометрии - всё это можно отобразить и в алгебре набором правил ея.
И уже из отсюда получаем:
решением уравнения X³=0 будут 3-и одинаковых корня (согласно тому, что решением уравнения 3-ей степени всегда 3-и корня).
Следовательно -- пересечение графиком функции X³ оси 0Х будет в 3-х неразличимых точках.

 

 

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Следовательно -- пересечение графиком функции X³ оси 0Х будет в 3-х неразличимых точках.

Неразличимо, значит они все три сливаются в одну? Но при этом их всё равно три? Если да, то как это можно понять? В смысле, одна точка вмещает в себя ещё две точки? 

Аватар пользователя Один

Юрий Павлович и..., 27 Октябрь, 2018 - 16:25, ссылка

Неразличимо, значит они все три сливаются в одну? Но при этом их всё равно три? Если да, то как это можно понять? В смысле, одна точка вмещает в себя ещё две точки? 

Это следует понимать в контексте того что связка [геометрия ⇔ алгебра] и однозначна и неразрывна и учитывать алгебраическое правило 

решением уравнения 3-ей степени всегда 3-и корня  

не мною придуманное

 yes

Аватар пользователя axby1

  Когда они уже научатся отличать глагол "зрить глазом" от глагола "зрить умом" frown

Аватар пользователя Дмитрий

В итоге пришёл к тому, что точки должны быть трёх видов: линейные, плоскостные и объёмные.)

Смотрите: у вас ведь не возникает мыслей, что и линия должна быть плоскостной и объемной, а почему же точка обязана? :)

Тут все дело в измерениях. Ведь пространство - это протяженность по всем направлениям, так сказать. В общем случае пространство n-мерно.

А протяженность вообще мыслится только как в одном каком-то направлении.

Линия - это длина (граница это или не граница), просто протяженность без ширины и высоты. Мы в данном случае как бы отвлекаемся от всех прочих измерений. Если у линии появится вдруг ширина, то это некий многоугольник получается с длиной такой-то и шириной. А потом еще добавим измерение высоты и тогда это какой-то параллелепипед получится. :)

А точка - мне удобнее взять ее за минимальную длину, хотя если следовать логике выше, то точка - это вообще безразмерная величина, т.е. ничто. Условная отметка в пространстве.

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

А точка - мне удобнее взять ее за минимальную длину, хотя если следовать логике выше, то точка - это вообще безразмерная величина, т.е. ничто. Условная отметка в пространстве.

 Вот-вот. Т.е. в итоге все пришли, хотя и разными путями, но к одному.

Аватар пользователя boldachev

но линию для дальнейших рассуждений можно убрать и оставить одну точку - дырка от бублика какая-то.

Все можно убрать)

Но задача стоит в определении: как нам однозначно отличить точку на поверхности от точки вне поверхности и при этом обойтись без представления, что поверхность состоит из точек. И определение тут вполне строгое: точка является точкой на поверхности, если она является точкой/границей линии, которая в свою очередь является границей области на этой поверхности. Под это определения подпадают только точки поверхности и ни одна точке вне поверхности.

А идя по вашему пути можно сказать что и саму поверхность можно убрать.

Схема предлагает отойти от практики тыкать карандашем или мелом в пространство, мол куда ни попадешь - везде точки. Точка - это граница на области поверхности, и чтобы не промахнуться в пространстве мимо поверхности, сначала надо задать линию, а на ней уже точку. (Понятно, что мы все равно будем тыкать, но значить в построениях это будет другое).

Мы же приписываем этому пространству какие-то признаки: однородность, непрерывность, трехмерность.

Это вопрос предметной области и аксиоматики. Насколько важно упоминание однородности и непрерывности пространства для геометрии? Я подумал и не придумал, в каких теоремах используются эти понятия. А если не используются, если ни на что не влияют, то зачем их вводить?

Трехмерность также нигде не фигурирует, как самостоятельное понятие. Эта трехмерность получается автоматом при делении пространства границами на области: раз разделили - получили поверхности, два разделили - линии, и три - точки. То есть вводить специально трехмерность в определение пространства не требуется.

А вы, прибавляя к пространству понятие "граница" (тоже ведь какая-то протяженность :) ),

Ну вот перед нами пространство и мы разделили его на две области, чем определили границу/поверхность. Где здесь протяженность? чего протяженность? У границы нет никакой толщины, ну и подавно нет никаких других размеров.

Единицей протяженности будет минимальная удаленность (хороший термин) между двумя границами

А "минимальная удаленность"  это сколько? Ноль? Меньше вроде некуда.

Прямая - это линия бесконечной длины.

А кривая линия не может быть бесконечной длины? Да еще надо объяснять, что такое бесконечность) 

Линия одномерна.

Это про что? Что вы обозначаете термином "мерность", какое понятие? Нельзя же просто так с потолка брать слова.

Далее мы прибавляем второе измерение и говорим о двумерных объектах, затем трехмерных.

Говорим? А как строим? Как нам получить поверхность имея представление о линии? 

Аватар пользователя Дмитрий

Схема предлагает отойти от практики тыкать карандашем или мелом в пространство, мол куда ни попадешь - везде точки. Точка - это граница на области поверхности, и чтобы не промахнуться в пространстве мимо поверхности, сначала надо задать линию, а на ней уже точку. (Понятно, что мы все равно будем тыкать, но значить в построениях это будет другое).

Экзотическая схема. А вот как по старинке: дана, например, прямая и точка, не лежащая на данной прямой, и надо узнать кратчайшее расстояние от точки до прямой. Опускаем через точку перпендикуляр на данную прямую и получившийся отрезок и есть кратчайшее расстояние. А у вас надо оговаривать, что есть не одна прямая, а две, на одной из которых лежит исходная точка и что через эту границу проводится перпендикуляр. Ну, если вам так удобно - да ради бога.

Насколько важно упоминание однородности и непрерывности пространства для геометрии? Я подумал и не придумал, в каких теоремах используются эти понятия. А если не используются, если ни на что не влияют, то зачем их вводить?

