Успенский: формула, истина и ложь

Аватар пользователя bulygin69
Систематизация и связи
Логика

http://lpcs.math.msu.su/~uspensky/bib/Uspe...elementarno.pdf

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ В ЭЛЕМЕНТАРНОМ ИЗЛОЖЕНИИ [стр 10]

Цитата:
1) выражения языка
 (такие, как 2 + 3, х + 3, х = у, х = 3, 2 = 3, 2 = 2 
— в отличие от таких как + = х)
2) среди выражений выделяются так называемые формулы, 
означающие при интерпретации «утверждения, зависящие,
быть может, от параметра»
(такие, как х = 3, х = у, 2 = 3, 2 = 2)
3) среди формул выделяются так называемые замкнутые формулы, 
или утверждения, не зависящие от параметра, 
(такие, как 2 = 3,2 = 2)
4) среди утверждений выделяются истинные утверждения 
(такие, как 2 = 2)

Комментарий: 
(2 = 2, х равно х) - истинные утверждения, истинные (всегда) формулы
(2 = 3, х не-равно х) - ложные утверждения, ложные (всегда) формулы

==========
Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Лекция 1.
https://www.youtube.com/watch?v=juxR7MLdHgE

Цитата:
Понятие ДОКАЗУЕМОЙ формулы вводится определением, состоящим из двух частей:
1) каждая аксиома доказуема
2) если какие-то формулы доказыемы, а другая 
формула получена из них применением одного
из правил вывода, то она доказуема.

---------
Формулы имеют вид s = t, где s и t есть термы
(икс в квадрате) есть терм, (икс в квадрате = нуль) есть формула

==========

С ДРУГОЙ СТОРОНЫ
противоречие формулируется следующим образом [Колмогоров, Математическая логика,  стр 51] : “Формула, ложная в любой интерпретации, называется противоречием”.

Поэтому (х не-равно х, х равно не-х) является противоречием, поскольку (х не-равно х, х равно не-х)  является формулой ложной в любой интерпретации.

Получается, чтобы выразить (что есть ложь) необходима запись (х не-равно х) или запись (х равно не-х). И поэтому имено такой смысл вкладывается в False, когда строятся таблицы истиности.

Но тогда, когда в формулах присутствует False, мы имеем дело с противоречием. 

Комментарии

Аватар пользователя bulygin69

(это утверждение недоказуемо) = (что_равно не-равно что_равно)

Аватар пользователя mp_gratchev

bulygin69, 18 Декабрь, 2016 - 06:48

противоречие формулируется следующим образом [Колмогоров, Математическая логика,  стр 51] : Формула, ложная в любой интерпретации, называется противоречием.

Что и требовалось доказать.

--

Аватар пользователя bulygin69

mp_gratchev, я вам говорил (и говорю), что в мат. логике не отождествляется ложь и противоречие. Вы НИГДЕ не найдете в учебниках, что (ложь и противоречие) это одно и тоже. ... Другое дело, что это доказывается средствами самой мат. логики (о чем в рецензируемых статьях показал ранее).

Аватар пользователя mp_gratchev

bulygin69, 18 Декабрь, 2016 - 09:57, ссылка

mp_gratchev, я вам говорил (и говорю), что в мат. логике не отождествляется ложь и противоречие. Вы НИГДЕ не найдете в учебниках, что (ложь и противоречие) это одно и тоже. ... Другое дело, что это доказывается средствами самой мат. логики (о чем в рецензируемых статьях показал ранее).

"я вам говорил (и говорю), что в мат. логике не отождествляется ложь и противоречие" - Нужно всего лишь сложить два и два. Ответ известный: четыре.

--

Аватар пользователя bulygin69

"я вам говорил (и говорю), что в мат. логике не отождествляется ложь и противоречие" -Нужно всего лишь сложить два и два. Ответ известный: четыре.

Надо доказывать это, а не утверждать "по наитию". Вот Гедель доказал. Его доказательство они приняли. Ваше же (Нужно всего лишь сложить два и два. Ответ известный: четыре) отвергнут. 

Аватар пользователя bulygin69

http://dxdy.ru/topic58294.html Первый же комментарий к теме ПРОТИВОРЕЧИЯ на сайте dxdy (МГУ)

Я думал сразу в пурге окажется...

