Парадоксы теории множеств
Если имеется отрезок, скажем, длиной в единицу и отрезок в длиной сто,
то они равномощны. поскольку в них можно разместить одинаковое количество.
Одинаковое количество чего?
Говорят, что множества равномощны, если количество их элементов одинаково.
Что же в этих (разных) отрезках может быть одинаково?
Одинаково в них количество точек. Что есть точка? Это отрезок нулевой размерности.
Тогда, по сути, утверждается, что количесво отрезков нулевой длины в отрезках
размерности один и размерности сто - одинаково. Удивляет? Нисколько!
Количество отрезков не нулевой длины на этих отрезках неодинаково,
а вот количесво отрезков нулевой длины на этих отрезках одинаково.
Почему так? Потому что ноль есть противоречие.
Сдругой стороны (в паротивовес отношению - конечная величина и ноль)
можно рассмотреть отношения бесконечной величины и конечной.
... Эффеккт будет тот же!
Везде, где присутсвует ноль (отношения .., конечность к нулю, бесконечнось к конечности)
там везде присутствует противоречие, а, следовательно, и парадоксы.
P/S. Тогда имеем ли мы вправе (непротиворечиво) утверждать (не конкретизируя какой размерности отрезки имеются ввиду), что количество отрезков в разных по длине отрезках одинаково (или не одинаково)? Не можем. Если хотим получить непротиворечивый ответ, должны не рассматривать противоречие (коим ноль является).
- bulygin69
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Нет, говорят, что множества равномощны, если они допускают взаимооднозначное соответствие между элементами. В этой теории не мощность определяется через количество, количество через мощность.
Взимооднозначное соответствие и одинаковое количество - одно и то же.
Вы же, bulygin69, философствуете, не правда ли? Поэтому не стоит подменять категорию "тождественности" категорией "равномощности". Ваши два различных по длине отрезка качественно тождественны, то есть обладают одним качеством - качеством длины, и только благодаря этому их можно различать количественно. Сотношения Ваши двух отрезков - это лишь конкретная иллюстрация на простейшем примере единства и противоположности качества и количества в материальном смысле, качественного и количественного анализа в идеальном смысле. Далее, точка на отрезке - это единица отрезка, а не ноль. Здесь явная подмнена, на основе которой строятся Ваши "парадоксальные" фантазии. Ноль находится вне отрезка - рядом с его началом или самой первой точкой отрезка. Как видите, все предельно просто и логично, и нет никакого смысла "изобретать" парадоксы там, где их нет.
Видимо, вы не можете себе представить два отрезка .. от нуля до единицы и от единицы до двух ... или, что тоже самое, три отрезка ... от нуля до единицы, от единицы до единицы, от единицы до двух.
Ноль - это отсутствие чего либо, а не наличие. В данном случае - отсутствие отрезка во всяком отрезке, а не только в трех отрезках. Даже в отрезке от нуля до единицы ноль не на отрезке, а вне его. Неужели трудно это представить. Не пойму, зачем Вам нужна явная подмена реальной величины - пусть самой мизерной, нулем?
Ноль - не только отсутствие чего-либо, но и присутствие отсутствия чего-либо. ... Точка всегда есть то, что не имеет размера. И только поэтому количество этих точек (на отрезках разной длины) одинаково.
Отсутствие присутствия чего-либо - это от бюрократов, а не от философии. На самом деле у Вас проблема с единством и противоположностью качественного и количественного анализа. Мир бесконечен, но качественно различен, поэтому, применительно к величине отрезков, там, где Вы ставите ноль, на самом деле стоит знак бесконечности. А ноль во всех случаях - это граница качества, а не количества чего-либо. Там где кончается отрезок, начинается качественно другая реальность, не так ли? Спасибо за беседу, успехов и всего самого доброго.
Нет чего-то ... означает также ... есть это "нет чего-то".
Через точку можно провести два луча. И далее на некотором расстоянии друг от друга провести две линии (ближнюю и дальнюю), пересекающие эти два луча. В результате получим два отрезка (ближний и дальний). ... Количество точек на меньшем отрезке столько же, сколько точек на большем отрезке (хотя бы потому, что из искомой точки можно провести столько же линий, через один из отрезков, которые бы пересекали оба отрезка, сколько и через другой отрезок. = количество лучей, пересекающих оба отрезка одинаково, несмотря на то, что один из отрезков больше другого)
Ноль как граница ... и подчеркивает, что ... от единицы до единицы ничего нет (показывает границу между отрезками, которые расположены в разных местах, но имеют общее - саму границу)
Владимир Викторович, Вы зря так на ноль ополчились. С таким же успехом могли бы ополчиться и на отрезок не нулевой длины.
