Магия логического доказательства. Ч-4. Проблемная импликация
ПРОБЛЕМНОЕ "из А следует В"
Всё было бы хорошо с "логическими операциями" (т.е. с типами "логических систем"), если бы не одно досадное обстоятельство. Три из четырёх базовых бинарных логических операций имеют всем понятный очевидный смысл:
- конъюнкция ("И") – заключение C будет истинным, когда обе начальные посылки А и В истинны;
- дизъюнкция ("ИЛИ") - ... хотя бы одна из посылок А или В истинна;
- равнозначность ("↔") - ... обе посылки: и А, и В - имеют одинаковые значения истинности.
- что радует. - А вот последняя операция – импликация – выдалась какой-то странной. И всё из-за её смысловой словесной формулировки - "из А следует В" (эквиваленты: "если А, то В", "В, потому что А"), - которая, иной раз, может вводить людей в замешательство.
Там получается, что при "ложной" первой посылке (высказывания А) [ячейки выделены зелёным цветом] импликация всегда выдаёт "истинный" результат у заключения С [ячейки выделены красным цветом], - что не совсем вяжется с интуитивными ожиданиями: как это из "ложной" посылки непременно должно следовать только "истинное" логическое заключение? (и не важно, будет ли вторая посылка В [жёлтые ячейки] истинной или ложной).
Почему так получается? - На мой взгляд дело в том, что по своей сути СВЯЗЬ "импликация" не содержит в себе никакого рационального смысла вообще! – это просто особый тип логической СВЯЗИ, по воле звёзд не имеющий никакого внятного толкования. – Вот и всё! Вот такая странная СВЯЗЬ между высказываниями А, В и С, – и ничего тут не поделать.
Какие тут могут быть варианты по исправлению данной ситуации?
Вариант Первый, самый радикальный. Отказаться от словесной трактовки импликации в виде известного словосочетания "из А следует В", - оставив только нейтральное, никого не вводящее в заблуждение, название "импликация", и сохранив при этом за ней её изначальную таблицу истинностей. То есть надо просто признать "необъяснимость" такой связи, и жить с этим. Но едва ли математики хоть когда-нибудь откажутся от своей привычки называть импликацию по старинке "из А следует В".
Вариант Второй. Умеренный. Не отказываться от устоявшегося названия "из А следует В" (и множества его эквивалентов), - но при этом условиться, что такие формулировки имеют рациональный смысл только для первых двух строк рассуждений (логических сессий, когда А истинно [белые клетки]) – а к остальным нижним двум строкам, когда А ложно [зелёные клетки], – словесные толкования, типа "из А следует В", уже не относятся.
- Дмитрий Бояркин
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Почему у Вас в базовых функциях нет операции отрицания?
Насчет нетривиальности импликации: A->B = -А v B
Равнозначность: A ~ B = (A & B) v (-А & -B)
Инверсия равнозначности (неравнозначность) = Исключающее ИЛИ (сумма по модулю 2).
Замечание верное. Действительно, я упустил "операцию отрицания" из списка базовых операций, - но сделал это намеренно, чтобы не усложнять изложение. Здесь я ограничился рассмотрением только базовых бинарных операций, относящихся к "логическим системам" из ТРЁХ высказываний (А,В и С), - а унарная "операция отрицания" относится к "логическим системам" из ДВУХ высказываний (А и В).
В чём, собственно, заключалась "сложность"? – Дело в том, что рассмотрение унарного "отрицания", потянуло бы рассмотрение и второй базовой унарной операции - "равнозначности" (В=А), которая есть также и в бинарной "равнозначности" (С = (А↔В)). То есть мне пришлось бы двум логическим операциям с одинаковым названием "равнозначность" давать две разные соответствующие трактовки (унарную и бинарную), - и если я начал бы тут разводить эту бодягу с объяснениями, - то это отвлекло бы внимание от обсуждения главной темы - "проблемной ИМПЛИКАЦИИ".
Следует заметить, что "операция отрицания" – вовсе не такая уж очевидная, как кажется, - что может оказаться совершенно неожиданным сюрпризом для многих. – Но я буду это разбирать в отдельной теме, - "Обманчивое отрицание".
