В круге первом. [Парадокс]

Аватар пользователя Vadim Sakovich
Систематизация и связи
Логика
Ссылка на философа, ученого, которому посвящена запись: 

Эпиграф:

А.Иванов, пародия на поэта Ю.Ряшенцева

Заколдованный круг

              Площадь круга… Площадь круга… Два пи эр…
              — Где вы служите подруга?
              — В АПН…
                                                  Юрий Ряшенцев

Говорит моя подруга чуть дыша:
— Где учился ты, голуба, в ЦПШ?

Чашу знаний осушил ты не до дна
Два пи эр — не площадь круга, а длина,
И не круга, а окружности притом
Учат в классе это, кажется, в шестом.

Ну поэты! Удивительный народ!
И наука их, как видно, не берёт
Их в банальности никак не упрекнёшь,
Никаким ключом их тайн не отомкнёшь.

Все б резвиться им, голубчикам, дерзать…
Образованность все хочут показать…

 

 

Итак, как обещано в эпиграфе, шестиклассного образования вполне достаточно! Достаточно, чтобы получить шанс отправиться в психбольницу при разрешении следующего геометрического парадокса.

Впрочем, здесь нечего даже формулировать. Достаточно взглянуть на рисунок, где изображен один полный поворот круга радиуса Ry, "катящегося" по прямой. Внутренний круг с радиусом Rx делает, естественно, тот же оборот. Вот и всё.

Ну, разве что... длина развёрнутой от такого оборота окружности (YY') от большого круга оказывается равной длине окружности внутреннего круга (XX'). А так, в остальном, всё ОК !

3
Ваша оценка: Нет Средняя: 3 (5 голосов)

Комментарии

Аватар пользователя vlopuhin

Этак можно все окружности ухряпать в ноль. Вообще то ничего страшного, любой первоклассник скажет, что круглое оно и в Африке круглое, то есть от радиуса не зависит, для этого нет необходимости шесть лет в школе колбаситься. А если серьёзно, то у Вас не большое колесо "ужалось" в малое, а малое "растянулось" до большого.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Малый круг сделал ТОТ ЖЕ ОДИН оборот, что и большой, т.е. - ровно на длину окружности. Выходит, что длины окружноастей у них одинаковые 2-пи-Эр. Но так как радиусы разные, значит делаем вывод, что разыми должны быть пи. Ну, не двойки же, в конце концов! :)

Аватар пользователя vlopuhin

Не путайте честных людей, если один из кругов катился, то другой скользил, что бы догнать, либо отстать, при условии, что оба должны сделать ровно один оборот. У меня на  наждаке с двух сторон установлены камни разного диаметра, и ничего, синхронно крутятся, "скользя по воздуху".

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Попробуйте на своём точильном камне поработать с языком (своим, анатомическим). Чтоб не было больше точильных камней, оговариваю: малый круг НАРИСОВАН на большом. Рисунок не сдираемый. Впрочем, ещё раз и буду нах.. удалять за точильные камни.

Аватар пользователя vlopuhin

Тогда стрелочки вверху уберите, что бы Ваш большой круг не катился, при параллельном переносе всё будет в порядке. Это не для того, что бы сохранить пи, оно в этом не нуждается, а для того, что бы рисунок не облетел (краски не выцвели) пока мы вычисляем сложную траекторию движения каждой точки нарисованного круга.

В общем то, как мне кажется, Вы продемонстрировали одну из версий, откуда берётся трение качения. Это "трение оптических осей" при жесткой связи поступательного и вращательно движения. Правда физики придумали на этот счет другую версию.

Аватар пользователя Горгипп

Да вы что со Спокусом, политуру пьёте?! Столярным клеем закусываете...? Это же детская задачка! Ну ваще!

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Это задача геометрическая, а не физическая, химическая. Состав материала в круге мы не рассматриваем. А также сопротивление плоскости, коэффициенты трения и т.д. Не рассматриваем также и влияние субъекта при его взгляде на объект исследования (это на случай, если вы захотите учесть прохождение фотонов сквозь круги).

Ещё раз. Последний. Это геометрия. Её изучали в классе, кажется, шестом.

Аватар пользователя эфромсо

один полный поворот круга радиуса Ry, "катящегося" по прямой. Внутренний круг с радиусом Rx делает, естественно, тот же оборот -                    

 Это геометрия.

 Вы - напёрсточник: 

Внутренний круг делает оборот вокруг центра, который при этом перемещается из-за  качения внешнего круга, так что "оборот" у него  получается не "тот же" и отличается от такого, который он бы совершал вследствие исключительно  своего собственного качения...

Это - философия

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Внутренний круг делает оборот вокруг центра, который при этом перемещается из-за  качения внешнего круга, так что "оборот" у него  получается не "тот же" и отличается от такого, который он бы совершал вследствие исключительно  своего собственного качения...

Это уже по делу! Замечу - первое сообщение в теме, которое достойно внимания.

Итак, вы признёте, что малый круг всё же делает оборот вокруг центра, причём - того же центра, что и большой круг. Но вы существенно дополнили это, подчеркнув, что и сам центр при этом перемещается. Однако, он (центр) точно так же перемещается и для большого круга, ведь центр общий для обоих.

Кроме того, представьте себе, что мы не развёртываем длину окружности па плоскость, а просто вращаем вокруг центра всю эту штуковину. Но! Но сидим при этом в самолёте или в автомобиле. Центр, вокруг которого вращаются круги, будет перемещаться одновременно с вращением кругов. То есть так, как вы это заметили в своём сообщении. И что же? А ничего! Никаких нарушений здравого смысла мы не увидим. А стоит нам только помыслить развёртывание окружности в прямую... и сразу волосы встают дыбом (даже если остался лишь один волос). Отсюда главный вывод - может стоит наголо, так сказать?

Аватар пользователя эфромсо

А стоит нам только помыслить развёртывание окружности в прямую...

В границах геометрии при этом - сразу же вырисовывается треугольник с катетами R и   2ПиR, каждая точка  гипотенузы которого есть не что иное, как конец отрезка с  длиной  помноженного на 2Пи соответствующего радиуса... 

...а уже за пределами геометрии - если мерить расстояния между отметками одной точки окружности на пути, по которому эта окружность  "как бы катится", то вычитая из них 2ПиR - получаем (с плюсом или минусом) -   величину "проскальзывания"...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

С гиротенузой и катетами я не очень врубился. а насчёт "проскальзования" (если, конечно, в кавычках), то это собственно и есть главный вопрос парадокса - за счёт чего оно ("проскальзывание") наступает. То есть, как оно интерпретируется на геометрическом уровне.

Аватар пользователя эфромсо

главный вопрос парадокса - за счёт чего оно ("проскальзывание") наступает. То есть, как оно интерпретируется на геометрическом уровне

На "геометрическом уровне" - речь здесь  может  идти разве что опять же   о длине  верёвки, концы которой нужно закрепить в точках Y и Y" - чтобы при прокатывании этой условной конструкции  окружностью меньшего радиуса  на расстояние, равное длине окружности большего радиуса - верёвка условно "наматывалася" на окружность большего радиуса  без остатка, и если хто не понЯл = поверьте мне на слово, что если размер  меньшего радиуса близок к величине "материальной точки", то независимо от величины большего радиуса -  понадобится кусок  "условной" верёвки длиной в бесконечность, так умиляющую  Вас вместе  с Кантором...

.

Аватар пользователя Дмитрий

Замечу - первое сообщение в теме, которое достойно внимания.

По моему личному мнению, почти у каждого участника в теме есть комментарии, заслуживающие внимания.

Вы нам постоянно подчеркиваете, что это геометрический парадокс. И что вы теперь хотите? Разоблачений? Чтобы парадокс перестал быть парадоксом? Если держаться строго геометрии, то следует выключить свет и разойтись, потому что парадокс - он и в Африке парадокс.

Ведь мы же рассматриваем поворот колеса. Это - вращательное движение и все, что отсюда вытекает: угловые скорости и проч. Мне этот парадокс (кстати, хороший парадокс - где вы его откопали?) по духу напоминает чем-то зеноновские апории - хотите сказать, что это тоже геометрические апории?

Почему так получается, что, например, за четверть оборота окружностей совершенно разные длины их четвертей при развертывании становятся одинаковыми?

Точка О - центр окружности - за один оборот проходит расстояние OO'. И как-то так получается, что периметры всех развернутых окружностей равны почему-то этому расстоянию. А вот давайте ради забавы примем, что расстояние OO' равно пи (чтобы легче было считать). Теперь вопрос: какую точку мне надо взять на окружности, чтобы при развертывании окружности радиуса от этой точки до центра получился периметр равный пи? Я надеюсь, что вопрос понятен. Посчитать не сложно: радиус этой окружности должен быть равен 1/2. Вот если вы возьмете точки меньше радиуса 1/2, то периметры всех этих "малых" окружностей как бы "растянутся" до пи, а если больше 1/2, то периметры "больших" окружностей как бы "сожмутся" до пи.

Законный вопрос: какого хрена они все то "растягиваются", то "сжимаются"?

Ответ: движение каждой точки этой целой окружности сложное в буквальном смысле - оно содержит в себе как бы две составляющие. Окружность движется поступательно (перемещается в пространстве по прямой) и также вращается. Траектория поступательного движения - прямая, траектория вращательного - окружность. Каждая точка как бы содержит в себе долю поступательного и вращательного движения. Траектория такого движения - Циклоида. Вот центр окружности движется только поступательно. Если доля вращательного движения меньше, чем поступательного, то точка, скорее, движется поступательно, чем вращается (циклоида как бы стремится вытянуться в прямую). Если доля вращательного движения больше, то точка, скорее, вращается, чем движется поступательно (циклоида близка к окружности). Если вы возьмете радиус намного больший, чем 1/2, то поступательного движения практически не будет - будет просто вращение окружности.

Интересен случай с радиусом в 1/2. Очевидно, скорость вращения здесь равна скорости поступательного движения и при развертке периметр не сжимается и не растягивается. Вот вы берете, допустим, реальный цилиндр и развертываете его в плоскость - скорость вращения будет равна скорости поступательного движения, и чем выше скорость одного, тем выше скорость другого. Представьте, что вы нанесли рисунок на поверхность некоего цилиндра и при прокатывании его на бумаге за один оборот он должен отпечатать этот рисунок. Если вращение будет быстрее, чем поступательное движение, то рисунок распечатается сжатым, а если медленнее - то вытянутым. 

Конечно, скорость вращения этого цилиндра будет равна скорости поступательного движения, но если у рисунка длина, например, равна пи и его надо нанести на поверхность без всяких искажений так, чтобы он отпечатался без всяких искажений на бумаге за один оборот, то вам следует взять цилиндр радиусом строго 1/2.

Надеюсь, что-нибудь понятно из того, что я написал.

Аватар пользователя vlopuhin

Vadim Sakovich, 16 Октябрь, 2018 - 18:42, ссылка

Это задача геометрическая, а не физическая, химическая. 

Это иллюзия, и зависит она от точки зрения. Синусоида с разных точек зрения может оказаться окружностью, спиралью, затухающей, расходящейся. Но в данном случае всё зависит от того, какое колесо Вы мысленно "ставите жестко на рельсы" (какую окружность разворачиваете в длину), ведь Вы не закрепили длину YY' (по условию закреплён только один оборот), по этому длина развёртки окружности будет либо сжиматься, либо растягиваться.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Vadim Sakovich, 16 Октябрь, 2018 - 18:42, ссылка

Это задача геометрическая, а не физическая, химическая. 

Это иллюзия, и зависит она от точки зрения.

Этот парадокс возникает из ПРОСТЕЙШИХ (суперпростейших) геометрических построений. Его суть понятна ученику старших классов со средней успеваемостью. Поэтому вполне логично предположить, что и разрешение парадокса не должно выходить за рамки школьной программы по геометрии.

Неужели, по-вашему, чтобы всё это объяснить, надо перестать думать о геометрической окружности и круге с радиусом, и о числе пи, а надо немедленно начинать "бить в рельс" с требованием доставить сюда, сию минуту железные колёса, и чтоб, бля, сварку проверили, суки, на предмет невидимых трещин?

Еще раз о главном: большой и малый круг делают один оборот, т.к. они представляют собой одно целое. Вопрос: откуда, вдруг, возникают якобы одинаковые длины развёртывающихся окружностей?

Аватар пользователя vlopuhin

Ещё раз: от угла зрения. Нужно смотреть на всё происходящее из точки О. А Вы откуда смотрите? Примерно так (можно развернуть, смотреть из точки О' на точку Y):

Аватар пользователя Vadim Sakovich

А что такое XX' ? Оно же возникает за тот же самы оборот.

Аватар пользователя vlopuhin

Оно не возникает, это "дораскатывается" разница между длиной малой окружности и длиной большой окружности, иначе одного оборота не будет, а нам без него никак! Автор запретил... Потому как смотрит с другой точки: из точки Y.

Аватар пользователя Горгипп

Как вращательное превращается в поступательное движение? В школе учили! Во дворе у мальчишек спроси...)) 

Аватар пользователя vlopuhin

Никак! В данном случае они жестко связаны, это вам не снаряд, который летит по параболе и одновременно вращается независимо от высоты полёта и длинны траектории. Даже трение оптических осей (яйца пробовали катать, почему крутосваренное катится дальше сырого?) здесь не канает, это, брат, геометрия!... Здесь Спокус обороты перевёл в метры, один оборот YY', и хоть тресни, по этому тот же оборот малой окружности необходимо растянуть до XX', потомучто два пи то же самое, а радиус другой, маленькое колесо за один оборот не доедет, а вот большее как раз переедет отметку Y', при этом все колёса круглые, как ни крути...

Аватар пользователя Горгипп

тот же оборот малой окружности необходимо растянуть до XX'.

До всего своим умом доходим?! Спокусу показал. Вам тоже покажу. Простые вещи из механики. Путь и перемещение. Вот большое колесо. Крайняя точка его радиуса описывает дугу - это путь точки. Концы дуги, соединённые прямой - перемещение тела (колеса). Все точки колеса переместятся на одинаковое расстояние. Потому YY`= XX`. Вот малое колесо. То же самое. Точка опишет дугу поменьше, перемещение будет короче. При условии что большое и малое колёса двигались с одной угловой скоростью. Если у малого колеса угловая скорость будет больше, то оно переместиться на расстояние равное перемещению большого колеса. Одако ему придётся совершить не один оборот, скажем, полтора... Нельзя!

Пометим на колесе большой и малый радиусы. Колесо совершит один оборот. Угловая скорость большого и малого радиусов одинакова. Следовательно, точка большого радиуса переместится на большее расстояние, чем точка малого радиуса. Ничего противоестественного в том нет. Ничего растягивать не надо. Например, сделайте шаг, замрите в положении раздвинутого циркуля: расстояние между ступнями больше, чем между коленями...  

Итак, накажите детям - в школу нужно ходить! 

Аватар пользователя vlopuhin

Горгипп, 17 Октябрь, 2018 - 11:34, ссылка

Ничего противоестественного в том нет. Ничего растягивать не надо.

Совершенно правильно, оно само растягивается и сжимается, все точки большого круга при одном полном обороте, начертив сложную траекторию (синусоиду), возвращаются в исходное положение не зависимо от расстояния до центра. А вот вторичный вал в ДВС для возвращения в исходное положение должен совершить два оборота, когда коленвал делает один оборот (это я в связи с дифференциалом в заднем мосте моего "мустанга" вспомнил :) ).

Аватар пользователя эфромсо

тот же самы оборот

Опять Вы за своё...

- не тот жи  "чиста"-геометрически невинный и непорочный , а  по механически-"подлый"  - паатаму как паалзууучий...

Аватар пользователя Пенсионер

Vadim Sakovich, 17 Октябрь, 2018 - 05:53, ссылка

Этот парадокс возникает из ПРОСТЕЙШИХ (суперпростейших) геометрических построений. Его суть понятна ученику старших классов со средней успеваемостью. Поэтому вполне логично предположить, что и разрешение парадокса не должно выходить за рамки школьной программы по геометрии.

Vadim Sakovich, 16 Октябрь, 2018 - 18:42, ссылка

Это задача геометрическая, а не физическая, химическая. Состав материала в круге мы не рассматриваем.

А не здесь ли собака зарыта?

  1. Пространственные точки абсолютно неподвижны относительно друг друга.
  2. Перемещается из точки в точку не сама "точка" как геометрический (пространственный) объект, а именно та материя, которую вы отказываетесь принимать во внимание, хотя именно материя перемещается из одной точку в другую.
  3. Стало быть, проблема сводится как раз к тому, в какую именно точку перемещается материя малого круга и материя большого круга? И по какому закону?
  4. Как применить здесь закон непрерывности, согласно которому материя не может исчезнуть (перестать существовать) в промежуточной точке (проскальзывание), а потом возникнуть бог знает как далеко от неё, причём в тот же момент времени, когда другая материя подчиняется закону непрерывности?
  5. Для ответа на эти вопросы надо знать, как устроено пространство, т.е. иметь элементарное представление о его структуре - взаимном расположении точек, структура которых абсолютно неизменяема.
  6. И лишь после установления структуры можно будет сочинять уравнения движения материи (а вовсе не движения пространства в пространстве).

Вывод: напрасно вы не читаете гениальную книгу "Дихотомическая структура пространства-времени". Зря теряете время.

Аватар пользователя vlopuhin

Пенсионер, 24 Октябрь, 2018 - 07:09, ссылка

Стало быть, проблема сводится как раз к тому, в какую именно точку перемещается материя малого круга и материя большого круга?

 Как только Вы запретили бесконечность, тут же начала плодиться материя! В таком случае надо ещё  непрерывность взять и запретить, ну чтобы уже все парадоксы порешить раз и навсегда. Как говорится, лучшее средство от головной боли это гильотина.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

У меня по этой теме созрел материал, который вскорости изложу во второй теме о "В круге первом".

Короче, готовлю задницу для клизм. [Как в старом анекдоте. Вопрос: что означает "жизнь пошла на конус?" Ответ: это когда грудь становится узкой для орденов, а задница - широкая для клизм. ]

Аватар пользователя эфромсо

Не рассматриваем также и влияние субъекта при его взгляде на объект исследования (это на случай, если вы захотите учесть прохождение фотонов сквозь круги).

Как последователь Аристотеля -  должон заметить, шо эта Ваша хохма с "растяжимой" длиной окружности -  чётко соответствует моему определению истины как того, что  объективно  есть в поле зрения организмов, однако  неочевидно для многих субъектов, самоуправно в этих организмах хозяйничающих... 

...и стесняюсь даже  выразить словами моё недоумение от того, что и после предъявления чисто  умозрительного построения, выявляющего  факт, что длина окружности меньшего радиуса (при качении окружности большего радиуса по прямой)  не только "обращается", но и "ползёт" - 

http://philosophystorm.org/v-kruge-pervom-paradoks#comment-331958

- участники продолжили толковать об углах, скоростях и траекториях...

Аватар пользователя Евгений-Бур

Вадиму Саковичу

Это задача геометрическая

Ещё раз. Последний. Это геометрия. Её изучали в классе, кажется, шестом.

Нет, товарищ, это -- не геометрия  и уж точно не шестой класс.

Это аналитическая геометрия, а ещё точнее -- кинематика. В шестом классе её не проходят. Здесь нет ни трений, ни сопротивления плоскости, ни другой "химии".

Геометрия (элементарная), о которой вы здесь говорите, парадоксально приклеивая число Пи, имеющее смысл только в статике, так вот элементарная геометрия здесь работает отдельно для плоскости Кр, в которой "закреплён" круг, и отдельно для плоскости, относительно которой движется плоскость Кр, как твёрдое тело.

Чтобы решать эту "парадоксальную" задачку составьте уравнения движения точек плоскости Кр относительно какой-то иной плоскости.

Если такая задача будет для вас неподъёмной, то не говорите, что сие есть элементарная геометрия.

Когда подойдёте к составлению уравнений неминуемо возникнет вопрос: какая именно окружность именно катится, а какие вращаются "свободно".

Может статься, что в вашей модели ВСЕ окружности прокатываются, но это уже будет движение не твёрдого тела, а сплошной среды..

ну и т.д.т.п.......

элементарным тут даже не пахнет

На сим желаю удачи.

ПС

Парадокс -- состояние сознания субъекта, который не может принять логически однозначное решение об истинности. Парадокс -- следствие структуры сознания. Скорее всего вы не знакомы с геометрией, выходящей за пределы средней школы. Это -- не беда. Миллиарды людей, трильярды других живых существ спокойно живут, не зная даже элементарной геометрии.

----------

Конкретно по отрезкам XX' и YY' -- это траектории проекций центра круга на соответствующие прямые. И более ни-че-го. Никакие хитровышитые числа к этим отрезкам отношения не имеют.

Пи -- отношение длины окружности к её диаметру в статике в планиметрии на уровне Эвклида. Никакого иного смысла это число не имеет.

Аватар пользователя Горгипп

Любая точка на катящемся круге переместится за один оборот на длину его окружности. XX`и YY`, в том числе. Это значит, XX` не длина малой окружности, а длина большой. Весь анализ. 

Аватар пользователя Евгений-Бур

Горгиппу

Для начала надо бы правильно хотя бы нарисовать)

Где видно по чертежу, что имело место перекатывание, а не просто плоско-параллельное перемещение? По рисунку я вижу(!!!), что тупо сдвинули вправо)

Когда автор правильно нарисует картинку, можно будет перейти к дальнейшему этапу рассуждений. А может и вопрос сниметсяsmiley

Аватар пользователя Горгипп

Где видно по чертежу, что имело место перекатывание...?

Из Вашего вопроса видно, что не всё видите... не всё слышите, не всё чувствуете, не всё понимаете... Не расстраивайтесь, здесь все такие.

 

Аватар пользователя Евгений-Бур

Горгиппу

Скажу честно, вы -- человек редкого сочетания ума и чувства юмора.

На содержание вашего камента могу ответить исключительно комплиментом.

ПС. Те, кто считает, что понимает всё, обычно делятся своими пониманиями в спецучреждениях. Так что мне расстраиваться причин нет, меня туда не тянет)

Аватар пользователя Горгипп

 длины окружноастей у них одинаковые 

Нет, длины окружностей разные. Угловые скорости радиусов одинаковы, линейные скорости у крайних точек радиусов  - разные. Потому проделывают один путь за одно время. 

Можно составить обратную задачу, когда линейные скорости равны, а угловые разные. Любопытно, кто составил эту? Американец?))

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Почему бы вам ещё не рассказать о синильной кислоте (которую капали на внутренний круг)... или о стрекозах, которые уселись на окружностях?

Мы ж говорим о геометрии. Когда вы развёртываете цилиндр в плоскость, то образуются два одинаковых круга и прямоугольник. Хотя... если их развёртывать со скоростью света.... а если ещё пригласить для этой процедуры консилиум врачей на предмет прощупывания пульса у развёртывателя... Впрочем, не вы ли объясняли парадокс Ахиллеса и черепахи плохими кроссовками у Ахиллеса?

Аватар пользователя Горгипп

Много говорите... И ничего об угловой и линейной скоростях. Как всегда ни о чём.

Возьмите момент вращения колеса: сектор, образованный большим и малым радиусами. Дуга первого больше второго. Следовательно, длины окружности так же. Что такое путь? Расстояние на которое переместилось тело. Его обозначает центр колеса - точка. Представьте, шагаете на ходулях. Ноги - малый радиус, ходули - большой. Угловая скорость одинакова, линейная разная: у ног меньше, чем у ходуль. Путь обозначит перемещающийся центр тяжести. Ноги, скажем так, в воздухе "пройдут" меньше, чем ходули по земле. Иначе зачем бы они были нужны?! 

Мы ж говорим о геометрии.

Нет, о движении колеса, представленном геометрически. Увы, неверно. Не учтена угловая скорость...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Мы ж говорим о геометрии.

Нет, о движении колеса, представленном геометрически. Увы, неверно. Не учтена угловая скорость...

Так почему бы вам не поговорить о движении колёс в своей собственной теме? Там и о покрышках можно порассуждать. Рекомендую "Good year".

Ведь специально у меня в теме подчёркнуто - геометрический парадокс. А угловые скорости (:в отличие от качества покрышек:) к геометрии не относятся.

Аватар пользователя Горгипп

геометрический парадокс

Пусть так. Значит в построениях есть ошибка, которую нужно исправить. Догадываюсь, что это Вы её сделали... )) Ковыряйтесь! 

Аватар пользователя rpa

Я встречал подобную задачу: что будет, если в окружность экватора вставить метр?

Но здесь "интереснее", здесь динамика...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

здесь "интереснее", здесь динамика...

Ну, хотя бы сжалились над здравым парадоксом и сказали бы кинематика, а не динамика. Но и кинематики я не могу засечь, т.к. в геометрии не идёт речь о скоростях. А вы думаете, что вся суть парадокса в быстроте перекатывания круга? Но ведь в условии задачи нет даже намёка на это.

Аватар пользователя rpa

Vadim Sakovich, 17 Октябрь, 2018 - 05:59, ссылка

Согласен с вашей поправкой, надо было сказать "здесь в движении"...

Я полностью согласен и с мнением Дмитрия, интересно было читать, у каждого свой подход, свой стиль..))

Дмитрий, 17 Октябрь, 2018 - 11:40, ссылка

По моему личному мнению, почти у каждого участника в теме есть комментарии, заслуживающие внимания.

 1.здесь нет никакого "парадокса", здесь просто иллюзия, причина проста, картинка статична, а мыслить надо в движении. Как раз диалектика и развивает в определенной мере эту способность и Горгипп это убедительно показал.

2.хотелось бы еще раз напомнить - Наука не строится на ложных основаниях, она не строится на "видимостях и кажимостях". В большинстве случаев (~90%) статус снимается именно тогда, когда вы "ломаете" основание, что требует предельной внимательности к "прочности" основания. 

Аватар пользователя rpa

.

Аватар пользователя эфромсо

"Скольжение" будет заметно, если к точке X   прикрепить отрезок нити, равный длине соответствующей окружности, и нарастить    резинкой, конец которой в растянутом состоянии  закрепить где-то впереди по оси  X - X". При качении диска по Y - Y" место  сращивания резинки с нитью  будет двигаться - перемещаться в точку X"....

Аватар пользователя Горгипп

"Скольжение" 

Нет тут скольжения, есть качение колеса. Школьный учебник откройте. Зачем выдумывать...?

Аватар пользователя эфромсо

Нет тут скольжения, есть качение колеса.

Колёсы-то - разныя , а раз уж  они  на одном(очень коротком) валу , то когда одно катится, другое - пренепременно скользит...

(если вал длинный и разные колёса - по краям, то седом качения будут две концентрические окружности)

Аватар пользователя Горгипп

Есть велосипед? Пометьте на колесе малый и большой радиусы. Пусть кто-нибудь проедет, а Вы понаблюдайте... 

Аватар пользователя эфромсо

(я там написал скольжение в кавычках - потому как по воздуху колесо скользит бесшумно, а если какую-то такую штуковину пытаться катить сразу по двум плоскостям - завизжит натурально...)

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Всем! Не могу понять. В тексте моего топика специально подчёркнуто (при помощи подчёркивания), что это геометрический парадокс.