Ведь что такое отрезок? Это плод - математического ума. В природе или в сущем: среди гор и морей, рек и озер, лесов и животных никаких отрезков Вы не найдете. Одни математики придумали в своем уме отрезок конечной длины, другие - нулевой длины. Ничего страшного, пользуйтесь на здоровие и тем, и тем. Беда в том, что одни придумки противоречат другим. Тоже казалось бы ничего страшного: придумайте синтетические представления, как, например, Кантор попытался сделать. Но, во-первых, у него в результате появились новые противоречия, а во-вторых, многие математики и логики и не хотят никакого синтеза, считая свои придумки истинными, т.е. соответствующими сущему, без противоречий, а другие придумки - объявляя не соответствующими, полными противоречий. Вообще региону сущностей, где существуют все математические объекты, свойственны противоречия по определению, а в регион сущего они переносятся из региона сущностей по свойству гомоморфизма.
Сергей! Лично у меня нет какого-то эмоционального оттенка к нулю. Просто утверждаю, что там, где ноль, там есть противоречие и, следовательно, натыкаемся на парадоксы.
Насчет есть ли математические абстракции ... Они есть (в противном случае не имело бы смысла о них говорить). ... Но это не значит (говоря о математических абстракциях) что они "расположены в каком-то месте". Они (существующие мат. абстракции) вне пространства, но они существуют. ... Я не платоник.
Можно совершенно не думать об онтологическом месте, как делает большинство, говоря: существуют духовные, идеальные, абстрактные сущности и т.д., а где, лучше не заморачиваться. Не возбраняется. Просто этим мыслителям не интересен этот вопрос. Мне интересен. Ведь пространство и время, по Канту, - априорные формы созерцания. Да и у Аристотеля, они среди десяти категорий, описывающих сущность...
Но я то главный упор моего ответа делал на то, чего Вы коснулись осознанно. Ничуть не меньше противоречий и в конечном числе, чем в нуле. В числе 1 столько противоречий, что мама не горюй. А в числе i? И т.д. В отрезке ненулевой длины не меньше противоречий, чем в нулевой. Просто кому не хочется видеть эти противоречия, он их не видит, абстрагируясь от них. Значит, все дело не в противоречиях, а в особенностях ума математика или логика и в абстрагирования от этих особенностей.
В числе один не вижу противоречий.
А я об этом и говорю (точно зафиксировал), что не видите. И не потому не видите, что у Вас ума не хватает, как почему-то заметил обидную ноту Владимир Першин, а просто потому, что Вам это не нужно и не интересно - различать единицы. Вы аксиоматически постановили их не различать. Вы от различий просто абстрагировались. А еще древние, Аристотель в частности, эти различия видели. Например, все единицы тождественны друг другу. Тогда, складывая 1 + 1 + 1 + 1 + 1, мы должны получить не 5 , а 1. А если мы получаем 5, то отличаем первую единицу от второй и т.д. Вот я сейчас думаю про 1, и Вы сейчас, читая мое про 1, о ней тоже думаете? Мы об одной и той же единице думаем или о разных? И можно ли мою единицу сложить с Вашей?..
Все верно, Сергей, здесь два ответа: с точки зрения качественного анализа, ответ - 1, с точки зрения количественного анализа, ответ - 5. Хотел бы надеяться, что автор темы в этой ветке, наконец, разобрался что к чему. Что касается Аристотеля, то он, возможно, и видел эти различия в математике, но не в обществе. Например, применительно к обмену товаров. Он не видел качественного (стоимостного) равенства качественно различных товаров. Маркс указал причину этого - отсутствие идеи равенства в рабовладельческую эпоху.
Владимир, Вы правы. Ну как мог Аристотель за 2 тыс. лет до возникновения рыночной, буржуазной экономики увидеть закономерности этой экономики?
Сергей, не хотите ли Вы сказать, что при Аристотеле не было мелкотоварного производства, городской торговли? Всякая буржуазная экономика является рыночной, но не всякая рыночная - буржуазной. При Аристотеле существовала простая рыночная экономика, которая (спустя 2 тыс. лет) превратилась в капиталистическую (буржуазную) рыночную экономику. Так что причина "слепоты" Аристотеля - рабовладельческая эпоха, при которой господствовала идея социального неравенства.
Мелкотоварное производство не позволяет еще вскрыть сущность капиталистической эксплуатации и сверхприбыли, а античный базар не есть современный рынок, об этом сам Маркс много говорил. Но мне не хотелось бы сейчас уходить в политэкономические споры, тут всё же ФШ, а гносеология говорит, что нет людей знающих всё. Конечно, Аристотель многого не знал, но и Маркс не знал, например, актуальной бесконечности и фракталов, генов и энтропии, вряд ли читал Дхаммападу и Дао-де-цзин. И что из того?..