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Как я понял, вы хотите сказать, что поскольку операцию импликацию (А->В) можно разложить на "более элементарные" операции: отрицание и дизъюнкцию: "(-А) v B", - то тем самым ставится под сомнение сама "базовость" (элементарность) операции импликации. Но это не так.
Получается, что хотя импликацию мы и можем составить из двух других логических операций, - но это будет в ущерб другой "элементарности" - минимума задействованных высказываний (вместо трёх, их будет уже четыре).
В общем, нет оснований для сомнений, что импликация является именно базовой (элементарной) логической операцией. То же самое относится и к операции "равнозначность".
Да, импликация, действительно, проблемная штука. Но для математической логики это, вообще говоря, не слишком важно. Главное - что задана таблица истинности, а как назвать логическую операцию, которую она отображает, - это второе дело.
Если под импликацией понимать логический вывод и запись "А -> В" читать как "из А логически следует В", то, конечно, данная таблица истинности здесь не подходит. В первой строчке ничего не изменится, а вот в остальном - в третьем столбике под С надо будет ставить не 0 и не 1, а прочерк. Если истинна посылка, то из нее следует истинное заключение. Это, можно сказать, закон. Но если посылка ложна, то судить об истинности следствия нельзя вообще.
Но как я уже говорил, для математической логики это не слишком важно. Вообще, математическая логика - это своего рода подход (и весьма продуктивный подход), который позволил обойти многие философские проблемы в логике.
Это верно, что результат логической операции импликации не во всём вяжется с её распространённой словесной трактовкой "из А следует В", про что я и говорил. Но далее вы допустили две неточности.
Второе, - "прочерки" ставить в таблицах истинностей нельзя. В таких случаях, когда следствие не определено, каждую такую "неопределённую" строку следует разбить на две – с двумя значениями истинности (первая жёлтая пара, где "следствие С" может быть 1 и 0 для В истинного, и вторая зелёная пара, где "следствие С" принимает значения 1 и 0 , для В ложного).
Таким образом в случае, когда первое высказывание А ложное [ячейки выделены синей рамкой], то каким бы ни было второе высказывание В, заключение будет неопределённым: как истинным, так и ложным [ячейки выделены красной рамкой].
Данная "логическая система" (таблица истинностей), состоящая из шести строк, полностью соответствует словесной трактовке "из А следует В". Разумеется, она непригодна для использования в математической логике, - зато именно эту "логическую систему" используют простые люди (и философы тоже) в своих логических рассуждениях.
Из Ивин А.А. Логика. Фаир-пресс, 2002. стр. 66
Цитата: Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) - ложным.
...
... импликация истинна в следующих трех (случаях):
(1) и ее основание, и ее следствие истинны;
(2) основание ложно, а следствие истинно;
(3) и основание, и следствие ложны.
...
Импликация, в частности, не предполагает, что высказывание А и В как-то связаны между собой по содержанию.
...
Очевидно, что хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты "логического поведения" условного высказывания, но вместе с тем не является достаточно адекватным его описанием.
Цитата Вики, численная интерпретация импликации:
если первый операнд не больше второго операнда, то 1.
Только что и я так думал – собственно поэтому и писал эту статью. Но пока тут перебирал все варианты "бытового понимания" условной СВЯЗИ "из А следует В", вдруг пришёл к выводу, что классическая операция импликации "является достаточно адекватной" и очень даже хорошо "согласуется" со словесной формулировкой условного следования - "из А следует В". Надо только дать правильное ей толкование. А толкование следующие.
ПЕРВАЯ СТРОКА никогда ни у кого не вызывала никаких вопросов, - с ней всё понятно: если условная СВЯЗЬ установлена (С=1), то из истинной "посылки А" всегда будет следовать истинность "заключения В".
ТРЕТЬЯ И ЧЕТВЁРТАЯ СТРОКИ говорят, что если СВЯЗЬ следования между А и В установлена (С=1), то из ложной "посылки А" может следовать хоть что: "следствие В" может быть как истинным, так и ложным (является неопределённым) [выделено жёлтым цветом].