И... ясен пень... все сразу начали рассматривать трение, ступицы велосипедов, точильные камни и угловые скорости.

Теперь скажите, plz, такой отклик на специально подчёркнутое автором слово - является ли парадоксом? Или это закономерность ФШ?

Аватар пользователя Sergei Vasiljev

Ну, разве что... длина развёрнутой от такого оборота окружности (YY') от большого круга оказывается равной длине окружности внутреннего круга (XX').

И откуда это следует, если не секрет? 

Отрезок  (YY') вы выбрали из условия равенства его длины длине окружности с радиусом Ry. А о длине (XX') и ее соотношении с длиной окружности радиуса Rx ничего такого сказать нельзя. И уж тем более, что она равна длине окружности с малым радиусом. Она уж какая получилась, такая получилась, исходя из геометрических формул. Каждый миллиметр этой окружности увеличивается в Ry/Rx раз на прямой (XX').

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Ну, разве что... длина развёрнутой от такого оборота окружности (YY') от большого круга оказывается равной длине окружности внутреннего круга (XX').

И откуда это следует, если не секрет? 

 Это следует из того, что малый круг совершил один оборот, т.к. он есть одно целое с большим кругом.

Она уж какая получилась, такая получилась...

Это ключевое замечание данного парадокса. Теперь остётся сущая чепуха - ответить как такое может получиться.

...исходя из геометрических формул.

А вот как такое получается исходя из геометрических формул - второе, не менее ключевое подмеченное вами замечание. Спасибо и на том, что в отличие от других, вы имеете в виду геометрические формулы, а не химические.

Каждый миллиметр этой окружности увеличивается в Ry/Rx раз на прямой (XX').

Ясно, что каким-то образом, вроде как, почему-то, в результате чего-то... получается парадокс - развёрнутая длина малой окружности становится равной длине окружности с большим радиусом. Если вы думаете, что я уверен в том, что длины окружностей с разными радиусами равны, то подумайте взад. Я точно уверен, что я уверен, что длины разные. Причём, чем больший радиус, тем длина окружности будет большей.

Остаётся вскрыть где в парадоксе зарыта собака.

Аватар пользователя Sergei Vasiljev

Это ключевое замечание данного парадокса. Теперь остётся сущая чепуха - ответить как такое может получиться.

Вы отображаете одно множество (точек окружности), на другое множество (точек на прямой). Любое такое отображение должно следовать определенному правилу, той же формуле. Когда вы задаете линейно-тождественное отображение для окружности игрек, тем самым вы одновременно задаете линейное отображение для точек окружности икс, поскольку они уже связаны с  точками окружности игрек вашим условием, что окружности связаны. 

Аватар пользователя philozan

 

Vadim Sakovich, 16 Октябрь, 2018 - 20:20, ссылка

Остаётся вскрыть где в парадоксе зарыта собака.

Колесо меньшего диаметра, нарисованное на большом /или наглухо к нему приваренное/ - это мнимое колесо, поскольку реальное колесо катится по "дорожке", расстояние до которой от центра колеса равно его радиусу.

Если мы переведем схему на рельсы для маленького колеса, получим обратную картину.

В этом случае мнимым колесом будет большое.

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Если мы переведем схему на рельсы... В этом случае мнимым колесом будет большое.

То есть, вы аргументируете тем, что вы-то (в отличие от других) точно знаете, что Ахиллес черепаху обгонит, а стрела всё же летит, а не стоит на месте, как об этом думал тупица Зенон. Браво! Нашему полку осведомлённых - прибыло!

Короче, переходите на рельсы! Только обратите внимание - не пролила ли случайно Аннушка на них масло.

Аватар пользователя Олан Дуг

длина развёрнутой от такого оборота окружности (YY') от большого круга оказывается равной длине окружности внутреннего круга (XX')

Внушаемая ложь!wink Такая же как и свобода выбора карты при карточных фокусах.

Длинна окружности 2 пи эр. Пусть радиус внутреннего круга в 100 раз меньше наружного. Длинна окружности будет 2пи эр/100, т.е длинна внутренней окружности будет в 100 раз меньше длинны наружной окружности, т.е для точки на внутреннем круге качением будет только одна сотая пройденного пути, остальная часть будет линейным перемещением.

Для центра (R=0) вообще все перемещение будет линейным, иначе велосипедист не усидел бы в седле. А обязательное условия геометрического решения данного парадокса, обусловлено запудриванием мозгов для отвлечения внимания.

Данный фокус аналогичен доказательству, что 2*2 = 5, путем сложных построений маскирующих деление на 0. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

С радиусом в 100 раз меньшим получилось хорошо. Оказывается, весь сыр-бор заключался в том, во сколько раз внутренний круг меньше большого! И вот оно! найдено кардинальное число, от которого стоит плясать лезгинку - 100 раз. Так сказать, если делать, то по-большому!

Данный фокус аналогичен доказательству, что 2*2 = 5, путем сложных построений маскирующих деление на 0.

Эттт, точно. Остаётся только изыскать именно подобное "деление на ноль" в данном парадоксе. А так, без этого, на него действует презумпция невиновности.

Аватар пользователя Олан Дуг

Геометрическую интерпретацию (не доказательство) происходящего процесса изобразил Лопухин.

Весь фокус в том, что в данном случае изображен механизм превращения вращательного движения в поступательное. Траектория движения точки на большой окружности - циклоида, траектория движения центров окружностей - прямая линия. Траектории аналогичных точек всех вписанных в большой круг окружностей будут циклоиды со все меньшей амплитудой до вырождения в прямую в общем центре.

Изображенные на рисунке прямые это не длины окружностей, а проекция  пути центра окружностей при качении без скольжения при одном полном обороте.

А насчет 100? Не нравится? Возьмите 10000. Не нравится? Перейдите к алгебре. Если радиус меньше в N раз, то и длинна окружности меньше в N раз.wink

Аватар пользователя Горгипп

Так его!)) До чего же американцы тупые!))

Аватар пользователя Совок.

  Этот парадокс не геометрический на чём настаивает автор, а болтологический. Он приплёл геометрическое понятие развёртки к  физическому понятию качения колеса. А это у них в Одессе две большие не сравниваемые разницы.

  Здесь развёрткой является только отрезок игрек, а отрезок икс это расстояние пройденное точкой х в пространстве.  Отрезок игрек это тоже расстояние пройденное точкой у в пространстве, просто оно совпало с развёрткой длины окружности игрек. 

  Короче Американец, нас не проведёшь.  Нашёл дурней себя. devil

Аватар пользователя Vadim Sakovich

А почему ХХ' не является развёрткой малой окружности? Этот отрезок ведь получается за ТОТ ЖЕ оборот.

 

Аватар пользователя Геннадий Макеев

Vadim Sakovich

"Это геометрия...  мы же говорим о геометрии.... это геометрический парадокс...

Не нарушаете ли вы закон тождества, делая упор на геометрию, и при этом не раскрывая о какой геометрии идёт речь в вашей задачке с кругом: школьная ли это геометрия, когда предлагают рассмотреть круг "катящийся" по прямой? Т.е. условия вложили одни, а предлагаете рассмотреть с позиции геометрии, в которой этих условий нет.

Предлагаю подумать, про какую геометрию говорили так: "да не войдёт не знающий геометрии!".

Аватар пользователя Горгипп

Спокус, какой же Вы тёмный!)) Путь и перемещение различаете. YY` - это перемещение тела и любой точки этого тела. У всех оно одно. Потому YY` = XX`. Путь - это дуга описываемая крайней точкой большого радиуса. Начало и конец дуги, соединённые прямой - перемещение. Крайняя точка малого радиуса тоже описывает свою дугу - путь. Чему равно её перемещение? Не ответите - плюну на Вашу Америку: тупая! 

Аватар пользователя Совок.

   Развёртка это абстрактное геометрическое понятие не имеющее никакого отношения к качению колеса.  Так нас учили совков в шестом классе советской школы.  С геометрической т.з. отрезок ХХ" это проекция траектории точки Х в вертикальной плоскости качения колеса на ось абсцисс. Т.е. это не развёртка длины окружности.

  

Аватар пользователя Владимир К

Vadim Sakovich, 16 Октябрь, 2018 - 09:20

Ну, разве что... длина развёрнутой от такого оборота окружности (YY') от большого круга оказывается равной длине окружности внутреннего круга (XX'). А так, в остальном, всё ОК !

Не вздумайте выкидывать дифференциал из своего автомобиля! Пишут, что вещь необходимая:

...Таким образом, дифференциал обеспечивает разную скорость вращения колес, расположенных на одной оси, что предотвращает и пробуксовку при повороте.

Аватар пользователя boldachev

Вадим, я, как и другие не соглашусь с вами по поводу геометричности этого парадокса. Геометрия она принципиально про статику, то есть теоремы геометрии работают только при условии, что все, что нарисовано на листе бумаге не меняется со временем, то есть все точки даны одновременно. У вас же на картинке часть точек дана в один момент времени, а часть - в другой, а значит никакая геометрия тут работать не может.

И на мой взгляд, правильный ответ дали Горгипп и эфромсо (если их соединить вместе) - дело именно в скорости и проскальзывании. 

Для разгадки "парадокса" надо просто сформулировать, что такое развертка при качении, поскольку именно ссылка на эту самую развертку является ключевым моментом: "длина развёрнутой от такого оборота окружности". Очевидно, что главным условием получения точной развертки является совпадение (в любой момент времени) скорости движения центра окружности и линейной скорости движения точек окружности, что по сути означает, что не должно быть проскальзывания окружности по поверхности - только тогда пройденный путь за один оборот будет равен длине окружности.

Смотрим на нашу картинку: если по условию в качестве YY' мы имеем развертку большой окружности, то следовательно скорость движения центра окружности совпадала с линейной скоростью точек большой окружности.

Ну и, тадам, разгадка "парадокса": линейная скоростью движения точек малой окружности не совпадает со скоростью движения ее центра, поскольку меньше скорости движения точек большой окружности (одинаковая угловая скорость, но меньше радиус), а следовательно расстояние XX' не является разверткой.

Все предельно просто. Надо было только расшифровать заветное слово "развертка".

Кто не верит, может проверить на опыте. Если склеить соосно два цилиндра с разными радиусами и под каждый подвести жестко соединенные друг с другом две параллельные плоскость (лесенкой), то при качении по одной из них одного цилиндра, то есть при получении развертки, второй цилиндр не будет катиться по своей, а будет либо тормозить (меньший), либо буксовать (больший), то есть так или сяк проскальзывать.

Аватар пользователя Горгипп

дело именно в скорости и проскальзывании. 

Ещё один попался, в школу не ходил, в пристенок играл, деньги собирал на труды эзотериков, не знает, как вращательное движение превращается в поступательное. Проскальзывание? Кажимость это. Нет его. Вот колесо. Отметим малый радиус и большой, как продолжение малого. Крутанём колесо на месте. Видим, оба радиуса вращаются с одинаковой угловой скоростью. У точки малого линейная скорость меньше чем у точки большого. Где проскальзывание? Покатим колесо. Пусть сделает один оборот. Пока большое колесо делало оборот, малое одновременно сделало свой. Угловая скорость одинакова, линейные - разные...  Потому поступательное движение (перемещение) большого колеса YY` длиннее такового у малого... ` То есть  ХХ`надо было показать меньше YY`. Численно это длины окружностей большого и малого колёс.  

 

 

Аватар пользователя boldachev

Перечитайте внимательно мой комментарий и особенно те два места, где используется слово "проскальзывание". Нельзя же быть настолько невнимательным.

Парадокс построен именно и только на наличии такого явления, как "проскальзывание", то есть когда длина пути, пройденного колесом за один поворот, не равна длине окружности (колесо либо тормозится - тащится по поверхности без прокручивания, либо буксует - проскальзывает).

Аватар пользователя Горгипп

где используется слово "проскальзывание". Нельзя же быть настолько невнимательным.

Справедливо. Даже вчитываться не стал... Думаю, из всего можно сформулировать парадокс. У Спокуса он звучит так: малое колесо и большое, несмотря на разницу длин окружностей, перемещаются на одинаковые расстояния ХХ` и  YY`соответственно. И ничего о проскальзывании не сказано, как условии парадоксального феномена. Тем более, что "проскальзывание" ничего не меняет. Крайний его случай - вращение колеса на месте, без передвижения.  

Трудность заключается в том, чтобы увидеть на фоне перемещения большого колеса, собственное перемещение малого. Оно меньше первого. Спокус его не показал на рисунке, В этом "меньше" смысл выигрышного движения. Представьте велосипедное колесо и шестерёнку на нём (малое колесо). Проворачивая шестерёнку, заставляем крутиться колесо. Длина окружности первой намного меньше, чем у второго. Меньшее вращение  преобразуется в большее. Катим с ветерком.

Словом, парадокс для школьников и прогульщиков. Честно говоря, показалось, что Спокус сам удивлён находке, и не показалось, что не знает решения, так как требовал решения геометрического, не вдаваясь в механику движения. Да, что с него взять - американец!

 

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 17 Октябрь, 2018 - 15:44, ссылка

Геометрия она принципиально про статику, то есть теоремы геометрии работают только при условии, что все, что нарисовано на листе бумаге не меняется со временем, то есть все точки даны одновременно. У вас же на картинке часть точек дана в один момент времени, а часть - в другой, а значит никакая геометрия тут работать не может.

И на мой взгляд, правильный ответ дали Горгипп и эфромсо (если их соединить вместе) - дело именно в скорости и проскальзывании.

Ошибаетесь, дружище. Этот парадокс остаётся парадоксом и в статике.

Следите за ходом моей мысли:

  1. Точка есть место пересечения двух линий.
  2. Через каждую точку можно провести линию (прямую или окружность).
  3. Поскольку линия состоит из точек, то чем длиннее линия, тем больше она содержит точек.
  4. Малая окружность короче большой, поэтому она состоит из меньшего числа точек.
  5. Сколько диаметров можно провести через малую окружность? Ровно столько же, сколько и через большую.
  6. Следовательно, точек пересечения на малой окружности будет ровно столько же, сколько на большой окружности.
  7. Выходит, что обе окружности состоят из одинакового количества точек.
  8. Значит, их длина одинаковая.

Вывод: парадокс!

Замечу, чтобы похвалиться, что в ДФ такого парадокса нет. Хотя и дела до этого факта тоже никому нет.

Аватар пользователя boldachev

Поскольку линия состоит из точек, то чем длиннее линия, тем больше она содержит точек.

И вы их можете сосчитать? Сколько точек в отрезке длиной 1 см? 

Ну зачем же так нелепо подставляться?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Дело в том, что одинаковое количество точек на малой окружности и большой... именно это как раз и провозглашается теорией Кантора о множествах. Уж кто-кто, а Кантору была ведома воистину истинная бесконечность числа точек на стороне квадрата, из чего он "доказал", что число точек на четырёх сторонах квадрата - столько же. сколько на одной. Далее всё пошло, как по маслу (:т.е. без всякого проскальзывания:), а именно: во всём квадрате (по его площади) число точек столько же, сколько и на одной его стороне. Ну и т.д. Это всё официальная математика утверждает. Или, как говорил академик В.И.Арнольд - "левополушарная математическая мафия" (с центром у Н.Бурбаки) [тут я не утрирую, насчёт Арнольда].

Аватар пользователя boldachev

Эти бои в теории множеств меня (в данной теме) не интересуют. 

Тут же проблема простая: если некто утверждает, что в одном сантиметре меньше точек, чем в одном метре, то пусть озвучит их количество. Это же так просто, например, в сантиметре 134000000 точек, а в метре 13400000000. Или сколько?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

На это вам математик ответит так: есть две концентрические окружности; если проводить радиусы, то сколько бы вы этих радиусов не проводили, они будут пересекать обе окружности и таким образом каждой точке на меньшей окружности будет соответствовать точка на большой; а это и есть биекция; а если есть биекция (полное соответствие между элементами двух множеств), то множества равномощные; таким образом и выходит, что часть на самом деле вполне может быть равна целому. ТЧК.

Аватар пользователя boldachev

А теперь прочитайте то, что послужило основанием этого ответвления обсуждения:

Пенсионер, 18 Октябрь, 2018 - 20:03, ссылка

Поскольку линия состоит из точек, то чем длиннее линия, тем больше она содержит точек.

boldachev, 18 Октябрь, 2018 - 22:02, ссылка

И вы их можете сосчитать? Сколько точек в отрезке длиной 1 см?

Я так и не понял. Вы возражали мне ли поддерживали меня? 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

У пенсионера, согласно его п.п. 7 и 8 сказано то, что говорит об этом "математическая мафия". Если вы согласны с современной теорией множеств, то должны согласиться и с пенсионером. Хотя, он назвал именно это парадоксом, в отличие от "мафии", которая (когда утверждает, что часть равна целому) ясно и чётко говорит: Нормально, Григорий? Отлично, Константин! То есть, ясен пень, что часть вполне может быть равна целому.

Таким образом, если кто-то с этим не согласен, то на здоровье. Правда ему будет закрыт вход для получения образования университетах, где преподают математику (или просто выгонят после первого курса). Ведь он не согласен с линией партии!
 

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 18 Октябрь, 2018 - 22:02, ссылка

И вы их можете сосчитать? Сколько точек в отрезке длиной 1 см?

А зачем их считать? Какое из утверждений от этого изменится, выбирайте:

  1. Все без исключения отрезки произвольной длины содержат одинаковое количество точек.
  2. Больший отрезок содержит большее количество точек.

Ну зачем же так нелепо подставляться?

Аватар пользователя boldachev
  1. Все без исключения отрезки произвольной длины содержат одинаковое количество точек.

Да, именно так - все отрезки (как и все окружности) содержат одинаковое количество точек, и это количество равно бесконечности. Поэтому о чем ваш исходный комментарий не очень понятно.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 19 Октябрь, 2018 - 14:28, ссылка

все отрезки (как и все окружности) содержат одинаковое количество точек

Итак, вы утверждаете, что отрезки любой длины содержат одинаковое количество точек.

Посмотрим на картинку.

Пока секущая f проходит по малому отрезку AB, количество точек на AB и участке CE отрезка CD одинаковое, т.к. точки пересечения образуются парами. Но когда секущая находится на участке ED отрезка CD, равенство нарушается, ибо точки пересечения образуются только на длинном отрезке, не находя себе пары на малом отрезке AB.

Отсюда ясно, что точек на длинном отрезке CD больше, чем на малом отрезке AB.

Как вы это объясните?

Аватар пользователя boldachev

Как вы это объясните?

Объяснение есть во всех учебниках: между любыми двумя точками на линии можно поставить неконечное число точек. Вот вам и вывод: любой отрезок содержит бесконечное число точек. 

Или вы можете сосчитать количество точек в отрезке AB на вашем рисунке? Сколько точек вы зафиксируете при прохождении секущей? 100? 1000? 100000000? В конечном итоге вы получите конечно число, определяющее длину именно этого отрезка?

Чтобы не попадаться под парадоксы теории множеств не надо представлять точки, как элементы из которых что-то строится (типа отрезок - это сумма точек). Точка это только указатель места в пространстве. Предельно некорректно говорить, что отрезок состоит из 100 точек, отрезок задается двумя точками своих концов. Точка.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 11:08, ссылка

Или вы можете сосчитать количество точек в отрезке AB на вашем рисунке?

Я не спрашивал у вас, сколько точек на том и другом отрезке. Сколько бы их там ни было, конечное число или бесконечное, из рисунка и построений видно, что точек на большом отрезке больше, чем на малом.

Вы же утверждаете, что это не так. А как?

Только, ради бога, не надо опять пересчитывать бесконечность! Либо вы признаёте наличие парадокса, либо ваш разум работает как-то не так, как у всех остальных нормальных людей.

отрезок задается двумя точками своих концов. Точка.

Да бог с вами, Александр Владимирович! Я задал отрезок CD, затем наметил на нём точку E, а потом могу ещё сколько угодно точек на нём обозначить.

Положим, так: пространство состоит из точек и только из точек.

Если вы не согласны, поправьте.

Аватар пользователя boldachev

из рисунка и построений видно, что точек на большом отрезке больше, чем на малом.

 Какое отношение ваши построения имеют к количеству точек? Если бы вы сказали, что мы таким образом получаем счетное и конечное число точек. Заявить, что

Поскольку линия состоит из точек, то чем длиннее линия, тем больше она содержит точек.

можно только указав на определенное число точек. А так получается, сколько там точек я не знаю, считать их не умею, но уверен, что вот тут их больше, чем там.

Давайте закроем эту тему. Всем и мне, и вам очевидно, что количество точек в любом отрезке несчетно, то есть бесконечно. Поэтому никакие геометрические и прочие доказательства не строятся на подсчете числа точек в линии или фигуре.

Хотя вы можете утверждать, что одна бесконечность больше другой, и из этого делать какие-то выводы.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Перед такими рассуждениями битьё головой об пол в религиозном экстазе тихо курит в курилке, глядя на познанное Болдачевым бесконечное!

Итак, самое непознаваемое в нашем мире - это бесконечность. А если сравнивать наши познания о вещах конечных с познанием о бесконечных, то отрыв будет в полном смысле этого слова, то есть - в житейском, практическом смысле, - бесконечный.

И вот об этом самом непознаваемом вы говорите, что всем и мне, и вам очевидно, что количество точек в любом отрезке... бесконечно.

Прошу время от времени вывешивать на форуме бюллетень о состоянии вашего здоровья (после очередного битья лбом по полу перед иконой бесконечного).
 

Аватар пользователя boldachev

И вот об этом самом непознаваемом вы говорите, что всем и мне, и вам очевидно, что количество точек в любом отрезке... бесконечно.

А всеми руками за то, чтобы заменить слово "бесконечное" на "неконечное". И сам предпочитаю так писать. А раз количество точек неконечно, то и сравнивать невозможно.

Я же выше в комментарии предложил: надо  использовать понятие "точка", только и исключительно в значении "идентификатор места" и запретить говорить "сумма точек", поскольку это бессмысленный оборот. Точка образуется только пересечением линий и никак иначе. И из точек ничего не строится.

P.S. Но обращаю ваше внимание вы сильно помешаны на бесконечности. Да есть проблемы, связанные с ней, но из этого не следует, что при каждой встрече этого слова надо впадать в истерику.)))

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

...вы сильно помешаны на бесконечности. Да есть проблемы, связанные с ней, но из этого не следует, что при каждой встрече этого слова надо впадать в истерику.)))

Да, немного есть. Но не могу себе отказать! Своего рода алкоголизм. :)

Кстати, а почему древнее определение точки сейчас неприемлемо. Мне нравится: точка - это то, что не имеет частей.

запретить говорить "сумма точек", поскольку это бессмысленный оборот. Точка образуется только пересечением линий и никак иначе. И из точек ничего не строится.

Об этом говорил Аристотель, объясняя понятие "момент времени". Он говорил, что "теперь" - условная граница между "до" и "после", которая одинаково принадлежит и "до" и "после". И добавлял, что сумма моментов времени, сумма "теперь" не образует отрезок времени. Красиво.

Аватар пользователя boldachev

это то, что не имеет частей

Это  неприемлемо просто по причине того, что это не определение точки. Мало ли что еще не имеет частей. Абсолют не имеет частей, субстанция не имеет, понятие, эмоция, звучащая нота...

Кстати и окружность не имеет частей, до тех пор, пока вы не поставите на ней точки, фиксирующие эти части.

сумма моментов времени, сумма "теперь" не образует отрезок времени

Так и точка на линии есть фиксация факта пересечения с другой линией. И множество таких точек пересечения не образуют отрезок на линии.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Это  неприемлемо просто по причине того, что это не определение точки.

Это эквивалентно: это неприемлемо, потому что неприемлемо.

Кстати и окружность не имеет частей, до тех пор, пока вы не поставите на ней точки, фиксирующие эти части.

Так в этом-то и дело. Предлагается же точку в геометрии определить как неимеющую частей (а не в музыке, и в верованиях). И тогда окружность (или прямая, отрезок...) - это то, что состоит из точек. О числе точек никто не заикается. Но почему такое определение неприемлемо - надо показать. Без ссылок на очевидность (в смысле - бесконечность). То есть, надо показать, что возникают противоречия в логике геометрических рассуждений. Мне так кажется.

Аватар пользователя boldachev

Предлагается же точку в геометрии определить как неимеющую частей (а не в музыке, и в верованиях).

Без разницы где)  Определение должно определять. То есть указывать на конкретное понятие - по написанному после "- это" мы должны понять о чем речь. А что можно подумать прочитав "не имеет частей". Прямая и окружность также не имеют частей.

И тогда окружность (или прямая, отрезок...) - это то, что состоит из точек.

Не понял этого "и тогда". Почему "и тогда"? Допустим у точки нет частей, почему из этого должно следовать, что что-то состоит из точек?

Но почему такое определение неприемлемо - надо показать.

Давайте еще раз покажу: если под определение подпадают и другие понятия (окружность, прямая), кроме определяемого, значит такое определение неприемлемо. 

состоит из точек. О числе точек никто не заикается

А что такое состоит из точек? Как из целое из частей? Вы хотели познакомится с мереологией. Какой вариант "состоит из" тут подразумевается?

И после того, как вы ответите на вопрос, что такое "состоит из", тогда и станет понятно нужно ли и можно ли считать точки. Если мы говорим, что нечто состоит из частей, то из этого однозначно следует, что части счетны, а если напиток состоит из мартини и сока, то явно тут считать нечего.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 14:29, ссылка

Без разницы где)  Определение должно определять.

Точка не состоит из частей - это не определение. Это просто пояснение, которое давал собственноручно Евклид.

На самом деле, точка - это исходное, или начальное понятие геометрии Евклида, то есть такое понятие, которое вводится в систему без определения. Оно и так понятно само по себе каждому здравомыслящему человеку, причём настолько, что споров по поводу его содержания не возникает: точка - это наименьший элемент пространства.

А затем с помощью понятия "точки" даются определения других категорий модели. Всё по логике.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 14:29, ссылка

А что такое состоит из точек?

Вот что это значит: пространство - это совокупность точек и только точек. Ничем, кроме точек, пространство не является.

Вспомните пример с коробкой и кубиками: коробка может быть безразмерной (бесконечной), но кубики - нет.

Отрезок имеет конечную длину, и, следовательно, состоит из конечного числа точек. Прямая линия или луч бесконечны, поэтому содержат бесконечное число точек.

Если это не так, если, как вы и школьная геометрия утверждают, между любыми двумя точками всегда располагается бесконечное число точек, то отсюда-то и возникают парадоксы, которые вы, вопреки здравому смыслу, отказываетесь признавать.

Данный принцип неверный! Потому что он приводит к противоречиям.

Если мы пересечём секущей отрезок AB, чтобы зафиксировать точку, а затем попытаемся продвинуть секущую в следующую точку на отрезке, то сделать это будет принципиально невозможно, коль скоро следующей точки не существует. Ведь между следующей точкой и данной располагаются ещё немереная прорва промежуточных точек, так ведь? Значит, она не "следующая"? Да?

Вот здесь-то и кроются парадоксы типа "вращения окружности" или "принципа неопределённости Гейзенберга".

В ДФ ничего такого не возникает.

Аватар пользователя boldachev

Отрезок имеет конечную длину, и, следовательно, состоит из конечного числа точек.

