Низшая математика

Аватар пользователя Vadim Sakovich
Систематизация и связи
Логика

Скромность математиков может в конце концов их погубить. Математика, ясен пень, ВЫСШАЯ. Логика подсказывает, что должна быть и низшая. Собственно ею я и пытаюсь заниматься в разных темах, но без каких-либо успехов. В данном случае будет тема, начатая в другой - "Слышат логос из прекрасного далёка..." Там есть ответвление, которое оборвалось, и я его тут повторю.

Но всё же надо довести мысль до точки насчёт Высшей и низшей математик. Вот если бы, например, вышли бы в печать учебники под заглавием: "Высшая биология", "Высшая химия", "Высшая логика", "Высшее материаловедение", "Высшая гинекология" и т.д. Что делали бы в таком случае математики, принимая конкурентный вызов? По-видимому, моментально появились бы учебники с названиями "Божественная математика", "Математический божий дар", "Ангелоподобное исчисление" и т.д., из чего сразу был бы виден праведный, истинный путь по точному подсчёту количества ангелов, умещающихся на кончике иглы.

Однако, перейдём в низшие, плебейские, недостойные истинных математиков сферы, а именно: к настоящему знаковому математическому бандитизму, который "сияет" во всех учебниках. Для этого перейдём в 6-й класс. Возьмём какую-нибудь типичную учебную запись самой точной научной дисциплины королевы наук, например, вот такую, где точка - знак умножения, но не о ней речь, а о другом знаке:

Вас не смущают эти равенства? Здесь мы ставим многоточье. Здесь у нас конец куплета.

Комментарии

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Неужели никого не смущает нарушение математиками закона тождества Аристотеля (в приведённых, связанных между собой выражениях)?

Ведь один и тот же знак "=" имеет разный смысл в рамках одного, так сказать, математического мудрствования. Или всё же везде смысл одинаковый? Тогда каков он?

Аватар пользователя Kirsanow

Может просто совпало? Случайность?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Если открыть любой учебник по математике или математической логике, то подобных примеров... на каждой странице. Но взгляд математиков на окружающих "муравьёв" всегда один и тот же: не до вас, мол, так как в раскрытой нами бесконечности остались ещё один-два незавершённых (для божественного одобрения) вопросов.

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Неужели никого не смущает нарушение математиками закона тождества Аристотеля (в приведённых, связанных между собой выражениях)?

Нет тут никакого нарушения закона тождества. Поэтому и знак везде один и тот же.

Есть три близких по смыслу, но всё же разных отношения: равенство, тождество и эквивалентность. И есть одна, всегда тождественная самой себе ситуация - "равновесия весов", которая устанавливает эти отношения.

Ну, давайте на совсем уж простеньких примерах.

Пришли на рынок, там некий торговец предлагает, например, помидоры. И кладёт на одну чашу весов помидоры, на другую гирю в один килограмм. И совершает манипуляции до тех пор, пока весы не придут в состояние равновесия. Мы получили некое отношение эквивалентности. Помидоры это совсем не гиря, а гиря это ни в коем случае не помидоры, но в каком-то смысле, в данном случае по весу, они эквивалентны. Этим можно воспользоваться.

Теперь торговец снимает гирю и накладывает на вторую чашу тоже помидоры. До тех пор пока не уравновесит весы. Получаем отношения тождества. Хотите с правой чаши берите, хотите с левой, хотите опять наоборот, в любом случае получите одно и то же, килограмм помидор.

Но если у торговца есть ещё например и огурцы в ассортименте, то он может на вторую чашу выложить огурцы. И опять уравновесить весы. Тождества нет. Килограмм помидоров это совсем не килограмм огурцов. Но равенство веса есть.

Что мы получаем?

Получаем такой набор равенств на чашах весов:

а=const (1кг)

а=а

а=в

И все эти превращения возможны только потому и исключительно из-за того, что ситуация равновесия на  весах, которую мы фиксируем с помощью знака "=", тождественна сама себе, чтобы мы там не делали с переменными и константами, равновесие весов остаётся равновесием весов. Что и позволяет нам не только написать а=в, но даже завершить круг и написать, что и огурцов у нас на весах тоже 1 кг. в=а=const=1кг.

А если в каждой строчке мы начнём подвергать сомнению тождественность знаков "=", то всё, никакого килограмма огурцов в конце нам не положено. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Забросали меня гнилыми помдорами, а сами, небось, закусили солёным огручиком! :)

Я так понял, что не следует вдаваться в уточнения относительно знака "=". Он всегда означает одно и то же. Очевидно, что даже в такой записи:

a^3 + b^3 = c^3

 

Аватар пользователя ZVS

Я так понял, что не следует вдаваться в уточнения относительно знака "=".

Нельзя объяснить тому, кто не может понять.(С) Думаете это дискриминация по умственным или географическим признакам, ничего подобного. Это просто факт данный в ощущениях, но не всем .Есть такая замечательная книга про математику, логику и странности мышления. "Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда" - прям про вас написано кое-что. Нет, не в буквальном смысле, но по отношению к исходным смыслам арифметических операций:

Основные законы арифметики

   Свойства, которые я имею в виду, можно пояснить на следующем примере. Представьте, что вы выкладываете несколько палочек:
   / // // // / /
   и начинаете их считать. В то же время кто-то подсчитывает эти же палочки, начиная с другого конца. Читателю, вероятно, понятно, что результат получится одинаковый. Результат подсчета не зависит от того, как этот подсчет делается. Было бы бессмысленно пытаться доказать это предположение о свойствах сложения, настолько оно первично: либо вы его понимаете, либо нет — но в последнем случае вам не поможет никакое доказательство.

Hofshtadter_daglas-gedel_esher_bah_eta_beskonechnaya_girlyanda.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Автор цитируемой вами книги далее продолжает, делая важное замечание о том, что это ПЕРВИЧНОЕ положение (с палочками) положено в основу коммутативного закона сложения, то есть: c + d = d + c.

Мне "нравится" его (автора) тыкания меня, как котёнка, в лужу, котору я наделал. Мол, смотри, поц, результат-то будет одинаковый, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется!!! И это настолько очевидно, что бессмыслено разным там поцам объяснять!

Единственное возражение, которое у меня сразу же всплывает насчёт переместительного закона - следующее. Почему в математике НЕТ такого арифметического ответвления, в котором этот "очевидный" коммутативный закон теряет смысл при использовании его на практике. То есть, почему ОГРОМАДНЕЙШЕЕ количество САМЫХ ОБЫЧНЫХ ЖИЗНЕННЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ситуаций математика до сих пор не моделирует?! И при этом при каждом удобном случае "великие математики" не забывают напомнить поцам о "здравом смысле" и "очевидности". 

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Да, он всегда означает одно и то же, равновесие неких "весов", чаши которых, представлены правой и левой частью выражения. А, уж, что положено на те "весы", и как трактуется их "равновесие", самим "весам" глубоко безразлично. 

Можно положить гирю в один килограмм и подобрать помидоры ей в равновесие, это будет Ваше присвоение. Можно наоборот, положить несколько помидоров и подобрать гири им в равновесие, это будет уравнение, но само состояние равновесия весов в обоих случаях, при обоих действиях одно и то же, посему и знак равенства один и тот же.  

Аватар пользователя vlopuhin

Прошу прощения, не сдержался, нарушил обет молчания. 

Илья Геннадьевич, 23 Март, 2021 - 12:36, ссылка

Можно положить гирю в один килограмм и подобрать помидоры ей в равновесие, это будет Ваше присвоение. Можно наоборот, положить несколько помидоров и подобрать гири им в равновесие, это будет уравнение, но само состояние равновесия весов в обоих случаях, при обоих действиях одно и то же, посему и знак равенства один и тот же.  

Вас не смущает, что случаев два, и они всё таки, как ни крути, различаются? Спрашивается чем? Или вот ещё подсказочка в том же духе:

oiisocrat, 16 Март, 2021 - 10:46, ссылка

А Вас не смущает вопрос: откуда две семёрки?