Сергей, Вы, как мне кажется, впали в амбицию. С самого начала речь шла о простом товарном производстве и стоимости, а не о прибавочной стоимости. Объяснение последней как раз и вскрывает сущность капиталистической эксплуатации. Не понимаю, зачем Вы сделали прыжок в капитализм? Чтобы сказать мне, что при Аристотеле не было капитатализма и потому он ничего не знал о нем и о капиталистической эксплуатации? Что в политэкономии нет диалектики, следовательно, и философии? Обижаете, я же профессиональный политэконом, каковым невозможно стать без глубоких знаний по философии Гегеля и Маркса. Чтобы закрыть вопрос, еще раз скажу, что Аристотель видел только форму стоимости (цену), но не знал стоимости. Это не позволило ему раскрыть и субстанцию стоимости - человеческий труд. Но анализируя обмен различных товаров, он открыл их качественное равенство. В то время это было гениальным философско-экономическим открытием, которого никто не понял и суть которого, кстати, не понимает и автор этой ветки применительно к двум отрезкам разной длины.
С ув., Владимир
Владимир, Вы правы, что-то заамбициозничал. Наверное, потому что я не политэконом, вот и загнул не туда куда-то. Извините. Но как метафизик могу сказать, что Вы точно нащупали метафизическое соотношение количества и качества. И касательно отрезков, и касательно стоимости. Откуда, кстати, вытекает относительность позиции и разных математиков, и разных метафизиков, и, наверное, разных политэкономов. Если на явление смотреть с т.з. качества возникает одна картина со своими противоречиями, если - с т.з. количества возникает другая, со своими, уже иными противоречиями. Главное, научиться смотреть на каждую точку зрения как бы со стороны. И видеть и свои, и чужие противоречия. Правда, и про нуль добавлю (по памяти), поскольку изучал в свое время концепт Г.Фреге. Для него нуль с точки зрения количества = 0, а с точки зрения качества = 1 (как первое число), а единица с точки зрения количества = 1, а с точки зрения операционального качества = 0 (поскольку умножение и деление на 1 ничего не дает).
Я уже говорил ранее, что в записи ... 1 + 1 ... плюс указывает на то, что "что-то" различается с "что-то_другое". Нет смысла складывать нечто с самим собой. Где множество, там всегда имеется различие. ... Но если мы берем как "что-то", так и "что-то_другое", ... то каждое из них равно себе - и тут нет никакого противоречия.
А символы операторов позволяют нам делать различие в(между) неразличимом по определению.:) Обоснование понятно, вот только чем оно отличается от заявления об уничтоженных террористах,где террористы стали таковыми по факту операции уничтожения?
P.S.Вопрос ведь несколько шире.Элементы множества ничем не различаются, кроме того что они различимы. Все кому надо об этом знают.
Правильно, элементы множества ничем не различаются, кроме того, что они (попарно) различны.
Для множества {а, b} о каждом из этих элементов можно сказать, что каждое из них существует: а=а, b=b.
Когда мы пишем 1+1 это различие (у этой пары) между элементами мы и записываем, используя "+".
P.S. Если для множества {существует a, существует b} оставить лишь существование, т.е {существует, существует}, то оно выродиться в {существует} ... или, что то же, множество {1,1} вырождается в {1}
Есть(существование)- и означает различение этого есть, от иного, что не-есть,отрицание есть(существования). Различение различий это уничтожение(если нет различия), либо умножение(если есть различие), таковых.Иначе - или +.:)
Вот так и выходим на рассмотрение самоумножения идеальных сущностей в себе.:) Множество которых есть самоподобие Единого.
(+) есть различие между существующим и другим существующим
(-) нет различия между существующим и другим существующим ... т.е.... а=b ...разные есть одно и тоже
Нечто всегда тождественно(равно) себе. Но обоЗначить можно различными Знаками.
Нечто одно-Знаки разные.Например единица,как знак отражающий такое качество Нечто как ЕСТЬ(существует нечто) .И при этом она тоже имеет своё отражение,символ обоЗначение-1.Нечто тождественно себе и не может быть предметом мат.операций.Оно просто ЕСТЬ.Но вот символов этого ЕСТЬ можно представить как угодно много.И различие на уровне символов, уже порожденных некоторой сущностью абстракций, можно рассматривать в отрыве от какой либо порождающей их сущности.И в единице есть двойственность, единичность символа, как самого себя,и множественность абстрактной сущности, отражающей качество существования(Нечто).