Уже несколько раз просил вас написать, сколько точек в отрезке в 1 см. Или хотя бы приведите методику подсчета количества точек. 

между любыми двумя точками всегда располагается бесконечное число точек, то отсюда-то и возникают парадоксы, которые вы, вопреки здравому смыслу, отказываетесь признавать.

Но решить эту проблему можно двумя способами: (1) сказать, что количество  точек конечно (хотя подсчитать их невозможно), (2) принять, что линии и любые другие области пространства не состоят из точек (протяженное может состоять из того, что не имеет размер?).

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 15:10, ссылка

Уже несколько раз просил вас написать, сколько точек в отрезке в 1 см. Или хотя бы приведите методику подсчета количества точек. 

Я это уже сделал. Повторить?

Аватар пользователя boldachev

Да, прошу вас, посторите.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 15:14, ссылка

Да, прошу вас, посторите.

Пенсионер, 21 Октябрь, 2018 - 13:37, ссылка

boldachev, 18 Октябрь, 2018 - 22:02, ссылка

И вы их можете сосчитать? Сколько точек в отрезке длиной 1 см?

Я-то как раз могу их сосчитать, а вот вы - нет. Потому что у меня есть аксиоматическая система, а у вас - только своё мнение, к тому же весьма плохо продуманное.

Итак, в ДФ:

Чтобы узнать количество точек на отрезке, надо поделить 1 см на метрику пространства.

А вам слабо?

Аватар пользователя boldachev

Да, извинете, я еще не дочитал до вашего ответа про количество точек. 

Чтобы узнать количество точек на отрезке, надо поделить 1 см на метрику пространства.

 Ну так разделите. И сообщите нам это конкретное число.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 15:31, ссылка

Ну так разделите. И сообщите нам это конкретное число.

А если не разделю? И не сообщу? Значит, эта идея неверна?

Оченно странное требование.

Аватар пользователя boldachev

Предельно ясное и понятное требование) Вы заявляете, что точек конечное число. Но отказываетесь назвать это число. О какой вообще идее может идти речь? Смахивает на подсчет числа ангелов на кончике иглы.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:07, ссылка

Вы заявляете, что точек конечное число. Но отказываетесь назвать это число.

Вы заявляете, что ваши утверждения более истинны, чем мои. Но не можете сказать, насколько именно более, потому что у вас нет единиц измерения истинности.

Аватар пользователя boldachev

Вы заявляете, что ваши утверждения более истинны, чем мои.

Опять передергиваете. Я лишь задавал вам вопросы - на которые вы не можете ответить.

И никогда я не предлагал мерится истиностями) 

Вам просто следует признать, что количество точек на отрезках, фиксируемых при пересечении этих отрезков прямой ничего не говорит о длине отрезка. Что вы промахнулись с вашей картинкой.

Ну и плюс признать, что вы не можете указать конечное число точек, из которых состоит отрезок в 1 см.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:17, ссылка

Я лишь задавал вам вопросы - на которые вы не можете ответить.

Извините, но это неправда. Т.е. ложь. Взамен моим высказываниям вы всегда предлагаете другие - собственные. Что это, если не ваше превосходство в истинности?

Аватар пользователя boldachev

Давайте различать два момента: (1) отсутствие у вас ответов на простые вопросы и (2) наличие у меня собственной позиции, своего решения проблемы.

Так вот, вы выглядите мягко говоря неубедительно не потому, что у меня есть свои решения, а потому, что вы не можете обосновать свои: вы не в состоянии привести число точек на отрезке длиной в 1 см, да и к тому же полностью провалились с обоснованием  конечного числа точек своими рисунками - на любом отрезке можно поставить любое число засечек-точек при пересечении его прямой.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:32, ссылка

Так вот, вы выглядите мягко говоря неубедительно не потому, что у меня есть свои решения, а потому, что вы не можете обосновать свои

Вот теперь я могу уверенно констатировать полное непонимание вами предельно простых вещей.

Ну что ж, на нет и суда нет.

Аватар пользователя boldachev

Да, действительно я не понял предельно простые вещи:

  1. почему в длинном отрезке точек больше, чем в коротком? Доказательство с помощью картинок не удалось -  при пересечении отрезков разной длины одной прямой можно получить какое угодно число точек на каждом из отрезков - и больше и меньше.
  2. так и не узнал какое число точек в отрезке 1 см. 
  3. осталось загадкой, какое расстояние между двумя точками, из которых состоит отрезок? если бы узнал то и сам бы получил ответ на п.2.

Ну вот такой тупой. Не понял такие простые вещи. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Когда я предложил считать точку как геометрический объект, который не имеет частей, то я этим лишь сказал, что у Евклида именно так вводится понятие точки. Он и последующие математики, которые добились сумасшедших результатов в деле моделирования и предсказания поведения реальных объектов в мире, неявно использовали именно такое изначальное понятие точки. Никто из них в практике применения математики не пытался подсчитывать "реальное" (в кавычках) количество точек на прямой или отрезке.

Но такой подход мешал ЛИШЬ ОДНОМУ - работе с бесконечностями, то есть - самому насущному практическому использованию математики. Это уже действительно обострение религиозного экстаза с битьём лбом по полу. И Кантор как раз и переписывался именно с Ватиканом при создании своей теории множеств, и именно у него проявились психические болезни, приведшие его в сумасшедший дом.

Все математики, которые осознавали, что понятие бесконечность является бесконечно непознаваемым, туда не лезли, а ограничивались лишь фиксацией, мол, дальше - там вон - уже бесконечность, туда, мол. соваться в ближайшее бесконечное время мы не будем, у нас, мол, и без этого хлопот предостаточно.

Вот и всё, что я хотел сказать. Математически оптимизировать расписание поездов мы можем сейчас (имея компьютеры) лишь о-о-очень приближенно, но вас зато выгонят с первого курса университета за то что вы вошли в аудиторию, не перекрестившись на икону бесконечности. Причём, вы, как философы, взяли на себя роль ВОХРов в этих университетах, подмечая даже то, кто из вошедших перекрестился  не справа налево, а наоборот (хотя сейчас за такое пренебрежение к бесконечности дают не очень большой срок).

 

Аватар пользователя boldachev

Он и последующие математики, которые добились сумасшедших результатов в деле моделирования и предсказания поведения реальных объектов в мире, неявно использовали именно такое изначальное понятие точки.

Да не использовали они это "понятие". От того, имеет точка части или не имеет геометрия никак не  может измениться. Все пользовались представлением точки как пересечения линий (углы треугольника, пересечение прямых и пр.), а имеет ли точки A, B и C части или нет никого не волновало. Про отсутствие частей - это просто отписка для приличия.

И опять же, уже в который раз вам повторяю, что отсутствие частей это не определение точки, а просто констатация ее свойства. Вы же не примите такое определение: прямая или окружность - это то, что не имеет частей. Да, прямая и окружность не имеют частей, но это же не есть их определение.

Даже не мог предположить, что у вас могут возникнуть сложности с отличением определения от простой констатации некоторого свойства.

Никто из них в практике применения математики не пытался подсчитывать "реальное" (в кавычках) количество точек на прямой или отрезке.

И о чем это говорит? Да о том, что утверждение "протяженные объекты состоят из точек" абсолютно бессмысленно, в плане использования его в геометрии. Геометрия работает только и исключительно с фиксированными, проявленными точками (углы треугольника, пересечение прямых, границы отрезков), и ей плевать на то, что там между границами отрезков, пока отрезок не пересечет другая линия, образовав при этом явную точку.

Итак, именно потому, что никому на практике не потребовалось считать точки, из которых состоит отрезок, утверждение, что отрезок состоит из точек предельно бессмысленно и непрактично. Просто сотрясание воздуха. Если я не прав, то приведите теорему, в которой существенен факт "отрезок состоит из точек".

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Привожу пример. По Гильберту стул можно считать точкой, если заняться аксиоматикой на таком допущении.

По Аристотелю точка не имеет размеров. Означает ли это, что можно говорить об их количестве? По Кантору - можно, т.к. "подсчёты" ведуться на бесконечных уровнях.

С аристотелевским подходом апории Зенона разрешаются, а по канторовскому к апориям добавляются куча парадоксов, которые и не снились Зенону. Аристотель в бесконечность не лез, а Кантор оттуда и не выходил, подбрасывая в нашу жизнь очередные несуразности. В итоге - Кантор стал иконой - Сталиным в математике, а философы (во главе с нашим админом) каждый день приносят венки к его мавзолею.

Поэтому не странно, что вы не отреагировали на мою тему о биекции. В это время, очевидно, вы размахивали кадилом возле образа бесконечности в уголке вашей комнаты. Не?

Аватар пользователя boldachev

Привожу пример. По Гильберту стул..

 Я просил привести пример геометрических теорем, в которых использовалось бы положение, что протяженные объекты состоят из точек. А вы мне по какой-то стул.

Объясните мне зачем вам нужна гипотеза "протяженные объекты состоят из точек"? Для решения каких проблем она используется? Какие теоремы доказываются с ее привлечением? 

Не надо повторять про стулья  Зенона. Вернитесь с геометрии.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Две концентрические окружности (см.рисунок в топике). Проводя радиусы в большой окружности, которые пересекают внутреннюю окружность, образуются точки пересечения.

Сколько бы мы не проводили таких радиусов, всегда каждой точке на малой, будет соответствовать точка на большой. Из чего можно сделать вывод, что часть равна целому.

Вопрос. Следует ли рассматривать такое построение БЕЗ учёта основополагающего допущения геометрии о том, что означает понятие точка, прямая (луч) и т.д. ?

Аватар пользователя boldachev

Сколько бы мы не проводили таких радиусов, всегда каждой точке на малой, будет соответствовать точка на большой. Из чего можно сделать вывод, что часть равна целому.

Тут я, наверное, что-то недокурил) Провожу прямую - она пересекает  две кривых (окружности) и из этого делаю вывод  "часть равна целому". С какого перепуга?

Вы меня пугаете. Наверное надо прямо сейчас закрывать тему.

Следует ли рассматривать такое построение БЕЗ учёта основополагающего допущения геометрии о том, что означает понятие точка, прямая (луч) и т.д. ?

Точка - это пересечение луча (линии) с другой линией (окружностью). Какие основополагающие допущения тут рушаться? 

Давайте закроем эту тему - вы мне не сможете обосновать необходимость абсурдного утверждения, что протяженные объекты состоят из объектов не имеющих размеры.

Аватар пользователя эфромсо

Сколько бы мы не проводили таких радиусов, всегда каждой точке на малой, будет соответствовать точка на большой. Из чего можно сделать вывод, что часть равна целому.

 Из сопоставления условностей, в данном случае: точек на окружностях - невозможен решительно  никакой "вывод", потому как любые  бесконечности тождественны по какому угодно  параметру, а грубые подстановки типо: "давайте полагать окружность некоторого радиуса частью окружности с радиусом побольше" - не что иное как откровенная  "лажа"...

http://philosophystorm.org/v-kruge-pervom-paradoks#comment-332088

Аватар пользователя Горгипп

точку в геометрии определить как неимеющую частей.... И тогда окружность (или прямая, отрезок...) - это то, что состоит из точек.

Не имеющая частей, значит не целое и не часть... отрезка, прямой. Часть сама по себе целое, а не имеющая частей целым не является и не может быть частью... Другими словами, у точки нет размеров. Например, в механике принято всякое тело представлять точкой. Болдачёв прав. Было уже, когда неделимой частицей называли атом... Атом сам по себе целое, состоящее из частей, и в качестве части входит в состав молекулы. Если сказать, что из точек состоят геометрические формы, значит придётся признать что точки, как части, имеют соответствующие составляющие формы для окружности, эллипса, кривой линии, прямой... и т.д. Абсурд.  

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 11:57, ссылка

Точка образуется только пересечением линий и никак иначе.

Пример из школьной геометрии:

  1. Сначала берём на отрезке точку.
  2. Потом проводим через неё перпендикуляр.

Следовательно (делают разумный вывод разумные существа), точка на отрезке существовала ещё до того, как мы пересекли отрезок другой линией.

Но у вас получается, что мы не сможем взять на отрезке точку, пока не проведём перпендикуляр.

В связи с этим возникает вопрос: вы учились в школе?

Аватар пользователя эфромсо

об этом самом непознаваемом вы говорите

Как я понимаю - речь идёт об отказе либо неспособности некоторых субъектов отличать условности, не нуждающиеся в познавании заключённых там  представлений -  от кажимостей,  различаемых ими в своих сознаниях как объективные данности...

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 11:37, ссылка

Хотя вы можете утверждать, что одна бесконечность больше другой, и из этого делать какие-то выводы.

Ой, спасибо! Но, Ваша честь, вы не мне, а многим другим знаменитым учёным великодушно позволили утверждать, что одна бесконечность может быть больше или меньше другой. Среди них, например, Рассел и Кантор, который сравнивал бесконечности путём взаимно-однозначного соответствия их элементов. Есть биектовное отображение - множества равночисленны. Нет такой биекции - одна из бесконечностей больше, другая меньше.

Но разве они сосчитали количество элементов? Нет. Значит, Ваша честь, они не имели права так утверждать. И, следовательно, вы сами себе противоречите.

Давайте закроем эту тему.

Нет уж, давайте всё-таки продолжим, чтобы убедиться, кто из нас дурак, а кто умный.

А то, ишь, "я, мол, здесь самый умный" - и в кусты.

Аватар пользователя Горгипп

убедиться, кто из нас дурак,

Вы рискуете, речь идёт о точках... )) Болдачёв сказал, что из точек нельзя составить отрезок, прямую... и так далее. А Вы соскальзываете с этого определения на счётные количества, продолжающиеся до бесконечности.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Положим, так: пространство состоит из точек и только из точек.

Если вы не согласны, поправьте.

Можно привести известные слова короля современной математики - Д.Гильберта. Это касается того, что математика строится на аксимах. [Ясен пень, что аксиомы формулирует человек. Но такие тонкости гильбертов не интересуют, т.к. есть аксиомы и точка! Хошь, создавай свои!]

Так вот, его выражение (по памяти): за точку можно принять даже стул. Это не утрировано!!! Это именно современный подход к математике.

Аватар пользователя boldachev

Да бог с вами, Александр Владимирович! Я задал отрезок CD, затем наметил на нём точку E, а потом могу ещё сколько угодно точек на нём обозначить.

Да, конечно, мы можем обозначить на отрезке сколько угодно точек - просто как пересечение отрезка с другой линией. Но из этого никак не следует, эти точки можно суммировать. И уж точно не следует, что эти точки есть там до, того, как вы обозначили точку пересечения. Вы создали точку, но не выделили какую-то существующую, из суммы которых состоит отрезок.

Положим, так: пространство состоит из точек и только из точек.

Я не вижу в пространстве никаких точек. Откуда они там могут взяться? Даже сама фраза "пространство состоит" мне кажется абсурдной. Пространство не объектно и у него нет никакой структуры - оно не может из чего-то состоять. Пространство задается данными/различенными в нем  объектами. И только при наличии объектов всплывает понятие "точка" как идентификатор различенности объектов, как способ задания расстояния между ними. То есть точка - это только про расстояния между объектами, а не  про заполнение этого расстояния.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Но из этого никак не следует, эти точки можно суммировать.

Вроде как никто их и не собирается суммировать. Но почему неприемлемо говорить, что на большем отрезке точек больше, чем на меньшем - это профи философ должен нам - плебеям - объяснить.

Аватар пользователя boldachev

Но почему неприемлемо говорить, что на большем отрезке точек больше, чем на меньшем

Да просто потому, что на отрезках нет никаких точек, кроме двух его образующих. Посмотрите на отрезок: видите на нем точки?  Я не вижу. Так что будем сравнивать? Что считать? Сколько точек можно поставить, то есть сколько раз можно пересечь отрезок другой линией? Но ведь понятно, что поставить можно неконечное число точек. И сколько бы мы этих точек ни ставили, их множество не будет иметь никакого отношения к длине отрезка.

Есть и простой ответ (без слома оснований)), который я уже пару раз давал: подсчитайте количество точек в отрезке тогда и будем говорить о сравнении их количества. А то опять получается только ссылка на "интуитивно понятно". 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Вы как заводной говорите о подсчёте, а я как ванька-встанька отвечаю, что подсчитывать не собираюсь. И другим не рекомедую подсчитывать количество точек на отрезке.

Однако, понятие больше и меньше ничем не хуже, чем понятие между [двумя точками] которым вы машете, как чапай шашкой при атаке на белых. То есть, нам вы запрещаете ковыряться в носу, когда мы говорим, что любой ребёнок скажет, что данный отрезок больше, а сами оперируете понятием между. Уж, не размером ли, случайно, между двумя крайними точками на большом и малом отрезках? Ведь за это сразу в тюрягу (как вы сами изволили нам напомнить).

Аватар пользователя boldachev

подсчитывать не собираюсь

А тогда к чему вообще фраза "состоит из точек"? О чем она? Как ее можно использовать в геометрических рассуждениях?  

Вы же понимаете абсурдность рассуждений:

  1. точка не имеет размера
  2. из точек состоят все области пространства, имеющие размер
  3. при этом мы отказываемся говорить, а из какого количества точек (не имеющих размер) состоят эти области пространства.

А главное зачем все эти танцы с бубном, когда без подсчета точек - это просто образ, чтобы поговорить, а не использовать в логическом выводе. 

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 15:27, ссылка

А тогда к чему вообще фраза "состоит из точек"?

Когда я говорил, что подсчитывать не собираюсь количество точек, я, РАЗУМЕЕТСЯ! имел в виду, что для констатации в нынешних представлениях о пространстве множества нестыковок и противоречий, никакого подсчёта точек не требуется.

Видите? Только что количество точек было одинаковым, и вдруг - бац! - разное.

Разве можно человеческому разуму мириться с таким безобразием?

Аватар пользователя boldachev

Разве можно человеческому разуму мириться с таким безобразием?

Так ведь это безобразие вы и предлагаете своими рисунками) 

Это безобразие исходит из абсурдного посыла: протяженное состоит из непротяженных частей.

Надеюсь, что вы поняли, что апелляция к вашим рисункам, на которых можно получить любое количество пересечений-точек (и большее, и меньшее) для разных отрезков, ни о чем.

Для того, чтобы покончить с этим безобразием (включая апории Зенона), надо просто перестать делить протяженное на непротяженное, то есть что-то составлять из точек.

Точка - это только про пересечение линий и ничего больше, только указатель положения в пространстве, а не часть пространства.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:03, ссылка

Это безобразие исходит из абсурдного посыла: протяженное состоит из непротяженных частей.

Разве это новость? Тысячи великих учёных были недовольны таким положением вещей, хотя ответа не нашли.

Я предложил другое решение: пространство - это только точки. Однако недопустимо утверждать, что между любыми двумя точками располагается ещё бесконечное множество промежуточных точек.

Стало быть, надо принять тезис, согласно которому существуют смежные точки, между которыми других точек нет. И тогда расстояние между данными двумя смежными точками будет являться метрикой пространства, т.е. наименьшей длиной, присущей пространству (нечто вроде кванта в физике).

Таким образом, протяжённость складывается не из размеров точек, а из расстояний между ними. Вот вам и решение проблемы. По крайней мере, один из вариантов.

Аватар пользователя boldachev

Разве это новость? Тысячи великих учёных были недовольны таким положением вещей, хотя ответа не нашли.

Если для вас это не новость, то зачем вы утверждаете, что  отрезок состоит из конечного числа того, что не имеет размер?

Однако недопустимо утверждать, что между любыми двумя точками располагается ещё бесконечное множество промежуточных точек.

Это вы только сейчас придумали?  Просто первый раз упоминаете. 

Тогда резонно возникает вопрос, а какое предельное число точек можно поставить между двумя точками? 10, 100000, 1000000? Сколько?

существуют смежные точки, между которыми других точек нет.

И вы можете это геометрически обосновать? нарисовать? И какое расстояние между этими двумя смежными точками? Или они плотно прилегают друг к другу? Но как это возможно - у точек же нет размера)

Таким образом, протяжённость складывается не из размеров точек, а из расстояний между ними. 

И какое это расстояние? Опять не сможете ответить и будетет истинностями мерится?)

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:24, ссылка

Это вы только сейчас придумали?  Просто первый раз упоминаете.

Я долдоню об этом уже более 15 лет.

Все ответы на ваши "вопросы" содержатся в книге "Дихотомическая структура пространства-времени". Читать её, подозреваю, вы не будете, но ссылку, просто для порядка, дам:

http://philosophystorm.org/books/spirin-dikhotomicheskaya-struktura-pros...

И, кстати, многие вопросы из этой книги уже обсуждались на этом сайте.

Аватар пользователя boldachev

Да, вы правильно подозреваете - читать не буду. Мне достаточно понимания уровня ваших знаний и потенций из текущего обсуждения (и предыдущих).

Осталось только дождаться вашего заключения, по теме которую вы подняли: кто из нас дурак?

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:38, ссылка

Осталось только дождаться вашего заключения, по теме которую вы подняли: кто из нас дурак?

Конечно, я.

Вы ведь уже сосчитали количество точек на всех без исключения отрезках, коих в пространстве находится бесконечное множество, и в каждом из всех этих бессчётных случаях у вас получилась ровнёхонько бесконечность.

А я вот до сих пор посчитать не могу.

Аватар пользователя boldachev

Вы ведь уже сосчитали количество точек на всех без исключения отрезках

И опять вы передергиваете) Это исходя из предположения, что отрезки состоят из точек, получается, что этих точек неконечное число - что и демонстрируют ваши рисунки. (Вы же не станете утверждать, что  ваши рисунки доказывают конечное число точек в отрезках.) Если же вы считаете, что число точек в отрезках конечно, то вам надо предъявить методику их подсчета, что вы сделать не смогли.

Я же утверждаю, что протяженные фигуры не состоят из точек, а значит и нет проблемы их подсчета. Тока - это только то, что дано как точка, как пересечение двух линий. Точка это идентификатор положения в пространстве, а не строительный материал для протяженных в пространстве объектов.

Итак, это вы должны считать точки в отрезках (и сообщать нам их количество). Мне считать нечего. Или вернее есть что - только то, что дано как точка. У отрезка две точки, а у окружности нет точек. Появятся, когда ее пересечет или коснется линия.

Вообще спасибо вам за тему.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:03, ссылка

Так ведь это безобразие вы и предлагаете своими рисунками) 

Опять неправда. Я не виноват. Вернее, виноват не я. Рисунки мои, однако данному противоречию уже не одна тысяча лет.

Аватар пользователя boldachev

Вернее, виноват не я. Рисунки мои, однако данному противоречию уже не одна тысяча лет.

Круто)) Так зачем вы их приводили в качестве обоснования своего тезиса о различном числе точек, из которых состоят отрезки разной длины? Вы не знали об этом противоречии? 

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 12:33, ссылка

на отрезках нет никаких точек, кроме двух его образующих. Посмотрите на отрезок: видите на нем точки?  Я не вижу.

Вы слепой? Вы же сами давеча утверждали, что точки есть место пересечения линий.

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 12:23, ссылка

точка на линии есть фиксация факта пересечения с другой линией. И множество таких точек пересечения не образуют отрезок на линии.

Но ведь на рисунке показаны именно места пересечения секущей с отрезками, не так ли?

Давайте возьмём конечное число пересечений и убедимся, что количество точек на большом отрезке больше, чем на маленьком.

А затем будем продолжать эту процедуру как угодно долго, т.е. до бесконечности. Что-нибудь в нашем выводе изменится? Нет! На большом отрезке количество точек всегда будет больше, чем на малом.

Аватар пользователя boldachev

Вы слепой? Вы же сами давеча утверждали, что точки есть место пересечения линий.

Мы вроде уж перешли на обсуждение общих проблем, а не вашего рисунка. В общем случае на отрезке я не вижу никаких точек. А на вашем рисунке вижу одну точку на пересечении отрезка и прямой f.  

Но ведь на рисунке показаны именно места пересечения секущей с отрезками, не так ли?

На рисунке одна точка - одно место пересечения. Вы можете нарисовать много рисунков и обозначить на отрезке множество точек. Но это будут именно точки пересечения, которые невозможно суммировать, отрезок не состоит из этих точек.

Давайте возьмём конечное число пересечений и убедимся, что количество точек на большом отрезке больше, чем на маленьком.

Давайте. И что из этого следует? Что на маленьком отрезке вы поставили меньше точек, чем на большом (пересекли его прямой меньшее число раз). Ну так поставьте больше. Кто вам мешает? Это же вы сами произвольно выбрали условие, что точки надо ставить только одной прямой.

Хотя измените немного условие на вашем рисунке: закрепите пересекающую прямую в точке O на прямой АС выше точки А и двигайте ее не параллельно, а радиально и делайте засечки. 

И о чудо -  при таком перемещении (повороте вокруг точки O) прямой OD на отрезке AB будет отложено больше точек, чем на CD.

Еще раз повторю: нет никакой связи между тем, сколько точек можно поставить на отрезке и его длиной.

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 14:55, ссылка

На рисунке одна точка - одно место пересечения.

Ну-у, это уже интеллектуальное (скорее, впрочем, безинтеллектуальное) жульничество. Стало быть, пока я не нарисую ВСЕ точки пересечения, вы будете протестовать против очевидности?

И причём здесь вращение? Где я об ентом чё-то говорил? Чем вам статика не ндравится?

Аватар пользователя boldachev

Стало быть, пока я не нарисую ВСЕ точки пересечения, вы будете протестовать против очевидности?

А все это сколько?

Это у вас чистейшей воды жульничество - произносите слова "все", "конечное число", а перечислить эти "все точки" не можете, сказать сколько же точек в отрезке - отказываетесь.  

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 12:14, ссылка

Пространство не объектно и у него нет никакой структуры - оно не может из чего-то состоять.

А вот и источник всех ваших глупостей. Нашёлся, слава богу.

Напоминаю азы логики:

Всякая истина может быть истиной только в рамках какой-либо аксиоматической системы.

Так, вы не вправе утверждать, чему равна сумма внутренних углов треугольника, пока не назовёте систему, в которой данное конкретное утверждение доказано.

В аксиоматической философии категория "пространство" имеет структуру, для которой указано также количество степеней свободы, которыми обладают дамоны и немоны, помещённые в пространственную точку.

А в какой аксиоматической модели выводите вы свои заключения? Ась?

Я не вижу в пространстве никаких точек. Откуда они там могут взяться? Даже сама фраза "пространство состоит" мне кажется абсурдной.

Переведу вашу гениальную фразу на общедоступный метафорический язык:

Я не понимаю геометрию Евклида, поэтому фраза "точка есть то, что не состоит из частей" мне кажется абсурдной.

Аватар пользователя boldachev

Я не понимаю геометрию Евклида, поэтому фраза "точка есть то, что не состоит из частей" мне кажется абсурдной.

Зачем вы передергиваете? Я написал, что  фраза "точка есть то, что не состоит из частей" не является определением точки. Про абсурдность вы сами придумали. Будьте внимательнее)

Аватар пользователя Пенсионер

boldachev, 18 Октябрь, 2018 - 22:02, ссылка

И вы их можете сосчитать? Сколько точек в отрезке длиной 1 см?