Знак не может означать одно и то же по определению. Я обозначаю нечто (это нечто обычно называется смысл) знаком "=", сам по себе знак ничего обозначать не может, тем более что такого знака в природе нет. Вот Вам ещё подсказка. Что такое результат математического действия? Подумайте на досуге, почему при взвешивании получается вес, а при уравнивании равенство? Можно ещё глубже: можно ли в математике обойтись (в каких случаях?) без знака "=", и что такое математическая логика? В смысле существует ли математическая логика, или ну её в пень трухлявый, одной на всех логики Аристотеля будет за глаза. И на любителей: что такое и чем отличается теоретическая математика и прикладная математика? Возможно после ответов на эти вопросы наступит ясность что обозначают знаком "="? Уравнивание, присваивание, а то и вообще следование (результат тождественных преобразований).

P.S. Вадим Владимирович, моё предложение остаётся в силе: предлагаю знак булевой операции ставить вместо знака "=" в арифметической записи (это из темы "Булев раж"). По крайней мере знак "<" математики ставят именно туда!

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Подумайте на досуге, почему при взвешивании получается вес, а при уравнивании равенство? 

Вес получается не при взвешивании. Подумайте над этим. Вес имеет место быть и без всякого взвешивания. Гиря в один килограмм, в нормальных условиях имеет соответствующий вес. И всё, что Вы можете сделать, это кинуть её на весы, и сРАВНить её вес с каким-либо иным. И любое действие такого сравнения, будет одним и тем же действием. Точнее результат - равенство весов, как ситуация, будет одна и та же, весы в равновесии. Хоть гирю, хоть помидоры, хоть, что Вы, там, будете класть на весы. 

Поэтому нет разницы, подбираете Вы вес гирь на одной чаше, для уравнивания весов с помидорами на другой чаше, или будете подбирать помидоры для уравнивания с гирями, или уравнивать огурцы с помидорами на разных чашах. Переносить с чаши на чашу, убавлять, добавлять, делить или умножать, конечная ситуация - равновесие, одна и та же, и соответственно смысл знака, её означающего, один и тот же.  

Аватар пользователя vlopuhin

Уже подумал, в дискуссиях с Владимиром (Дилетант): в какое место моей башки встроены весы с чашами и гирями, или на худой конец операционный усилитель?

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Они вложены в виде опыта. Знания и умения, соединённых вместе. Или у Вас нет опыта взвешивания на весах, хотя бы на весах Ваших собственных рук? 

Аватар пользователя vlopuhin

Опыт (знания), полученный мной в начальных классах средней школы, подсказывает, что раскрыв скобки, из (a+b)*(a-b) получится (a^2-b^2), и для этого весы, операционные усилители, калькуляторы, яблоки с землекопами и прочая ерунда не нужны. Но, Борис (К.Б.Н.) не даст соврать, объём этой хреновины под названием математическое выражение не то что бы измерить, даже помыслить невозможно, голова шибко кружится от такой рефлексии :) ...

Аватар пользователя Vadim Sakovich

В ответ на забрасывания меня гнилыми помидорами с весов арифметических мифов, иногда хочется взять гирю с другой чаши и запустить её в голову урановешенного. :)

Итак, вы настаиваете, что когда ПЕРЕМЕННОЙ а присваивается какое-нибудь значение, например а = 7, то это будет равенство тождественное тождеству, а также эквивалентности, как и, например, a + b = b + a ?

При этом вас даже не смущает, что в выражении а = 7 слева находится ПЕРЕМЕННАЯ, а справа - константа. Мол, всё равно это выражение со знаком "=" можно обзывать хоть равенством, хоть тождеством, хоть эквивалентнстью. Главно, чтобы весы были правильно настроены, а там, хоть трава не расти.

Ваш взгляд понятен.

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Итак, вы настаиваете, что когда ПЕРЕМЕННОЙ а присваивается какое-нибудь значение, например а = 7, то это будет равенство тождественное тождеству, а также эквивалентности, как и, например, a + b = b + a ?

Равновесие весов будет конечно тождественное любому другому равновесию весов. Берёте переменную, например помидоры, у нас же помидоров по весу может быть сколько угодно, не так ли? Берёте константу, например гирю в один килограмм и уравновешиваете весы, получаете что Ваша переменная ровна, в результате, не чему угодно, а именно выбранной константе. Получаем: а=1. 

Берём несколько помидоров, произвольно, наша переменная а, в этом случае, не имеет присвоенного значения, кидаем на чашу весов, берём несколько огурцов, это наша переменная в, кидаем на другую чашу но, так и столько, чтобы получить равновесие весов, получаем в итоге: а=в.

В чём Вам видится разница равновесий весов в первом и во втором случае? Как Вы одно равновесие собираетесь отличать от другого? 

Вы можете проверить и коммутативное свойство сложения, можете прибавить уравновешенные выше огурцы к помидорам, переложив их на одну с ними чашу, а можете наоборот, помидоры переложить к огурцам, после чего, взяв набор гирек убедиться, что не важно, к а Вы прибавили в или к в прибавили а, вес их суммы а+в или в+а, будет один и тот же. И для этого Вам всё так же придётся привести весы в равновесие, точно в такое же, как и в первых двух экспериментах. Или можете тождественные количества помидоров и огурцов выкладывать на весы в разных последовательностях, на одну чашу сначала огурцы, потом помидоры, на другую чашу сначала помидоры, затем огурцы, с тем же успехом. Весам и их равновесию Ваши манипуляции безразличны. Состояние их равновесия от этого никак не зависит. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Равновесие весов будет конечно тождественное любому другому равновесию весов.

Делаем выводы. Используемые математиками в разных ситуациях понятия: равенство, тождество, эквивалентность, равнозначность, всё это излишне, так как все эти понятия означают одно и то же.

Прошу вашу подпись и печать. [У нотариуса эту мысль заверим позже.]

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Из чего Вы сделали такой вывод? Как вообще должна работать голова, чтобы приводить к таким выводам? 

Вот берём, например, ну не знаю... знак вопроса "?". Вы понимаете, что согласно Вашей логике, не правомочно использовать один и тот же знак вопроса, для риторических и не риторических вопросов? И тем более для выражения сомнения. Не так ли? Однако...

И таки у математиков есть набор символов, которые позволяют, если это требуется в контексте, строго различать равенство, тождество и эквивалентность. Соответственно:

=; ≡; ≣;

Но, как и в случае с риторическим вопросом, когда мы, как-то, без особого знака понимаем, что этот вопрос ответа не требует, или, как в случае взвешивания овощей, мы, почему-то, догадываемся, что килограмм помидор не тождественен килограмму огурцов, без всяких отдельных указаний на это, так же и в математике, просто не требуется, в общем случае, отдельно указывать, где тождество, а где равенство, специальным знаком. Хватает одного знака "=", как и одного знака "?" на письме.

Ещё раз, в последний, прошу ответить, как Вы различаете разность равновесия весов в случаях, когда на одной чаше помидоры, а на другой гиря (а=1), в случае когда на одной чаше помидоры и на другой помидоры (а=а) и в случае когда на одной чаше помидоры, а на другой огурцы (а=в)?

По какому такому признаку, Вы определяете, что это разные случаи равновесия? Уж не по составу ли "участников" ситуации? Или Вам действительно кажется, что дело в самих весах и их специфическом для каждого такого случая поведении?   

Аватар пользователя Vadim Sakovich

прошу ответить, как Вы различаете разность равновесия весов в случаях, когда на одной чаше помидоры, а на другой гиря

Ответ: понятие равнвесие весов  не зависит от объектов, лежащих на левой и правой чашах.

Теперь мой черёд. Ответьте. Будете ли вы отличать подразумеваемое вами равновесие весов, если огурцы переложить на чашу с помидорами, а помидоры на чашу с огурцами?

P.S. Насчёт знака вопроса в художественной литературе, а ещё лучше - в анекдотах, я ничего не говорил, так как математика - это именно знаковая система, в которой знаки не зависят от художественного контекста. Если бы они зависили, то это как раз и был бы анекдот.

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Ответ: понятие равнвесие весов  не зависит от объектов, лежащих на левой и правой чашах.