Вот так неожиданно получилось, что сам себя опроверг. Оказывается, что если хорошенько подумать, то никаких смысловых проблем с импликацией нет.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
П р и м е р. Наполним высказывания А, В и С следующим содержанием:
Если утром вижу тучки ("А истинно"), то беру зонтик ("В истинно") – всё это согласуется с моим вчерашним планом: ("С истинно").
Если утром вижу тучки ("А истинно"), но тем не менее зонтик не возьму ("В ложно") – то это будет противоречить моему вчерашнему плану: т.е. "С ложно".
Если тучек утром не видно (А ложно), то я могу как взять зонтик (В истинно), так и не брать его (В ложно), - в любом случае это будет в полном соответствии с моим вчерашним планом импликации (С истинно).
Ивин А.А. тоже приводит примеры интерпретации импликации, где все "логично", тем не менее у него именно такое заключение: импликация не является адекватным описанием связки "если ..., то ...".
Куда девалась "волшебная" связь? Открываем Ч-1, читаем:
У "На небе тучи" -> "Взять зонтик" нет жёсткой связи, точнее она, если и есть, то опосредована. Например,зонтик нужен не для того, что бы разгонять на небе тучи, а для того, что бы не промокнуть. То есть логическая система начинает нелинеиться (выкриуливаться*) под действием содержания (смысла). И проблема в том, что таблица истинности не есть та основополагающая вещь, на которую можно/нужно "молиться". Нет, для бухгалтерии сойдёт, для жизни маловато будет! Чего не хватает? Функции! Что такое функция?** Последовательность логических операций? НЕТ! В каждой логической системе функцию необходимо определять! Сложение чисел это одна функция, например F(x,y)=x+y, сложение векторов - абсолютно другая. То есть при переходе от логических операций к функциям, при переходе на следующий уровень абстракции, происходит "генезис" не высказываний, а логических операций/действий! На этом уровне те же элементарные логические операции необходимо переопределять, поскольку "выросло разнообразие" логических объектов/фактов. Можно сказать и так: замкнулся первый круг (шаг), зафиксированы первые результаты, можно двигаться дальше. Вроде бы банальные вещи, но надо же, как туго даются...*** Так что с этим делать? Будем продолжать унижать логику до правил правописания (изощряться в придумывании правил - типа законов, то есть заниматься логикой высказываний, как предлагал К.Б.Н.), или займёмся самотождественными смыслами? :) К стати, в Вашей таблице А,Б,С это знаки, а 0 и 1 это их значения. То есть произошел "отрыв" от смыслов/значений высказываний. Точнее смысл (связи) здесь совершенно другой, сами высказывания/суждения, как собственно и логическая система, остались где то там... А надо бы к ним вернуться.
* Гвозди из забора, как и зубы из челюсти, извлекаются методом выкриуливания. Не путать с мордобоем, мы же занимаемся "лечением", а лом это не наш метод. :)
** Математика, средняя школа. Функцию можно задать математической формулой****, таблицей, словесным описанием.
*** Если что это я про себя, вспомнил нашу давнишнюю дискуссию с Вадимом Саковичем.
**** Вот и приплыли! Вот откуда (или куда?) "ноги растут" у беззаветной "формы".
Всё верно - есть такая "проблема". Логика высказываний не работает со смыслами высказываний, и не объясняет, откуда, собственно, берутся СВЯЗИ между высказываниями. – Фактически, все СВЯЗИ, прописанные в таблицах истинностей, задаются самими авторами "логических систем" по своим субъективным соображениям (объяснениям), - то есть произвольно. По этой причине не стоит особо доверять логическим выводам "логики высказываний". Об этом я планирую рассказать в одной из своих будущих тем, с названием "изъяны логики высказываний". После чего можно будет приступать к разбору того, каким способом такие "изъяны" можно будет исправлять.