Я-то как раз могу их сосчитать, а вот вы - нет. Потому что у меня есть аксиоматическая система, а у вас - только своё мнение, к тому же весьма плохо продуманное.

Итак, в ДФ:

Чтобы узнать количество точек на отрезке, надо поделить 1 см на метрику пространства.

А вам слабо?

Аватар пользователя Евгений-Бур

Пенсионеру

Поскольку линия состоит из точек, то чем длиннее линия, тем больше она содержит точек

Это, конечно, ЖЕСТЬ!!!

Можете показать, КАК вы это посчитали?))

Категория Количество, как впрочем и другие категории, не допускает вольностей в пользовании. Что больше 1 килограмм мяса или 10 фунтов стерлингов?

Длина не измеряется количеством точек и наоборот. Более того, существует принципиальная разница в измерении количеств конечных и БЕСконечных.

Для разрыва ума: количество точек в отрезке и в бесконечной прямой -- одинаково.

Ещё страшней: ровно столько же точек в плоскости, 3-х, 4-х и т.д. мерном пространстве. Для измерения бесконечных количеств используется категория -- мощность.

ПС. Попытки свести сложное к простому в пределе уничтожают и то, и другое.

Чтобы узнать количество точек на отрезке, надо поделить 1 см на метрику пространства.

Где вы такое вычитали??? И почему НА отрезке, а не В, например? Почему именно сантиметр, а не локоть или дюйм...?

Чисто интересуюсь (без радикальной конкретики): вы какое учебное заведение закончили?

рекомендация: пока ещё не все прочитали ЭТО -- удалите)) ЭТО -- из серии школьных смешилок.

Я не имею желания вас глубоко обидеть, но и откровенную чушь не надо писать.

Аватар пользователя Пенсионер

Евгений-Бур, 24 Октябрь, 2018 - 10:12, ссылка

Где вы такое вычитали??? И почему НА отрезке, а не В, например? Почему именно сантиметр, а не локоть или дюйм...?

Во-первых, я это не вычитал, я это сам написал. Но сначала, конечно, придумал.

Во-вторых, сантиметры были заданы оппонентом. Просто вы, вероятно, не следили за дискуссией. Это взято отсюда:

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 15:10, ссылка

Уже несколько раз просил вас написать, сколько точек в отрезке в 1 см. Или хотя бы приведите методику подсчета количества точек. 

Это ваш единомышленник, судя по всему.

Так вот. В структуре пространства, построенной дихотомическим методом, линии образуются не путём прикладывания друг к другу точек, ибо из не протяжённых точек нельзя сложить протяжённые длины. Длина в такой структуре образуется путём сложения расстояний между точками. Наименьшее расстояние между двумя смежными (ближайшими) точками названо метрикой (термин Гаусса).

Аватар пользователя Евгений-Бур

Пенсионеру

Это ваш единомышленник, судя по всему. [Александр Болдачёв (Е-Б)]

 Я бы ответил так.

До моего единомышления с А.Б. мне далековато, но очень хотелось бы. ну ооочень.

Я отношусь к нему с глубочайшим почтением как к Учёному-Философу. Более говорить не буду, дабы не сглазить)

------------

Теперь о предмете.

1. Вы никак не ответили на вопрос, сколько точек в 1 см. И не важно, кто этот вопрос задал. У меня есть уверенность, что у вас просто даже мыслей нет на сей счёт, не знаете, с какой стороны подойти.

2. Цитата из вашего, которая следует ниже:

В структуре пространства, построенной дихотомическим методом, линии образуются не путём прикладывания друг к другу точек, ибо из не протяжённых точек нельзя сложить протяжённые длины. Длина в такой структуре образуется путём сложения расстояний между точками. Наименьшее расстояние между двумя смежными (ближайшими) точками названо метрикой (термин Гаусса).

просто набор слов, рядом лежащих с затронутой темой, но не имеющий связного смысла. Набор слов, в котором найти логику, с которой можно было бы пообщаться, невозможно. Вы уж извините, но вами там не понято ни единого термина по-отдельности.

"Длина в такой структуре образуется путём сложения расстояний между точками."

жесть! Т.е. имеются хотя бы две точки (а что такое "точка"?), между которыми как бы ничего нет, кроме расстояния, которое образует длину... (иногда можно почитать занимательные мысли из сочинений школьников. это как раз из этой серии. и всё остальное в том же духе)

"Наименьшее расстояние между двумя смежными (ближайшими) точками названо метрикой (термин Гаусса)."

это тоже вы написали, потому что сначала придумали? но Гаусс тут каким боком?

а что такое смежные точки? а линия в вашем исполнении, в частности окружность, имеет таки гладкую форму или "круглый" многоугольник. и вообще линии в вашем дихотомическом пространстве как выглядят? можете дать ссылку на рисунок, что ли?

--------------

если ответите, буду рад пополнить свою коллекцию оригинальных мыслей.

------

ПС. по поводу "из не протяжённых точек нельзя сложить протяжённые длины". Можно, если ты -- Создатель. я уж делаю скидку на ахинестичность оригинального слово-ряда и отвечаю на мысль, которую в этот ряд попытались заложить. Протяженность у вас из чего сложена?

---------

название своего базового образования не рассекретите?

у меня -- математика

Аватар пользователя Vadim Sakovich

В связи с тем, что меня уже несколько раз разоблачили, придётся признаваться во всём. Да, был грех! Госдеп послал меня сюда (на ФШ) уже не с поддельным паспортом (Спокус Халепний), а с настоящим (Vadim Sakovich). Естественно, послал с заданием. Свести потихоньку с ума обитателей форума, вплоть до админов. Прокол трамповской команды заключался ишь в том, что их посланец успел ДО ТОГО, ДО ТОГО (хея! хея! хея!) сойти с ума сам.

Итак, чем меня в Госдепе вооружили. Кстати, я и не скрывал!!! (см. вспомогательные поля в этой теме). Вооружили меня новейшей философской разработкой (тайное оружие Гоосдепа).

Это тайное оружие русофобов разработал, сука, Аристотель. Его парадокс назван "Колесо Аристотеля" и подброшено злоумышленниками в русскую часть Википедии (задолго до того как меня заслали на форум с заданием). Если вы посмотрите в самую верхушку этой темы, то обнаружите, что я ничего не скрывал - там Аристотель был обозначен.

Но в Википедии сразу говорится, что это физический парадокс, и далее - по проторенной дорожке - всё объясняется скольжением. Тут вопросов нет.

А как быть, если рассматривать просто окружности на круге? Нарисованная меньшая окружность не скользит по поверхности большой. Она же нарисованная. Это ж всё равно как в китайском варианте сравнивать живого тигра с нарисованным. Так вот, перед тем как выполнить свою подрывную роль на форуме (за соответствующее вознагрождение от Госдепа), я именно так и поставил перед собой задачу - в геометрическом русле. После этого я понял, что от Госдепа никаких компенсаций я не дождусь. Ну, кроме госпитализации в дурдом.

Итак, всем, кто предлагает учитывать скорости (линейные и угловые), а следовательно и ВРЕМЯ.

Вы и вправду считаете, что на рисунке что-либо изменится, если представить себе, что этот оборот круга совершается в течении не трёх секунд, а за три месяца?

Отрезки XX' и YY' надо рассматривать как отрезки двух ИЗНАЧАЛЬНЫХ прямых, которые являются просто касательными к окружностям. И мы просто делаем на этих прямых засечки: в начале движения X и Y, а в конце - после полного оборота X' и Y'. Другими словами, эти отрезки (и точки на них) не являются путями, траекториями и другими циклоидами, относящимися к точкам на кругах.

Почему же я не могу именно в такой (геометрической) постановке рассматривать данный парадокс, и не интерпретировать его в физический, как это делают (для своего удобства) люди из википедий и др., знакомые с Аристотелем конечно же лично.

P.S. Последнее сообщение Дмитрия - отдельный разговор. Нужно время. Но не для кругов, а для меня.

 

Аватар пользователя boldachev

Почему же я не могу именно в такой (геометрической) постановке рассматривать данный парадокс, и не интерпретировать его в физический

Элементарно: просто потому, что в чисто геометрическом рисунке нет никакого парадокса. Попробуйте объяснить нам, в чем там парадокс, без использования физического термина "катится" (движется)?

Кстати, мое объяснение через обязательное равенство скорости движения центра и линейной скорости точек на окружности для получения развертки куда изящней и точнее, чем с проскальзыванием. Оно строго объясняет откуда берется проскальзывание. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Попробуйте объяснить нам, в чем там парадокс, без использования физического термина "катится" (движется)?

Без слова катится и движется - можно сказать - развёртывается. И тогда получается, что часто используемое в геометриях понятие развёртывающиеся поверхности [в частности, на плоскость] требуют учёта скоростей и разной другой физической всячины.

Кроме того, вы не учли ещё одно моё замечание (в квадратных скобках - уточнения): Отрезки XX' и YY' надо рассматривать как отрезки двух ИЗНАЧАЛЬНЫХ прямых [прямых, существующих до развёртывания], которые являются просто касательными к окружностям. И мы просто делаем на этих прямых засечки: в начале движения [развёртывания] X и Y, а в конце - после полного оборота [после полного развёртывания] X' и Y'. Другими словами, эти отрезки (и точки на них) не являются путями, траекториями и другими циклоидами, относящимися к точкам на кругах. [Мы просто делаем засечки до и после на касательных]

Аватар пользователя boldachev

Без слова катится и движется - можно сказать - развёртывается

Один черт - движение, изменение чего-то во времени. А в геометрии понятия время нет.

И тогда получается, что часто используемое в геометриях понятие развёртывающиеся поверхности

В геометрии развертка - это просто преобразование (выпрямление), которое никак не учитывает время, то есть процедуру получения самой развертки. И развертка значит именно точную развертку. То есть для того, чтобы в рамках геометрии назвать отрезок XX' разверткой надо нарисовать его именно длиной, равной длине окружности. Иначе это не будет развертка.

Ведь весь подвох в парадоксе именно в смешении двух значений слова "развертка": (1) геометрического - просто "выпрямленная" линия или плоскость и (2) физического - получение развертки протяженным во времени действием (качением). Вот и получаем: качение есть? - есть! - значит развертка). А геометрически это никакая не развертка, а линия произвольной длины.

Отрезки XX' и YY' надо рассматривать как отрезки двух ИЗНАЧАЛЬНЫХ прямых [прямых, существующих до развёртывания], которые являются просто касательными к окружностям.

  А как еще можно рассматривать геометрическую картинку? Только как существующую вечно - и до и после.

Но повторю: XX' с геометрической точки зрения не является разверткой. Поэтому и никакого парадокса нет. Вы показываете рисунок: на нем два равных отрезка, и вдруг заявляете, что они оба развертки окружностей, касательными к которым они являются. Вам любой скажет, что это не парадокс, а просто ошибка - не может быть одинаковые развертки у окружностей с разными радиусами. А вам и возразить нечего - не станете же вы в  геометрии объяснять про вращение.

И мы просто делаем на этих прямых засечки: в начале движения

Нет никакого движения в геометрии. Попробуйте дать описание "парадокса" без упоминания времени в ком-либо виде, то есть только в геометрических терминах. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

А вообще, я могу попробовать объяснить этот геометрический парадокс, но над формулировками надо ещё хорошо поработать. Ваши замечания очень бы пригодились в такой работе. Ведь ФШ это совместное философское творчество? Не?

Итак, вспомним для начала Аристотеля с его проклинаемыми всеми метафизиками законами тождества и разных там непротиворечий. И тогда, если очень коротко, и без нужных и дотошных объяснений, этот парадокс можно разрешить так:

Когда мы говорим о полном обороте кругов (или о четверти, половине - не имеет значение), то под понятием "оборот" мы подразумеваем вращение вокруг центра круга. [Кстати, в школьной геометрии мы перемещали по плоскости треугольники, совмещая их, и без всяких "скоростей", несмотря на то, что движение всё же подразумевалось].

Так вот, под этим же понятием "оборот" мы в данном парадоксе подразумеваем не просто вращательный оборот, а оборот, при котором сам центр вращения движется. И не просто движется, а движется В ЗАВИСИМОСТИ от того, по какой из касательных (XX' или YY') идёт развёртывание. Другими словами понятия оборот (точно так же, как и собачка у пассажрки С.Маршака) в течении нашего рассуждения могло "подрасти": изначально оборот - это вращение вокруг точки, а в процессе рассуждения он (оборот) превратился в СОВМЕСТНОЕ вращательно-поступательное движение.

 

Аватар пользователя эфромсо

Другими словами понятия

 Тот не философ,  кто не отличает то, что есть -  от того, что ему  кажется в словах и грезится в понятиях...

Аватар пользователя boldachev

Ну, допустим, мы разрешим себе ввести в геометрию понятия "перемещение" и "вращение". Для чего? Понятно, для построения развертки. Хорошо. Первым вопросом на который нам потребуется ответить будет такой: а как должны соотноситься вращение окружности и перемещение ее центра, чтобы засечка на окружности отмерила на прямой именно и только развертку? Понятно же, что не любое вращение и перемещение даст нам развертку. Если окружность будет вращаться по часовой стрелке, а ее центр будет перемещаться влево, то явно мы не получим развертку. ... Для ответа на вопрос "как на получить развертку?" - нам в любом случае придется ввести понятие скорость и сделать вывод, что развертка получается только при совпадении скорости движения центра окружности и линейной скорости движения точек окружности. Но сформулировав это, мы лишим себя парадокса:  всем очевидно, что линейная скорость точек на двух окружностях с разным радиусом не совпадает  и развертка у нас может получиться только для одной окружности.

Повторю, парадокс строится на отождествлении двух значениях слова "развертка": (1) как выпрямленной кривой (окружности), и (2) и как того, что получается при качении окружности по плоскости. Как только мы формулируем строгие условия для получения развертки качением - парадокс растворяется)

Аватар пользователя Горгипп

Что Вас мучает?! Развертка малой окружности самой по себе сопровождается развёрткой большой окружности. Поскольку рисунок отображает качение большой, скрытое им качение малой видится "растянутым" - XX`. За видимым надо видеть действительное: оборот большого и малого совпадают... Следовательно, на "растянутом" XX`нужно отложить длину малой окружности. YY` - длина большой окружности. 

Делов то!    

Аватар пользователя boldachev

Что Вас мучает?!

Непонятно, что вас мучает. Мы уже давно перестали анализировать сам парадокс. С ним нет проблем. Спокус пытается превратить его в чисто геометрический - это и обсуждаем. 

Развертка малой окружности самой по себе сопровождается развёрткой большой окружности.

Нет, не сопровождается. Развертка (разворачивании окружности) может быть только на одном из соосных колес. Перечитайте внимательно мой первый комментарий (над которым вы смеялись) - там сформулировано условие получение развертки при качении колеса по плоскости.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Спокус пытается превратить его в чисто геометрический - это и обсуждаем.

Что значит превратить. Он, значиццца был изначально не геометрический, а по ходу обсуждения я решил его превратить в геометрический? Но позвольте! Там прямо в теме слово геометрический подчёркнуто. Какие документы мне ещё надо предъявить, чтобы вы поверили?

Аватар пользователя Горгипп

 boldachev ...это не парадокс, а просто ошибка - не может быть одинаковые развертки у окружностей с разными радиусами.

Ну да! С самого начала Спокусу твержу.  

Спокус пытается превратить его в чисто геометрический - это и обсуждаем.

Движение колеса можно представить геометрически. Понятно. Надо только правильно представить. Если в геометрическом рисунке чего-то недостаёт из движения колеса - сливай воду! А тут человек засел за чистые, бессодержательные геометрические формы! А я удивлялся, почему у америкосов так много нобелевских лауреатов?!   

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Я чувствую себя лишним на этом празднике жизни. Все заговорили о колёсах, но в моей теме нет колёс, а есть большой круг и нарисованный внутри него - меньший (концентрический).

С каким-то упорством сумасшедших сообщество (во главе с админом) рассматривает на полном серьёзе как при качении большого круга нарисованный круг будет проскальзывать. Когда вокруг тебя (меня) собирается сообщество философов (бля!) и хором - на полном серьёзе рассказывает мне о скольжении нарисованного круга, то к психиатру хочется пойти ЕЩЁ ДО рассмотрения самой задачи. Этого уже вполне достаточно, чтобы быть полноценным пациентом дурдома. Это у вас такая месть Госдепу?
 

Аватар пользователя эфромсо

 к психиатру хочется 

 Вы бы ото вместо дуркования - соорудили математические  формулы - функции движения всех Вами обозначенных точек  и   выразили бы формальную  разницу (либо - отсутствие таковой) между двапиэр и XX"... (в цифрах или буквах)

Аватар пользователя Vadim Sakovich

В условии парадокса никаких формул не было. Его надо разрешать логическим путём, с помощью здравых рассуждений. Точнее - находить логическую ошибку в самой формулировке (интерпретации) того, что делает парадокс парадоксом.

Аватар пользователя эфромсо

 Внутренний круг с радиусом Rx делает, естественно, (НЕ) тот же оборот, (а ОБОРОТ С ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ). Вот и всё.

...а центр -  вааще не обязан обращаться, он только "едет в большом колесе" и глядит себе куда хотит...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Как же, как же? Большой круг делает тоже оборот с перемещением. Даже не так. Правильнее сказать, что именно большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой). А малый круг (как одно целое с большим) делает такой же один оборот, но это его перемещение такое, как у большого. Потому что качение осуществляет большой, а не малый. Поэтому параллельное перемещение малого полностью зависит от параллельного перемещения большого.

Аватар пользователя Горгипп

Надо короче выражаться, теоретичнее, а то слова забивают смысл. Это про госдеп и прочее... 

Уже указывал на главное: мимо ушей... Катится ли колесо, развёртывается ли окружность суть дела не меняется. Она в том, что на рисунке колесо (круг) сделал один оборот, переместился на длину своей окружности, занял прежнее положение в другом месте. Все его точки, включая точки обозначающие малую окружность, переместились на то же расстояние. Отсюда XX`= YY` в том числе. Развёртывания малой окружности на рисунке нет (!). Окружность есть, а развёртывания нет. Почему? Отвечаю для особо словоохтливых: потому что развернута только большая окружность, а XX` приписана малой. Ошибка.     

Можно развернуть малую окружность на том же рисунке на "касательной" (автор Спокус) XX`, но лучше отдельно.  Перемещение малой окружности равно длине последней. Расположим под новым рисунком, рисунок перемещения большой окружности. Всё, нет парадокса. 

Если у кого-то в голове засело "проскальзывание", это от избытка воображения. Надо сверяться с действительностью. Одновременный оборот совершают оба круга, большой  и малый, значит, надо показать и тот и другой, неважно, по отдельности или совмещённо. 

Аватар пользователя эфромсо

Вот именно - в условии сказано про оборот и не упомянуто перемещение, которое естественным образом подразумевается носителями мозгов, однако если у кого  мозги забиты представлениями о самодостаточных объектах, то эти объекты неизбежно отображаются везде и во всём, натурально "затеняя" то, что есть на самом деле...

Аватар пользователя Горгипп

Попробуйте объяснить нам, в чем там парадокс, без использования физического термина "катится" (движется)?

Вот опять! Только материалист так твёрдо скажет! Подумайте над заявлением о переходе...  сами знаете куда)) 

Аватар пользователя Горгипп

Спокус! Прошу извинить меня. Про аристотелевское авторство парадокса не знал. Попался на мякине... 

Аватар пользователя Дмитрий

На мой взгляд, главная причина этого парадокса - специфическое движение точек окружности. Даже если просто рассматривать вращение колеса без поступательного движения - видно, что каждая точка за один оборот проходит разное расстояние в зависимости от своего удаления от центра окружности. Большая и малая окружность, т.к. они вместе соединены, имеют один и тот же период. И все зависит от того, какую окружность вы развертываете: если большую, то и период оборота малой окружности увеличится, если меньшую - то уменьшится период большей окружности.

Впервые слышу про такой парадокс. Век живи - век учись. :)

Аватар пользователя Евгений-Бур

Вадиму Саковичу

Ноги "парадокса", который всегда есть результат физического состояния мозгов, кроется в том, что рисунок абсолютно неполноценный, вернее на рисунке изображено плоско-параллельное перемещение(!!!) слева направо безо всяких там извратов с иными телодвижениями, а к обсуждению предлагается некое "перекатывание" круга.

Для начала надо ПРАВИЛЬНО нарисовать, а потом уже приступать к обсуждению.

Таки нарисуйте, как именно (траектории) эти две точки переместились из одного места в другое и будет вам ответ на вопрос:

Вы и вправду считаете, что на рисунке что-либо изменится, если представить себе, что этот оборот круга совершается в течении не трёх секунд, а за три месяца?

Не важно как долго, важно по каким траекториям.

Перерисовывайте, может и вопросы отпадут... 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Итак, я уже сказал, что хочется сделать объяснение этого геометрического парадокса лаконичным и понятным. Предлагаю вторую пробу пера.

Итак, за один оборот качения большого круга по прямой образуется отрезок YY' равный длине окружности этого большого круга. Геометрическое качение - это качение без всякого скольжения и при этом скорость совершенно никого не интересует (это не кинематика). Нам достаточно только сделать засечки на окружностях большого и малого кругов - Y и X, а после одного оборота - Y' и X'.

Сам парадокс состоит в том, что засечки правильно показывают длину окружности большого круга, но неправильно - малого, хотя они оба сделали один оборот.

Так вот, дело в том, что большой круг катится по прямой, совершая плоско-параллельное движение, которое есть сумма прямолинейного и вращательного. Малый круг тоже совершает плоско-параллельное движение. Но! Вращательное у них общее, а прямолинейное у малого круга "взято" от большого, так как именно большой круг катится по прямой, а не малый. Отсюда и выходит, что оборот у них один а прямолинейный участок малый круг "наследует" от большого. Поэтому пройденный прямолинейный участок будет зависеть только лишь от радиуса ТОГО КРУГА, который катится по прямой. Если бы катился малый, то мы бы удивлялись тому, почему YY' у большого круга такой маленький (почему его [якобы] длина окружности такая же, как у малого круга).

Аватар пользователя эфромсо

...так и вижу, как при упоминании "наследования" - рука Аристотеля тянется к чему-то тяжелому либо острому...

Аватар пользователя vlopuhin

Таким образом всё дело не в геометрии, и не в физике с химией, всё дело в наследственности! Попробуйте катать (без скольжения) не цилиндры с колёсами, а конусы. Это Вам не дурака валять.

Геометрическое качение - это качение без всякого скольжения и...

...самое интересное, что абсолютное скольжение (без трения, то есть параллельный перенос) даёт тот же результат, и наследственность никак не мешает. У нас нынче автотюнинг в моде, колпаки на колесах крутятся как хотят на шпенделях, независимо от ступицы, такое хайли лайкли, будто машина едет, а колёса не крутятся, или машина стоит, а колёса крутятся, при чем в разные стороны, и с разной скоростью, это Вам не нарисовать, и даже не спеть...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Я же уже десять раз говорил, что о колёсах речи в парадоксе нет. Если вы хотите говорить о колёсах и точильных камнях - открывайте свою тему. А так (после десятого раза) получается, что вы намерено гадите. Не?

Аватар пользователя vlopuhin

Лучше поясните, что вы подразумевали под этим?:

Вращательное у них общее, а прямолинейное у малого круга "взято" от большого, так как именно большой круг катится по прямой, а не малый. Отсюда и выходит, что оборот у них один а прямолинейный участок малый круг "наследует" от большого.

Когда речь идёт об иллюзии ещё понятно, человек видит то, чего на самом деле нет. Но ведь согласитесь, такое объяснение парадокса, мягко говоря, на объяснение не тянет. Может быть всё дело в условиях, как это было с парадоксом Рассела? Но вроде бы Болдачев уже эту версию опроверг, прямые линии и до и после какими были, такими и остались. Вот я и вспомнил британскую шутку: это выглядит настолько правдоподобно, что скорее всего так оно и есть. То есть в самом деле наследственность?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Цитирую себя (см.выше ответ Эфрмсо): большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой). А малый круг (как одно целое с большим) делает такой же один оборот, но это его перемещение такое, как у большого. Потому что качение осуществляет большой, а не малый. Поэтому параллельное перемещение малого полностью зависит от параллельного перемещения большого.

Малый круг и большой - это одно целое. Главное - какой из кругов катится (движется по заданной прямой).

Чистого вращения нет ни у большого, ни у малого. А есть сумма движений: вращательного и прямолинейного. Прямолинейное зависит от того, какой из кругов осуществляет качение.

Аватар пользователя Горгипп

А есть сумма движений: вращательного и прямолинейного

Вроде начал раскладывать как надо и опять самостийная мысль влезла, всё попортила.  Вращательное преобразуется в поступательное и наоборот. Где это видано, чтобы градусы (радианы) вращения суммировали с метрами поступательного движения?! Хорошо, Спокус, что перебрался, Нэньке меньше хлопот)). Достаётся Ей!  

Аватар пользователя vlopuhin

Горгипп, 18 Октябрь, 2018 - 12:24, ссылка

А есть сумма движений: вращательного и прямолинейного

 Где это видано, чтобы градусы (радианы) вращения суммировали с метрами поступательного движения?!

Что изменится, если круг одновременно вращать вокруг разных точек? Ведь можно катить круг не по плоскости, а по другому кругу. Что то вроде роликовых подшипников. Тогда никто не запретит суммировать градусы с градусами?

Аватар пользователя boldachev

большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой).

Нет. Так не пойдет. Не всякий оборот круга с перемещением есть качение. И в этом собака порылась. Допустим за один оборот круга его центр переместился на половину длины окружности - это качение? Или вообще (о чем я вам уже писал) круг вращается по часовой стрелке, а его центр перемещается влево - это качение? Повторю свой вопрос: что такое качение? или: при каких условиях поворот круга с перемещением образуют развертку?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Если в Википедии набрать для поиска слово "качение", то вас перебросят в статью "плоскопараллельное движение", в котором качение колеса по горизонтальной плоскости - это один из простых видов такого движения. Слово колесо используется просто как заменитель слова круг (окружность).

Качение круга по плоскости представляет собой сочетание вращательного и прямолинейного движений. Никаких скольжений, естественно, в геометрии не рассматривается. Каким образом при качении (по плоскости, по прямой) центр круга может перемещаться влево при вращении по часовой стрелке - не знаю.

Могу лишь задать аналогичный вопрос: если вы пошли налево, а голова пошла направо, то означат ли это, что вы пошли налево?

Итак, вы и вправду считаете, что качение круга (окружности) по прямой в данном парадоксе требует расшифровок понятия качение?

Однако, с тем же успехом анализ апории Ахиллес и черепаха надо было бы начинать с уяснений: а не повредил ли себе ногу Ахиллес (кстати, как бывший самбист замечу, что известный болевой приём "ущемление ахиллесова сухожилия" вполне претендует, чтобы апорию начинать с медицинского исследования того, что чуть выше "ахиллесовой пяты" - не застряла ли там стрела, которая к тому же ещё и не может лететь).

То есть вы предлагаете начать с объяснения понятия качение, а потом плавно перейти к доказательству того, что при качении круга (колеса, окружности) по прямой за один оборот будет пройден отрезок в 2пиR. Или вы предлагаете прямо начать с построения квадратов на сторонах прямоугольного треугольника? И тогда, через пару тысяч лет дойти до данного парадокса. Не?