 Не понятно, к чему Вы приплели, да ещё и подчеркнули "понятие". Тогда как я говорил и спрашивал о ситуации. Всякое понятие, это мысленная надстройка над очевидностью, наблюдаемой ситуацией. При этом, сама ситуация, исходно, может не сводится ни к какому понятию, так и говорим, понятия не имею, что это, но выглядит оно вот так. Так вот, равновесие весов это очевидность, протрите глаза и убедитесь, что весы уравновешены. Даже если Вы понятия не имеете о том, что Вы видите. И эту ситуацию мы договоримся обозначать неким знаком, например словом "равновесие" или знаком "=", или ещё каким-либо знаком, на наше усмотрение. 

Должно ли нас смущать или заботить, что данная ситуация возникает в результате различных наших манипуляций с весами? Полагаю, что нет. Вы и сами согласились, правда с каким-то хитрым заходом в сторону "понятий", с тем, что абсолютно фиолетово, что именно и в какой последовательности мы кладём на чаши весов, главное, что в результате мы получаем ситуацию равновесия этих самых весов.  

А уже на базе этой очевидности, мы можем включить своё мышление и домыслить понятия, о том, что именно мы получаем тождество, равенство, эквивалентность... Вот это вот понятия, мысленно надстроенные над наблюдаемой очевидностью. Требуются ли для них отдельные знаки? Да, в случае их неочевидности. Когда выражение А равно само себе, А=А, тождественность очевидна, и зачем нам некий знак это подчёркивающий? Он нужен только, когда А тождественно В. И то не всегда. 2*3=6, вот пример тождественности. Вам нужен отдельный знак для него? Зачем? Что это добавит к Вашему пониманию? 

Если следовать Вашей логике, то решение простейшего уравнения превратиться в такую вот мороку: 

2*х=6

х≡6/2

х≔3

Оно Вам надо? Нет, конечно, если душа просит, то пожалуйста, лично, персонально можете и  так вот извращаться. Но математики не такие затейники. 

Аватар пользователя vlopuhin

... простейшего уравнения ... :

2*х=6

...

Прошу прощения за вмешательство, но простейшее уравнение, приведённое Вами, будет таким: 2*х-6=0. Иначе говоря такое примитивное упрощение математического уравнения до весов (оно конечно же способствует пониманию, так сказать усвоению материала, но как ни крути, это именно упрощение, и если вовремя этого не понять и не отказаться от него, то последствия такие же, как неспособность складывать числа без счетных палочек и яблок), возводит вес ноля до недосягаемых высот, поскольку канонический вид математического уравнения f(x)=0. Ну типа какую хрень на весы ни кинь, там всё равно ноль! Однако математика :) ... Прям анекдот ходячий: Что в мире самоё лёгкое? Х***, профессор, от одной мысли поднимается. Что в мире самое тяжелое? Х***, профессор,  никаким домкратом не поднимешь. Однако диалектика :) ...

Аватар пользователя Илья Геннадьевич

Прошу прощения за вмешательство, но простейшее уравнение, приведённое Вами, будет таким: 2*х-6=0.

Нет, исторически (напомню, что ноль, как число, это изобретение совсем недавнего времени, новой истории, а нужда в подобных решениях возникла чуть не в доисторические времена) и логически, уравнения понимались именно так: на одной чаше переменные/неизвестные, на другой чаше константы. И это было уравнением. Уравнением неизвестных с известным. Откуда и само слово уравнение (выравнивание). И аналогия с весами тут самая, что ни на есть прямая. 

Аватар пользователя vlopuhin

Отсюда два действия (смысла), и два результата соответственно: уравнивание и отождествление. Отсюда же кстати и вопрос по поводу в какое место в математическом выражении вставить логическую операцию, и из какого места вылезет результат? Булева математика это теория, а нам для калкуляторостроения нужны комбинационные схемы, то есть приложение теории. Разница колоссальная, как между нулём и битом (знакоместом), как между, не побоюсь этого слова, бытием и инобытием (я уже молчу про небытие), как между трындеть и кули ворочить.

Аватар пользователя Владимир Р

умножения, но не о ней речь, а о другом знаке:

Вас не смущают эти равенства? Здесь мы ставим многоточье. Здесь у нас конец куплета.

Vadim Sakovich,

А что тут не так, Вадим? мы с ребятами вроде пришли к соглашению в этом топике - http://philosophystorm.org/chem-zanimaetsya-logika-21#comment-459244

Аватар пользователя Vadim Sakovich

А что тут не так, Вадим?

Я усматриваю здесь нарушение аристотелевского закона тождества. Один и тот же знак "=" используется в рамках одного контекста в разных смыслах.

Аватар пользователя Владимир Р

Vadim Sakovich,

Один и тот же знак "=" используется в рамках одного контекста в разных смыслах.

 Не понятно, где и в чём разные смыслы?

а равно 4!

в равно 3!

7 равно 7!

Значение слова "равно" не меняется! Ведь так?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Значение слова "равно" не меняется! Ведь так?

Вы просто заменили знак "=" на слово "равно". С таким же успехом можно было бы в качестве объяснения изобразить знак "=" словом в переводе на китайский. И если даже после этого мне будет недоставать объяснения, то можно воспользоваться и другими языками народов Земли. Впрочем, не исчерпан ещё и русский язык. Ведь слово "равно" можно написать с большой буквы и даже всеми большими буквами. А впереди у нас ещё широкая дорога изобразить "равно" разными шрифтами. Вперёд! За работу, товарищи!

 

Аватар пользователя Владимир Р

Vadim Sakovich

Вы просто заменили знак "=" на слово "равно". С таким же успехом можно было бы в качестве объяснения изобразить знак "=" словом в переводе на китайский. И если даже после этого мне будет недоставать объяснения, то можно воспользоваться и другими языками народов Земли. Впрочем, не исчерпан ещё и русский язык. Ведь слово "равно" можно написать с большой буквы и даже всеми большими буквами. А впереди у нас ещё широкая дорога изобразить "равно" разными шрифтами. Вперёд! За работу, товарищи!

Вадим, мне видится, что вы как и многие живёте в плену распространённого заблуждения, думая будто в знаках существуют смыслы. Любой знак сам по себе ничего не означает, поэтому я не понимаю ваших возражений!? Поясните, чем вас не устраивают:

вот этот знак - "="

и

вот этот знак - "равно"?

(То что вы видите на экране "равно" - это не слово, это запись слова! Равно как запись слова "равно" и в этом знаке "="!)

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Ниже Олан Дуг расписал для каждой строки то, что означает знак "=". Оказывается, что в рамках одного математического контекста он (знак "=", а не Олан Дуг) означает разные штуковины. Это и есть нарушение закона тождества.

Следовательно!!! Следовательно математикам разрешается делать то, что запрещено другим людям. Конституцию на бочку, plz !

Аватар пользователя Владимир Р

Vadim Sakovich, 15 Март, 2021 - 23:27, ссылка

Ниже Олан Дуг расписал для каждой строки то, что означает знак "=". Оказывается, что в рамках одного математического контекста он (знак "=", а не Олан Дуг) означает разные штуковины. Это и есть нарушение закона тождества.

Да, я прочитал Олана Дуга! Молодец, расписал знак"=" во всех оттенках серого  математических повествований! Хотя, если в выражениях а2-в2=(а-в)(а+в) и а=4 поменять  "оттенки" то, "Первое выражение - алгебраическое тождество. Знак = читается как, выражению слева присваивается значение выражения справа". Косноязычно, но годится для замещения слов тождественно равны! 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Вы пишите, что для первой строки примера годится такое пояснение: выражению слева присваивается значение выражения справа.

Каким образом алгебраическое выражение может обрести некое значение (полученное как результат другого выражения)? Мне не хватает мыслёв, чтобы представить себе такое присвоение. И дело тут не в косноязычии (как вы говорите), а в невоспроизводимой операции присваивания (кому?).

Аватар пользователя Владимир Р

Vadim Sakovich, 16 Март, 2021 - 00:58, ссылка

Вы пишите, что для первой строки примера годится такое пояснение: выражению слева присваивается значение выражения справа.