Интересная картина вырисовывается. С одной стороны
С другой:
Кому, спрашивается, нужна такая логика? Хотя если говорить не о высказываниях, а о мышлении вообще, то мышление само по себе логике не поддаётся, как говорит axby1, алгоритмически невычислимо.
Тем не менее Ваш принцип "квантора всеобщности" может быть как то формализован? Ведь фактически Вы "урезали" импликацию, типа "тут читаем, тут не читаем"... :
Нам с вам и нужна. Мы же исследователи, и наше дело, как исследователей, дать адекватное описание того, каким образом люди рассуждают логически (т.е. как из одних высказываний они получают совсем другие, не прибегая к наблюдениям). Здесь надо признать, что СУБЪЕКТИВНОСТЬ в логике закладывается только на этапе строительства "логических систем" (таблиц истинностей), - и от этого никуда нам не деться. Никаких "объективных" или "абсолютных" логических систем в логике не существует. Зато сами "логические рассуждения" уже в рамках "логических систем" – лишены субъективности, что уже хорошо.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вы имеете в виду формализацию в рамках "логики высказываний" (где А – всеобщая посылка, В – частная посылка, а С – логическое заключение)? – Разумеется, да! - Мы это рассмотрим в одной из моих следующих тем - "ДЕДУКЦИЯ", которая и строится с использованием этих самых Кванторов Всеобщности.
У меня несколько другой взгляд на логику, но это уже очень близко: "Логика кроме всего прочего логика может выступать критерием истинности теорий!" То есть различие в акценте не на субъективность/объективность логики, а на её абсолютной точности. Правда для этого придётся совершить переход от логики правил к логике законов: от правил высказываний/правописания к законам мышления.
Да, фактически это уже алгоритм, хотя я имел в виду формальную запись этого алгоритма, типа того, что говорит Олег (Чифу):
То есть избыточность в логике это скорее плохо, чем хорошо :)
Вовсе нет, - логика не может выступать "критерием истинности" Теорий по той простой причине, что "критерий истинности" (вернее, "значение истинности") применимо исключительно к отдельным высказываниям ("истинно" оно или "ложно"), но не к Теориям целиком.
Что касается "точности", - то любая аксиоматическая Теория (т.е. та, которая использует ДЕДУКТИВНЫЙ вывод) всегда АБСОЛЮТНО точна. Так что "критерий истинности" для теорий не имеет никакого смысла вообще. Теории между собой можно сравнивать, - но совсем по другим критериям.
Без примеров не получается. Я уже молчу за интерполяцию, экстраполяцию и аппроксимацию, но допустим теория автоматического управления (ТАУ). Как можно говорить об абсолютной точности, если практически вся ТАУ построена на ошибке*?! Как и вся традиционная "европейская философия" - ставим планку, а потом героически её перепрыгиваем. Абсолютно точно можно аналитически вычислить (указать формально) точку, в которой Ахиллес догонит Черепаху, но это почему то парадокс?! Опять же после подстановки значений скорости и расстояния придётся числа округлить, какая уж это абсолютная точность?! Или дедуктивный метод в криминалистике: есть подозреваемый, есть вещдок (орудие убийства), есть свидетели, - доказать невозможно! Вспомните убийство И.Талькова... Выходит мы говорим о разных логиках? Это же абсурд!
Здесь следует обратить внимание на следующие моменты:
- теория как правило состоит из нескольких связанных определений. Или у Вас другое мнение? Что такое теория?
- теория не должна содержать внутри себя противоречия.
- если в теории не хватает определений, то выявлять это только при применении этой теории может оказаться шибко дорогим удовольствием.
- если теория избыточна, то это равносильно тому, что она противоречива.
У Вас есть метод, кроме логической верификации, позволяющий как то оценить теорию? Например, теория большого взрыва (ТБВ). Как, не бегая по вселенной, сказать есть ли у неё начало и конец?
* Откуда берётся ошибка? По моему ошибка вводится/проникает в теорию вместе с временем (точнее с его неопределённостью). В логике времени нет, по этому логика предельно точна. Если ещё убрать и пространство, то точность станет абсолютной: останется "голое" мышление!