А насколько важно упоминание границ? Насколько я знаю, термин "граница" (пространства, поверхности, линии) тоже не используется в аксиомах и теоремах. Используются только точки, прямые и проч.

Трехмерность также нигде не фигурирует, как самостоятельное понятие. Эта трехмерность получается автоматом при делении пространства границами на области: раз разделили - получили поверхности, два разделили - линии, и три - точки. То есть вводить специально трехмерность в определение пространства не требуется.

С непрерывностью и однородностью - бог с ними, а вот с трехмерностью... Это как это - автоматом? Автоматом или не автоматом, но трехмерность все-таки подразумевается. Такое понятие в геометрии есть. Или объясните, чем планиметрия отличается от стереометрии.

Ну вот перед нами пространство и мы разделили его на две области, чем определили границу/поверхность. Где здесь протяженность? чего протяженность? У границы нет никакой толщины, ну и подавно нет никаких других размеров.

Я понимаю, когда говорят о безразмерности точки, но безразмерность границы... Позвольте, у нее есть длина как минимум.

А "минимальная удаленность"  это сколько? Ноль? Меньше вроде некуда.

1 миллиметр, 1 нанометр, бесконечно малая - выбирайте что вашей душе угодно. Но не ноль, конечно.

А кривая линия не может быть бесконечной длины? Да еще надо объяснять, что такое бесконечность) 

Начинаются танцы с бубном? :)

Это про что? Что вы обозначаете термином "мерность", какое понятие? Нельзя же просто так с потолка брать слова.

Видимо, слово "трехмерность" вы слышите впервые. Просто так взять с потолка слово "пространство" можно, а "трехмерность" нельзя. Хорошо, а такие понятия как "длина", "высота" и "ширина" в геометрии, я надеюсь, еще используются? И вообще, чем пространство отличается от просто протяженности? Или для вас это совершенные синонимы?

Говорим? А как строим? Как нам получить поверхность имея представление о линии? 

Точно так же, как нам получить линию имея представление о безразмерной точке. Никак. У линии есть только длина и последовательность линий нам не дает ширины. Мы вводим второе измерение - ширину и получаем, например, квадрат, границей которого являются линии. Вводим третье измерение и получаем, например, куб, границами которого являются квадратные грани.

Аватар пользователя boldachev

А у вас надо оговаривать, что есть не одна прямая, а две, на одной из которых лежит исходная точка и что через эту границу проводится перпендикуляр.

Конечно, я об этом думал. И отмечал уже выше, что конечно же, все будут тыкать в доску мелом и опускать перпендикуляр  на прямую. Я ничуть не хочу запретить это делать. Проблема же не в том, какие слова мы произносим при доказательстве теоремы на доске перед классом. Решается же задача теоретического обоснования основ геометрии - как не впадая в ересь суммирования того, что не имеет размеров, ввести основные элементы геометрии.

Кстати, по поводу перпендикуляра, который опускается из точки: как ни крути при всех построениях (которые начинаются постановкой точки) на доске после доказательства теорем не остается ни одной точки, через которую не проведена линия. То есть после завершения построений все точки оказываются именно и только на линиях, то есть должны трактоваться как границы (даже центр окружности, если он нужен в построениях ставится на радиусе или диаметре, а если болтается как в проруби один, то значит и не нужен в построении). 

А насколько важно упоминание границ? Насколько я знаю, термин "граница" (пространства, поверхности, линии) тоже не используется в аксиомах и теоремах. Используются только точки, прямые и проч.

Ну что вы) Надо ж различать одно дело ввести понятие (граница) и с его помощью дать определения основных элементов геометрии, а другое, просто для красного словца упомянуть однородность и потом ни разу не сослаться не нее.

Мы же рассуждаем о конкретных схемах вывода: в моей схеме граница занимает центрально место, а непрерывность не понадобилась. Так зачем мне ее поминать? Ведь не стоит задача упоминать все, что мы знаем о пространстве. Если в вашей схеме вывода понадобится использовать "непрерывность" - смело вводите ее в определение пространства.

Автоматом или не автоматом, но трехмерность все-таки подразумевается.

Тут же та же история: если бы, скажем, для утверждения, что поверхность является границей областей пространства, нельзя было бы обойтись без уточнения, что именно трехмерного пространства, то обязательно бы ввел бы эту трехмерность в описание пространства. Но обошелся.

Позвольте, у нее есть длина как минимум.

Делим пространство на две области границей-плоскостью, где здесь длина? Между чем и чем будем измерять длину?

Видимо, слово "трехмерность" вы слышите впервые.

Но мы же с вами не на кухне и не борщ обсуждаем. 

Вот так и с "парадоксом"  Аристотеля: ну зачем определять, что такое качение, развертка, без скольжения - ведь не в первый раз эти слова слышим. 

Это геометрия - аксиоматическая теория. А не философия, где можно рассуждать о том, что только где-то слышал.

Просто так взять с потолка слово "пространство" можно, а "трехмерность" нельзя.

И опять повторяю: это аксиоматическая теория, и при первом упоминании термина "пространства" я долго оговаривал, что таки да, оно взято с потолка, поскольку так положено и допустимо, что исходные понятия не определяются. Но вы-то этого не сделали, а просто так вставили по ходу неизвестный термин.

Хорошо, а такие понятия как "длина", "высота" и "ширина" в геометрии, я надеюсь, еще используются?

Используются. Но там где у фигуры есть "длина", "высота" и "ширина". И для того, чтобы ввести эти габариты совсем не надо ссылаться на трехмерность пространства. Вы, видя перед собой прямоугольный параллелепипед, не станете делать логическое заключение: поскольку пространство трехмерно, то три отрезка исходящих из одной вершины назовем "длина", "высота" и "ширина" - вы их просто назовете, потому, что их просто три, а не четыре.

И вообще, чем пространство отличается от просто протяженности? Или для вас это совершенные синонимы?

Не понял вопрос. Протяженность - это протяженность чего-то, расстояние между точками, а пространство это то, в чем дана эта протяженность, в чем даны эти точки. Как можно спутать эти понятия? 

Мы вводим второе измерение - ширину и получаем, например, квадрат

Прямо магия какая-то) Вводим измерение и ... получаем квадрат. Брюки превращаются, брюки превращаются...