Каким образом алгебраическое выражение может обрести некое значение (полученное как результат другого выражения)?

"а2-в2=(а-в)(а+в)"

Да, было предвидел, что есть недосказанность в моём примере! Попробую исправиться:

 "Первое выражение - алгебраическое тождество. Знак = читается как, выражению слева присваивается значение такое же, как и выражению справа". Таким образом, применив однозначность смысла "присвоения" (как и в случае, а присваивается значение 4"), мы тем самым установили тождественность, равенство алгебраических выражений слева и справа!

А вообще, насколько помню, в математике различают "тождественное" и "равное", то есть не всегда это синонимы! 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Дык, в том-то и дело, что алгебраическому выражению нету куда взять эту дарственность. В этом смысле даже фраза от нашего стола - вашему выполнима, чего нельзя сказать об алгебраическом выражении, которому, бедному, некуда положить то, что ему хотят присвоить.

Аватар пользователя Владимир Р

Vadim Sakovich, 16 Март, 2021 - 08:44, ссылка

Дык, в том-то и дело, что алгебраическому выражению нету куда взять эту дарственность. В этом смысле даже фраза от нашего стола - вашему выполнима, чего нельзя сказать об алгебраическом выражении, которому, бедному, некуда положить то, что ему хотят присвоить.

 

Ну, на то она и алгебра, чтобы служить математическому исчислению, то бишь быть присвоенной к числу!

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Ну, на то она и алгебра, чтобы служить математическому исчислению, то бишь быть присвоенной к числу!

Мне с простейшей алгеброй за 4-й класс хватает проблем. А тут вы подбрасываете к моему непониманию ещё и русский язык (как грите -"присвоенный к числу"). 

Аватар пользователя Владимир Р

Vadim Sakovich А тут вы подбрасываете к моему непониманию ещё и русский язык (как грите -"присвоенный к числу"). 

алгебра, чтобы служить математическому исчислению, то бишь быть присвоенной к числу!

это значит, за всяким алгебраическим выражением необходимо стоит число (числа)!

Аватар пользователя Толя

Я усматриваю здесь нарушение аристотелевского закона тождества. Один и тот же знак "=" используется в рамках одного контекста в разных смыслах.

Смысл знака "=" -"равно". ТО, ЧТО приравнивается, может называтся или равенством или тождеством. Смысл самого знака при этом не меняется.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Смысл знака "=" -"равно". ТО, ЧТО приравнивается, может называтся или равенством или тождеством. Смысл самого знака при этом не меняется.

То есть, а = 4 - это значит, что а приравнивается к четырём и может называться или равенством или тождеством. Интересно, что а = 4 и b = 3  взято для проверки формулы. Совершенно нормальным было бы в данном примере сделать ещё одну проверку, например, а = 2 и b = 5.

И тогда у нас получилось бы, что а тождественно как четырём, так и двум. Слово "тождество" на лихом коне врывается в область здравого смысла с криком ура!

Мне кажется, что запись, типа а = 4 (или а = 2) означает присваивание, то есть назначение переменной а того или иного конкретного значения. Именно поэтому в языках программирования строго различают некое равно "=" и оператор присваивания, например ":=".

А у математиков - "гуляй, Вася!"

Аватар пользователя Владимир Р

 Совершенно нормальным было бы в данном примере сделать ещё одну проверку, например, а = 2 и b = 5.

И тогда у нас получилось бы, что а тождественно как четырём, так и двум.

А у математиков - "гуляй, Вася!"

А это, Вадим, как раз и есть вероломное smiley нарушение Закона Тождества!

Аватар пользователя Толя

Мне кажется, что запись, типа а = 4 (или а = 2) означает присваивание...

Если бы был только знак "=", то можно ли было бы вести речь о "присвоении"?

Выражению, в зависимости от его "применяемости", можно придать разный смысл, а знак "=", который в нём используется, как был, так и остался знаком "равно".

Следует различать смысл самого знака и смысл выражения, в котором этот знак используется.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Следует различать смысл самого знака и смысл выражения, в котором этот знак используется.

 То есть, вы считаете, что в математике надо руководствоваться индивидуально понимаемыми смыслами в зависимости от обстоятельствах, как, например, при взгляде на картины импрессионистов? Ну, типа: этот мост в пасмурную погоду смотрится не совсем так. А рассказать простому люду что и когда означает знак "=" - это математикам не под силам?

Аватар пользователя Толя

То есть, вы считаете, что в математике надо руководствоваться индивидуально понимаемыми смыслами в зависимости от обстоятельствах...

Не "индивидуально понимаемыми смыслами", а общепринятыми. Теми, о которых "договорились". "Договорились", например, считать определенные выражения, в котором используется знак "=", тождеством, то так это и делают. То же относится и к равенству.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

"Договорились", например, считать определенные выражения, в котором используется знак "=", тождеством, то так это и делают. То же относится и к равенству.

Ниже, Олан Дуг предложил "договориться", чтобы считать знак "=" в первом выражении тождеством. Если бы в этой строке было записано более сложное алгебраическое выражение (по обе стороны от знака "="), то тождество было бы довольно спорным, требующим возможно довольно объёмного доказательства. Такое тождество вступает в дикое несоответствие с другим тождеством в примере, а именно 7=7, которое не вызывает сомнений.

Получается, что один и тот же знак "=" даже в качестве одной "договорённости" о "вроде бы" тождестве в состоянии выкрутить мозги простолюдина. Но за пазухой у мозговитых математиков этот знак требует ещё с десяток аналогичных, труднообъясняемых "договорённостей". Причём, четырёх различных - даже в рамках примера для начальной школы. И это вы считаете нормальным для провозглашаемой на всех углах самой точной из наук?

 

Аватар пользователя Толя

Vadim Sakovich, 17 Март, 2021 - 09:38, ссылка

Ниже, Олан Дуг предложил "договориться", чтобы считать знак "=" в первом выражении тождеством. Если бы в этой строке было записано более сложное алгебраическое выражение (по обе стороны от знака "="), то тождество было бы довольно спорным, требующим возможно довольно объёмного доказательства. Такое тождество вступает в дикое несоответствие с другим тождеством в примере, а именно 7=7, которое не вызывает сомнений.

Следует помнить, что такое тождество, которому дано определение, принято и используется в математике.

Получается, что один и тот же знак "=" даже в качестве одной "договорённости" о "вроде бы" тождестве в состоянии выкрутить мозги простолюдина.

Вы усложняете.)

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Следует помнить, что такое тождество, которому дано определение, принято и используется в математике.

Кто ж с этим спорит, что понятия тождество и равенство используются математиками на всю катушку?! Но тем не менее чёткого, однозначного определения они не дают. Мало того, на задворках своей империи они изредко признаются, что понимать эти штуковины надо интуитивно - из контекста. Другими словами - не на голодный желудок, а то со злости можно первого встречного математика и пристрелить (ненароком).

Так вот, можно ли назвать человека вменяемым, если он, используя в каждой строчке не совсем однозначные знаки (то ли равенства, то ли тождества, то ли эквиваленции, то ли присваивания...) приходит к выводу мирового математического значения о том, что нельзя доказать непротиворечивость математики. Хочется сразу сказать: поц, определись хотя бы с используемыми в своём доказательстве знаками!

Аватар пользователя Толя

Кто ж с этим спорит, что понятия тождество и равенство используются математиками на всю катушку?! Но тем не менее чёткого, однозначного определения они не дают.

Что здесь неоднозначно?

Аватар пользователя Олан Дуг

Vadim Sakovich, 14 Март, 2021 - 03:17

Вас не смущают эти равенства? Здесь мы ставим многоточье. Здесь у нас конец куплета.

Первое выражение - алгебраическое тождество. Знак = читается как, выражения тождественны., т.е. результаты их выполнения равны (=).

Второе выражение = знак присвоения. "А" присвоено значение 4, "В" присвоено значение 3. В математических знаках (иероглифах) это выражается А=4, В=3

Третье выражение -тождественность арифметических действий

Четвертое выражение - равенство (тождественность) цифры самой себе.