А я говорю именно о разных нечто, которые есть одно и то же ... говорю именно о противоречии .. А равно не-А ... А не-равно А
1-1 ... нет различия между разными нечто ... это и есть ноль (противоречие)
Приветствую Вас, Сергей! Давненько не общались. Совсем коротко, но по делу. Вы про "ноль", а я про математиков. Думаю, зря Вы о них так опрометчиво. Для математиков абстрактные линии то же, что для философов разумные абстракции конкретных понятий. Как раз Вашему любимому предмету - метафизике, человечество исторически обязано за выработку первых и множества последующих разумных абстракций, созданных на основе эмпирических созерцаний и представлений. Не зря Гегель высказывался о метафизике не только отрицательно, а прежде всего положительно, называя ее "алмазной сетью" (см., например, самые первые страницы "Малой логики"). Если бы не было метафизики, не было бы и диалектики - ни идеалистической, ни материалистической.
Владимир, и я рад с Вами снова подискутировать! У меня нет ничего плохого по отношению к математикам, я очень хорошо отношусь и к ним, и к их науке, и сам очень люблю математику. А уж о логике вообще не говорю - это наука всех наук. Просто последнее время, занимаясь феноменологией и гносеологией иллюзий и фикций ума, я прихожу к тому, что и математикам, и логикам, как впрочем и метафизикам, и вообще всем людям интеллектуального труда свойственна некоторая иллюфоновость их конструкций и нежелание самокритично относиться к этой иллюфоновости. А всё сказанное Вами и Гегелем про алмазную сеть остается в силе...
Как известно, из противоречивого высказывания может следовать как истинное высказывание, так и противоречивое.
Именно потому, что ... ноль - это противоречие ... и следуют выводы вроде того, что отрезки разной длины могут быть равномощны (могут иметь равное количество точек)
Владимир Викторович, пожалуй, нам трудно будет вести диалог. Вы не слышите оппонента. В моей аксиоматике нет никакого противоречия, например, в формуле Кантора: w + 1 = w (актуальная бесконечность поглощает единицу). Но с точки зрения тривиальной арифметики здесь противоречие, поскольку 1 становится = 0. И тогда я спрашиваю: как же так 7 + 1 = 8, а не 7, ведь единица играет роль 0, а Вы мне отвечаете, что в Вашей аксиоматике никакого противоречия нет.
Я не полный сторонник субъективности противоречий А.Болдачева, но в данном случае хочу присоединиться к нему. Математические противоречия - это продукт субъективных аксиоматик математиков. Не более. Поменяйте аксиоматику - и противречия не будет. Не будете менять - будете оставаться с противоречием. На здоровие. Но зачем же и от других требовать следования Вашей аксиоматике, нарушая их свободу иметь свою аксиоматику. О свободе см. здесь: - http://www.philosophystorm.ru/grani-svobody#comment-89979
Сергей! Из того, что один есть равное нулю (кстати, это определение считаю не полным) нельзя вместо единицы в 7 + 1 = 8 подставлять ноль.
Еще раз ... Никакое постоянное число (даже очень большое) не есть бесконечно большое, но постоянное число ноль есть также и бесконечно малое (поскольку предел постоянного числа есть оно само -> предел нуля равен нулю). ... А отсюда и парадоксы.
В основе всех парадоксов - противоречия (а, следовательно, другими словами - ноль)
Так, парадокс Расссела логически формулируется:
Содержит тогда и только тогда, когда не содержит ... и ... не содержит тогда и только
тогда, когда содержит (содержит = не-содержит)
Парадокс всемогущества логически формулируется:
Может тогда и только тогда, когда не может ... и ... не может тогда и только
тогда, когда может (может = не-может)
Вообще, все парадоксы построены по схеме ... А=не-А (А равно не-А, А не-равно А), что означает ... нет решений .... ноль решений.
Нечто-любое, как-либо выделенное из окружающего Универсума..Но как только мы его(нечто ) обозначили, скажем символом А, то и забыли о том, что нечто это не(символ) А в принципе.И для этого символа можно найти другой обозначающий его символ, и т.д. в бесконечное отражение. Всё, дальше можно найти парадоксы в любом предмете ,поскольку между предметом и его знаком,понятием о нём, разница всегда есть.Рассуждать можно только в понятиях и знаках, понятиям соответствующим.Ноль есть понятие отсутствие нечто,но в качестве себя (как Знак-ноль) оно также есть наличие этого понятия(отсутствия).Вот и получаем наличие отсутствия..:)
P.S. Брадобрей Рассела,который должен брить всех, кто не бреется сам, именно так и определён.
Понятие, определённое через отрицание, переопределение исходного понятия(себя,как понятия брадобрея)..бреет тех, кто не бреется сам.