Аватар пользователя Дмитрий

Решается же задача теоретического обоснования основ геометрии - как не впадая в ересь суммирования того, что не имеет размеров, ввести основные элементы геометрии.

Хорошо, хорошо... Только на костре меня не жгите. "Ересь суммирования"... :))

Так зачем мне ее поминать? Ведь не стоит задача упоминать все, что мы знаем о пространстве. Если в вашей схеме вывода понадобится использовать "непрерывность" - смело вводите ее в определение пространства.

Я понимаю. Я просто хотел сказать, что в понятии пространства мыслится что-то определенное, что это понятие можно проанализировать и получить более общее понятие протяженности, например. Не знаю как вы, а я в понятии пространства мыслю протяженность. Сказать "пространство есть нечто протяженное" для меня как масло масленое. Разве бывает непротяженное пространство? (геометрическое пространство имеется в виду) Пространство - это протяженность плюс еще что-то, что и делает эту протяженность пространством. Это что-то - трехмерность. Ну по моим понятиям так, как по вашим - не знаю, но я ничего не навязываю.

Тут же та же история: если бы, скажем, для утверждения, что поверхность является границей областей пространства, нельзя было бы обойтись без уточнения, что именно трехмерного пространства, то обязательно бы ввел бы эту трехмерность в описание пространства. Но обошелся.

Вы так и не ответили, чем планиметрия отличается от стереометрии? Чем пространство отличается от поверхности? Можно просто сказать: пространство трехмерно, а поверхность двумерна, но не будем все усложнять. Просто скажем, что вопрос бессмысленный и отвечать на него не надо. :)

Делим пространство на две области границей-плоскостью, где здесь длина? Между чем и чем будем измерять длину?

Между точками на линии на границе-плоскости. :) Или граница-плоскость у нас безразмерна, как точка? 

Вот так и с "парадоксом"  Аристотеля: ну зачем определять, что такое качение, развертка, без скольжения - ведь не в первый раз эти слова слышим. Это геометрия - аксиоматическая теория. А не философия, где можно рассуждать о том, что только где-то слышал.

А это исходные понятия (высота, длина...). Они исходные не потому, что я так захотел, а потому, что они не поддаются дальнейшему анализу. Ну как я вам определю, что такое протяженность? Что такое длина, ширина, высота? Всему же должен быть предел. Если вы не понимаете, что такое трехмерность, так я вам и не объясню никогда, как бы не старался.

Используются. Но там где у фигуры есть "длина", "высота" и "ширина". И для того, чтобы ввести эти габариты совсем не надо ссылаться на трехмерность пространства. Вы, видя перед собой прямоугольный параллелепипед, не станете делать логическое заключение: поскольку пространство трехмерно, то три отрезка исходящих из одной вершины назовем "длина", "высота" и "ширина" - вы их просто назовете, потому, что их просто три, а не четыре.

А если бы этих отрезков было пять? Мне тогда еще два измерения вводить? Пространство трехмерно и все, что находится в пространстве, имеет длину, ширину, и высоту - неважно сколько там отрезков исходит из вершины многогранника.

Протяженность - это протяженность чего-то, расстояние между точками, а пространство это то, в чем дана эта протяженность, в чем даны эти точки.

Протяженность данная в пространстве. Круто.

Прямо магия какая-то) Вводим измерение и ... получаем квадрат. Брюки превращаются, брюки превращаются...

Эта удивительная магия называется "абстракция" или "абстрагирование". Я этой магией давно увлекаюсь. Потом объясню.

Аватар пользователя boldachev

Я просто хотел сказать, что в понятии пространства мыслится что-то определенное, что это понятие можно проанализировать

Но мы же не статью для толкового словаря  пишем, а ищем минимально достаточное основание для начала логических построений. 

Чем пространство отличается от поверхности? Можно просто сказать: пространство трехмерно, а поверхность двумерна, но не будем все усложнять.

Пространство - это исходное неопределяемое в геометрии, но интуитивно понимаемое как то, в чем происходят геометрические построения, понятие. А поверхность - это граница между двумя областями пространства. Мне не потребовалось упоминать мерность.

Или граница-плоскость у нас безразмерна, как точка? 

Ну если она граница, то какие у нее могут быть размеры? Толщина? И точек на ней никаких нет, пока кто-то не станет, что-то строить из линий. 

А это исходные понятия (высота, длина...). Они исходные не потому, что я так захотел, а потому, что они не поддаются дальнейшему анализу.

Высота и длина прекрасно определяются после введения понятия отрезка. 

Если вы не понимаете, что такое трехмерность, так я вам и не объясню никогда, как бы не старался.

Я прекрасно понимаю, что такое трехмерность.  Но мне она не нужна для ввода геометрических понятий. Эта самая трехмерность скорее вывод из геометрии, чем ее теоретический (!) базис: вижу, что для фиксации относительного положения  точек достаточно тех значений (расстояний до трех осей) и делаю вывод о трехмерности. Но не наоборот.

Протяженность данная в пространстве. Круто.

Протяженность пути, протяженные предметы... Протяженность - это синоним размера, расстояния. И эти самые протяженности/размеры/расстояния мы измеряем именно между точками, данными в пространстве. А вы как-то иначе используете слово "протяженность"? Объясните. Приведите статью из словаря, которая соответствует вашему пониманию этого слова.

Эта удивительная магия называется "абстракция" или "абстрагирование".

Да, я понимаю. Но тут как-то больше про построения геометрических фигур.

Аватар пользователя Дмитрий

Но мы же не статью для толкового словаря  пишем, а ищем минимально достаточное основание для начала логических построений. 

Да. Я считаю, что это минимально достаточное основание для логических построений - понятия протяженности, длины, высоты и проч. Я не знаю, почему вы так против размерности. Наверное, надо напомнить, что геометрия - это все-таки математическая наука, где рассматриваются количественно-качественные отношения между протяженными объектами.

Пространство - это исходное неопределяемое в геометрии, но интуитивно понимаемое как то, в чем происходят геометрические построения, понятие. А поверхность - это граница между двумя областями пространства. Мне не потребовалось упоминать мерность.