Что меня должно смущать ? То что многозначность одного и того же знака присуща не только простому языку но и математическим знакам?

Ну действует тоже самое правило: Многозначность переводится в однозначность дополнительным контекстом.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Вы разложили всё по полочкам! Однако, если принять ваше последнее правило многозначность переводится в однозначность дополнительным контекстом, то получается, что в рамках одного контекста (представленного четырьмя строками) действительно нарушается закон тождества. Кроме того, где и как взять дополнительный контекст.

Знак "=" в математике, как вы знаете, "иногда" применяется. Что он означает - об этом почти ничего не говорится, о чём свидетельствует даже ЭЛЕМЕНТАРНЕЙШИЙ пример за 4-й класс ЦПШ.

Получается, что математикам на это (нарушение аристотелевского закона) наплевать! И действительно, когда мозги математической элиты заняты выискиванием точнейших соотношений в бесконечности (как в потенциальной, так и, бери выше - в актуальной), то естественно им не до знака "=" - понимай, мол, в меру своей испорченности, жалкий плебей!

Аватар пользователя Олан Дуг

Vadim Sakovich, 15 Март, 2021 - 23:12, ссылка

 Кроме того, где и как взять дополнительный контекст.

А вот текст по обе стороны знака = и есть тот самый дополнительный контекст, который и помогает определить значение знака в данном выражении.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

А вот текст по обе стороны знака = и есть тот самый дополнительный контекст, который и помогает определить значение знака в данном выражении.

Вы хотите сказать не "текст по обе стороны знака", а просто - то, что находится по обе стороны знака "=". Так оно и есть. Математики, очевидно, это и предполагают. При этом они бьют линейкой по губами любого, кто посмеет сказать равные треугольники вместо конгруэнтные. А со знаком равно они (наши точнейшие из точнейших) дают плебеям полную смысловую свободу восприятия. Это хорошо! Тем более, что эта свобода тесно переплетается с лозунгом: "свобода, равенство, братство!" Буду ратовать за введение этого лозунга в состав главных теорем математики.

Аватар пользователя Михаил ПП

Vadim Sakovich, 17 Март, 2021 - 07:10, ссылка

_При этом они бьют линейкой по губами любого, кто посмеет сказать равные треугольники вместо конгруэнтные. А со знаком равно они (наши точнейшие из точнейших) дают плебеям полную смысловую свободу восприятия. Это хорошо! Тем более, что эта свобода тесно переплетается с лозунгом: "свобода, равенство, братство!" Буду ратовать за введение этого лозунга в состав главных теорем математики._

Вся математика - это "договорняк" (конвенциональна - если модно выражаться). Если будете не согласны с тем, что "великим" математикам (очень авторитетной ныне "тусовки")) кажется "очевидным", то подвергнут остракизму, если вообще "снизойдут до"!))

Это пифагорейская "религия", если под религией понимать не просветление (иЗконно)), а то, что ей уже многими веками считается - всего лишь культы поклонения. В данном случае - цифрам (знакам их "замещающим") и их "уравниванию")). Вы бы ещё в "гео"-метрию вторглись - с её неделимой "точкой" и прочими производными!))

В этой "религии" есть свои "папы римские" и иные апостолы, поэтому туда "бедному")), хоть и уже "крещённому", математику, вторгаться не следует. Типа: "Ишь Мартин Лютер выискался!"

Аватар пользователя Дилетант

Олан Дуг, 16 Март, 2021 - 16:14, ссылка
А вот текст по обе стороны знака = и есть тот самый дополнительный контекст

 по обе стороны знака = находятся стороны отношения, изображением которого и является знак "=".
Здесь вполне работают гегелевские противоположности, связанные отношением "=".

Этот знак "=" показывает (обозначает) связь между собой этих противоположностей своим ТОЖДЕСТВОМ.
Тождественны не "стороны отношения", а стороны отношения СВЯЗЫВАЮТСЯ в ТОЖДЕСТВО ОТНОШЕНИЕМ, обозначенным знаком "=".
Отношение, обозначенное знаком "=", ТОЖДЕСТВЕННО само-себе.

Иначе это тождество может быть выражено ⇄ или ⇆ - зависит от направления отношения:

А ⇄ В - от А к В и обратно (правостороннее); А ⇆ В - от В к А и обратно (левостороннее).

(Википедия, ст. Стрелка (символ))

Получается, что знак "=" - это как бы вырожденный знак отношения между сторонами, которые совершенно одинаковы и отделены друг от друга, связываясь только "обозначением в уме" - "=".
Другими словами, знак "=" - это снятая форма отношения противо-положенных форм. Так, во "множестве" точки держатся именно на этом знаке "=", но и ещё и на "направлении", на "координатах" "системы координат".

Соседние точки на оси координат как раз связаны знаком "=", который заменён на отрезок линии оси координат.

Отношение ⇄ между А и В можно представить как обозначение "элемента времени" в кольце рефлексии от А к В.
Тогда, если координатная ось обозначена как "ось времени", каждая следующая точка обозначает очередной цикл, очередной ЭЛЕМЕНТ времени и, по идее, может быть нарисована как спираль, например, вытянутая спираль от электроплитки, где каждый виток (цикл) ПРОНУМЕРОВАН.
Отсюда и представление о развитии как о некой "спирали".

Интересно, что спираль оказывается и "правой", и "левой".
Тогда, если "левая" спираль будет означать направление развития от реальных, силовых действий к их идеальным формам, т.е. "материализм", то "правая" спираль будет означать направление развития от идеальных форм к реальным, силовым действиям.
В кольце рефлексии сравнения такое будет означать работу в режиме "обучения", и в  режиме "диктата", соответственно.
Это циклы времени по "вертикали" иерархии: (правое вращение, стрелка диктата справа) или  (левое вращение, справа - стрелка обучения).

(Еккл.3:5. время раз­брасы­вать камни, и время собирать камни;...).

В переводе на "русский": время творить действительность (диктовать свою волю окружающей действительности) и время учиться у действительности (прикладывать своё понимание к явлениям действительности и составлять прогнозы её).

Спасибо.

Аватар пользователя Дмитрий

Хм... действительно, странная ситуация. Насколько мне известно, операция присваивания - это из области программирования, и к математике она никаким боком.

Получается, что закон тождества нарушаем мы, когда трактуем простой математический знак равенства "=" как знак присвоения.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Отлично! Вам не по душе программистский термин присвоение (или присваивание). Это нормально! С какого такого бодуна программисты должны лазить со своим уставом в храм королевы всех наук! Согласен.

Однако можно воспользоваться нормальным математическим термином "назначить". То есть, для записи а = 4 знак равенства - это назначение перемнной а какого-либо конкретного значения.

Это будет корректно! Нюансик состоит в том, что это будет не корректно для смысла этого же знака "=" для других строк ЭТОГО ЖЕ математического примера, так как мы заставляем Аристотеля как минимум три раза перевернуться в гробу.

Ещё раз!!! Это элементарнейший пример за 4-й класс! У математиков - птиц высокого полёта - такое встречается чуть ли не на каждой странице.

Аватар пользователя Дмитрий

Скажите, почему знак равенства в записи а = 4 следует обязательно понимать как присвоение или назначение? А если я буду понимать этот знак в данной записи как простое равенство - это будет преступление?

Чем присвоение так особенно, что его следует отличать от равенства? Если я скажу "пусть а равняется трем" - здесь присвоение или равенство?

В программировании операцию присваивания необходимо отличать, т.к. во время объявления переменной и присвоения ей значения машина выделяет область памяти и заносит туда данные, но в математике же не надо заморачиваться с памятью. Если ввести дополнительный знак для присвоения, ничего же не изменится, разве что детям в школе больше страданий. Ненужных страданий.

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Если ввести дополнительный знак для присвоения, ничего же не изменится, разве что детям в школе больше страданий. Ненужных страданий.