Аватар пользователя boldachev

Итак, вы и вправду считаете, что качение круга (окружности) по прямой в данном парадоксе требует расшифровок понятия качение?

Да, я именно спрашиваю, что значит качение круга по прямой?

Когда колесо катится по дороге я понимаю, что такое качение. Но вы же отвергли эту физическую/механическую интерпретацию. Так расскажите нам на геометрическом языке, что значит качение?

Еще раз напомню вам вашу фразу: "большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой)". Что значит "с перемещением"? в какую сторону? на какое расстояние?  Из вашего тезиса следует, что любое перемещение (на любое расстояние в любую строну) с оборотом есть качение. Не забывайте, что мы же о геометрии, а не о колесе! Вот ваш круг делает один оборот и при этом перемещается по горизонтали на 1 метр влево, или на 2 метра вправо, или на 10 метров в любую сторону - и все это качение? Везде мы получим развертку окружности? 

Если вы не поняли проблемы, а мне кажется у вас с этим какие-то проблемы, еще раз привожу вашу фразу: "большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой)". И еще раз задаю все тот  же вопрос: с каким перемещением? с любым? С любым перемещением будет качение? Если круг радиусом 1 метр сделал один оборот при перемещении его центра на 1 километр - это будет качение?

Прошу вас, сформулируйте на геометрическом языке, что такое "качение". Ведь очевидно, что не любое перемещение круга с вращением является качением.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Да, я именно спрашиваю, что значит качение круга по прямой?

Когда колесо катится по дороге я понимаю, что такое качение. Но вы же отвергли эту физическую/механическую интерпретацию. Так расскажите нам на геометрическом языке, что значит качение?

То есть, с колесом вам всё ясно, а с кругом - нет? Когда колесо катится по ровной дороге - нормально! А когда круг по горизонтальной прямой - нет? Так точно так же и во всей геометрии. Там нигде не изучают состав стали, из которого сделано колесо, насколько оно гладенькое и т.д.

В парадоксе круг катится по горизонтальной прямой в плоскости (в двумерной координатной системе). Слово катится вы считаете надо обосновать. Опять же, а в апории Зенона надо ли давать предварительное уточнение о типе кроссовок у Ахиллеса?

Колесо (круг) осуществляет вращательное и прямолинейное движение одновременно. Это и есть качение.

Аватар пользователя boldachev

Извините, я вынужден прервать обсуждение, поскольку вы уже который раз уходите от ответа на прямой вопрос, который закономерно возникает при прочтении вашего тезиса: "большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой)".

Могу его повторит еще раз: качение по прямой получается при любом перемещении круга за один оборот? На 1 метр, 1 километр, 1000 километров за один оборот - это все будет качение?

Вы же не глупый человек и должны понимать, что качением можно назвать только один конкретный  вариант перемещения центра окружности (на некоторое фиксированное расстояние, которое вам известно).

Аватар пользователя vlopuhin

Vadim Sakovich, 18 Октябрь, 2018 - 22:51, ссылка

Да, я именно спрашиваю, что значит качение круга по прямой?

Когда колесо катится по дороге я понимаю, что такое качение. Но вы же отвергли эту физическую/механическую интерпретацию. Так расскажите нам на геометрическом языке, что значит качение?

То есть, с колесом вам всё ясно, а с кругом - нет? 

Вадим Владимирович, Вы забыли, что у Вас два круга. Один катится, а второй не катится. Только потому что он нарисован? Ну да, он у Вас наследует движение первого, того, который побольше. Интересное кино получается, в то время, когда всё прогрессивное человечество ломает голову над тем, как движутся точки круга, вырезанного из фанеры из карельской берёзы, а круг на самом деле один единственный, Вы с Пенсионером морочите мне голову типа откуда бля в Сан-Франциско взялась карельская берёза. После этого меня рвёт на части, как всякую точку на том самом круге, которая одновременно движется в двух направлениях:

Vadim Sakovich, 18 Октябрь, 2018 - 11:44, ссылка

Малый круг и большой - это одно целое. Главное - какой из кругов катится (движется по заданной прямой).

Чистого вращения нет ни у большого, ни у малого. А есть сумма движений: вращательного и прямолинейного. Прямолинейное зависит от того, какой из кругов осуществляет качение.

Тут по неволе начнешь скользить или буксовать в Ваших с Аристотелем фантазиях о двух кругах... Надеюсь теперь понятно, что это не парадокс, а чистой воды иллюзия, и Вы со своим другом Аристотелем затмили всю Британию со всеми Скрипалями. Иллюзия заключается в том, что нарисованная окружность круглая, вот зрительно и кажется, что она катится, а на самом деле она летит, хоть и не очень высоко.

А что бы Вам с Аристотелем не скучно было, разверните ещё парочку окружностей:

Аватар пользователя boldachev

Надеюсь теперь понятно, что это не парадокс, а чистой воды иллюзия

Это и не парадокс и уж точно не иллюзия, а просто логическая уловка построенная на недоопределенности понятий. Как только Спокус даст определение качения, то уловка станет невозможной.

Аватар пользователя vlopuhin

Можно ли кинематические заморочки отнести к разряду логических? Чуть выше на рисунке я добавил в большую окружность две маленькие. Если бы вместо двух была бы одна окружность, то она бы катилась внутри большой (по внутренней поверхности большой окружности). Но когда их две и они соприкасаются, то они не покатятся, заклинит. Если же перейти к физике, то "парадокс" обнаруживается уже в самом вращении, когда точка движется по окружности, потому что вектор скорости меняет направление, то есть действует центростремительное ускорение. А ускорение в физике это взаимодействие, а взаимодействие в свою очередь сила. Таким образом как только твёрдое тело начинает вращаться, внутри возникает напряжение, прямо изниоткуда, фактически из воздуха. Вот эту жесткую связь поступательного и вращательно движения без диалектики не победить, потомучто, как мне кажется, "недоопределённость понятий" зацикливается, и что бы выйти из цикла, необходимо вводить в рассмотрение третьего, например, время. Иначе закон тождества не работает, на что и указывает Вадим Владимирович (закон тождества и закон исключенного третьего не дружат).

Аватар пользователя boldachev

Вы кажется нагнетаете. Причем тут диалектика, закон тождества и даже ускорение.

Прочтите предложенное мной решение и найдите там ошибку.

Аватар пользователя vlopuhin

Могу ошибаться, но всё это здесь при том, что все проблемы упираются именно в движение, можно даже встретить определения и доказательства, например, окружности через ножки циркуля, через построение, а ещё точнее через движение.

Аватар пользователя boldachev

Здесь boldachev, 20 Октябрь, 2018 - 15:33, ссылка два решения с движением (кинематическое) и без движения (геометрическое). Найдите ошибки.

Аватар пользователя Горгипп

значит если одна окружность катилась по касательной, то вторая определенно не катилась. Даже не нужно упоминать развертки и измерять расстояния.

Наконец, скажите, почему у Аристотеля  XX` = YY`??? И всё - молодец! 

Аватар пользователя boldachev

почему у Аристотеля  XX` = YY`??? 

По условию задача/парадокса. 

Аватар пользователя Горгипп

Словом, нет ответа.

Катится большое колесо. Всякая точка на нём переместиться на длину окружности за один оборот. Потому XX`= YY`. Что же малое колесо? Оно сделало свой оборот... и переместилось на длину своей окружности. На рисунке Спокуса не показано. Можете  дорисовать... Растолкую что к чему.

Закон механики: выигрываем в расстоянии - проигрываем в силе, и наоборот. Представьте, высоченные ходули. Человек делает шаг ногами 1 метр, а ходули - 2 метра. Значит пройдёт по земле в два раз больше, чем ногами в "воздухе". Проиграл в силе - выиграл в расстоянии. То же с малым и большим колёсами. Крутим шестерёнку на заднем колесе велосипеда - вращаем само колесо... 

Рычаг. Длинное и короткое плечи. Проигрываем в расстоянии - выигрываем в силе. 

 

 

Аватар пользователя vlopuhin

Не то что бы ошибки, но некоторые замечания. 

boldachev, 20 Октябрь, 2018 - 15:33, ссылка

Следует говорить, что окружность катится по касательной к ней прямой, если для двух любых положений окружности на прямой расстояние между точками соприкосновения на прямой и между соответствующими точками на окружности равны (если расстояние на прямой больше длины окружности то совпадать должны расстояние между точками соприкосновения на окружности и остаток после вычитания из расстояния между точками на прямой полных длин окружностей). 

Это определение конечно можно еще оттачивать, но оно верное: берем любые два различающиеся положения окружности и касательной к ней прямой, то есть фиксируем точки их соприкосновения и измеряем расстояние между этими парами точек на прямой и на дуге. Если они равны (при вращении окружности меньше, чем на полный оборот), то значит окружность катилась по прямой между этими двумя положениями.

И обратите внимание, это именно определение, а не эмпирическое наблюдение, как у вас с засечками.

Ну вот и все. Согласно этому определению следует признать, что малая окружность не катилась по касательной к ней прямой  XX'.

Строго говоря Вы привели не определение качения, а признак, по которому можно сказать, что при некотором движении окружности относительно касательной было качение. Как уже упоминалось, здесь без верёвочки не обойтись, не говоря уже о том, что, как заметил ниже Сергей Борчиков (мой комментарий про деформации упругие и не очень и единичный спин благополучно удалён) возможны всякого рода деформации. При определении качения я бы всё же как то связал поступательное и вращательное движения. При качении эти два в общем случае независимых движения жестко связаны в точке соприкосновения, одно без другого немыслимо. В более общем случае не обязательно должно присутствовать поступательное движение центра окружности, это может быть так же вращательное движение, либо центр может быть вообще неподвижным. И далее:

Качением называется такое перемещение окружности по касательной к ней прямой, при котором в каждый момент времени скорость перемещения центра окружности относительно прямой равна линейной скорости движения точек окружности.

И опять "парадокс" растворяется: скорость движения центра двух окружностей всегда совпадала, а линейные скорости точек на окружностях, очевидно, нет, значит если одна окружность катилась по касательной, то вторая определенно не катилась. Даже не нужно упоминать развертки и измерять расстояния.

 Если говорить о скорости, то в данном случае необходимо говорить о скорости движения точек на круге, а не абстрактной точки под названием "центр окружности", а так же не забывать о том, что скорость величина векторная, как и ускорение (вот тут и ускорение плавно вписывается в физическую картину мира).

Еще раз повторю, весь сыр бор с этим  парадоксом стал возможен только вследствие отсутствия строго определения понятия "качение", как только оно появилось, и даже целых два - геометрическое и физическое - то "парадокс" растворился.

По моему всё же парадокс исключительно физический. Если же ограничиться геометрией, то и в самом деле достаточно строгого определения качения твёрдого тела. Правда здесь не плохо было бы привести определение твёрдого тела, при котором, как мне кажется, всплывёт понятие геометрических размеров, а за ним и понятие меры.

Аватар пользователя boldachev

Строго говоря Вы привели не определение качения, а признак, по которому можно сказать, что при некотором движении окружности относительно касательной было качение.

Прочитайте что вы написали: вы привели не определение, а признак по которому можно определить качение. ))

Хотя понятно, что есть качение как качение - как физическое явление, и именно такое качение надо определять для словаря и энциклопедии. 

Но у на с же совсем другая задача  - определить качение в геометрии. То есть не описать, что такое качение в натуре, а зафиксировать, формализовать: какое последовательное взаимное расположение геометрических фигур следует называть качением. И сделать это не уровне "мол, интуитивно понятно", а так, чтобы эту фиксацию можно было бы использовать в геометрических построениях.

Как уже упоминалось, здесь без верёвочки не обойтись, не говоря уже о том, что, как заметил ниже Сергей Борчиков (мой комментарий про деформации упругие и не очень и единичный спин благополучно удалён) возможны всякого рода деформации.

Это не про геометрию. 

При определении качения я бы всё же как то связал поступательное и вращательное движения.

В геометрии нет движения и нет времени. 

 Если говорить о скорости, то в данном случае необходимо говорить о скорости движения точек на круге, а не абстрактной точки под названием "центр окружности"

А что с центром окружности не так? И почему центр/ось колеса (это уже физическое определение) вдруг стала  абстрактной? Почему при описании движения колеса мы не можем указать/измерить скорость его центра?

а так же не забывать о том, что скорость величина векторная

Да, в определении имеется в виду именно и только векторная величина.

как и ускорение (вот тут и ускорение плавно вписывается в физическую картину мира).

Ускорение для определения качения  (данного, да и вообще) учитывать не имеем смысла: если указывается, что две скорости в каждый момент равны, то однозначно будут равны и производные от скоростей.

По моему всё же парадокс исключительно физический. Если же ограничиться геометрией

Парадокс, конечно физический, но никто не мешает его рассмотреть как геометрический и решить двумя методами: и физическим, и геометрическим.

самом деле достаточно строгого определения качения твёрдого тела. Правда здесь не плохо было бы привести определение твёрдого тела, при котором, как мне кажется, всплывёт понятие геометрических размеров, а за ним и понятие меры.

Нет в геометрии никакого твердого тела - есть окружность, которая в геометрии естественно не трансформируется при вращении и перемещении. 

Аватар пользователя vlopuhin

boldachev, 22 Октябрь, 2018 - 13:29, ссылка

А что с центром окружности не так?

Так ведь нет его. Даже малого круга нет, есть окружность, и та нарисованная. Что если я нарисую овал? Он и в самом деле начнет подпрыгивать при качении большого круга?

Аватар пользователя boldachev

Причем тут малый круг? Я же привел определение вращения окружности. Так и написано "Качением называется такое перемещение окружности по касательной к ней прямой, при котором..."

Что если я нарисую овал?

Тогда и будем давать определение качения овала. 

Так ведь нет его.

Центра окружности нет? Вообще нет? То есть в кинематике запрещено указывать скорость центра окружности/колеса? Вы предлагаете скорость качения колеса по дороге указывать исключительно через скорости точек обода, и нидай бог, измерить скорость перемещения его центра, так? То есть таких картинок вы не встречали?

 

Аватар пользователя vlopuhin

Я согласен с Вашим определением (можно подумать у меня есть выбор :) ). И с центром окружности всё в порядке, пока он не выходит за рамки круга (центр катящегося колеса рисует в пространстве линию, повторяющую поверхность, по которой это колесо катится, как Вам такое определение качения?). Центр круга ищется через геометрические построения, изначально его нет, если керном не продолбить ямочку, то и не поймёшь, где дырочку дырявить.

Здесь другая проблема:

Пенсионер, 22 Октябрь, 2018 - 08:25, ссылка

А что будет, если малый и большой круги разделить и "катить" их по отдельности?

Парадокс исчезнет, формула 2пиR станет выполнимой. А почему?

Коль скоро эта проблема геометрическая, не следует ли отсюда, что у нас неверное представление об устройстве пространства? А если оно устроено как-то не так, то как? Не об этом ли следует хорошенько подумать?

 Пространство изначально поляризовано микромир<->макромир. Повсюду, куда не ткни, одновременно и Край и Центр Вселенной. Пространство не может существовать объективно, поскольку оно поляризовано, то без подпорок, как на картинах Сальвадора Дали, оно просто схлопнется. Другими словами пространство это информационный объект, какое пространство, такая и будет геометрия, она наследует все его прелести. Но раз пространство не существует объективно, то оно по определению не может быть Евклидовым. Отсюда напрашивается диаметрально противоположный вывод: Евклидовым или чьим либо другим пространство только и может быть. Есть замечательное свойство пространства, оно расширяемое, но в таком случае всё зависит от точки зрения (умозрения), то, что с одной точки зрения может показаться парадоксальным, с другой точки зрения таковым уже не является. К чему это я? Да хрен его знает, надумалось, пока ехал на работу...

Аватар пользователя boldachev

центр катящегося колеса рисует в пространстве линию, повторяющую поверхность, по которой это колесо катится, как Вам такое определение качения?

Согласно этому определению в обсуждаемом парадоксе малая окружность катится как и большая. Значит что-то не так) 

Центр круга ищется через геометрические построения, изначально его нет, если керном не продолбить ямочку, то и не поймёшь, где дырочку дырявить.

Я так и не пойму вы о чем? Вы в школе не проводили радиусы из центра окружности? 

Центр окружности такая же определенная ее точка, как и угол треугольника. И фраза "повернем окружность вокруг своего центра на столько-то градусов" стандартна для геометрии (ну правда, вы можете поднять руку и сказать, а центра у окружности нет))) Наверное философией заниматься вредно))) Человек начинает искать проблемы там, где их нет.

Пространство изначально поляризовано микромир<->макромир.

Говорю же, занятия философией к добру не приводят. Для меня очевидно, что в этой ветке философии быть не должно - только геометрия и кинематика. 

Аватар пользователя vlopuhin

По моему так и есть, когда учитель просит повернуть окружность вокруг её центра, все ученики судорожно хором начинают этот центр искать, ну кроме тех, кто предварительно забил туда гвоздик. Хотя действительно, философии здесь не место. Разве что только логике?!

Аватар пользователя Горгипп

 Болдачёв: Как только Спокус даст определение качения, то уловка станет невозможной.

В этом весь Болдачёв))! Будто на глаз не видно, что большое колесо переместиться на большее расстояние, чем малое... Вопрос, почему XX` = YY`? (!). Не уточнение  определений нужны в первую очередь, а понимание движения. Геометрия лишь средство его отображения.  

Аватар пользователя boldachev

а понимание движения. Геометрия лишь средство его отображения.  

Ну так поймите и геометрически отобразите.

Или предлагаете остановиться на решении "так ведь на глаз видно"?

Аватар пользователя Горгипп

Вопрос, почему XX` = YY`? (!).

Ответьте.   

Аватар пользователя Пенсионер

Vadim Sakovich, 18 Октябрь, 2018 - 11:44, ссылка

большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой). А малый круг (как одно целое с большим) делает такой же один оборот, но это его перемещение такое, как у большого. Потому что качение осуществляет большой, а не малый. Поэтому параллельное перемещение малого полностью зависит от параллельного перемещения большого.

А что будет, если малый и большой круги разделить и "катить" их по отдельности?

Парадокс исчезнет, формула 2пиR станет выполнимой. А почему?

Коль скоро эта проблема геометрическая, не следует ли отсюда, что у нас неверное представление об устройстве пространства? А если оно устроено как-то не так, то как? Не об этом ли следует хорошенько подумать?

Например, попробуем отличать пространственные точки (как элементы пространства) от материальных точек, помещённых в эти пространственные точки. То есть катать по раздельности геометрический круг и реальное колесо. Материальные точки на малом ободе будут перескакивать через "две ступеньки", когда другие точки на большом ободе не будут пропускать ни одной?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Дык, так об это самое - отличие теоретических точек от "вещественных" - как раз и составляет главный вопрос парадокса. В геометрической постановке задачи качение большого круга по касательной по идее не должно отличаться от условного качения малого круга по своей касательной. Если отличается - то чем? Если нет, то извольте получить равенство длин окружностей, как это описано в парадоксе.

Аватар пользователя boldachev

Итак, за один оборот качения большого круга по прямой образуется отрезок YY' равный длине окружности этого большого круга. Геометрическое качение - это качение без всякого скольжения и при этом скорость совершенно никого не интересует (это не кинематика). Нам достаточно только сделать засечки на окружностях большого и малого кругов - Y и X, а после одного оборота - Y' и X'.

Сам парадокс состоит в том, что засечки правильно показывают длину окружности большого круга, но неправильно - малого, хотя они оба сделали один оборот.

Это неполное описание. Допустим, что мы абстрагируемся от колес и всякой механики. Тогда поясните нам, почему это, с какого перепуга "за один оборот качения большого круга по прямой образуется отрезок YY' равный длине окружности этого большого круга"? Что такое "качение"? Что означает этот геометрический термин? Объясните нам это исключительно геометрически, без прибегания к демонстрации качения колеса по дороге.

Могу задать вопрос точнее: всегда ли за один оборот круга и перемещении его центра образуется развертка окружности, то есть "образуется отрезок YY' равный длине окружности этого большого круга". 

Понимаете, где у вас проблемное место? Вы предлагаете всем забыть про колесо, но сами написав "за один оборот качения" призываете это самое колесо в качестве обоснования того, что YY' есть развертка. По сути, от вас требуется дать геометрическое определение термина "качение". (Надеюсь, у вас не получится что-то типа: качение - это когда за один оборот круга его центр проходит расстояние равное длине окружности).

Итак, (1) что такое качение?  (2) всегда ли за один оборот круга и перемещении его центра образуется развертка окружности?

Аватар пользователя Сергей Борчиков

Вы предлагаете всем забыть про колесо, но сами написав... призываете это самое колесо...

Согласен с boldachev. В точку.

Тот же самый фокус Vadim Sakovich повторил в параллельной теме "Сделайте мне биекцию, plz !". Там он установил неравенство мощности конечных множеств (чисел и их квадратов, что справедливо), а затем увидел парадокс в равенстве мощности их бесконечных множеств. Когда же ему было на это указано, призвал не прибегать к понятию бесконечного числа, хотя сам к нему и прибёг.

Итак, ни парадокс с колесом НЕ РЕШИТЬ средствами только элементарной геометрии, ни парадокс с квадратами НЕ РЕШИТЬ только средствами элементарной арифметики. Они и возникают-то только потому, что авторы этих парадоксов негласно вводят постулаты из топологии бесконечных и гибких пространств или теории актуально бесконечных множеств. Если бы авторы были последовательны и сделали это явно, то и парадоксы бы легко сами же и разрешили. Во всяком случае эти два, приведенные Vadim Sakovich.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Подумаю над уточнением понятия развёртка. Но то, что при качении круга по прямой, даже в кинематике (не говоря уже о геометрии) один оборот соответствует 2пиR... это считается само собой разумеющимся.

P.S. Кратко. Разрешение парадокса состоит в выявлении нарушения закона тождества. С одной стороны под оборотом круга понимается чистое вращение вокруг оси, а с другой стороны - этот же оборот рассматривается как составное движение (вращательное и поступательное). И всё в рамках одного рассуждения.
 

Аватар пользователя boldachev

Но то, что при качении круга по прямой, даже в кинематике (не говоря уже о геометрии) один оборот соответствует 2пиR... это считается само собой разумеющимся.

Что значит "один оборот ... соответствует 2пиR"? Вы же должны понимать абсурдность этой фразы? Оборот - это просто один оборот. Он ничему не соответствуют, кроме повороту на 360 градусов. Где здесь качение? Откуда взялась развертка? Как развертка связана с оборотом? 

То есть вы сами раз за разом апеллируете к примеру катящегося колеса. Забудье про него. Объясните, нам что такое качение в геометрических терминах.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Но ведь у вас 360 градусов (или, что то же самое можно сказать в радианах) на самом деле и есть отметка о длине окружности. Катящееся по горизонтальной плоскости колесо (круг), когда поворачивается на эти 360, то эти 360 градусов как раз и откладываются на его окружности. Остаётсмя только умножить 2пи на радиус, чтобы получить длину.

Аватар пользователя boldachev

Катящееся по горизонтальной плоскости колесо (круг)

Что это значит? Я не понимаю, что такое  "катящееся по горизонтальной плоскости"? Объясните мне в геометрических терминах.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

А слово поворот треугольника в плоскости объяснять надо? Значит, когда круг поворачивается вокруг своей оси - объяснять не надо. А когда круг катится по горизонтальной плоскости - требует серьёзных разъяснений? Не метафизических ли, случайно?

Когда круг катится по прямой, то он совершает и вращательное движение вокруг оси, и прямолинейное вдоль горизонтальной прямой на плоскости.

Аватар пользователя эфромсо

 Спецвариант для этой темы: 

прямолинейное качение круга по плоскости есть перемещение круга относительно плоскости, при котором   точки  окружности последовательно  соприкасаются с плоскостью без скольжения по прямой линии

Аватар пользователя boldachev

Если в физики (в быту) нам вполне понятно, что такое "без скольжения" или "без пробуксовки", а в геометрии, что значит "без скольжения"? Сможете это изобразить графически: вот тут со скольжением, а вот тут - нет.

Аватар пользователя эфромсо

Это можно обусловить соответствием угла поворота круга расстоянию между точками соприкосновения его окружности с плоскостью, и если расстояние между следующими друг за дружкой по прямой линии  точками соприкосновения круга с плоскостью  в радиусах   не соответствует обращению круга вокруг его оси в радианах, то  скольжение шоназываецца -  налицо...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Насчёт катится интересно ещё понаблюдать такую картинку. Например в Википедии в статье "Окружность" пояснение такого понятия как формула длины окружности (см. в этой статье раздел "Сводка формул") даётся через мультпликат, где окружность катится по прямой. То есть, не понятие катится объясняется через развёртывание длины, и прочих словесных построений, а наоборот длина поясняется через катится.

 

Аватар пользователя boldachev

Мне без разницы, что через что вы будете объяснять - главное, чтобы формулировка парадокса была полна и ясна.

А пока я читаю  "большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой)", то не  понимаю, о каком перемещении идет речь: на метр, километр или миллиметр?

Аватар пользователя эфромсо

Где-то я шо-то такое  уже слышал....

 ...ага -  было   в рекламе:

           "Так скока же вешать -  в граммах?"

Тоже по всей видимости  платонист, ни шагу  без геометрии...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

"большой круг делает оборот с перемещением (что и есть качение по прямой)", то не  понимаю

Заметьте, это моё выражение не из топика темы, а из быстрого ответа "врагам народа". Однако...

...Есть резон в ваших возражениях. В том смысле, что я, взявшись за гуж чисто геометрического рассмотрения парадокса, обязан не прикасаться к кинематике. Причём даже к самым простейшим, изначальным её терминам, а именно - качение окружности по прямой. Тем не менее, сплошь и рядом используется выражение "окружность катится", или развёртывание фигур на плоскости (особенно в начертательной геометрии) не вызывая ни у кого отторжения из-за якобы нарушения строгости геометрии, которая позаимствовала слово из механики.

Однако, раз пошла такая пьянка, то режу последний огурец. Даю геометрическое определение такого движения окружности. Но тогда и не жалуйтесь. :)

Итак, если окружность движется по своей касательной так, что любая взятая точка на окружности описывает при этом циклоиду, то это означает, что окружность катится по этой касательной.

Остаётся только добавить, что циклоида - это геометрическая кривая, за которую я уже своё отсидел. Однако, если мы пошли в такие "юридические" строгости, то получите этим определением обратку.

Что касается "развёртки", то можно попробовать чуть подправить текст парадокса, если это смущает.

Аватар пользователя Горгипп

 циклоида - это геометрическая кривая,

Или путь точки окружности; расстояние же между началом и концом циклоиды - перемещение. Так вращательное движение превращается в поступательное ... В целом - "оборот с перемещением". В отличие от оборота без перемещения...

Осталось показать, как и почему при вращении окружности по часовой стрелке её центр перемещается влево... Это будет значить, что с качением Вы разобрались окончательно.))

 

 

Аватар пользователя Эрц

Что касается "развёртки", то можно попробовать чуть подправить текст парадокса, если это смущает.