А мне потребовалось. И мой вариант ответа мне нравится куда больше.

Ну если она граница, то какие у нее могут быть размеры?

Ну если она плоскость, то, наверное, как и у любой плоскости у нее есть длина и ширина.

Высота и длина прекрасно определяются после введения понятия отрезка. 

Дайте определения высоты, длины и ширины.

Эта самая трехмерность скорее вывод из геометрии, чем ее теоретический (!) базис: вижу, что для фиксации относительного положения  точек достаточно тех значений (расстояний до трех осей) и делаю вывод о трехмерности. Но не наоборот.

А может, наоборот? 

Протяженность пути, протяженные предметы... Протяженность - это синоним размера, расстояния. И эти самые протяженности/размеры/расстояния мы измеряем именно между точками, данными в пространстве.

Предметы в пространстве протяжены и следовательно, пространство протяжено. А может, наоборот? Пространство протяжено и поэтому все, что дано в пространстве, протяжено? Я от общего делаю вывод к частному, а вы от частного заключаете к общему.

Но тут как-то больше про построения геометрических фигур.

От плоских фигур в объемные, да?

Аватар пользователя boldachev

Я не знаю, почему вы так против размерности. 

Да я не против. Берите размерность и протяженность, а также длину и высоту за базовые понятия и стройте свой вывод. Я лишь отмечаю, что мне эта самая размерность не понадобилась. Вот и все.

как и у любой плоскости у нее есть длина и ширина.

Да.  Ну если только вам так больше нравится) Всегда считалось, что плоскость, как и прямая не имеют размеров.

Я думаю, тема себя исчерпала. Спасибо.

Аватар пользователя Дмитрий

Всегда считалось, что плоскость, как и прямая не имеют размеров.

Вот тут уж магия и волшебство: прямая не имеет размер, а отрезок, отложенный на прямой, имеет! :)

Аватар пользователя boldachev

Скажем, на прямой я отложил отрезок в 1 см. Какой размер имеет прямая? 

Аватар пользователя Дмитрий

Начинаем танцы с бубном!

Аватар пользователя ZVS

танцы с бубном!

Ага. Докажем что у вашего оппонента пальцев(рук, ног) нет, как и всего прочего. Спросим,  из скольких пальцев он состоит..   Когда  не понимают или делают вид, что не понимают разницу между РазмеРностью(измеримостью) как таковой, и конечной,конкретной мерой, лучше пойти в управдомы(администраторы), там это без надобности.wink

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Вот тут уж магия и волшебство: прямая не имеет размер, а отрезок, отложенный на прямой, имеет! :)

Думаю, что речь надо вести не о размерах, а о мерности.
Т.е. пространство, плоскость, прямая и точка - это просто инструменты геометрии, несущие (отражающие) мерность при операциях абстрагирования. В смысле, они и есть мерность. Другого смысла у них, как инструментов, наверное, и нет. Пространство - это просто трёхмерность, плоскость - двумерность, прямая - одномерность, а точка - нульмерность. 

Аватар пользователя boldachev

А что тут думать? Просто надо читать:

Дмитрий, 27 Октябрь, 2018 - 23:22, ссылка

Ну если она плоскость, то, наверное, как и у любой плоскости у нее есть длина и ширина.

Аватар пользователя Дмитрий

Прямую можно продолжать бесконечно долго - это, кажется, один из постулатов. Почему же просто не сказать, что длина прямой бесконечна? Из страха к бесконечности?

Геометрия - это одна сплошная абстракция. Все эти прямые, плоскости, треугольники и т.д. имеют только одно единственное качество - протяженность. В физике уже можно говорить о телесности, непроницаемости, силе, скорости и т.д. И когда я представляю себе колесо, катящееся по опоре, на ум приходит механика этого катящегося колеса, а не геометрия.

Парадокс с колесом Аристотеля касается механики. Его всю жизнь рассматривали в механике, впервые он рассмотрен Аристотелем в работе "Механика", откуда вдруг понадобилась геометрическая трактовка? Может, еще и арифметически как-то объяснить попытаться? :)

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Прямую можно продолжать бесконечно долго - это, кажется, один из постулатов. Почему же просто не сказать, что длина прямой бесконечна? Из страха к бесконечности?

Геометрия - это одна сплошная абстракция. Все эти прямые, плоскости, треугольники и т.д. имеют только одно единственное качество - протяженность.

Нет, страх тут, по-моему, не при чём.
Я имел в виду то, что мы привыкли забывать, что имеем дело с инструментами. Поэтому, да, хочется сказать, что линия - носитель одномерности. Вроде логично, но если вспомнить, что реальную кривую можно описать только как трёхмерный объект, то сразу возникают некоторые сомнения. Кстати, поверхность посчитать носителем двумерности уже сложнее, хотя топология этим с успехом занимается. Но мы ведь про геометрию. 
 В общем, по-моему, прямые и плоскости - инструменты, на которые мы что-то там проецируем, если нет возможности представить предмет в 3Д-виде. А возможность такая появилась не так давно.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Парадокс с колесом Аристотеля касается механики. Его всю жизнь рассматривали в механике, впервые он рассмотрен Аристотелем в работе "Механика", откуда вдруг понадобилась геометрическая трактовка? Может, еще и арифметически как-то объяснить попытаться? :)

Тут важно что называл механикой Аристотель и что сейчас называется механикой. Труд "Механика" я не смог обнаружить на русском языке. На английском (издание 1903 г) с множеством сносок и комментариев переводчика я не обнаружил ничего такого, что напоминало бы механику в современном смысле. Мало того, и рисунок тоже напоминает колесо только своей круглой формой.

Больше того, в самом тексте Аристотель оперирует словом circle (в переводе на ангилийский), а в слово "колесо" (weel) встречается только в алфавитном указателе, где даются ссылки на соответствующие страницы книги. Но на этих соответсвующих страницах нет слова weel, а есть слово circle.

Я так понял, что это просто такое прозвище парадокса. Возможно из-за того, чтобы не было исторической путаницы, т.к. есть крылатое выражение "Круги Архимеда", то в данном случае решили назвать это "Колесо Аристотеля".