Ну, почему же ненужных?! Думаю, что школьникам в наше время без освоения основ программирования - никуда. Так что, по-моему, дополнительный знак, тем более что он уже есть в программировании, наверное не помешал бы.
 И спасибо Вадиму Владимировичу, что очередной раз обратил наше (моё) внимание на то, что я даже и не замечаю.)) 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Чем присвоение так особенно, что его следует отличать от равенства? Если я скажу "пусть а равняется трем" - здесь присвоение или равенство?

Переменная может принимать конкретные значения. Для обеспечения этой возможности, по идее, должен быть оператор, который посылает конкретное значение данной переменной. Другими словами, переменной именно НАЗНАЧАЕТСЯ (присваивается) конкретное значение - иногда одно, инода - другое, третье и т.д..

Будет менее точно, если сказать "переменная равна <конкретному значению>", потому что возникает несоответствие понятий переменная и равна конкретному значению. Какая же она, к чертям собачим, переменная, если она равна кокретному значению?!

Аватар пользователя Дмитрий

Другими словами, переменной именно НАЗНАЧАЕТСЯ (присваивается) конкретное значение - иногда одно, инода - другое, третье и т.д..

И после этого назначения переменная становится равной такому-то значению. :) 

Какая же она, к чертям собачим, переменная, если она равна кокретному значению?!

Из этого следует, что переменная не может быть равна конкретному значению. Стало быть, и назначить ей какое-нибудь конкретное значение нельзя - она же переменная! Назначил ей значение, а она уже переменилась.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Переменная - не потому переменная, что она всё время меняет свои значения, а потому, что она является противоположностью константам - конкретным значениям, которые всгда тождественны самим себе. В этом смысле переменной можно назначать конкретные значения в рамках описываемого контекста (и только).

В приведённом примере, в первой строке переменная а не имеет конкретного значения. Там выполняется тождество при любых значениях а и b. А ниже, где написано а = 4, знак "=" в принципе не может означать то же, что этот же знак в первой строке. Иначе мы должны были бы считать а = 4 - тождеством.

На всякий случай (чтоб меня не привлекали по статье). Всё это не значит, что математиков надо стрелять. Некоторые пусть живут, чёрт с ними. В теме я лишь утверждаю, что математики в самых ЭЛЕМЕНТАРНЕЙШИХ своих писаниях нарушают логический закон тождества Аристотеля. Это означает, что можно доказать всё что угодно.

Аватар пользователя ZVS

Vadim Sakovich, 18 Март, 2021 - 05:53, ссылка

..я лишь утверждаю, что математики в самых ЭЛЕМЕНТАРНЕЙШИХ своих писаниях нарушают логический закон тождества Аристотеля.

Более того, у них нет однозначного определения однозначности..

P.S. Это сарказм.(С)

Вы ещё тождественность тождества не доказали, а туда же.Нерелевантно себя ведёте..

Аватар пользователя Дмитрий

Вы повторяете то, что уже говорили ранее. Но не говорите, почему знак равенства в записи а = 4 нельзя понимать как знак равенства.

Иначе мы должны были бы считать а = 4 - тождеством.

Разве это не тождество? а не равно четырем?

а = 4 - это ведь тоже своего рода уравнение. Но переменная а может принять только одно значение, чтобы это уравнение было верным. И с помощью одного только знака равенства мы без труда находим это значение.

Т.е. я не обязан знак равенства понимать здесь как знак присваивания.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

а = 4 - это ведь тоже своего рода уравнение. Но переменная а может принять только одно значение, чтобы это уравнение было верным.

Уравнение подразумевает функцию слева и справа от знака "=". А функция подразумевает наличие зависимой переменной - зависимой от независимой(-ых) переменной(-ых). И что тогда в записи а = 4 натолкнуло вас на мысль назвать это уравнением? Только лишь знака "=" явно недостаточно для этого.

Аватар пользователя Дмитрий
Аватар пользователя Vadim Sakovich

Уравнение — Википедия (wikipedia.org)

В любом случае а = 4 рассматривать как уравнение странновато. А вот сказать, что тут переменной а назначается конкретное значение при помощи знака "=" - не вызывает вопросов. Проблема в том, что вроде как надо каждый раз оговаривать что означает знак "=". Иначе надо подразумевать контексты, приближая тем самым "точную" математику к естественному языку в смысле неоднозначности.

Аватар пользователя Дмитрий

По вашей ссылке нигде не сказано, что под уравнением всегда подразумевается функция.

Возьмем простое алгебраическое линейное уравнение вида ax+b=0. Пусть коэффициенты a = 1 и b = - 4. Имеем х - 4 = 0. Четверку переносим вправо: х = 4 - теперь это не уравнение? А что тогда, неравенство?

Ведь все просто: знак "=", уравнение и т.д.

Но у вас не равенство, а присвоение. Не уравнение, а функция. Как будто это вещи несовместимые. 

Математики мыслят гораздо проще.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

По вашей ссылке нигде не сказано, что под уравнением всегда подразумевается функция.

Но ведь там сразу же, в первых же строках, говорится:

Уравне́ние — равенство вида

{\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\dots \right)=g\left(x_{1},x_{2}\dots \right)},

где чаще всего в качестве f, g выступают числовые функции

 

Вернёмся к нашим баранам. Вы считаете, что в примере из топика, первая строка - это уравнение:

Хорошо, а что если упростить это "уравнение" до такого:

Заметьте, первое "уравнение" имеет бесконечное множество решений. Но и второе уравнение имеет тоже бесконечное множество решений. Мало того, эти бесконечные множества - одного поля ягоды. Они входят в класс счётных бесконечных множеств.

Будете настаивать, что и то, и второе - уравнения? Или всё-так, первое - это тождество, и правильнее было бы там иметь вместо знака равно, знак тождества?

Аватар пользователя Дмитрий

где чаще всего в качестве f, g выступают числовые функции

"Чаще всего" не значит ведь "всегда"? Надо быть внимательнее. Я же дал ссылку на определение линейного уравнения. Что не так?

Будете настаивать, что и то, и второе - уравнения?

Конечно. Я простой русский человек: вижу знак равно - значит уравнение.

Второе уравнение, правда, вовсе не имеет бесконечное множество решений. Если я, например, возьму а = 0 и b = 1, то данное уравнение не является верным.

По поводу тождества и равенства. Здесь во многом вопрос терминологии. Иногда утверждают, что всякое тождество является равенством, но не всякое равенство есть тождество. Хотя я слышал иной вариант употребления терминов: строгое и нестрогое тождество. "Нестрогое тождество" означает, что уравнение не имеет бесконечное множество решений. Это ваше второе уравнение, а первое уравнение - строгое тождество. Иногда для обозначения строгого тождества рисуют в знаке равенства не две, а три черточки. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

вижу знак равно - значит уравнение.

Но ведь уравнение надо решать, а первая строка в примере требует не решения, а доказательства тождества, что делается путём преобразования правой части точно в такую же, как левая.

 Второе уравнение, правда, вовсе не имеет бесконечное множество решений. Если я, например, возьму а = 0 и b = 1, то данное уравнение не является верным.

Второе уравнение решается и имеет бесконечное множество решений: a=1, b=-1 ; a=2, b=-2; a=3, b=-3... и т.д.

"Нестрогое тождество" означает, что уравнение не имеет бесконечное множество решений. 

Второе уравнение имеет бесконечное множество решений, но не является тождеством. 

Аватар пользователя Дмитрий

Но ведь уравнение надо решать, а первая строка в примере требует не решения...

А если я все-таки его решу, то что со мной будет? :)

Уравнение с двумя неизвестными. К тому же вы сами сказали, что оно имеет бесконечное множество решений.

Второе уравнение решается и имеет бесконечное множество решений

Да нет же. Я же привел пример: при а = 0 и b = 1 уравнение неверно.

В первое уравнение вместо a и b вы можете подставлять что угодно и оно всегда будет верным - это строгое равенство, ведь левая часть уравнения получается путем преобразования правой части.

А второе уравнение верно только при определенных значениях a и b. При значениях а = 0 и b = 1 это уравнение неверно.

Второе уравнение имеет бесконечное множество решений, но не является тождеством. 