Ответ Госдепу, должен быть простой и четкий (типа, как в свое время Аглицкую блоху подковали, что она прыгать перестала). Вот и Вы гвоздик в центр 0 вбейте, а касательные веревочками от Эфромсо вынесете и все. А дальше ежели приспичит, перетаскиваем круг либо в точку Х1 либо в Y1, перетаскиваем, а то привыкли там в Америках круглое катать. Вот так с помощью гвоздя, веревки и топора (последнее обязательно) мы и будем решать поставленные парадоксы.smiley

Аватар пользователя boldachev

если окружность движется по своей касательной так, что любая взятая точка на окружности описывает при этом циклоиду, то это означает, что окружность катится по этой касательной.

Смотрим определение циклойды:

Циклоида (от греческого - круглый) – кривая которую формирует фиксированная точка окружности радиуса r, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

Подставляем (и нормализуем):

Окружность катится по неподвижной прямой тогда, когда любая взятая точка на окружности описывает при этом кривую, которая формируется точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. 

Правда забавно? Вы качение определили через понятие, которое само определяется через качение. Не говоря уж о том, что вы вышли за рамки геометрии - появилось какое-то качение без скольжения (а как в изначально возмущались этим скольжением).

На данный  момент мне интересно: вы просто не заметили определение качения и развертки, которое я дал выше или просто понимаете, что если его принять, то сразу исчезнет предмет для обсуждения? Вот и ищите соломинку, чтобы спасти репутацию.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Правда забавно? Вы качение определили через понятие, которое само определяется через качение.

Это не так забавно, как вам кажется. Ясно, что я знал на что иду ссылаясь на циклоиду (иронию вы должны были заметить в форме подачи). Но дело в том, что после ваших замечаний о качении и развёртке я перелопатил кучу литературы. Мне захотелось получить определения этих понятий. Ведь у меня в топике есть слово катится и развёрнутая окружность.

Так вот оказалось, что все исследованные мною источники, которые [вроде бы] претендуют на чисто геометрические построения различных кривых, в частности циклоиды (со всеми разновидностями и интересными применениями), да, так вот там все построения начинаются со слов "катится" и "при отсутствии скольжения". Причём, без всяких доказательств отсутствия оного. И вообще-то - правильно. Потому что доказывать надо присутствие, а не отсутствие. Как мне кажется, в литературе по построению таких кривых, оговорка об отсутствии скольжения просто сразу указывает именно на то, что речь идёт не о механике процесса, не о времени и скоростях, а о геометрии.

Хуже обстояло дело в моих поисках с катится. Ни одна сука не хотела предварительно вводить определение этого катится в своих геометрических построениях. Везде КАК БЫ считается, что это базовое неопределяемое понятие, такое же как нарисуем; изобразим; вращаем; переместим из точки А в точку В и т.д. Потому что во всех их геометрических построениях не фигурирует учёт линейных или угловых скоростей, и вообще - времени.

И вот, после последнего вашего замечания с требованием дать определение качения, я подумал, что вы на мне хотите отыграться за всю геометрическую (построенческую) литературу. То есть, сбылась мечта админа: он нашёл козла отпущения. :) Пусть этот прихвостень Госдепа ответит за все наши геометрические беды! :)

Короче, дело шло к развязке... в смысле - к завязке верёвки на моей шее. И тут я набрёл на книгу Г.Н.Бермана под названием "Циклоида" (третье издание, М. "Наука", 1980). Книга в фотографическом (djvu) формате и сразу видно, что она издавалась на "туалетной" бумаге, т.к. не была партийной литературой.

Так вот, оказалось, что там по ходу рассказов о циклоидах, затрагивается, кстати, и парадокс Аристотеля (в котором, кстати, фигурируют не колёса, а круги) и акцентируется внимание на определении циклоиды при помощи чисто геометрических понятий. Там намеренно оговаривается проблема некоторого заимствования понятия из механики (хотя и говорится, что это простейшее понятие).

Вывод. Есть такая партия! Есть определение циклоиды на геометрическом уровне. Поэтому я и выложил  определение качения через циклоиду, пояснив при этом, что за неё я уже своё отсидел. Отсидел в нормальном смысле этого слова. Но всё равно - в моей отсидке прошу винить Болдачева А.

P.S. О парадоксе Аристотеля (как геометрическом) в этой книге - см. стр.12. Там автор ещё и показывает (на примере этого парадокса) дулю в кармане современной теории множеств, о связи с которой Александр говорить отказывается, а пенсионер наш - затрагивает этот вопрос (см. его сообщения выше). Ещё интересно то, что Берман не даёт разрешения этого парадокса, а призывает к здравому рассудку. В моей же черновой попытке разрешить этот геометрический парадокс никаких призывов к здравому рассудку нет :) Знаемо о таких призывах! Это мартышкин труд!

Аватар пользователя boldachev

Есть определение циклоиды на геометрическом уровне.

Так где оно?

*

Давайте, все же я еще раз попробую пояснить свой подход (без циклоид). 

Я бы геометрически качение окружности по прямой определил через выполенине двух условий:

(1) в каждом взаимном положении линии и окружности (этот лексический оборот используется для того, чтобы не поминать всуе время, а подразумевается, конечно же  - в каждый момент времени) они соприкасаются в одной точке (окружность не подпрыгивает и не проваливается);

(2) отрезок на прямой между двумя точками соприкосновения в разных положениях линии и окружности (см. п.1) равен длине дуги между двумя точками соприкосновения на окружности.

Первым пунктом мы определяем взаимное положение круга и прямой (всегда соприкасаются в одной точке), а во втором задаем условие "без скольжения" - при фиксации точек соприкосновения (в двух положениях) расстояние между этими точками на прямой и на окружности равны.

Итак, качением окружности по прямой следует называть множество взаимных положений окружности и прямой соответствующих двум требованиям: в каждом положении окружность и прямая соприкасаются в одной точке и расстояние между парами точек зафиксированными на прямой и на окружности в двух любых положениях равны друг другу.

Смотрим на нашу картинку и констатируем, что для большой окружности определение качения выполняется (YY' = длине окружности), а перемещение малой окружности из первого положения во второе вдоль прямой не может быть названо качением. Вот и все.  

Из этого определения можно получить определение развертки окружности: разверткой окружности на прямой называется наименьшее из расстояний между двумя точками прямой, соответствующими двум положениям при качении окружности по прямой, в которых окружность соприкасается одной своей точкой с разными точками прямой.

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Такое начало поиска определения геометрического качения окружности по прямой - уже что-то! В сравнении с никаким определением - революция.

Однако, давайте попробуем упростить. Предлагаю модифицировать это определение, чтобы избежать явного употребления понятия соответствующие точки [из-за мафиозного надзора со стороны теории множеств].

Итак, окружность катится по своей касательной (развёртывая свою длину окружности по прямой) тогда, когда условно нанесённые на окружность штрихи деления её на радианы (и доли радиан) будут при перекатывании совпадать со штрихами условно нанесёнными на касательную (с одним и тем же значением R).

В этом случае это определение тоже устраняет вариант со скольжением.

Так вот, применяя это определение к малой окружности (нанеся на её окружность и её касательную штрихи с учётом её радиуса и катить её по её касательной, как бы отдельно) мы уидим, что её длина окружности меньше, чем длина большой. [Подумать только, а ни я, ни даже Аристотель об этом и не догадывались, и только подвернувшийся под руку Болдачев открыл нам глаза!]

Однако, забавный случай сей другой пример на память мне приводит... Ведь малый круг в парадоксе делает адын полный оборот вокруг своей оси (вместе с одини оборотом большого). Значиццца, адын оборот - это оборот не на 360 градусов. Парадокс, однако.

Так вот, в таких геометрических терминах я разрешения этого парадокса не встречал. Попытка была у упомянутого мною Бермана и известнейшего математического литератора Гарднера в его книге "Крестики - нолики". В этом смысле разрешение парадокса через нарушение закона тождества мне кажется намного весомей, чем простое обращение к здравому смылу. [Добыча которого из недр сознания... короче, в грамм добыча, в год - труды.]
 

Аватар пользователя boldachev

Итак, окружность катится по своей касательной (развёртывая свою длину окружности по прямой) тогда, когда условно нанесённые на окружность штрихи деления её на радианы (и доли радиан) будут при перекатывании совпадать со штрихами условно нанесёнными на касательную (с одним и тем же значением R).

Ничего не понял. А кто и зачем нанес эти условные штрихи? И почему они должны совпадать? И причем тут радианы?

Так вот, применяя это определение к малой окружности

Так нет тут никакого определения. Согласно тому, что вы написали, я могу нанести какие угодно штрихи (пять, десять) на прямой и сколько угодно штрихов  на окружности. Что с чем должно совпадать?

*

Что я могу тут добавить от себя. Я изложил предельно строгое и корректное определение качения в геометрии не прибегая к понятиям "время" и "скорость". Используя это определение можно точно сформулировать, что такое развертка окружности. Ну и конечно же, однозначно указать на ошибку в рассуждениях, приводящую к видимости парадокса.

Мне немного обидно, как и в случаях с разрешением мной других парадоксов, что мои собеседники (и вы в их числе) в упор не видят логики решения. Но я понимаю, что это нормальная ситуация.

Я для себя эту задачу закрыл. Оформлю ее в виде статьи. Вам спасибо за тему.

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Когда вы пишите:

(1) в каждом взаимном положении линии и окружности (этот лексический оборот используется для того, чтобы не поминать всуе время, а подразумевается, конечно же  - в каждый момент времени) они соприкасаются в одной точке (окружность не подпрыгивает и не проваливается);

...то мне кажестя, что если мы заменим это "введение" к определению на одно только слово в самом определении качения... на слово касательная к окружности, то уже  не потребуется само "введение" (1). Касательная - сразу всё это объяснение вскрывает, тем более, что речь в парадоксе идёт о прилагаемом рисунке.

Ничего не понял. А кто и зачем нанес эти условные штрихи? И почему они должны совпадать? И причем тут радианы?

Аналогичный случай был в Тамбове: а кто в вашем определении качения будет фиксировать расстояние между двумя точками (на окружности и прямой)? Их сначала надо нанести?

Поэтому я предлагал касательную рассматривать как бы в виде оси координат, где в качестве отметок - длина радиуса катящейся окружности, а на окружности нанесены радианы, то есть ТЕ ЖЕ самые длины дуг, которые равны радиусу. И тогда получим, что качение по такой касательной это то, когда отметки радиусов на окружности (радианы) и на касательной будут совпадать.

Отдельная отметка на окружности и касательной должна соответствовать 2пи. Они тоже должны совпадать при качении и тогда можно сказать, что на касательной получилась развёртка окружности.

Ну и конечно же, однозначно указать на ошибку в рассуждениях, приводящую к видимости парадокса.

Вы тогда будете доказывать, что малый круг не совершает качения (согласно определению качения). И демонстрировать вам это придётся... совершая его качение.

Тем не менее, в постановке парадокса на протяжении веков, никто не возмущался тем, что нет строгого определения слова (даже не понятия, не термина)... слова катится. Все всегда соглашались, что катится - это катится, но просто добавляли, что без скольжения, что тоже не сопровождалось определением "скольжения", так как было вполне интуитивно понятно.

Не в этом была беда. А в том, что оба круга делали один оборот. Что и вводило в ступор (не путать со ступицей колеса), так как один оборот обязательно ассоциируется с одним оборотом чистого вращения.

А так как этот один оборот сопровождается ещё и таким прямолинейным движением по касательной, который зависит от радиуса, это сразу не всплывает. Почему? Потому что радиус крепко-накрепко связан в мозгах именно с вращением, а не с прямолинейным движением. И тогда именно ЭЛЕМЕНТ поступательного движения (как СОСТАВЛЯЮЩАЯ общего движения круга) зависит от того, какой из кругов катится - с большим радиусом или с меньшим.

Отсюда у нас и получается, что мы думаем об обороте круга как о чистом вращении (что совершенно нормально для думания) и задним умом - о прямолинейном движении круга (что тоже нормально). А не нормально то, что мы забываем о том, что в данном случае (когда катится, т.е. при качении) прямолинейное движение есть функция от радиуса, т.е. от того элемента, который намертво "прилип" в мозгах к вращательному движению.

Отсюда и нарушение закона тождества: мы один оборот круга ассоциируем то с чистым вращением, то с поступательным движением (когда нам предъявляют одинаковые длины путей). И всё это в одной голове, в рамках одного взгляда на одно и то же явление, в одном и том же отношении. А надо бы совместить - рассматривать движение как вращательно-поступательное. И тут возникает проблема отсутствия второй головы.

Задача: сформулировать разрешение этого парадокса максимально просто и лаконично, НЕ ПРИБЕГАЯ к уточнениям, на который данный парадокс не претендует, типа квантовых эффектов и прохождений фотонов сквозь щели.

P.S. Извините, Александр - удалил ваше коротенько сообщение о том, что вам добавить нечего. Просто мне понадобилось исправить ошибку в своём сообщении.

P.P.S. Вам добавить нечего, т.к. вы полностью не согласны, или согласны? Тут есть "небольшая разница" :)

Аватар пользователя эфромсо

Браво!

Для "тех кто понимает" - слово "касательная" (как линия, расположенная в плоскости окружности и имеющая с ней одну  общую точку) существенно упрощает описание ситуации, типо:

условное качение окружности по   касательной приводит к условному  скольжению по своей касательной  любой другой концентрической окружности

Аватар пользователя Горгипп

Точка не скользит, а движется по циклоиде... 

Аватар пользователя эфромсо

Следующие одна за одной условные точки на линии (касательной) - последовательно  совмещаются с условными точками окружности... и получается - качение, а точки концентрических окружностей других радиусов при этом - "продвигают" совмещающиеся с ними точки своих касательных...

http://philosophystorm.org/v-kruge-pervom-paradoks#comment-331958

Аватар пользователя Горгипп

Вот катится колесо автомобиля, на нём красивый колпак, вращается вместе с колесом. За один оборот колесо перемещается на S, а колпак?)) Он не "продвигает" колесо...

Аватар пользователя эфромсо

На выбор:

колпак либо натурально "проскальзывает" по своей касательной,

либо  - "условно продвигает" её по направлению движения колеса...

Аватар пользователя Горгипп

Не проскальзывает и не продвигает... Колпак делает свой оборот вместе с колесом. Окружность колпака меньше окружности колеса. Формально, колпак перемещается на длину своей окружности, а колесо - своей. У них общий центр. На рисунке показаны оборот и перемещение большого колеса. Нет оборота и перемещения малого колеса. Надо дорисовать... Попробуйте.

Аватар пользователя эфромсо

Попробуйте

Вот Аристотель попробывал-попробывал, и  не иначе как  понЯл, шо придётся учреждать физику, патаму как   толкования одних только   геометров типа Платона, не видящих дальше своего носа ничего кроме призрачных теней - не сделают человеков мудрее...

Аватар пользователя Горгипп

Ваши слова?

Внутренний круг делает оборот вокруг центра, который при этом перемещается из-за  качения внешнего круга, так что "оборот" у него  получается не "тот же" и отличается от такого, который он бы совершал вследствие исключительно  своего собственного качения...

Всё! Вопрос решён. Чего ещё мудрить?! Это Болдачёв прибавил "проскальзывание"... 

Аватар пользователя эфромсо

...

Аватар пользователя Горгипп

Точка на окружности не скользит, а движется по циклоиде. Точки на окружности последовательно соприкасаются с точками на касательной. Скольжение - видимость.

Аватар пользователя boldachev

Тем не менее, в постановке парадокса на протяжении веков, никто не возмущался тем, что нет строгого определения слова (даже не понятия, не термина)... слова катится.

Это сильный аргумент) Никто не возмущался - вот именно поэтому мы этот "парадокс" еще обсуждаем.

так как было вполне интуитивно понятно

Это "интуитивно понятно" и легло в основу "парадокса" - если дать точное определение качения, то есть заменить "интуитивно понятно" на "по определению", то парадокс растворяется.

Отсюда и нарушение закона тождества

Нет здесь никакого нарушения закона тождества. Он же про подмену понятий. А где здесь это? 

*

Выше была  лирика. А теперь по существу.

на слово касательная к окружности

Хорошо, спасибо. Давайте попробуем:

Следует говорить, что окружность катится по касательной к ней прямой, если для двух любых положений окружности на прямой расстояние между точками соприкосновения на прямой и между соответствующими точками на окружности равны (если расстояние на прямой больше длины окружности то совпадать должны расстояние между точками соприкосновения на окружности и остаток после вычитания из расстояния между точками на прямой полных длин окружностей). 

Это определение конечно можно еще оттачивать, но оно верное: берем любые два различающиеся положения окружности и касательной к ней прямой, то есть фиксируем точки их соприкосновения и измеряем расстояние между этими парами точек на прямой и на дуге. Если они равны (при вращении окружности меньше, чем на полный оборот), то значит окружность катилась по прямой между этими двумя положениями.

И обратите внимание, это именно определение, а не эмпирическое наблюдение, как у вас с засечками.

Ну вот и все. Согласно этому определению следует признать, что малая окружность не катилась по касательной к ней прямой  XX'.

*

Выше было геометрическое разрешение парадокса. А теперь напомню физическое разрешение этого "парадокса", которое я привел в первом своем комментарии, но вы его просто проигнорировали:

boldachev, 17 Октябрь, 2018 - 15:44, ссылка

Для разгадки "парадокса" надо просто сформулировать, что такое развертка при качении, поскольку именно ссылка на эту самую развертку является ключевым моментом: "длина развёрнутой от такого оборота окружности". Очевидно, что главным условием получения точной развертки является совпадение (в любой момент времени) скорости движения центра окружности и линейной скорости движения точек окружности, что по сути означает, что не должно быть проскальзывания окружности по поверхности - только тогда пройденный путь за один оборот будет равен длине окружности.

Смотрим на нашу картинку: если по условию в качестве YY' мы имеем развертку большой окружности, то следовательно скорость движения центра окружности совпадала с линейной скоростью точек большой окружности.

Ну и, тадам, разгадка "парадокса": линейная скоростью движения точек малой окружности не совпадает со скоростью движения ее центра, поскольку меньше скорости движения точек большой окружности (одинаковая угловая скорость, но меньше радиус), а следовательно расстояние XX' не является разверткой.

Все предельно просто. Надо было только расшифровать заветное слово "развертка".

Давайте переведу его на язык качения (но уже не геометрический, а кинематический).

Качением называется такое перемещение окружности по касательной к ней прямой, при котором в каждый момент времени скорость перемещения центра окружности относительно прямой равна линейной скорости движения точек окружности [относительно ее центра UPD 22.10, 14:00] .

И опять "парадокс" растворяется: скорость движения центра двух окружностей всегда совпадала, а линейные скорости точек на окружностях, очевидно, нет, значит если одна окружность катилась по касательной, то вторая определенно не катилась. Даже не нужно упоминать развертки и измерять расстояния.

*

Еще раз повторю, весь сыр бор с этим  парадоксом стал возможен только вследствие отсутствия строго определения понятия "качение", как только оно появилось, и даже целых два - геометрическое и физическое - то "парадокс" растворился.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Отсюда и нарушение закона тождества

Нет здесь никакого нарушения закона тождества. Он же про подмену понятий. А где здесь это? 

Так я ж говорил о подмене понятий. Понятие "один оборот". Под оборотом понимается оборот во вращательном движении, а рассматривается не чистое вращательное, а совместное вращательное и прямолинейное движение. Однако, если мы будем круг, котоорый вращается вокруг своей оси, передвигать в пространстве (его ось), то никакого нарушения логики вращательного движения не будет. Тут важное замечание: не будет нарушения ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО понятия вращения, потому что с точки зрения механики - будет (например, будет изменение силы Кориолиса). Значит нам надо отделить простое , независимое вращение (перемещение оси вращаемого круга в пространстве), от прямолинейного перемещения КАК СЛЕДСТВИЯ вращения, а именно - вращения, когда круг катится, то есть понятие один оборот в этих- двух случаях означает разное, а мы используем это в рамках одного рассуждения.

И вот у нас получается, что первопричина заключена в логике рассуждений. Если выявлено понятие, которое двояко толкуется, то это и будет ПРИЧИНА парадокса, то есть, нам известно ЧТО именно является причиной парадокса, независимо от точности определения понятия качение. Достаточно уже того, что понятие оборот разное в рамках одного и того же рассуждения. А вот точное определение понятия качение  - это уточнение, это те УСЛОВИЯ при которых понятие оборот в данном парадоксе претерпевает своё изменение.

Итак, как я уже много раз говорил на ФШ (заимствуя из Мельникова) мы должны рассматривать триаду: причина- условие - следствие. Ни одно звено из этой триады не может быть изъято.

В нашем случае: оборот является причиной неверного рассуждения, качение является необходимым условием, которое игнорируется при рассуждении об обороте, а следствием является парадокс.

P.S. Над качением хочу ещё подумать. Что-то меня чуть коробит. Трудно сформулировать что именно.

Аватар пользователя boldachev

Достаточно уже того, что понятие оборот разное в рамках одного и того же рассуждения. А вот точное определение понятия качение  - это уточнение, это те УСЛОВИЯ при которых понятие оборот в данном парадоксе претерпевает своё изменение.

Вот честно не вижу тут никакой проблемы: оборот - он и в Африке оборот - на месте или с перемещением центра вращения - все равно оборот. Ну и потом, если действительно вы видите проблему в обороте, так введите два термина и покажите, что парадокс пропал. Чего же проще?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Чего же проще?

 Это вы мне говорите? Или Галилею, Ферма и прочим неучам, которые работали с этим парадоксом? Или возьмём Википедию, в которой авторы самовольно засчитали этот парадокс в качестве физического (со скольжением) и разъяснили тугодуму Аристотелю, что он его (парадокс) неверно сформулировал. Тут, кстати, я покопался в английском варианте Аристотеля. Там есть (за 1903 год) издание Аристотеля, где таки есть раздел "Механика" и описан этот парадокс самим Аристотелем. Русского перевода этого труда Аристотеля я найти не мог [в отличие от множества речей нынешнего почётного российского академика Кадырова]. Но трудновато мне разбираться в чуть ли не дословном переводе на английский с древнегреческого и с множеством сносок-пояснений. Хотя,... чего же проще? :) Да, так вот у Аристотеля речь идёт о circle, а не о колёсах.

Аватар пользователя boldachev

Именно вам. Если вы нашли терминологическую ошибку, то кому же ее исправить как не вам? Любая терминологическая ошибка (подмена понятий) исправляется на раз-два. Если уж она найдена. Ну и, конечно, если она есть. Я например ее не вижу.

Аватар пользователя Горгипп

Я изложил предельно строгое и корректное определение качения в геометрии не прибегая к понятиям "время" и "скорость".

Качение, механическое движение, как и всякое другое взаимодействие подразумевают существование в пространстве и времени, таково свойство движущейся материи. Можно промолчать про то, но не отделаться!))

Мне немного обидно

А Аристотелю? Вы же не объяснили, почему у него XX`= YY`.  

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Есть определение циклоиды на геометрическом уровне.

Так где оно?

Загрузить эту книгу Бермана в djvu формате можно здесь. Страница 12 - о парадоксе. Последний абзац на странице 13 и начало  стр.14 - читать.

В отдельной главе (стр.17) - проблема геметрического качения и определений.

Аватар пользователя Геннадий Макеев

Vadim: "на рисунке изображён полный оборот круга "катящегося" по прямой".

Болдачёв : " это "интуитивно понятно" и легло в основу "парадокса" - если дать точное определение качения, т.е. заменить "интуитивно понятно" на "по определению", то парадокс растворяется".

Я уже давно подметил, что как только А.Болдачёв говорит "по определению", то это всё, "пипец" дальнейшим поискам - тупик. Но этот тупик им используется с выгодой - подмять под себя(Болдачёв: "Я для себя эту задачу закрыл").

Итак, что же произошло нового в теме?

Благодаря усилиям Болдачёва, кажется произошла смена героев темы. Был героем Аристотель, а стал Болдачёв(ложный претендент сместил истинного). При таком положении дел Аристотель тянет, в лучшем случае, на чистильщика туфлей Болдачёва(в худшем же Аристотель вообще задвигается куда-нибудь за шкаф, чтобы не высовывался со своим "парадоксом").

Мы видим как одно условие - условие парадоксальности заменяется на два условия в виде некоего "определения", что соответственно отменяет/растворяет парадокс(ловким движением языка Болдачёва, сам Аристотель со своим парадоксом растворяется).

Болдачёв: " используя это определение можно ... однозначно указать на ошибку в рассуждениях, приводящую к видимости парадокса".

Является ли парадокс просто видимостью парадокса или всё же реальным парадоксом - для Болдачёва не имеет смысла, т.к. понятие "реальность" Болдачёв(как сам признался) напрочь устранил из своего пользования. В таком случае у Болдачёва остаётся только одно - подмять под себя("своё моё") задачку с кругом и прямой, а для этого нужно лишь изменить условие задачки на два условия, при которых исключается "интуитивно понятно" и заменяется "по определению".

Сей обман с условиями есть непонимание того геометрически интуитивного - того "шестого чувства/класса", метафора которого и была заложена в стихотворении начала темы ..." в классе кажется шестом". Т.о. не поняв метафору "шестого класса", которая выводит за школьное понимание шестого класса(метафора не работает у людей), приняли "как видят" , т.е. школьное понимание шестого класса(не удосужившись понять что интуитивный класс и соответственно "борьба классов" - это не школьная программа геометрии, а скорее выходящая за пределы школьного уровня).

Удивительный "шестой класс", "палата№ 6", "шестое чувство" - интуиция, относимая ко всему - и к геометрии и к физике.... . Т.е. такому удивительному должно соответствовать и удивительное условие, и оно парадоксально. Решение парадокса основано только на этом одном условии, а не на двух, которые создают только видимость/иллюзию решения, исключающее условие движения(=качения) круга.

Итак, если интуитивного опыта(решающего парадокс) нет, то метафора не работает, а работает только рассудочное мышление, которое и разделяет одно условие на два, что естественно никак не решает парадокс, а только его устраняет(растворяет).

"Нет больше вымыслов чудесных, рассудок всё опустошил"...

...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Унижение Болдачева до уровня какого-то там Аристотеля считаю совершенно неприемлемым.

В любой серьёзной дискуссии ссылка на авторитеты не канает. Так что, если вы нашли ошибку в рассуждениях Болдачева (: или, не дай боже, в моих, чего не может быть по определению :) то просто ткните пальцем в обнаруженное и скажите почему это есть ошибка. И только после этого можно себе позволить обзывать оппонента Аристотелем или другой какой-нибудь Фермой.

Аватар пользователя Совок.

   Показываю в чём автор отступает  от науки геометрии.  С т.з. геометрии длина окружности есть абстрактный отрезок прямой, получающийся при мысленном рассечении окружности в какой-то точке и спрямление разорванной  окружности в прямую линию.

  Следуя этому определению длины окружности мы должны спрямить обе окружности. Это спрямление для окружности "у" мы выполнили методом прокатывания окружности по её касательной.  Для окружности "х"  операцию спрямления мы просто на просто не проводили.  Если мы такую операцию проведём то спокойно получим её длину окружности и она будет составлять часть отрезка "х". 