Так вот. Окончательный, сногсшибательный, бьющий по голове вывод в этом парадоксе звучит как: длина окружности (circle) большого круга равна длине окружности маленького.

И вы, как я понял, прочтя этот вывод, сразу бросились со всех ног в... механику. Почему не в химию? :) Ведь это чисто геометрический вывод, ну прямо-таки на уровне начальной евклидовой геометрии за шестой класс. А ещё... тот факт, что триста лет назад дали объяснение этому парадоксу при помощи "скольжения" тоже должно настараживать. Ведь мы смотрим на окружности, длины которых вполне могут отличаться в десять раз, а скольжение при самом обычном, более менее равномерном качении колеса, внесёт свою поправку на 10% - 15%. То есть, шутка насчёт "искать в химии" не такая уж и утрированная.

Ещё было бы хорошо, если бы вы обнаружили ошибку в моём или Болдачева объяснениях парадокса в теме "Второй раз в круге первом".

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Можно еще шлифовать, но и так очевидно, что такая схема ввода геометрический понятий менее противоречива и более стройна, чем традиционный подход с суммированием точек. 

А все ли мы границы рассмотрели? Просто что-то вспомнилось, что есть 6 степеней свободы. Да это из механики, но тут ведь парадокс вроде как с вращением связан, а мы что-то про вращение забыли. Соответственно, забыли про такие точки, как центр окружности, центр сферы, а также про такие линии, как например оси вращения. Они у нас границами чего являются? Или эти точки и линии - нечто инструментально-вспомогательное, к границам отношения не имеющее? 

Аватар пользователя boldachev

Соответственно, забыли про такие точки, как центр окружности, центр сферы, а также про такие линии, как например оси вращения.

Не забыл. Просто остановился пока  на этом.

Точка центра окружности - это граница областей (отрезков, радиусов) диаметров, которые они отсекают друг на друге. Но тут еще надо сами диаметры определить. Надо еще подумать.

Наверное, надо плясать от замкнутых областей. На поверхности или лучше сразу рассматривать плоскость (коль уж мы ее определили), так вот на плоскости могут быть открытие области и замкнутые. Замкнутая область ограничена линией, на которой отрезок (ограниченная область линии) образуется одной точкой. (Про круг буду дальше думать).

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Наверное, надо плясать от замкнутых областей. На поверхности или лучше сразу рассматривать плоскость (коль уж мы ее определили), так вот на плоскости могут быть открытие области и замкнутые. Замкнутая область ограничена линией, на которой отрезок (ограниченная область линии) образуется одной точкой. (Про круг буду дальше думать).

Да, но геометрия - вроде как застывшие формы. Видимо, движение тут рассмотрено как бы в неком законченном цикле. И всё-таки, по-моему, оно, движение, там как бы предполагается. Отсюда и центры и оси. Вот только достаточно ли внутри геометрии инструментов, чтобы решать парадоксы, подобные тому, что здесь рассматривают? 

Аватар пользователя boldachev

Движения, в смысле изменения во времени, в геометрии нет. А вот всякие отображения, смещения, повороты - есть. Но они не во времени.

Но я сам не особо хочу вникать в глубокие тонкости - моего любопытства обычно хватает на только на принципиальное решение. А оно вроде как состоялось - удалось описать основные элементы без привлечения гипотезы, что они строятся из точек, которые не имеют размера.

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий, 26 Октябрь, 2018 - 14:40, ссылка

Никак не могу понять логики данного предложения. Если неопределенно, то говорить о точке как мере протяженности бессмысленно, а как о метке - можно. Как это понять - не знаю, но во-первых, выше я объяснил без всяких терминов "скорость", "качение", "скольжение" и т.д. данный парадокс, пользуясь только понятием точки как бесконечно малой протяженности. Во-вторых, я не против точки как "метки" или "засечки", или "границы". Все это, на мой взгляд, согласуется с моим определением "точка - это мера" - мы как бы "заметили" очень малую протяженность, но не самую маленькую, конечно.

Что же здесь понимать, если не определено, то можно запихать туда всё что угодно, хоть протяженность, хоть идентификатор, хоть границу. Мне понятно ваше объяснение парадокса, но откуда у Вас на XX' сыпятся точки? Из  пространства! Окружность малого диаметра это смеситель, на выходе отрезок XX', в которой насыпались точки, часть через вращательное движение (меньшая, всего десять), часть (большая, целых девяносто) через поступательное.

Я же предлагаю точко-пространство. Есть точка, значит есть и пространство. Если точка это граница, то у точки должно быть две стороны. На подобии гениальной глупости имеем: пространство это точка изнутри.

Аватар пользователя Дмитрий

Есть точка, значит есть и пространство. Если точка это граница, то у точки должно быть две стороны.

Точка, по ходу, даже не граница (если у границы должна быть размерность). Точка - это метка, флажок, который мы ставим там, где нам надо.

Мне понятно ваше объяснение парадокса, но откуда у Вас на XX' сыпятся точки?

Это все абстракции и условности. Давайте без всяких точек: допустим, что длины малой и большой окружностей и длина отрезка ОО' соразмерны. Возьмем некоторый отрезок z, который целое число раз укладывается в длины окружностей и OO'. В длину большой окружности и в отрезок YY' он укладывается 100 раз, стало быть, длина большой окружности и YY' равны. А в длину малой окружности он укладывается 10 раз, однако при развертке мы получаем XX' равный YY'. Как такое получилось? Дело в том, что вращение малой окружности зависит от вращения большой. И когда большая окружность поворачивается на 10 отрезков z, малая окружность поворачивается всего на один z. Понимаете? :) Так же когда большая окружность поворачивается на десять z, она проходит поступательно десять z и малая окружность проходит поступательно десять z. Стало быть, когда малая окружность проходит десять z, она поворачивается на одну z. 

Поскольку развертка получается тогда, когда за одну единицу оборота окружности, она проходит единицу поступательно, то отрезок XX' не равен длине малой окружности. 