Перемещено в "Пургаторий" ввиду антинаучности администратором

P.S. Или еще пример: http://dxdy.ru/topic106644.html тоже отнесено туда же 

 

Аватар пользователя bulygin69

bulygin69, 18 Декабрь, 2016 - 06:48

противоречие формулируется следующим образом [Колмогоров, Математическая логика,  стр 51] : Формула, ложная в любой интерпретации, называется противоречием.

Что и требовалось доказать.

 

И кстати, mp_gratchev, (А & не-А) не является формулой. (А & не-А) можно отнести к термам, но никак не к формулам. Поэтому (А & не-А) нельзя отнести к противоречию согласно мат. логике

Аватар пользователя mp_gratchev

И кстати, mp_gratchev, (А & не-А) не является формулой. (А & не-А) можно отнести к термам, но никак не к формулам. Поэтому (А & не-А) нельзя отнести к противоречию согласно мат. логике

У Колмогорова, на которого Вы ссылаетесь, читаю

2) Если А и В  - формулы, то формулами являются и следующие комбинации символов:

&В), (АVВ), ~А

(Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. - МГУ. 1982. - С.49)

Следовательно,  и выражение (А & не-А) формула. Это классическая формулировка противоречия.

--

Аватар пользователя bulygin69

У Колмогорова, на которого Вы ссылаетесь, читаю

2) Если А и В  - формулы, то формулами являются и следующие комбинации символов:

&В), (АVВ), ~А

(Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. - МГУ. 1982. - С.49)

Правильно, но это только значит, что была совершена подстановка: (обозначаем, например, формулу 0&1=0 буквой А), (обозначаем формулу 1v0=1 буквой В). 

Колмогоров лишь говорит, что если взять формулу и применить правила вывода, то получим формулу 

Успенский, которого я цитировал ранее, говорит о том же

Понятие ДОКАЗУЕМОЙ формулы вводится определением, состоящим из двух частей:
1) каждая аксиома доказуема
2) если какие-то формулы доказуемы, а другая 
формула получена из них применением одного
из правил вывода
, то она доказуема.

Аватар пользователя bulygin69

Немного о себе:
Сама по себе математика не интересует и не интересовала. Но дело в том, что когда пытаешься что-либо определить, неизбежно утыкаешься в математику.

В школе (г. Тапа в Эстонии) и в университете (СибГУТИ) по математике получал отлично, участвовал в олимпиадах.  Получалось находить, будучи студентом, ошибки в доказательствах у доктора технических наук Трофимова В.К. (https://www.sibsutis.ru/company/personal/user/8313/). Однажды на экзамене повторил, как потом оказалось, доказательство теоремы одного математика 19 века, не зная этой теоремы (поскольку не учил). 

В философию пришел благодаря книжке "Дерзание духа" Лосева, прочтенной в 6 классе. 

Философия нужна, ибо только она дает возможность переосмысливать основы. Но в этом, правда, заключается и ее самый большой недостаток - отсутствие правил вывода (просто потому, что они на ходу пересматриваются всеми и всюду).

Аватар пользователя mp_gratchev


>> Философия нужна, ибо только она дает возможность переосмысливать основы. Но в этом, правда, заключается и ее самый большой недостаток - отсутствие правил вывода (просто потому, что они на ходу пересматриваются всеми и всюду).

.

Замечательно сказано!

В частности, такой основой является закон непротиворечия.

        А & не-А = 0           (1)

Не могут два противоречащих высказывания быть одновременно истинными. Это верно для моно-рассуждения. В совместном рассуждении закон непротиворечия не работает. Точнее, сваливается в логический солипсизм:

"если моё утверждение истинное (а оно по умолчанию истинное), то чужое противоречащее необходимо ложное.

Пересмотр основы будет заключаться в следующем. Для совместного рассуждения верно:

        А & не-А = 1            (2)

Здесь суждение А инициируется утверждающим, а отрицание того же в тоже время и в том же отношении высказывается оппонентом. Для каждого из них его высказывание истинное. Конъюнкция истины и истины - истина:

        1 & 1 = 1           (3)

Разумеется, для совместного рассуждения высказывания придётся индексировать (чьё утверждение и чьё отрицание). В стенограмме диалога это не проблема.

--