Как равное не может быть тождественным? Тут уж не математику, тут логику надо включать.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Как равное не может быть тождественным? Тут уж не математику, тут логику надо включать.

 Так ведь два примера, которые я привёл (первая строка и альтернатива первой строке) как раз и показывают разночтения в знаке "=". Первая строка - это тождество, а во второй - уравнение. Хотя оба выражения имеют бесконечное множество решений.

Если думаете, что второе выражение имеет не бесконечное множество решений, то тем самым вы утверждаете, что ряд целых чисел - не бесконечен. Действительно, подставляя вместо a и b любые числа из ряда целых чисел (a с плюсом, b - с минусом) образуется результат равный нулю.

Более того, так как a и b - целые числа, то на каждую пару значений для первого выражения, найдётся член ряда для второго выражения. Это в теории множеств называется биекцией. При этом оба этих бесконечных множества называются счётными. А все счётные множества - равномощны.

Итак, выходит, что несмотря на бесконечное множество решений для этих двух выражений, лишь первое можно назвать тождеством, так как оно доказуемо именно как тождество - как то, что левая часть выражения эквивалентна правой. Чего нельзя сказать о втором выражении.

Вывод: знак "=" в двух этих случаях говорит о разном ТИПЕ "равенства".

Второе выражение я привёл лишь для примера. На самом деле о неоднозначности знака "=" говорят строки в примере, заданном в топике. Там и происходит нарушение закона... но уже закона логики (закона тождества Аристотеля), так как эти различные по своей сути равенства находятся в рамках одного контекста.

Аватар пользователя Дмитрий

Вы как будто меня не слышите. В третий раз пишу: при а = 0 и b = 1 уравнение не выполняется. Почему это проходит мимо вашего внимания?

В первое уравнение можете подставлять вместо a и b что угодно - у вас уравнение всегда будет верным. Данное уравнение имеет бесконечное множество решений.

А вот второе уравнение...

Вы серьезно считаете, что равенство выражений (a^2 - b^2) и (a + b) верно при любых значениях a и b? Разве вы не видите, что это не так?

Теперь о терминах.

Тождество - это равенство и равенство - это тождество. Все тождественное равно, и все равное тождественно. Назвать тождественное неравным и равное нетождественым у меня язык не повернется. Это синонимы.

Любое выражение содержащее знак равенства является уравнением.

Позвольте мне пользоваться привычным, понятным и простым словоупотреблением.

Вы заходите и говорите: "Ребята, у вас тут не равенство, а присвоение. Вы нарушаете закон тождества!" А почему, по-вашему, одно исключает другое? Почему невозможно, чтобы запись a = 4 одновременно означало и равенство, и присвоение? Ведь здесь не тот случай, когда не знаешь в каком именно смысле надо понимать. Здесь и тот и тот смысл имеет место. Присваиваем мы переменной a значение 4? Да, присваиваем. Равняется ли переменная a четырем? Да, равняется. В чем проблема?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Вы как будто меня не слышите. В третий раз пишу: при а = 0 и b = 1 уравнение не выполняется. Почему это проходит мимо вашего внимания?

Потому что мимо вашего внимания проходит то, что пишу я.

Если по-простому. Я говорю, что есть беконечное число чисел кратное трём. А вы мне отвечаете: число 5 не кратно трём, поэтому кратных - не бесконечно. 

Аватар пользователя Дмитрий

Окей, понял. Количество решений второго уравнения бесконечно, однако же существуют такие значения a и b (их тоже бесконечно), при которых второе уравнение не решается. А первое уравнение решается всегда. Собственно, в этом вся разница между ними.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Поэтому первое выражение называется тождеством, а второе - уравнением.

Если есть какое-нибудь сложноватое уравнение, и вы сумеете доказать (без перебора бесконечных возможных значений), что обе части от знака равенства эквивалентны, то это будет тождество (? возможно даже сказать - тавтология ?). Ясно, что при доказательстве можно по правилам алгебры переносить переменные и константы по другую сторону от знака "=".

Аватар пользователя Дмитрий

Поэтому первое выражение называется тождеством, а второе - уравнением.

Противоположностью уравнения является неравенство. Либо уравнение, либо неравенство - третьего не дано. Если первое выражение не является уравнением, значит - я делаю вывод - это выражение есть неравенство.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Если вы делаете такой вывод, то 99% реальных решаемых уравнений (:помогающих нам жить:) надо записывать как ненравенства и решать их по правилам неравенства. Но тогда окажется, что при определённых значениях переменных эти неравенства становятся равенствами. И тогда - "не верь глазам своим", так как третьего не дано. Но хуже, что сам закон (логики) исключённого третьего вы не верно толкуете. Поэтому есть надежда, что уравнения (которые вы называете неравенствами) вы сами и решите, не обращая внимание на неверно понятый закон исключнного третьего.

И в завершении, прочтите короткую заметку в Википедии о тождестве. Обратите внимание на четвёртый абзац, начинающийся с предложения: "Не любое равенство является тождеством..."

Аватар пользователя Дмитрий

Погодите, так что же получается - мой вывод неверен? И первое уравнение является таки уравнением? Ну и слава богу. :)

И в завершении, прочтите короткую заметку в Википедии о тождестве.

Мне что - молиться на вашу Википедию?

Если вам угодно называть первое выражение тождеством, а второе уравнением - ради бога. Для меня это - корявая терминология. То, что первое тождество выполняется на всем бесконечном множестве значений переменных, а второе не на всем, не оправдывает кривость данной терминологии. Никто не докажет мне, что равное может быть нетождественным. 

Кстати, обратите внимание, что в Википедии сказано: "Например, равенство x+2=5имеет место не при всяком значении x, а только при x=3. Поэтому оно не является тождеством." А далее ниже идет раздел "Тождественность на заданном множестве" и приводятся примеры: "выражение {\displaystyle {\frac {a^{2}}{a}}=a} тождественно при любом a,  кроме a=0. выражение {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}} тождественно только для неотрицательных вещественных чисел."

Я нахожу в этом противоречие. Выражение  {\displaystyle {\frac {a^{2}}{a}}=a} вроде как является тождеством, но оно не выполняется при a=0.

 

Добавлю еще кое-что. В качестве послесловия.

Самое странное - то, что вы указываете математикам, что у них нарушается закон тождества Аристотеля, но при этом вы ни капельки не возражаете против принятой терминологии и требуете, чтобы я ей следовал неукоснительно. А может быть, все дело как раз в кривой терминологии? Тождество есть равенство, а всякое равенство - это уравнение. Так зачем так разделять эти понятия: "тождество", "равенство" и "уравнение"? Того гляди и ваши замечания в нарушении закона тождества отпадут сами собой. 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Самое странное - то, что вы указываете математикам, что у них нарушается закон тождества Аристотеля, но при этом вы ни капельки не возражаете против принятой терминологии и требуете, чтобы я ей следовал неукоснительно. А может быть, все дело как раз в кривой терминологии? 

Нарушение аристотелевского закона тождества, когда это делается не намеренно, а в силу неких (незамечаемых) обстоятельств, происходит обычно из-за неоднозначности терминологии. Но я акцентировал внимание на том, что эта неоднозначность перенесена (и воплощена) в математические символы, в частности в знак "=". Ранее я писал о неоднозначности знака деление.

 

Аватар пользователя Дмитрий

Неоднозначность еще не свидетельствует о нарушении закона тождества. Нарушение закона тождества возникает в двух случаях: когда намеренно совершают подмену и когда ненамеренно путают значения. Запись a = 4 такова, что ее можно понимать и как равенство и как присвоение. Оба смысла не противоречат друг другу, их невозможно подменить.

Кстати, насчет математической терминологии. Никогда не мог понять, почему единица не является простым числом. Все натуральные числа либо простые, либо составные. А единицу почему-то математики решили обидеть.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Нарушение закона тождества возникает в двух случаях: когда намеренно совершают подмену и когда ненамеренно путают значения.

Из этого тезиса вытекает, что если человек в своём рассуждении неосознанно подменяет понятия, то это не будет нарушением закона тождества. Ну, точно, как Шура Балаганов, когда он вытащил у дамы кошелёк в трамвае, и его схватили на горячем, он оправдывался: "Я ж машинально!"