Заметьте, что я не употребил здесь никаких терминов: ни качение, ни скольжение, ни касательные, ни точки. И все-таки это механика, потому что описывается движение: вся суть парадокса в этом отношении поступательного и вращательного движения точек окружности. Без различения этих двух типов движения здесь ничего нельзя понять.

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий, 29 Октябрь, 2018 - 12:31, ссылка

Заметьте, что я не употребил здесь никаких терминов: ни качение, ни скольжение, ни касательные, ни точки.

Да, я это заметил.

И все-таки это механика, потому что описывается движение: вся суть парадокса в этом отношении поступательного и вращательного движения точек окружности.

Круг можно переместить в любую точку на плоскости в любое положение, для этого сначала нужно сдвинуть, потом повернуть. Проблема с поступательно-вращательным движением возникает при любом вращении: чем дальше от центра, тем больше линейная скорость при одинаковой угловой.

Но при чем здесь закон тождества, к которому так усердно клонит автор темы?

 

Аватар пользователя Дмитрий

Закон тождества здесь, действительно, ни при чем.

Чем парадокс отличается от софизма, знаете?

Если в ходе некоторого логического рассуждения мы получаем противоречивые выводы, то тут возможно только два варианта: либо ошибка допущена в самом рассуждении (и можно показать, что любая логическая ошибка сводится к нарушению закона тождества) и тогда это софизм, либо ошибка в посылках, на которых строится рассуждение и тогда это парадокс.

Колесо Аристотеля - это не софизм, а парадокс. Рассуждая строго логически, мы приходим к противоречивому выводу. Стало быть, какая-то посылка в рассуждениях неверна. Эта посылка: всякая окружность в ходе полного своего оборота всегда откладывает на касательной отрезок равный длине этой окружности.

Возражение: не всегда - малая окружность в данном случае не может отложить свою длину на касательной, потому что... и т.д. 

Аватар пользователя vlopuhin

Да, но что значит какая то исходная посылка не верна? Если минимальное количество посылок две, то при исключенном третьем при противоречии на выходе получится не парадокс, а констатация факта. Грубо говоря рассуждение на основе этих двух посылок можно смело отправлять в корзину вместе с посылками. Что мы и наблюдаем в природе: да пофиг америкосам все договоры по всем РСМД, в любой подходящий момент можно выйти из любого договора. Это значит, что исходные посылки могли по дороге к коммунизму скиснуть. А это в свою очередь означает, что логика здесь ни причем, или, другими словами, закон тождества это о другом, и он здесь действительно ни при чем.

Аватар пользователя axby1

vlopuhin, 29 Октябрь, 2018 - 05:48

Я же предлагаю точко-пространство. Есть точка, значит есть и пространство. Если точка это граница, то у точки должно быть две стороны. На подобии гениальной глупости имеем: пространство это точка изнутри.

  Добавлю немного глупости к Вашей гениальности :

  • Мерность = { 0 >|< ∞ }
  • Радиус     = { ∞ >|< 0 }

  То есть дефинировать точку можно с равным успехом как левым (внутрь) так и правым (наружу) столбцом - как ни крути, а по д`Аламберу единица выходит.

Аватар пользователя vlopuhin

То есть идеальная поверхность согласно ПМД это сфера с радиусом, равным единице?! Где то у доктора физико-химических наук Ким Сен Гука есть доказательство, хоть и не строгое (типа два мало, а четыре много) трёхмерности традиционного представления пространства. В самом деле, во-первых, любое уравнение любого количества переменных это всегда поверхность в трёхмерном пространстве, во-вторых, для задания любого направления в трёхмерном пространстве (например, при ориентировании антенны) достаточно двух моторчиков, а два это в ПДСК всегда плоскость (двухмерная поверхность). В любой точке двухмерной поверхности можно поставить два ортогональных вектора (обычная поверхность двухсторонняя). Но в математике существуют такие объекты, как односторонние поверхности (например, луч, лист Мёбиуса, бутылка Клейна). Тут уже моих мозгов не хватает, это уже что то из области исключенного второго, что то в роде "жопа есть, а слова нет", что то из разряда "делать бизнес, не отрывая от стула пятую точку".

Аватар пользователя axby1

То есть идеальная поверхность согласно ПМД это сфера с радиусом, равным единице?!

  Где Вы там увидели единицу ? Радиус либо нулевой, как и положено точке, либо бесконечный - что не "распирает" её до бесконечных размеров потому что ей просто некуда разворачиваться при нулевом количестве измерений. То есть я просто дополнил Ваш пример (нулевой радиус скольугодномерной сферы) инвертированным случаем. А единица ни о чём не говорит кроме того что точка одна - д`Аламбера это я так, "для красного словца" приплёл.

Где то у доктора физико-химических наук Ким Сен Гука есть доказательство, хоть и не строгое (типа два мало, а четыре много) трёхмерности традиционного представления пространства.

  Это отдельная тема, которую я связываю с образованием стоячих волн в среде, пребывающей в состоянии непрерывного, повсеместного и взаимообусловленного движения - короче, "чистой воды топология". Здесь об этом подробнее :

axby1, 15 Июнь, 2017 - 18:40, ссылка

Гипотеза №7 : стоячие волны могут возникать лишь в трёхмерном пространстве (число 3 даёт квадрат расстояния в знаменателе законов Ньютона и Кулона, для четырёхмерного пространства соответственно получим куб, который по теореме Ферма не проходит в плане существования целочисленных показателей количества узлов стоячей волны, определяющих местоположение периферийной частицы объекта на фиксированном расстоянии от центра)

Аватар пользователя vlopuhin

Размер точки (радиус) насколько я понимаю здесь вообще ни при чем. По этому единица это в смысле есть, и не более того.

Аватар пользователя axby1

  Да, именно так - указание на то что она "есть" и не более того (эт чтоб случайно не перепутать точку с "ничтом в собственном смысле"). Вообще говоря, по умолчанию её конечно лучше наделять как нулевым размером, так и нулевой мерностью. Ваша интерпретация ("изнутри наружу") удобна для перехода от точки к пространству - то есть для выражения той мысли, что потенциально она может развернуться куда и во что угодно. Как можно применить в рассуждениях "инвертированную версию", ассоциированную с продвижением "внутрь точки", я пока не задумывался - просто предположил что при случае такая абстракция может пригодиться.