  Мы видим что автор совершил подлог, голословно без доказательно объявил отрезок "х" длиной окружности. А это уже не геометрия, а преступление против истины. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

спрямление для окружности "у" мы выполнили методом прокатывания окружности по её касательной.  Для окружности "х"  операцию спрямления мы просто на просто не проводили.  Если мы такую операцию проведём то спокойно получим её длину окружности и она будет составлять часть отрезка "х". 

Малая окружность совершает с большой один оборот. Вам надо показать, что XX' не является касательной. Или что малая окружность не совершает такой же оборот, как большая (будучи с ней одно целое и имеющая один общий центр).

Итак, почему большая окружность развёртывается на своей касательной в длину, а малая - нет?

Мы видим что автор совершил подлог, голословно без доказательно объявил отрезок "х" длиной окружности. А это уже не геометрия, а преступление против истины. 

Преступление - это игнорирование парадокса, а не его фиксация. Это в полном смысле слова заканчивать своё выступление словами: "вот такое я говно" (как в старом анекдоте). И сейчас математикам, которым в морду суют кучу порождённых их теорией парадоксов, по сути так и отвечают... не отвечая на них (на парадоксы).

Откройте Википедию, например. Наберите слово "вращение". Там о вращении в прдразделе "Математика" прямо так и написано: Математически вращение — это такое движение абсолютно твёрдого тела, которое,..

Как говорится, дальше не надо. Понятие абсолютно твёрдого тела взято из основ механики, а к математике вообще не имеет отношения. Как и материальная точка, которая входит в объяснения (в Википедии) в куче статей ИМЕННО по математике. Ведь материальная точка - это условность именно в  МЕХАНИКЕ, где принимается, что вся масса тела сосредоточена в одной точке - центре тяжести этого тела. И к математике сосредоточение масс не имеет никакого отношения. Но любой математик при таком вопиющем нарушении основ логических рассуждений, будет бить вас по рукам за любое ковыряние в носу. [А Болдачев, и примкнувший к нему Совок, будут подносить этому математику линейку, чтобы удары были ощутимее]

Аватар пользователя boldachev

[А Болдачев, и примкнувший к нему Совок, будут подносить этому математику линейку, чтобы удары были ощутимее]

Не понял. Это о чем? 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Это о том, что в математических статьях Википедии (и не только в Википдии) на каждом шагу встречаются определения, которые на голову не налазят (пример - в предыдущем ответе Совку). А вас в это время беспокоит интуитивно совершенно понятное выражение, типа, круг катится по прямой в тесте одного любителя философии (не будем говорить о ком речь). То есть. Я получаю линейкой по пальцем от философского ВОХРа за куда меньшее нарушение, чем математики профессионалы.

До сих пор не могу опомниться от удара по жо.., когда вы на полном философском серьёзе объяснили мне, что вы согласны с тем, что (как сказано в основах теории множеств) существует лишь одно пустое множество. И при этом оно (одно) является подмножеством ВСЕХ множеств.

Синяк на заднице зализываю до сих пор.
 

Аватар пользователя boldachev

Я скоро должен буду отключиться от ФШ на решение других проблем. 

Давайте закроем тему количества точек в отрезке, как не имеющую никакого осмысленного содержания. Точка - это всегда точка (пересечение линий). А то, что некоторые особо прозорливые видят точки в отрезке, то это их проблемы, пусть подсчитывают их количество.

Меня тут больше интересует именно определение вращения, а с ним и решение парадокса Аристотеля. Для меня очевидно, что я его разрешил. Хотелось бы, чтобы вы подвели черту в открытой вами теме.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Обязуюсь это сделать уже сегодня (у вас будет завтра). Причём, с учётом ваших замечаний.

Как я понимаю, админ даёт добро на свободную форму изложения. Бу-сделано! Но и критику буду ожидать с нетерпением. В том смысле, что мы уже достаточно времени терпели после Аристотеля, и теперь надо чуть побыстрее. Если, конечно, вы не собираетесь жить две с половиной тысячи лет (а то и - бесконечно).

Аватар пользователя Горгипп

Пожалуйста, ответьте и на свой вопрос)):

Vadim Sakovich, 17 Октябрь, 2018 - 07:35, ссылка А почему ХХ' не является развёрткой малой окружности? Этот отрезок ведь получается за ТОТ ЖЕ оборот.

Болдачёв промолчал... 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Запрашиваю ещё хотя бы один день. Обстоятельства не позволили сосредоточиться.

Но пока хорошо бы получит от вас совет (критику). В моём текущем, черновом пока, разрешении парадокса фигурирует следующее определение геометрического качения: под качением тут понимается такое движение круга по касательной, при котором точки окружности последовательно, начиная с места касания, совмещаются с последовательностью точек на касательной, то есть – поточено.

Разбейте, пожалуйста, это определение в пух и прах. :)

Аватар пользователя boldachev

 такое движение круга по касательной

А что такое  "такое движение круга по касательной"? Даже скорее, а что такое движение в геометрии? Именно для того, чтобы не вводить понятие "движение" я в своем определение использовал  "положение" или "состояние": есть одно положение окружности и касательной, и есть другое положение (или множество других положений). Только они и доступны для геометрического анализа.

то есть – поточено

Здравствуй, вчерашний разговор) А кто их считать будет? Или кто и как нанесет точки на окружность и касательную. 

Про точки интуитивно понятно, но геометрически не проверяемо. В геометри есть только точки полученные построениями, то есть пересечением или касанием линий.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Не, насёт движения - не согласен. Просто надо подобрать синоним. Ведь в геометриях сплошь и рядом фигурируют разные перемещения (симметричные, ортогональные и прочая и прочая). Слово движение немного режет глаз. А как насёт перемещения?

Насчёт "считать точки", то их совсем не надо считать, а достаточно лишь сказать: "точка в точку". :) Ведь если перемещение при качении по касательной происходит именно так ("точка в точку"), то этим мы определим качение. Заметьте, не расстояние пройденное точкой Y, а лишь характер геометрического понятия качение. О расстоянии - это в следующем анекдоте будет. :)

Аватар пользователя boldachev

Ведь в геометриях сплошь и рядом фигурируют разные перемещения

Да, фигурируют, как фиксации двух положений, но без указания времени, а значит речь не о движении.

а достаточно лишь сказать: "точка в точку". :)

Сказать-то можно все, что угодно. А построить? Как вы геометрически покажете это "точка в точку"? Сколько и как будете ставить точек? На каком расстоянии друг от друга?

На большой окружности можно поставить 1000 точек, а на касательной 100000 - попробуйте попасть точкой в точку) А, вы скажете, что надо одинаковое число точек ставить? Ну так поставьте и на малой окружности и касательной к ней по 1000 точек. Следующей вашей мыслью будет, что число точек должно быть пропорционально длине. И вот когда вы поставите точки через каждый мм, и заставите их совпадать на окружности и касательной, просто перечитайте мое определение, про расстояние между двумя положениями окружности и касательной.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Если отмерять точки пропорционально длине (на большой окружности), то надо объяснить без использования понятия проскальзывание (т.к. речь идёт о геометрии) что происходит с точками на малой окружности и её касательной за один и тот же оборот. Ведь малая окружность есть одно целое с большой. Они делают оборот не независимо друг от друга.

Получается, что если мы нанесём точки на малую окружность и её касательную по такому же принципу, как и на большую, то что будет там происходить при том же самом обороте? Точки не будут нравиться друг другу и вступать в законный брак? И при этом ещё хорошо бы помнить о канторовской биекции, а именно - каждой отмеченной  (вами) точке на большой окружности и её касательной будет соответствовать ровно одна точка на малой окружности с её касательной.

Аватар пользователя boldachev

Если отмерять точки пропорционально длине (на большой окружности), то надо объяснить без использования понятия проскальзывание (т.к. речь идёт о геометрии) что происходит с точками на малой окружности

Не скачите. Ведь обсуждается определение качения. Причем тут малая окружность и вообще парадокс? Забудьте про него. Не подгоняйте под него определение качения.

Итак, ваше определение.

Аватар пользователя Горгипп

каждой отмеченной  (вами) точке на большой окружности и её касательной будет соответствовать ровно одна точка на малой окружности с её касательной.

Во! Совсем горячо! Точкам на большой касательной будут соответствовать точки на малой, или наоборот. Их отношения выражаются через R/r: 6,28 R и 6,28r. Поднажми, американец!

Аватар пользователя Совок.

геометрического качения:

     Вот это уже ближе к истине.  Только нам в 6 классе толковали что не надо изобретать велосипед и называть выпрямление геометрическим качением. 

Аватар пользователя Евгений-Бур

Вадиму Саковичу

под качением тут понимается такое движение круга по касательной, при котором точки окружности последовательно, начиная с места касания, совмещаются с последовательностью точек на касательной, то есть – поточено.

Коллега, без соответствующего математического аппарата вам не удастся разобраться в затронутой теме. Элементарная геометрия (представление электрона в виде твёрдого шарика) не может заменить аналитическую геометрию (волновую функцию). Это я привёл сравнительный пример невозможности сведения совсем сложного к совсем простому.

Ну, низззяааа. Не получится. Можно, конечно, художественными средствами изобразить летящую тройку лошадей. Но нельзя на одной картинке нарисовать фильм.

Что здесь требуется?

Две системы координат: одна -- неподвижная плоскость (Пл), вторая связана с движущимся относительно неё кругом (Кр), как твёрдым телом. Твердотельность круга абсолютно важна. Что такое твёрдый с математической точки зрения? Это значит, что каждая точка системы координат (Кр) не меняет своего положения относительно других точек. Если он -- не твёрдый, то потребуется описание этой "нетвёрдости". Т.е. описание движения каждой точки (Кр).

Далее. Как понимать качение математически? Какая именно окружность катится, а какие движутся иначе? Именно иначе! Пусть круг катится именно по внутренней окружности. Что сие значит? Как понимать то, что вы назвали поточечность? Это значит, что точка касания круга проходит одно и то же расстояние в (Пл) и (Пл'). Последняя (уже третья) движется плоско-параллельно без вращения.

Для сравнения: центр круга неподвижен относительно (Пл') и пройденное расстояние равно нулю. Для внешней окружности расстояние, пройденное в (Кр), больше, чем в (Пл).

Ну, как? просто?

-----------

Пример для выразительного подключения чувственного восприятия. Давайте уменьшим диаметр внутреннего круга до 1 миллиметра, а внешний увеличим аж до 1000 км. Цифры весьма условны, но выразительны. Что получим по результату эксперимента? Вся конструкция переместится на три с небольшим МИЛЛИМЕТРА, однако, внешняя окружность не хило опишет три тысячи с куском километров. разницу чувствуете?

----------

собственно парадокс возник по причине попытки решить динамическую задачу средствами статики.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Чтобы облегчить вашу "динамическую" жизнь со всеми её ускорениями, силами, скоростями, вплоть до угловых (не путать с уголовными) и т.д. давайте вообразим этот же наш круг (ну, диаметром, например, с велосипедное колесо) с нарисованным на нём малым кругом, так вот вообразим, что большой этот круг катится со всей возможной равномерностью, делая один полный оборот за год.

Изменится ли картинка этого парадокса, где "доказывается", что длина малой и большой окружности одинакова? Это я к тому, что вся динамика на 100% зависит от скоростей, ускорений, масс и прочей всячины. Так вот, при равномерном полном повороте круга за один год мы практически свели к нулю и скорости, и скольжения, и всё остальное, а длина окружности... впрочем (от нашего стола - вашему)... а длина окружности пусть даже тоже будет чуть другой (силы же, бля, какие-то остались). Пусть длины будут микроскопически различаться, но ведь они в реали различаются в НЕСКОЛЬКО РАЗ, а выдаются за одинаковые (пусть даже почти одинаковые).

Аватар пользователя Евгений-Бур

Вадиму Саковичу

так вот вообразим

Коллега, не надо ничего воображать. Опишите ЭТО (воображаемое) на формальном языке математики. И всё.

Не надо фокусов. Тем, кто смог получить в голову аппарат, для исследования подобных ПРОЦЕССОВ не мучается "парадоксами" Аристотеля, который не знал соответствующего математического аппарата.

Пусть длины будут микроскопически различаться, но ведь они в реалии различаются в НЕСКОЛЬКО РАЗ, а выдаются за одинаковые (пусть даже почти одинаковые).

 ???

бегнадёга... обычно преподаватели соответствующих дисциплин настоятельно рекомендуют уйти от попыток дальнейшего углубления в "проблему", ибо это чревато (в реалии!!! я таких видел) сдвигом крыши. рекомендуют заняться вообще чем-нибудь другим.

У Аристотеля была проблема отсутствия соответствующих знаний, у вас -- другое: эти знания для вас закрыты((

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Так вы, наверное, не читали предлагаемого мной геометрического решения. Критикуйте его там, где оно выставлено.

Аватар пользователя Евгений-Бур

Вадиму Саковичу

Коллега, я даже смотреть не буду. Я подобного рода задач перерешал достаточно.

Никакого статического решения (решения ЧЕГО???) не существует. Тут нет задачи.

Тут есть (слева) первый кадр фильма и последний кадр (справа) и ДВА отрезка, соединяющие по ПАРЕ точек из этих кадров. На основании ЭТОГО вы пытаетесь указать на "парадокс" в промежутке, имеющем мощность континуума.

----------

Чтобы решать подобного рода задачи, надо получить соответствующее образование. Никаких иных вариантов нет. Вы просто не понимаете, о чём ведёте речь. Именно в силу этого непонимания вас преследует какой-то "парадокс". Нет парадокса, есть отсутствие знаний. Слово парадокс тут неуместно. Здесь уместно -- "странно сформулированная мысль" или что-то в этом роде.

На сим рекомендую не пудрить себе мозги, это может кончится печально. С такими вещами шутить не следует.

--------------

и ещё. Не надо рисовать круги примерно одного порядка.

Нарисуйте, да-да именно нарисуйте, иные пропорции в масштабе: диаметры -- большой круг 1000 км, а лучше миллион км, и малый 1 миллиметр. Вот с таким рисунком и выходите в эфир.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Коллега, я даже смотреть не буду.

То есть, вы требовали описания этого процесса (на что я и сослался), а сейчас говорите, что даже смотреть не будете. В каком университете учат этой логике? Только, plz, университет просьба описать чисто математически (это моя обратка).

Аватар пользователя Евгений-Бур

Вадиму Саковичу

Вы что-то не догнали. от слова -- вообще

МНЕ (для меня) ничего описывать не надо, потому что:

а) это я проходил на 1-м курсе универа

б) нарисовать ЭТО невозможно

Я настоятельно рекомендовал ВАМ составить уравнения движения (для себя. но требуется образование) чего-то относительно чего-то другого и не морочить никому голову, прежде всего себе, ибо это может плохо кончиться (признаки уже появились((().

А рисунок конечных положений на одном листе я предлагал иной: в масштабе, где диаметр внутреннего круга 1 мм, а внешнего -- примерно от 1000 км. Выберите любой по вкусу. Ну и рассмотреть случаи, катим:

1. по внутреннему

2. по внешнему

---------

Желаю удачи

----------

В дисциплине "Теоретическая механика" есть раздел "Движение твёрдого тела", в котором есть подраздел "Кинематика". Есть также понятие "Движение БЕЗ проскальзывания". Картинки (для вас вряд ли что-то другое подойдёт), которых там немерянно, можно найти здесь https://yandex.ru/images/search?text=%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%B....

----------

Ещё раз -- Удачи.

Аватар пользователя Совок.

Малая окружность совершает с большой один оборот.

  В огороде бузина, а....   При чём здесь обороты и вращения.  Обороты и вращения это другая тема, не относящаяся никаким боком к длине окружности.  Длина окружности это не обороты, а спрямление.  Вы с Аристотелем толкуете с т.з. геометрии о проекциях траектории неких точек, расположенных на окружностях при качении одной из окружностей по своей касательной. Вам ещё надо доказать что эти проекции являются длинами окружностей.  Когда Вы с Аристотелем будете это доказывать то сразу же придёте к абсурду если будете упорствовать в своём: все длины окружностей с разными радиусами равны друг другу. 

  Ещё раз.  Вы с Аристотелем путём словесных манипуляций забываете и отбрасываете определение длины окружности. которое есть по сути спрямление окружности, а не её вращение. Если Вы вращаете окружности то это не путь получения длины окружности и Вы просто на просто с т.з. геометрии не имеете права говорить о длине окружности.  Надо это ещё доказать, что вращение является и спрямлением. Только операция выпрямления даёт длину окружности и на вашем рисунке это относится  только к окружности "у".

   Вы с Аристотелем как философы должны различать вращение и выпрямление.  В чём я не уверен.  Вот в этом-то у вас с ним и загвоздка.

  Я давно всем советую. Забудьте про древних философов с Аристотелем.  Это было давно и неправда.  Читайте современных Маркса, Энгельса, Ленина и всё вам будет ясно.

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Каждый раз вы уговариваете меня с Аристотелем отречься от якобы полного нашего убеждения в том, что малая и большая окружность имеют одинаковые длины. То есть, вы осознанно считаете меня полным идиотом. Ладно я, но за Аристотеля обидно. По всей видимости вы и Зенона держите за последнего дурака, так как он был убеждён, что стрела не может лететь вообще, а Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Насчет чтения Маркса-Энгельса-Ленина, то раскрою вам один секрет. Из-за меня случился один раз большой скандал в институте, где я учился. Его удалось партийным работникам замять, чтобы он не вышел наружу. Это было в 1970 году - столетие со дня рождения Ленина. Я был уже на 4 курсе. Как и везде, в институте была организована сдача, так называемых, ленинских зачётов. Так вот, мой курс выбрал меня (как от студентческого сообщества) быть членом в комиссии по приёмке этих ленинских зачётов.

Выбрали, потому что я, кажется, был один, который приходил на занятия по курсам истмата, и прочих философий, прочтя первоисточники. Надомной даже в своё время подсмеивались.

Так вот, когда уже партийное руководство института оформило меня в состав комиссии по приёмке, вдруг выяснилось, что среди всех студентов нашего курса, - в основном комсомольцев , но и десятка членов КПССС, - я один единственный был не комсомольцем, т.к. никогда не вступал. Это могло закончится большими неприятностями и поэтому скандал замяли. Этоя к тому, что всё же в области марксизма-ленинизма я не такой уж и неуч.

 

Аватар пользователя Сергей Борчиков

Вставлю свои пять копеек.

1) Общая позиция моя близка к позиции Болдачева. Средствами элементарной геометрии парадокс не решить.

Вот еще рисунки о длине отрезков, к которым пришли выше некоторые тоже.
Какой, например, из отрезков, АВ или MN, имеет больше точек?

   

По видимости, AВ. Но это неверно. Можно доказать, что оба отрезка содержат 1) равное количество точек, 2) что их больше в АВ и, наконец, 3) что их больше в MN.

Доказательство равенства. Концы отрезков соединим прямыми линиями. Получим т. О:

Через каждую точку отрезка АВ и точку О можно провести прямую P. Количество прямых будет равно количеству точек р′ на отрезке АВ. Но каждая прямая будет пересекать и отрезок MN, образуя в пересечении точку р′′. Так как через две точки можно провести только одну прямую (аксиома геометрии), то на отрезке АВ количество точек окажется равным количеству точек на MN (р′′ = р′).

Доказательство МN > АB:

Приблизим точку пересечения О к отрезкам. Тогда линия ОМС пройдет выше отрезка АB, а отрезку АВ на отрезке МN будет соответствовать часть NM′, равная по количеству точек отрезку АВ: р′′ = р′ (см. предыдущее доказательство). Но у отрезка MN остается еще часть MM′, имеющая какое-то количество точек р′′′. Следовательно, количество точек на маленьком отрезке МN больше, чем на большом отрезке АВ (р′′ + р′′′ > р′).

Доказательство МN < АB аналогично путем удаления точки О от отрезков. А для многих оно очевидно, в силу наличия глаз. Но глаза (Образы) отличаются от Мыслей. На это обстоятельство я указал Vadim Sakovich еще в первом парадоксе, но он проигнорировал.

2) Какова же мысль-решения парадокса (о количестве точек)?
Тривиальное. Поскольку точек в любом отрезке бесконечно много, то их мощность измеряется как мощность актуальной бесконечности первого уровня и равна омега или алеф-нуль.
Таким образом, как бы мы ни крутили оба круга, на начальном примере Vadim Sakovich, и в отрезке XX', и в отрезке YY' количество точек будет действительно бесконечно равное (w или X0). Но это не имеет никакого отношения к конечной геометрической сути примера.
Это имеет отношение к топологии. Если катится без деформации и скольжения диаметр YY', то диаметр ХХ' будет растягиваться до длины YY', как на моем примере отрезок MN растягивается до АB. А если катится без деформации и скольжения диаметр ХХ', то диаметр YY' будет ужиматься до длины ХХ', как на моем примере ужимается АБ до МN. На эту последнюю возможность не указал Vadim Sakovich в своем примере.
Но и в том, и в другом случае количество точек будет постоянным, равным w или алеф-ноль. Полная биекция! plz

Аватар пользователя Горгипп

Сергей Алексеевич, что-то не вяжется:

диаметр YY', то диаметр ХХ' будет растягиваться до длины YY',

XX`и  YY` не диаметры - перемещения. Уточните.

Аватар пользователя Сергей Борчиков

Если колесо не катить

Посмотрите на начальное сообщение Vadim Sakovich, на рисунок. Там бездоказательно приравниваются отрезки ХХ' и YY', соединяющие начальные и конечные точки перемещения окружностей, к диаметрам окружностей соответственно.
Что не верно. Это не аксиома, это теорема. Это надо еще доказать. Но доказать можно как раз обратное: если один из отрезков равен длине своей окружности, то второй - нет. И наоборот: если равен второй, то не равен первый. Никакого парадокса нет.

Попробуйте колесо не катить, а просто сдвинуть без качения на длину окружности Х. Парадокса не будет, ибо точка окружности У тоже сдвинется на длину X, бОльшую, чем ее окружность. Или сдвиньте на длину окружности У, тогда точка окружности X сдвинется на меньшую длину, чем длина ее окружности, и тоже без всякого парадокса. Даже точка нуль (центр окружностей) без всякого вращения сдвинется на такую же длину. Никто не запрещал в геометрии прямолинейно двигать точки.

Аватар пользователя Горгипп

сдвинуть без качения на длину окружности Х. Парадокса не будет, ибо точка окружности У тоже сдвинется на длину X

 Конечно. Но "диаметры" не увидел...

Аватар пользователя boldachev

Сергей Борчиков, 22 Октябрь, 2018 - 10:53, ссылка

Общая позиция моя близка к позиции Болдачева. Средствами элементарной геометрии парадокс не решить.

Не понял. Я же разрешил его средствами геометрии.

И парадокс вообще не про количество точек, а про кинематическое или геометрическое определение качения.

Аватар пользователя Сергей Борчиков

Александр, извините, значит я что-то пропустил, отвлекаясь на тему Феано, дайте ссылку на сообщение с доказательством, чтобы я ошибочно не рыскал по сообщениям. Обещаю уточнить мое мнение.

Аватар пользователя boldachev

boldachev, 20 Октябрь, 2018 - 15:33, ссылка

Там вторая часть после *.

 

Аватар пользователя Сергей Борчиков

К проблеме качения

Спасибо. Да, подтверждаю, с вашим геометрическим и физическим разрешениями согласен. С обоими. Путаница у меня произошла из-за моего смысла, вкладываемого в слово "геометрический". Я мой оттенок отзываю. Пусть будет геометрический в указанном Вами смысле.

От себя добавлю, что не вижу греха отмечать в геометрически-физическом определении качения варианты качения 1) со скольжением и 2) с торможением. Ваш вариант - это идеальная геометрическая норма, но никто не запрещает колесу катится, скользя или тормозя, как в нашем случае. При этом, конечно, в расчетах будут поправки на это.
Аналогичные примеры: человек делает шаг на льду, но поскольку проскальзывает, чтобы не упасть делает еще шагов пять без перемещения, как Чарли Чаплин в фильмах. Сделал шагов пять, затратил труд на 5 метров, а переместился всего на один шаг = 1 метр. И наоборот, мог вообще не шагать, а с разгону затормозить, всё равно проехал бы этот 1 метр, хотя работы шагами затратил на 0 метров.

Я же еще имел в виду дополнение к Вашим геометрическому и физическому смыслам топологический смысл (с растягиванием и сжатием линий и пространств) + смысл теории множеств (с бесконечно малыми пространствами).

Получился веер доказательств:
- геометрический,
- физический,
- топологический,
- актуально бесконечный.

Аватар пользователя boldachev

Спасибо 

но никто не запрещает колесу катится, скользя или тормозя, как в нашем случае.

Вы, наверное, хотели  написать никто "не запрещает колесу перемещаться, скользя и тормозя", поскольку качением мы называем именно перемещение без скольжения и торможения, иначе перемещение колеса по дороге при жестком торможе нам также придется называть качением.

Про торможение и скольжение я писал в первом свое комментарии на этой странице boldachev, 17 Октябрь, 2018 - 15:44, ссылка

Аватар пользователя Сергей Борчиков

поскольку качением мы называем именно перемещение без скольжения и торможения

Не возражаю. Но это уже ловля блох. Потому что так в геометрии и кинематике. А в филологии катятся и санки с горы, и слезы из глаз, и человеку могут сказать "Катись отседова", совсем не подразумевая вращения, а типа пошел вон, хоть со скольжением, хоть без оного. С Вашим идеально-геометрическим определением я согласился, остальное - детали.

Аватар пользователя Дмитрий

Если не возражаете, я отреагирую на ваше доказательство равенства точек:

Через каждую точку отрезка АВ и точку О можно провести прямую P. Количество прямых будет равно количеству точек р′ на отрезке АВ. Но каждая прямая будет пересекать и отрезок MN, образуя в пересечении точку р′′. Так как через две точки можно провести только одну прямую (аксиома геометрии), то на отрезке АВ количество точек окажется равным количеству точек на MN (р′′ = р′).

Эти рассуждения очень похожи на апории Зенона. В самом деле, допустим, у нас есть угол с вершиной О и сторонами a и b (на рисунке не обозначены)

Стороны угла пересекают концы отрезков MN и AB. Проведем полупрямую p из вершины O, пересекающую отрезок MN в точке p'' и отрезок AB в точке p'.

Можно ли из этого сделать вывод, что отрезки MN и AB содержат одинаковое количество точек? Пока еще, видимо, нельзя. Но, тем не менее, проделав все эти построения, мы попали в исходную ситуацию: теперь у нас угол с вершиной О и сторонами a и p, и мы ставим вопрос: содержат ли отрезки Mp'' и Ap' одинаковое количество точек? Так сколько же нем надо провести прямых, чтобы сказать наконец, что количество точек одинаково?

Этот парадокс основан на неопределенности понятия "точка". Чтобы разрешить этот парадокс, надо дать строгое определение понятию "точка".

На мой взгляд, самое строгое, точное, ясное и, не побоюсь этого слова, самое правильное определение точки: точка - это мера протяженности.

Есть такое понятие как "несоизмеримость", например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата. Это означает, что нет такой меры, которая целое число раз укладывалась бы в сторону и диагональ. Отсюда следует, что никак нельзя сказать, что диагональ и сторона квадрата имеют одинаковое количество точек - это раз. И определение одной меры для стороны и диагонали принципиально невозможно (это доказано) - это два. Какую бы меру протяженности мы не взяли, обязательно найдется протяженность меньше данной меры.