Запись a = 4 такова, что ее можно понимать и как равенство и как присвоение. Оба смысла не противоречат друг другу, их невозможно подменить.

Остановимся на одном вашем понимании: а = 4 как равенство (не как присвоение). Приведите мне какой-нибудь математический контекст, когда бы утверждение о том, что это равенство, имело бы смысл. Другими словами, приведите какую-нибудь формулу, в которой нельзя было бы напрямую использовать 4 вместо а , но обязательно надо было бы до или после указать, что а = 4 .

Аватар пользователя Дмитрий

Из этого тезиса вытекает...

Нет, не вытекает. Видимо, мое "ненамеренно путают значения" для вас не значит "неосознанно подменяет понятия". На разных языках говорим.

Другими словами, приведите какую-нибудь формулу...

Не понял, какую формулу вы от меня хотите и зачем. Давайте не будем опять начинать. Я понимаю запись a = 4 как равенство переменной a четырем (что не мешает трактовать мне эту запись также как присвоение) и не вижу в этом никакого нарушения закона тождества. Доказывать мне, что это не равенство, бесполезно.

Аватар пользователя oiisocrat

А Вас не смущает вопрос: откуда две семёрки?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

А Вас не смущает вопрос: откуда две семёрки?

Если бы там был знак тождества, то совсем бы не смущало. А так... рука сама просится дорисовать третью семёрку, чтобы получилось "очко". 

Аватар пользователя oiisocrat

Так натуральный ряд содержит в себе нужное количество каждого своего элемента?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Насчёт "нужного" - не знаю. Мне кажется, что натуральный ряд содержит точное количество каждого своего элемента, а именно - одно. Ясен пень, что Великолепная семёрка - исключение.

Аватар пользователя Геннадий Макеев

Вадим Сакович

Неужели никого не смущает нарушение математиками закона тождества Аристотеля...

...В теме я лишь утверждаю, что математики в самых элементарных своих писаниях нарушают логический закон тождества Аристотеля.

Сказал бы просто,типа, "нарушают закон тождества(как я его понимаю)". Ан нет, надо было Аристотеля всунуть. Получилось что-то похожее на зайца и льва - "кто на нас с лёвой!"(Аристотелем!)

Так верить ли, что В.Сакович понимает "закон тождества" так же, как его понимал Аристотель, или не верить?

С ПЕРВЫМ АПРЕЛЯ,ГОСПОДА ШТУРМУЮЩИЕ!

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Так верить ли, что В.Сакович понимает "закон тождества" так же, как его понимал Аристотель, или не верить?

У меня по этому поводу выше было сказано такНеужели никого не смущает нарушение математиками закона тождества Аристотеля (в приведённых, связанных между собой выражениях)? Ведь один и тот же знак "=" имеет разный смысл в рамках одного, так сказать, математического мудрствования.

Если вы заметили разногласие с истинными думами Аристотеля по поводу его закона, то хотелось бы услышать от вас (как от очевидца), в чём именно состоит моя ошибка.

Аватар пользователя Геннадий Макеев

Вадим

В чём именно состоит моя ошибка.

Что ж, первое апреля прошло, а значит "шутки в сторону".

Всего лишь надо разобраться - один ли и тот же закон тождества(а=а), когда, в одном случае в логику включается логикос, а в другом(случай "фл") - не включается.

Или, по другому, - учитывается ли "оператор" в "операции" или формальная логика имеет дело только с "операцией"?  Сие должно влиять на "однозначность знака "="", непонимание чего и вызывает смущение кажимостью нарушения "закона тождества" Аристотеля. 

 

Аватар пользователя vlopuhin

Ну и как Вы предлагаете включить туда (в ФЛ) оператора? Одно предложение уже было: невозможно врать самому себе. Или, у М.П.Грачева, - ЭДЛ, вводится некий субъект суждения (не путать с логическим субъектом суждения), это когда чего бы не изрёк, - самому себе это всегда истина (где/вчем тут диалектика надо бы спросить у автора ЭДЛ, надо полагать кто не согласен тот врёт :) ). Есть ещё варианты?

Аватар пользователя Геннадий Макеев

Так он уже включён в каком-то смысле. Или вы думаете, что "фл" сама без оператора рассуждает(как в сказке, "вёдра идут сами"). Просто логики порешили, что в рассуждениях от него можно отвлечься и всё, типа, "будет путём".
Но, если оператор,худо-бедно, всё-таки есть, то следующий вопрос напрашивается - какой оператор? Пригодный ли он по своему качеству соответствовать тем операциям с "=", над которыми "обычный смертный" логик недоумевает?

...

Аватар пользователя vlopuhin

Это Вы мне что то вроде про кашу из топора наоборот рассказываете. Мне кажется нужно на результат смотреть, и тогда становится понятно, что ФЛ это типа конспект лекций для студента, или шпаргалка, костыль в общем, и пора уже научиться ходить без костылей. Понятное дело страшно доверять чувствам, но ведь и на велосипеде поначалу страшно ехать, а потом привыкаешь. Кто то может сказать, что это возврат в прошлое, в животное состояние. Спрашивается нахрена тогда мозги выросли, которые используются наполовину?

Аватар пользователя Геннадий Макеев

Ну, не знаю какие у вас там ассоциации с кашей произошли.

А вот с тем, что "нужно на результат смотреть", надо разбираться - какой результат, где результат - в вашей ли голове или на практике?

 

Аватар пользователя vlopuhin

Естественно в голове, мы же не в кулинарном техникуме, а на философском форуме :)  А с кашей всё просто, субъект у меня ассоциируется с топором, а мозг соответственно манная крупа :)  Хотя можно и наоборот, между числом и точкой на прямой однозначное соответствие когда есть начало координат (полуфабрикаты) и мера (топор). Что должно в результате получится? Какая ещё такая каша? Я пока не уверен, но по моему должен получиться человек, с одной стороны индивидуальность, с другой - коллективная тварь.

Аватар пользователя Геннадий Макеев

Вот, для вас естественно в голове, а у кого-то это не совсем естественно(или вовсе не естественно), т.к. понимают, что "голова" может не "дружить" с практикой(т.е. голова может быть"без царя в голове"), и это скажется различным образом на результат , да и на понимание тождества и его закона, чего и не могут понять "формальные логики", поэтому и недоумевают по поводу двух "=".

 

Аватар пользователя vlopuhin

Прошу прощения, прочитал несколько раз сверху вниз, снизу вверх, так и не понял, если "естественно в голове", то о каком результате речь? По моему "понимание тождества и его закона", формально оформленного словами, или другими знаками, только в голове и может быть, собственно это и есть результат напряженного труда шевеления мозгами. Мне кажется здесь необходимо обратить внимание на некий "перевёртыш логики". Если в математике, как и в других фундаментальных науках теория в голове, а прикладная составляющая так сказать снаружи, то в логике теория это и есть формальная логика, а прикладная составляющая только в шевелении мозгами и может быть, потрогать результат руками не получится, разве что можно изложить словами. В этом в частности прикол ЕГЭ, натуральный подлог, вместо живого общения экзаменатора с учащимся тупые анкеты, типа да/нет/спрошу у мамы. Оно конечно же человеческий фактор и прочая ерунда вроде интерполяции/экстраполяции ответов и баллов на некую кривую развития, но о каком человеческом факторе может быть речь, если ни одна собака в мире не может (или не хочет?) однозначно сказать что такое человек?

Аватар пользователя Эрц

Самое интересное здесь в другом. Взрослые дяди из министерства просвИщения уверены, что пионэр из четвертого класса способен понять эту фигню, т к она ему нужна и именно для конкретных "помидоров" и "яблок". Но не способны понять (сами), что невозможно запихать воспринимаемую реальность (те самые "помидоры") в какую-либо, математическую в данном случае, Абстракцию так, чтоб "ничо не торчало".smiley

Т е уровень абстрагирования "пионера", выше уровня абстрагирования "взрослых дядей"(и их "умных машин"), патамушта ему пофиг.smiley