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

 Честно говоря, так и не понял, в чём вы увидели парадокс? Ну, видимо, тупой.
Да, заблокируйте своё колесо и тащите его с той же скоростью волоком. Можете даже на боку. И парадокс ваш сразу пропадёт. Ведь все точки колеса, о чудо!, пройдут то же самое расстояние, что и в первом случае, т.е. равное расстоянию, пройденному осью колеса.))

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Различие между протаскиванием и качением будет в том, что при качении окружность большого круга разворачивает свою длину на касательную (выпрямляется) за один полный поворот. И тогда выходит, что и малая окружность выпрямляется за тот же поворот на параллельной касательной. И они оказываются одинаковой длины. Если перетаскивать, то этого не происходит, т.к. вы никого не удивите длиной окружности сделанной из "резинки" :) .

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Нет, мой пример показывает, что никакого парадокса нет. Все точки колеса проходят вдоль плоскости движения одинаковое расстояние, что показывает и ваша схема.
 Все эти вопросы, помнится мне, мы рассматривали в политехе, изучая машины и механизмы. Название предметов уже не помню. Может быть "кинематика", но не факт. Там были и схемы движения, даже отдельных точек, в том числе довольно сложные.
 А здесь, по-моему, нужно рассматривать движение конкретной точки относительно опоры колеса, т.е. плоскости земли. И это движение будет, видимо, двусоставное: точки по окружности вокруг центра и смещение центра вдоль опоры (плоскости земли). В итоге для каждой конкретной точки получим, если возьмём целый цикл оборота вокруг центра вращения колеса, по-моему, некий эллипс, вытянутый вдоль оси движения в сторону движения. Чем меньше радиус у окружности, по которой движется эта конкретная точка по окружности вокруг центра (оси) колеса, тем более сплюснут будет эллипс, а у самой точки центра (оси) колеса будет максимальный эллипс траектории движения, т.е. прямая линия. А длина этой прямой будет кратна количеству оборотов колеса и длине его "обода", т.е. максимального радиуса, по которому колесо и катится по опоре (земле). Все остальные точки колеса на любом расстоянии от центра пройдут вдоль опоры (земли) тоже самое расстояние, что и точка центра колеса.
 Ну, и где тут парадокс?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Вы имели в виду, конечно же не эллипс, а циклоиду (это такая дуга-"арка" над касательной, по которой катится колесо).

Однако, в парадоксе главным является то, что большая окружность "откладывает" себя на касательной. Полный поворот соответствует "откладыванию" полной длины этой окружности. И тогда сразу хочется спросить - а что происходит с малой окружностью и её касательной ЗА ТОТ ЖЕ САМЫЙ поворот? Ведь она просто нарисована внутри большого круга. Почему ей мы запрещаем за ТОТ ЖЕ полный поворот отложить свою длину окружности? В парадоксе именно об этом и говорится: она (:маленькая, беззащитная:) за ТОТ ЖЕ поворот откладывает свою длину (:перед полным поворотом, мол, все равны - конституцию извольте соблюдать:). И получается, что отложенная на касательной длина маленькой (:но гордой:) окружности равна длине большой (:олигархической:).

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Вы имели в виду, конечно же не эллипс, а циклоиду (это такая дуга-"арка" над касательной, по которой катится колесо).

Нет, я как раз имел в виду эллипсы, построенные вокруг прямой, по которой катится центр колеса, и которая (прямая) - просто максимально сплющенный эллипс. А минимально сплющенный, т.е. окружность - это полная(за один цикл) траектория движения точек "обода" колеса.

Однако, в парадоксе главным является то, что большая окружность "откладывает" себя на касательной. Полный поворот соответствует "откладыванию" полной длины этой окружности. И тогда сразу хочется спросить - а что происходит с малой окружностью и её касательной ЗА ТОТ ЖЕ САМЫЙ поворот?

Так это я вам и описал в предыдущем сообщении.
А в первом своём сообщении я вам специально показал, что траектория любых точек колеса вдоль касательной будет одинаковой даже если колесо просто волочить. А вращение колеса в этом плане ничего не меняет, а только путает "неокрепшие души". Не верите, сравните результаты при качении и без него.

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Ответьте мне на два вопроса, но не по перетаскиванию, а по качению.

1. Является ли YY' на касательной к большому кругу развёрткой его окружности за один его поворот?

2. Является ли XX' на касательной к малому кругу развёрткой его окружности за один его оборот?

Если да - то парадокс, т.к. длины разных окружностей получаются равными. Если нет, то надо объяснить почему случай 1 - да, а случай 2 - нет. Впрочем, может быть вы и на 1 имеете свой ответ - нет.

Итак имеем четыре варианта ответа

Нет-Нет, Нет-Да, Да-Нет, Да-Да. Выбирайте! Тут на любой вкус!
 

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Ответьте мне на два вопроса, но не по перетаскиванию, а по качению.

1. Является ли YY' на касательной к большому кругу развёрткой его окружности за один его поворот?

2. Является ли XX' на касательной к малому кругу развёрткой его окружности за один его оборот?

Нет, второе не является развёрткой окружности, а является проекцией сложного движения точки этой окружности, к окружности имеющей второстепенное отношение.
 Ведь реально внутри цикла одного оборота колеса (окружности) каждая точка, кроме точки оси (центра) колеса (круга), в проекции на плоскость (линию) движения будет двигаться со скоростью, отличной от скорости этой центральной точки. В смысле за цикл, да, каждая точка сдвинется на одинаковое расстояние. Но внутри цикла точки "нижней полусферы" будут сначала отставать в скорости от центра колеса (окружности) в своём совместном движении в проекции на плоскость (линию) движения, а потом, перекатившись  в "верхнюю полусферу" начнут обгонять по скорости центр колеса (окружности) в их совместном движении внутри проекции на плоскость (линию) движения. В первом случае, т.е. в нижней полусфере, собственно проекция дуги соответствующей окружности, на которой расположена эта точка, будет вычитаться из расстояния, которое проходит всё колесо вцелом, и совпадающее в случае качения с расстоянием, пройденным центром колеса, а в верхней полусфере, эта проекция дуги соответствующей окружности будет плюсоваться к расстоянию, пройденному за счёт сдвига колеса вцелом. В итоге, за весь цикл, эти арифметические действия просто обнуляются, и мы приходим к тому, что любая точка колеса за один цикл (оборот колеса) проходит вдоль оси качения одинаковое расстояние. 
Ну, и где тут парадокс?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Нет, второе не является развёрткой окружности, а является проекцией сложного движения точки этой окружности, к окружности имеющей второстепенное отношение.