Эту проблему можно просто решить: определить в качестве точки бесконечно малую величину. Точка - это бесконечно маленькая протяженность. Напомню, что бесконечно малая величина - это не ноль, а некая конечная величина, определяемая как "самая маленькая". Равно как бесконечно большая величина - не бесконечность, а "очень-очень огромная величина".

И теперь все ясно: прямая состоит из точек. Количество точек (б.м.в.) в прямой - б.б.в.

Вот давайте теперь с этой позиции взглянем на наш парадокс с колесом Аристотеля. Допустим, что большая окружность содержит 100 точек, а малая - 10 точек. При развертке получаются одинаковые длины. Допустим, что YY' равна 100 точкам и это - развертка большой окружности. Прямая XX' также равна 100 точкам, но только 10 из этих точек принадлежат малой окружности, а откуда же взялись остальные 90 точек? Дело в том, что когда малая окружность поворачивается, условно, на одну точку, она проходит поступательно 9 точек. Вот и вся сказка про белого бычка.

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий, 25 Октябрь, 2018 - 14:23, ссылка

На мой взгляд, самое строгое, точное, ясное и, не побоюсь этого слова, самое правильное определение точки: точка - это мера протяженности.

Прошу прощения, но мне кажется это определение точки не полное, поскольку осталось в стороне пространство. Точку необходимо определять вместе с пространством, какое пространство, такая и будет точка. Если это пространство информационное, то точкой будет поток (инфо-бит), если это множество натуральных чисел, то точкой будет единица, если это шкала прибора, точкой будет одно деление шкалы. Можно измерить параметр точнее чем одно деление шкалы? Можно, на глазок!... Другими словами бесконечность и континуальность это братья-близнецы. Надо полагать геометрической точкой будет колышек , торчащий из земли, и кусок верёвки!? Если же точка это понятие, то в этом понятии прицепом идёт действие, в понятии геометрической точки уже должен  быть ответ, что с этой точкой делать. Поскольку в аксиоматической модели геометрии понятие точки не определено, типа что это такое и так всем понятно, то и говорить о точках как мере протяженности в данном парадоксе бессмысленно, можно говорить о точках только как о метках: О это центр круга, Y это точка касания и т.д. Но при этом отрезки равны и точка, длина окружности большего радиуса больше длины окружности меньшего радиуса и точка. Почему? На глазок! Мой дед так и говорил, сбегай стрельни (посмотри), ровно или нет? А это уже ещё один аргумент в пользу иллюзии. Вот для этого и нужна верёвочка, она уничтожает все иллюзии.

Аватар пользователя Дмитрий

Прошу прощения, но мне кажется это определение точки не полное, поскольку осталось в стороне пространство.

Как раз наоборот - точка определяется как некоторое ограниченное пространство. Ведь в понятии пространства мыслится протяженность. Сказать "пространство протяжено" - это будет, как "масло масленое". Точка - мера пространства, если хотите.

И вот это вот ограниченное определенным образом пространство и есть точка. А все остальные геометрические понятия (понятия, в которых описывается пространство) легко можно образовать теперь через исходное понятие точки. Что такое прямая линия? Последовательность смежных точек. Что такое треугольник? Фигура, образованная попарным пересечением трех прямых. И т.д.

Надо полагать геометрической точкой будет колышек , торчащий из земли, и кусок верёвки!?

Ну, если в таком духе давать определения, то проще сказать, что точка - это капелька чернил на белой бумаге.

в понятии геометрической точки уже должен  быть ответ, что с этой точкой делать.

Вот я даю определение: "точка есть мера протяженности" - и сразу понятно, что с ней делать: измерять этой мерой пространство.

Поскольку в аксиоматической модели геометрии понятие точки не определено, типа что это такое и так всем понятно, то и говорить о точках как мере протяженности в данном парадоксе бессмысленно, можно говорить о точках только как о метках: О это центр круга, Y это точка касания и т.д.

Никак не могу понять логики данного предложения. Если неопределенно, то говорить о точке как мере протяженности бессмысленно, а как о метке - можно. Как это понять - не знаю, но во-первых, выше я объяснил без всяких терминов "скорость", "качение", "скольжение" и т.д. данный парадокс, пользуясь только понятием точки как бесконечно малой протяженности. Во-вторых, я не против точки как "метки" или "засечки", или "границы". Все это, на мой взгляд, согласуется с моим определением "точка - это мера" - мы как бы "заметили" очень малую протяженность, но не самую маленькую, конечно.

Аватар пользователя boldachev

"точка есть мера протяженности"

Требуется уточнить. Если точка имеет протяженность, то значит она имеет размер, а значит она геометрическая фигура. Вопрос: какая? Точка - это отрезок (если будем измерять линии)? квадрат (для измерения плоских фигур)? куб (если надо измерить объемную фигуру)?

Но самый главный вопрос: а сама точка какого размера? 

Подсказка: если точка имеет размер, этот размер должен быть измерен между двумя точками (как мы всегда измеряем размер). Тогда размер точки равен размеру трех точек: сама точка и размер точек, между которыми мы измерили ее размер.

Аватар пользователя Дмитрий

Требуется уточнить. Если точка имеет протяженность, то значит она имеет размер, а значит она геометрическая фигура. Вопрос: какая? Точка - это отрезок (если будем измерять линии)? квадрат (для измерения плоских фигур)? куб (если надо измерить объемную фигуру)?

Точка - это точка. :) Вы мне предлагаете взять в качестве точки куб, квадрат, отрезок? Куб можно представить как фигуру, образованную из шести квадратов. Квадрат можно представить как фигуру, образованную из четырех отрезков. А отрезок можно представить как совокупность точек. Вы просите, чтобы я точку определил через все то, что я определяю через точку.

Точка - это условность, мера. И бесконечно малая величина - это тоже условность.

Вот в арифметике, к примеру, мы отвлекаемся от всего качественного многообразия мира, рассматривая только количественные отношения, числа и операции над числами. Единица - это может быть любое качество, но нас это качество не интересует. В геометрии же мы рассматриваем только одно качество: протяженность. Это как бы единица в геометрии.

Но самый главный вопрос: а сама точка какого размера? 

Бесконечно малого.

если точка имеет размер, этот размер должен быть измерен между двумя точками 

Можно различать два понятия: точка и граница. И тогда проблем не будет. Граница не имеет протяженности. Если не различать точку и границу, то сумма бесконечного множества точек на прямой будет равна нулю. Мы же должны чем-то измерять отрезки.

Аватар пользователя boldachev

Точка - это условность, мера

Не понял, как мера (то, с помощью  что-то измеряют) может быть условностью? Ну типа метр у нас условный, так?

Может вы какое-то особое значение вкладываете в слово "мера"?

Можно различать два понятия: точка и граница.

Хорошо, давайте различать: граница не имеет протяженности, а точка имеет протяженность. На вопрос "какую?" вы ответили "бесконечно малую". Допустим, что термином "бесконечно малая" вы обозначили некоторую протяженность. Осталось только выяснить какую: сколько этих "бесконечно малых" протяженностей в одном миллиметре? 

Аватар пользователя Дмитрий

Не понял, как мера (то, с помощью  что-то измеряют) может быть условностью? Ну типа метр у нас условный, так?

Конечно! Любая мера есть условность. Задайтесь вопросом - почему метр равен такому-то расстоянию и никакому другому? Мы сами себе выбираем эталон для измерений. А какого-то безусловного эталона, безусловной меры не может существовать (см. несоизмеримость).

Вы мультик "38 попугаев" смотрели?

Осталось только выяснить какую: сколько этих "бесконечно малых" протяженностей в одном миллиметре? 

К чему стремится предел 1/x при х стремящемся к нулю? В одном миллиметре количество бесконечно малых равно бесконечно большой величине.

Аватар пользователя boldachev

Про условность меры понял - вы имели условность выбора меры, а не условность самой меры. Ок.

В одном миллиметре количество бесконечно малых равно бесконечно большой величине.

Тогда не ясно, почему вы точку называете словом "мера"? Что с ее помощью можно измерить? Что и как измерить в попугаях я понимаю, а что измеряется в точках?  

Аватар пользователя Дмитрий

Если точка - это мера протяженности, то что измеряется в точках? - протяженность.

Понимаю, что сейчас последуют вопросы: зачем нам эта мера, если получается бесконечно большая и т.д. Ну, во-первых, можно измерять в метрах, в миллиметрах, в нанометрах, а можем и в точках - бесконечно малая мера, которую мы только можем взять для измерений, а во-вторых, для логики, для ясности в рассуждениях. :)

Аватар пользователя boldachev

Ну, во-первых, можно измерять в метрах, в миллиметрах, в нанометрах, а можем и в точках

Из этого предложения следует, что точка - это такая же мера протяженности, как и метры или попугаи. И напрашивается законный вопрос: сколько в нанометре точек?

Я понимаю, что тут философский  форум. Но не до такой же степени)

Вы уж напишите нам коэффициент перевода попугаев в точки или откажитесь от определения точки как меры протяженности.

а во-вторых, для логики, для ясности в рассуждениях. :)

Вы точно уверены, что это логично и ясно: мера, которой ничего нельзя измерить, мера протяженности у которой нет протяженности. Мне почему-то так не кажется)

Аватар пользователя Дмитрий

И напрашивается законный вопрос: сколько в нанометре точек?

И я готов повторить: бесконечно большая величина. Вы, видимо, имеете что-то против понятий бесконечно малых и бесконечно больших величин.

мера протяженности у которой нет протяженности

Бесконечно малая протяженность - это отсутствие протяженности. Ок.

Аватар пользователя boldachev

Вы, видимо, имеете что-то против понятий бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Ничего не имею против самих  бесконечно малых. Только не могу сообразить, как могла возникнуть идея называть их мерой чего-то. Вы же должны понимать, что в этой мере любой отрезок будет иметь бесконечную длину. 

Бесконечно малая протяженность - это отсутствие протяженности. Ок.

И после этого вы будете называть точку мерой?

Аватар пользователя Дмитрий

Вы же должны понимать, что в этой мере любой отрезок будет иметь бесконечную длину. 

Да не будет он иметь бесконечную длину. Сколько раз надо сказать, что бесконечно большая величина - это конечная величина?

И после этого вы будете называть точку мерой?

После чего? После того, что вы считаете бесконечно малую протяженность отсутствием протяженности?

Мне надо было после слова "ок" написать в скобочках: это сарказм.

Аватар пользователя Сергей Борчиков

Дмитрий, 25 Октябрь, 2018 - 14:23, ссылка

надо дать строгое определение понятию "точка"

Во-первых, спасибо, Вы совершенно адекватно восприняли мой рисунок.
Во-вторых, что значит дать строгое определение? Это значит выразить через систему понятий, принятых в той или иной области теории (области знания). А это означает - опираясь на набор аксиом, принятых в этой теории (области).
В-третьих, надо понимать, что в данном случае другого пути нет, поскольку точка не материальный объект, и сверить правильность не с чем. В природе мы не найдем никаких точек. И даже если Вы, читая лекцию студентам, рисуете на доске какую-то точку, то Болдачев прав, на самом деле, это будет кружок определенного диаметра (миллиметра три, а то лепешка толщиной 0,3 мм).

Итак, прежде чем давать строгое определение, надо договориться о системе координат.
В Eвклидовой геометрии, здесь Болдачев снова прав, точка имеет всего лишь одну или две определенности: пересечение линий или начало отрезка. И всё. Всё остальное от лукавого и ведет к парадоксам. В филологии точка - это знак в конце предложения (очень строго). В биологии есть G-точка. И т.д. Но если Вас интересует математика, то и тут вся палитра. В каких-то высших разделах математики точка может иметь бесконечно малые окрестности (чего у Евклида быть не может), а в каких-то у нее мощность актуально-бесконечной величины (алеф-нуль). В каких-то она сама вся приравнивается к Нулю, а в каких-то к монаде-единице. Я как-то слышал, что точка сама состоит из супермалых точек. А у Николая Кузанского абсолютный максимум совпадает с абсолютным минимумом, т.е. точка со всей Вселенной. И т.д. Вариаций хоть отбавляй. Но от каждой изменяется и определение и, естественно, ракурс рассмотрения.

Аватар пользователя Дмитрий

Во-вторых, что значит дать строгое определение? Это значит выразить через систему понятий, принятых в той или иной области теории (области знания). А это означает - опираясь на набор аксиом, принятых в этой теории (области).

Получился замкнутый круг. Определение основных понятий даются исходя из аксиом, а аксиомы формулируются из основных понятий.

В своем определении точки я использую два понятия: понятие протяженности (пространства в частности) и понятия меры. Геометрия - это наука о пространстве, поэтому неудивительно, что в моем определении присутствует это слово. И мера - это количественное (математическое) понятие.

Точка - это не пятнышко мела на доске, а геометрическое понятие, означающее единицу протяженности.

Хотя, конечно, в других областях точка может быть определена как-то иначе.

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

И вот это вот ограниченное определенным образом пространство и есть точка. А все остальные геометрические понятия (понятия, в которых описывается пространство) легко можно образовать теперь через исходное понятие точки. Что такое прямая линия? Последовательность смежных точек.

Дело в том, что точка в геометрии безразмерна. Соответственно, прямая не может быть последовательностью смежных точек, так как в связи с безразмерностью точки между двумя смежными точками можно вставить ещё сколько угодно точек. Поэтому же и плоскость не может быть последовательностью смежных прямых.
 Но вообще-то, по-моему, если внимательнее присмотреться к аксиомам, то можно заметить, что де-факто толщиной и прямой и плоскости является именно точка. А значит, как мне кажется, она, точка, по умолчанию всё-таки обладает неким размером, который дальше уже не делится.
Но это очень сложный вопрос, который уже столетиями дебатируется. Тут один из участников выкладывал ссылку на работу про историю бесконечно малых, но я сейчас эту ссылку найти почему-то не могу.

Аватар пользователя Дмитрий

Может показаться, что есть какое-то разногласие между определением точки как меры протяженности и точки как границы, засечки. 

Ведь речь-то идет не о каких-то реальных точках, прямых, треугольниках и т.д. Это все есть только ограниченное нами пространство.

Это все условности. Я просто беру для себя минимально возможную протяженность и называю ее точкой. Я как бы ограничиваю этот минимум протяженности (хотя понятно, что и этот минимум может быть поделен на части) и все возможные фигуры в пространстве определяю через точку. Как мне определить что такое линия? Сказать, что это некая длина без высоты и ширины? Хорошо, а из чего состоит эта длина? Что является единицей длины? И я определяю точку как единицу протяжения. Две точки - уже отрезок. А если понимать точку как нечто безразмерное, то как совокупность точек может давать размер?

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

А если понимать точку как нечто безразмерное, то как совокупность точек может давать размер?

В том-то и фокус, что совокупность точек не даёт размер. Но при этом точки по умолчанию понимаются равновеликими, также как и толщина линии и плоскости. А как бы иначе можно было провести через две точки только одну прямую? А как бы вообще могли пересечься прямые или плоскости, если они вообще не имеют толщины? Чему тогда пересекаться? 

Аватар пользователя Дмитрий

Вот-вот. Совершенно закономерные вопросы.

Если точку понимать как границу, то и прямую тоже следует понимать как границу - и чем же точка-граница отличается от прямой-границы? 

Аватар пользователя boldachev

Хорошо, а из чего состоит эта длина? Что является единицей длины? 

Я не думаю, что стоит загонять себя в угол вопросом:  а из чего состоит эта длина? Мы же не про палки и веревки рассуждаем, а про геометрию, в которой существенна именно сама длина, то есть расстояние между двумя точками, которые не имеют длины.

Ах, да, расстояние следует измерять между границами, чтобы к расстоянию не прибавлять размер точек. Хорошо. Перепишу свое предложение так: в геометрии существенно только расстояние между границами. И будем говорить так: "отрезок - это расстояние по прямой между двумя границами", "треугольник - это фигура образованная тремя границами и тремя отрезками", "при пересечении прямой двумя другими прямыми образуется две границы, между которыми размещается отрезок". 

Вы понимаете к чему я? Для того, чтобы быть корректными (ясными и логичными), то есть, чтобы нигде не учитывать размер вашей точки, нам надо во всей геометрии заменить слово "точка" на термин "граница".  И самое главное тут слово "везде". Вы не придумаете ни одного случая, где бы в геометрии потребовалось обратиться к вашей протяженной точке. Речь идет именно о геометрии - о формулировании аксиом, теорем, доказательстве теорем и прочих построениях.

Единственное, для чего вы приписали точке некую протяженность - это только и исключительно для ответа на вопросы: а из чего состоит эта длина? а из чего состоит отрезок? Но в геометрии нет такой проблемы. Для оперирования расстояниями между границами (по старому точками) нет необходимости иметь ответы на эти вопросы. Ну просто по факту того, что геометрия прекрасно обходится без этих ответов уже не одно тысячелетие. 

Вывод такой: вы для себя, для ответов на свои философские вопросы про то, что из чего состоит можете приписать своей точке габариты. А в геометрии словом "точка" обозначали и будут обозначать именно границу, то есть то, что не имеет протяженности, не пытаясь из этих границ что-то составлять.

 

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

А в геометрии словом "точка" обозначали и будут обозначать именно границу, то есть то, что не имеет протяженности, не пытаясь из этих границ что-то составлять.

А что, прикольно.
Аксиома. Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Перевод. Через любые две границы (между чем и чем?) можно провести прямую и притом только одну.
Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Перевод. Через границу (между чем и чем?), не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Вообще-то, по-моему, вся геометрия - о границах. Границами являются и точки, и прямые (да и вообще линии), и плоскости (да и вообще поверхности). В смысле, геометрия занимается формами, а формы, как мне видится, и есть границы. Но если вся геометрия про границы, то нужно эти границы как-то разделять и определять. И тут мы видим явную иерархию этих границ, которые умудряются ещё и друг друга ограничивать. Т.е. эти границы "живут" в своей реальности, где вполне себе, судя по всему, друг с другом вполне строго соотносятся. О чём собственно, по-моему, и говорят аксиомы.

Аватар пользователя boldachev

Это же вопрос аксиоматики и определений.

В евклидовой геометрии прямая не определяется и считается первичным понятием.

Тогда само собой напрашивается определение точки, как пересечение прямых, как результата их взаимного  ограничения (они обе друг на друге фиксируют границу). После такого определения точки сами прямые, на пересечении которых она появилась, потом можно уже убирать из построения. Просто для того, чтобы не писать: через любые два пересечения прямых можно провести прямую и притом только одну. То есть точка используется только как термин для понятия "пересечение прямых". И ни у когда даже в мыслях не появится пытаться приписывать этому пересечению протяженность.

Кстати, в такой логике некоторые определения геометрии короче и нагляднее. Сравните

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой

и

Треугольник — фигура образованная тремя взаимопересекающимися прямыми. 

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

То есть точка используется только как термин для понятия "пересечение прямых". И ни у когда даже в мыслях не появится пытаться приписывать этому пересечению протяженность.

А как тогда эти прямые умудряются пересечься? Впрочем, как и плоскости? Ведь нет у них никакой протяжённости в плане толщины? Границей чего выступают точки при пересечении прямых, а прямые при пересечении плоскостей? Ведь наверное ограничением протяженности. Т.е. выходит, что они некую протяжённость ограничивают - точки длину (линейную протяжённость) линий, а прямые ширину плоскостей - но сами соответствующей протяжённостью не обладают. А "толщиной" обладает объем, а плоскость, не обладая объемом, ограничивает его. В принципе, логично. Хотя, что-то слегка смущает.

Аватар пользователя boldachev

 Границами являются и точки, и прямые (да и вообще линии), и плоскости (да и вообще поверхности). В смысле, геометрия занимается формами, а формы, как мне видится, и есть границы. Но если вся геометрия про границы, то нужно эти границы как-то разделять и определять. И тут мы видим явную иерархию этих границ, которые умудряются ещё и друг друга ограничивать.

Да. И любая фигура должна определяться как фрагмент плоскости ограниченной пересекающимися прямыми. Если сформулировать все в терминах границ, то вопрос "из чего состоят границы?" отпадет сам собой.

И тогда начинать определять элементы геометрии надо не снизу, а сверху. Основное неопределяемое понятие "пространство". Граница в пространстве - поверхность, граница на поверхности - линия, граница на линии - точка.  

 

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

И тогда начинать определять элементы геометрии надо не снизу, а сверху. Основное неопределяемое понятие "пространство". Граница в пространстве - поверхность, граница на поверхности - линия, граница на линии - точка.  

Да, как я выше и написал:

  Т.е. выходит, что они некую протяжённость ограничивают - точки длину (линейную протяжённость) линий, а прямые ширину плоскостей - но сами соответствующей протяжённостью не обладают. А "толщиной" обладает объем, а плоскость, не обладая объемом, ограничивает его. В принципе, логично.

 И при движении сверху, безразмерность точки становится закономерной. Т.е. вводить её аксиоматически нет смысла. Значит, сбылась мечта Эксби о доказательстве аксиом.))

Аватар пользователя boldachev

Значит, сбылась мечта Эксби о доказательстве аксиом.))

К сожалению, нет) Ведь теперь аксиоматически вводится понятие "пространство".

Эксби не может понять простую штуку, что аксиома - это не само суждение, а его роль в конкретной теории. Если в другой теории или в опыте будет доказана или подтверждена истинность суждения, которое играет роль аксиомы в конкретной теории, то это принципиально нельзя называть доказательством аксиомы. Просто потому, что в этой другой теории или в опыте это суждение не является аксиомой, не играет роль аксиомы (в опыте вообще нет аксиом).

Аватар пользователя axby1

Эксби не может понять простую штуку, что аксиома - это не само суждение, а его роль в конкретной теории.

  Александр Владимирович, я бы всё-таки хотел апеллировать к добросовестности Ваших интерпретаций моей позиции. При всей жёсткости моей критики в Ваш адрес я не гнушаюсь приведением цитат и помню когда и о чём мы с Вами дискутировали. Вы же при всей формальной вежливости своих высказываний позволяете себе большие вольности в интерпретациях моих слов, низводя свои оценки до уровня "общих впечатлений о прочитанном" и полностью игнорируя те моменты на которых я постоянно делаю акцент в дискуссиях.

  Во-первых, могли бы обратить внимание на часто употребляемый мною термин "граничные условия", коим я сам постоянно акцентирую внимание на том, что аксиому некорректно рассматривать в отрыве от её роли в конкретной логической системе. И как мне после этого прикажете расценивать Вашу прямо противоположную интерпретацию моих слов ?

  Во-вторых, во избежание недоразумений между нами, которые Вы склонны раздувать на пустом месте, я предложил такую формулировку, с которой Вы уж точно не сможете не согласиться :

  Мы с Вами застряли на определениях терминов, и на мой взгляд Вы слишком заостряете внимание на малосущественных деталях - дескать это я от обозлённости на человечество утверждаю о том что аксиомы доказываются. Здесь Вам достаточно понимать что к ФЛ это не имеет никакого отношения, и если уж Вас так смущает "непривычность" моего высказывания, то я не имею ничего против того чтобы смягчить его до следующего :

  • аксиому хоть и нельзя доказать средствами ФЛ, но тем не менее существует принципиальная возможность объяснить истоки происхождения её формулировки - а не так что "запомни, сука, и не задавай вопросов" 

  Просто будьте немножко внимательнее, если не хотите чтобы и к Вашим словам собеседники относились столь же наплевательским образом, и тогда поймёте что не сможете привести ни одного моего утверждения о логике, по поводу которого у Вас могли бы возникнуть реальные а не надуманные возражения.

Аватар пользователя boldachev

Спасибо за разяснения. 

Следовательно, утверждение "аксиомы доказываются" является истинным.

необходимостью прихожу к констатации того факта, что аксиомы доказываются...

аксиомы доказываются (и это доказывается)...

Я достаточно недвусмысленно "намекал" на то, что истинность утверждения "аксиомы доказываются", как и любой другой аксиомы, устанавливается...

Я в упор не могу понять тех сложностей, которые мешают Вам констатировать банальный факт : аксиомы доказываются, и это доказывается...

 здесь Вы сможете найти исчерпывающий ответ на вопрос о том, почему аксиомы доказываются и зачем это нужно в логике.

с необходимостью прийти к выводу о справедливости утверждения "аксиомы доказываются".

Если вы отказываетесь от тезиса "аксиомы доказываются" и теперь понимаете, что "аксиому хоть и нельзя доказать средствами ФЛ, но тем не менее существует принципиальная возможность объяснить истоки происхождения её формулировки", то приношу свои извинения за искажение вашей позиции. Кто ж станет спорить с тем, что необходимо искать истоки происхождения всего, что происходит. При этом, конечно понимая, что эти поиски не имеют никакого отношения к математике и логике, а задачка для истории науки, науковедения или даже лингивстики.

Итак, еще раз приношу свои извинения, что пропустил момент переобувания и надеюсь, что мы  больше не встретим на ФШ эту безграмотную фразу про доказательство аксиом.

Спасибо

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 09:28, ссылка

Я чуть переформулирую тезис -- аксиомы следует доказыватьsmiley.

 - Следует доказывать -- аксиома в рамках заданной области знаний не доказуема средствами ФЛ.
Тому как ежели аксиома доказуема чрез др. фл. построения -- это НЕ аксиома.  

Аватар пользователя boldachev

не доказуема средствами ФЛ

Педалирование на ФЛ принципиально некорректно. Логика, если она логика, то она и в Африке логика. Если мы говорим, что имеем дело с некой аксиоматической теорией, то однозначно подразумевается, что есть

  1. язык теории - набор знаков из которых строятся высказывания теории
  2. логика теории, с помощью которой строится теория - набор правил оперирования с знаками языка теории
  3. исходные определения некоторых знаков и формул
  4. ряд аксиом - высказываний теории истинность которых не доказывается с помощью логики теории
  5. ряд теорем - истинность которых доказывается в логике теории исходя из аксиом и определений.

Для большинства теорий п.2 опускается, поскольку подразумевается, что в качестве логики используется стандартная формальная логика (в том или ином варианте). Но логик много и порой достаточно специфических, поэтому делать ударение на ФЛ некорректно. Фраза "аксиомы не доказываются" полностью звучит так: аксиомы некой теории сформулированные на языке этой теории не доказываются в логике этой теории.

Аватар пользователя Один

boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 11:28, ссылка

Педалирование на ФЛ принципиально некорректно.

Возражаю против <принципиально>smiley.

Тому как все логики (ну те, которые принято обзывать НЕ ФЛ) опираются, зиждятся на ФЛ в конечном итоге.

И ваш

2. логика теории, с помощью которой строится теория - набор правил оперирования с знаками языка теории

в т.ч. зиждется так же, 
тому как ФЛ -- это не только набор формальных аристотелевских правил, но и, в общем случае -- правила при которых соблюдается однозначное следование им (этим правиалам) при получении конкретного, порой неожиданного вывода.*

Поэтому ваш <принципиально некорректно> беспринципно в самом-самом общем случаеsmiley

* - в конечном итоге в любой логике можно тот ли иной вывод "изначально НЕФл" обосновать в рамках ФЛ, с учётом отличий принятых в той ли иной НЕФл.