Магия логического доказательства. Ч-4. Проблемная импликация

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин
Систематизация и связи
Логика

ПРОБЛЕМНОЕ "из А следует В"

Всё было бы хорошо с "логическими операциями" (т.е. с типами "логических систем"), если бы не одно досадное обстоятельство. Три из четырёх базовых логических операций имеют всем понятный очевидный смысл:

  • конъюнкция ("И") – заключение C будет истинным, когда обе начальные посылки А и В истинны;
  • дизъюнкция ("ИЛИ") - ... хотя бы одна из посылок А или В истинна;
  • равнозначность ("↔") - ... обе посылки: и А, и В - имеют одинаковые значения истинности.

- что радует. - А вот последняя операция – импликация – выдалась какой-то странной.  И всё из-за её смысловой словесной формулировки - "из А следует В" (эквиваленты: "если А, то В", "В, потому что А"), - которая, иной раз, может вводить людей в замешательство.

Там получается, что при "ложной" первой посылке (высказывания А) [ячейки выделены зелёным цветом] импликация всегда выдаёт "истинный" результат у заключения С [ячейки выделены красным цветом], - что не совсем вяжется с интуитивными ожиданиями: как это из "ложной" посылки непременно должно следовать только "истинное" логическое заключение? (и не важно, будет ли вторая посылка В [жёлтые ячейки] истинной или ложной).

Почему так получается? - Дело в том, что по своей сути СВЯЗЬ "импликация" не содержит в себе никакого рационального смысла вообще! – это просто особый тип логической СВЯЗИ, по воле звёзд не имеющий никакого внятного толкования. – Вот и всё! Вот такая странная СВЯЗЬ между высказываниями А, В и С, – и ничего тут не поделать.

Какие тут могут быть варианты по исправлению данной ситуации?

Вариант Первый, самый радикальный. Отказаться от словесной трактовки импликации в виде известного словосочетания "из А следует В", - оставив только нейтральное, никого не вводящее в заблуждение, название "импликация", и сохранив при этом за ней её изначальную таблицу истинностей. То есть надо просто признать "необъяснимость" такой связи, и жить с этим. Но едва ли математики хоть когда-нибудь откажутся от своей привычки называть импликацию по старинке "из А следует В".

Вариант Второй. Умеренный. Не отказываться от устоявшегося названия "из А следует В" (и множества его эквивалентов), - но при этом условиться, что такие формулировки имеют рациональный смысл только для первых двух строк рассуждений (логических сессий, когда А истинно [белые клетки]) – а к остальным нижним двум строкам, когда А ложно [зелёные клетки], – словесные толкования, типа  "из А следует В", уже не относятся.

Комментарии

Аватар пользователя Чифу

Почему у Вас в базовых функциях нет операции отрицания?

Насчет нетривиальности импликации: A->B = -А v B

Равнозначность: A ~ B = (A & B) v (-А & -B)

Инверсия равнозначности (неравнозначность) = Исключающее ИЛИ (сумма по модулю 2).

Аватар пользователя Дмитрий

Да, импликация, действительно, проблемная штука. Но для математической логики это, вообще говоря, не слишком важно. Главное - что задана таблица истинности, а как назвать логическую операцию, которую она отображает, - это второе дело.

Если под импликацией понимать логический вывод и запись "А -> В" читать как "из А логически следует В", то, конечно, данная таблица истинности здесь не подходит. В первой строчке ничего не изменится, а вот в остальном - в третьем столбике под С надо будет ставить не 0 и не 1, а прочерк. Если истинна посылка, то из нее следует истинное заключение. Это, можно сказать, закон. Но если посылка ложна, то судить об истинности следствия нельзя вообще.

Но как я уже говорил, для математической логики это не слишком важно. Вообще, математическая логика - это своего рода подход (и весьма продуктивный подход), который позволил обойти многие философские проблемы в логике. 

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

Дмитрийссылка:
Если под импликацией понимать логический вывод и запись "А -> В" читать как "из А логически следует В", то, конечно, данная таблица истинности здесь не подходит. В первой строчке ничего не изменится, а вот в остальном - в третьем столбике под С надо будет ставить не 0 и не 1, а прочерк.

Это верно, что результат логической операции импликации не во всём вяжется с её распространённой словесной трактовкой "из А следует В", про что я и говорил. Но далее вы допустили две неточности.

Во-первых, вторая строка тоже "не изменится": ведь если А истинно, а В - ложно, - то значит, "В не следует из А" (значение истинности С во второй строке будет ложным [ячейка выделена красным цветом]), что полностью согласуется со словесной формулировкой "из А следует В".

Второе, - "прочерки" ставить в таблицах истинностей нельзя. В таких случаях, когда следствие не определено, каждую такую "неопределённую" строку следует разбить на две – с двумя значениями истинности (первая жёлтая пара, где "следствие С" может быть 1 и 0 для В истинного, и вторая зелёная пара, где "следствие С" принимает значения 1 и 0 , для В ложного).

Таким образом в случае, когда первое высказывание А ложное [ячейки выделены синей рамкой], то каким бы ни было второе высказывание В, заключение будет неопределённым: как истинным, так и ложным [ячейки выделены красной рамкой].

Данная "логическая система" (таблица истинностей), состоящая из шести строк, полностью соответствует словесной трактовке "из А следует В". Разумеется, она непригодна для использования в математической логике, - зато именно эту "логическую систему" используют простые люди (и философы тоже) в своих логических рассуждениях.

Аватар пользователя Чифу

Из Ивин А.А. Логика. Фаир-пресс, 2002. стр. 66

Цитата: Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) - ложным.

...

... импликация истинна в следующих трех (случаях):

(1) и ее основание, и ее следствие истинны;

(2) основание ложно, а следствие истинно;

(3) и основание, и следствие ложны.

...

Импликация, в частности, не предполагает, что высказывание А и В как-то связаны между собой по содержанию.

...

Очевидно, что хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты "логического поведения" условного высказывания, но вместе с тем не является достаточно адекватным его описанием.

Цитата Вики, численная интерпретация импликации:

если первый операнд не больше второго операнда, то 1.