То есть все эти проекции с обгонами и запаздываниями относятся только к малому кругу, а большой двигается совсем по другим законам? Он - большой - знает своё дело и оставляет за собой развёртку окружности, а малый, являющийся ОДНИМ ЦЕЛЫМ с большим, "не догоняет" что надо делать? То есть, он - непослушный - не хочет слушаться старших дядь и развёртывать свою собственную окружность. Так?

Ну, и главное: в парадоксе рассматривается только геометрия. Скорости, ускорения и время - это из кинематики. А скольжение - из динамики. А надо расшифровать всё без физики.

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

То есть все эти проекции с обгонами и запаздываниями относятся только к малому кругу, а большой двигается совсем по другим законам? Он - большой - знает своё дело и оставляет за собой развёртку окружности, а малый, являющийся ОДНИМ ЦЕЛЫМ с большим, "не догоняет" что надо делать? То есть, он - непослушный - не хочет слушаться старших дядь и развёртывать свою собственную окружность. Так?

Да, спасибо, правильное замечание. Ничем большой круг не лучше. К нему применима та же схема. 

Ну, и главное: в парадоксе рассматривается только геометрия. Скорости, ускорения и время - это из кинематики. А скольжение - из динамики. А надо расшифровать всё без физики.

Понятно. Увы, я не геометр, так что дальше без меня.
Извиняюсь, что встрял. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Однако, вашего ума ПРЕдостаточно, чтобы покритиковать мою версию геометрического разрешения этого парадокса в теме Второй раз в круге первом.

Аватар пользователя axby1

Vadim Sakovich :

И получается, что он возражает этим идиотам - носителям родного языка - в том, что они ложку называют ложкой, а вилку - вилкой.

  Нет, я возражаю конкретно Вам, и возможно ещё нескольким участникам ФШ, которые по-русски без словаря говорить не умеют, и как следствие не знают что все носители русского языка называют "процедурой установления истинности" ту процедуру, по итогу которой устанавливается истинность - как это ни странно может прозвучать для человека, который за долгое время пребывания на чужбине подзабыл родной язык.

Аватар пользователя boldachev

Уважаемый axby. Я понимаю всю бессмысленность попытки вам что-то объяснить. Просто потому, что вы упрямы. А самое главное знаете мало слов и читаете только знакомые да еще интерпретируете их в каких-то неведомых для всех значениях.

Но поробую. 

носители русского языка называют "процедурой установления истинности" ту процедуру, по итогу которой устанавливается истинность

Да, именно так. Но таких процедур множество: следственный эксперимент, допрос с пристрастием, опрос населения, физический опыт, логический вывод, обращение к священным писаниям, к правилам дорожного движения или ГОСТам - это все процедуры установления истинности того или иного суждения.

Так вот в тех областях знания, в которой используется понятие "аксиома", а именно, в математике, логике, теоретической физике, существует только одна процедура установления истинности: логический вывод суждения из аксиом и определений по правилам установленным в теории, которой принадлежит это суждение. И коротко это процедура в этой области называется словом "логическое доказательство". 

Да, конечно, и следственный эксперимент и ссылка на ПДД, также называют доказательством. Но доказать истинность суждения в теоретической системе - это не значить выбить признание у математика путем пыток или получить результат в ходе серии экспериментов (явных или мысленных). Доказать истинность суждения в математике - это только и исключительно логически вывести его из определений и аксиом (есть еще расчетные методы, но они не из теоретической области, то есть там нет аксиом). Других вариантов доказательства в логике, математике и теоретической физике нет и быть не может.

Если же вы берете некое суждение само по себе, вне конкретной теоретической системы, и доказываете его истинность с применением любых известных вам процедур установления истинности (мысленным экспериментом или опросом населения), то на здоровье - доказывайте. Но только помните, (1) что эти доказательства не имеют ни малейшего отношения истинности суждения внутри конкретной теоретической системы, (2) и что любое суждение взятое самостоятельно вне конкретной теоретической системы не может называться аксиомой. Аксиома - это роль суждения в конкретной теории. И суть этой роли заключается в недоказуемости истинности этого суждения в рамках этой системы. Эту теорию можно переформатировать - поменять местами аксиому и теорему, тогда это суждение уже будет доказуемо, но оно не будет аксиомой. И конечно, не обязано быть аксиомой в другой теории уж подавно вне теоретической системы вообще.

Вы должны понять, что взяв некое суждение, которое где-то, в какой-то конкретной тории играет роль аксиомы, само по себе и проводя какие-то процедуры установления его истинности вне той конкретной теории, вы занимаетесь чем угодно но только не доказательством аксиомы. Аксиомой это суждение считается только в конкретной теории, где оно по определению не доказуемо. А то, чего вы устанавливаете истинность аксиомой не является.

Итак:

  1. единственной процедурой установления истинности в теоретических дисциплинах (логика, математика, теор.физика) является только и исключительно логический вывод из аксиом и определений
  2. аксиомы существуют только в теоретических дисциплинах как элементы конкретных теорий и в этих теориях они по определению, по своей роли в них не доказуемы
  3. любое суждение взятое как самостоятельно вне и до теории не может считаться аксиомой - и тут вы можете хоть до посинения доказывать его истинность всеми известными вами процедурами, хоть пытками)

 

Аватар пользователя axby1

  Продолжать здесь будет оффтопом, поэтому перенёс ответ в более созвучную предмету нашей дискуссии тему - ссылка.

Аватар пользователя Вернер