Про какую "точность" вы говорите? – Лично я, говоря про "абсолютную точность", имею в виду "точность логическую" - т.е. однозначность "значений истинности" у конкретных высказываний-следствий в конкретной дедуктивной "логической системе".
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
П р и м е р. Согласно Теории вероятности, вероятность выпадения орла при подбрасывании монетки равна 1/2. - Это "абсолютно точный" результат или "приблизительный"?
Казалось бы, результат весьма далёк от абсолютной точности, однако это не так. – Сам ЛОГИЧЕСКИЙ результат, который выдаёт Теория вероятности, – это высказывание-заключение, - "вероятность события равна 1/2" (истинно). Что есть абсолютно точный логический результат.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В криминалистике? - Если вы имеете в виду тот особый "метод ДЕДУКЦИИ", про который говорил знаменитый сыщик Шерлок Холмс, - то никакого отношения к "математической ДЕДУКЦИИ" (как методу рассуждений от ВСЕОБЩИХ посылок к частным заключениям) он не имеет вообще.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Давайте сверимся нашими "логиками". – Я говорю про ту ЛОГИКУ, которая может "существовать" только внутри "логических систем" - т.е. где заранее определены высказывания (А, В, С и т.д.), - а также определена СВЯЗЬ между ними (в виде таблицы истинностей). И вся "работа" логики заключается в том, что из начальных высказываний-посылок (точнее, из их комбинаций "значений истинности") она определяет "значения истинностей" у высказываний-заключений (естественно, в рамках только ЭТОЙ "логической системы"). Вот, по большому счёту, и вся логика.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
У меня другое мнение. ТЕОРИЯ – это любое ВСЕОБЩЕЕ утверждение (т.е. содержащее Квантор Всеобщности со своим подкванторным множеством). Главный смысл любой Теории – выдавать однозначные "логические заключения".
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Очевидно, не должна.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прикладные теории можно оценивать по трём критериям:
Чистые теории - хоть как-то оценивать, или сравнивать между собой невозможно вообще (разве только по критерию простоты).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Согласно ТБВ, – у нашей вселенной "начало" есть. – Насчёт "конца вселенной" существует несколько гипотез (теорий). Какая из них правильная? - это уже у физиков надо выяснять, - та, которая наиболее АДЕКВАТНО (точно) описает более широкий круг физических явлений.
Как любитель математики любителю математики. Какое из двух утверждений истинное, истиннее некуда, а какое ложное?:
1. Число пи равно 3.14.
2. Число пи равно L (длина окружности) поделить на D (диаметр той же окружности).
Если Вы сомневаетесь в конкретности этих высказываний, то прибавьте к ним квантор всеобщности и конкретизируйте "логическую систему" насколько это возможно.
Прошу Вас вполне искренне, укажите, пожалуйста, критерий истинности высказывания "вероятность события равна 1/2 (выпадения орла при подбрасывании монетки)". Думаю Вам потребуется для доказательства этого утверждения до посинения подкидывать монетку. А когда Вы в конце концов задолбаетесь её подкидывать, начнёте складывать числа и выдавать приблизительный результат. Ну и в каком месте Ваших "телодвижений" логика? А ещё интереснее, где абсолютная точность?
По моему точность осталась на следующем уровне абстракции. Примерно как скорость это не пройденное расстояние поделить на время, это первая производная пути по времени.
Да, я имел в виду именно этот метод, и он не имеет отношения к математике только по тому, что это другая "логическая система". И в этой логической системе доказать что либо невозможно. Почему? Потому что гладиолус! Потому что человеческий фактор, то ли законы не те, то ли следователь не тот, то ли подозреваемый шибко хитровымудрён... Но ведь на каждую хитрую жопу найдётся отвёрточка с винтом...
Скорость это путь поделить на время. Классика! Докажите всеобщую точную верность этой теории. Или укажите, что здесь не так, чего по Вашему не хватает?
По моему Вы поторопились. Где определения? Что такое теория? Вот когда будут определения, тогда можно будет рассуждать о "чистоте".
При чем здесь физики? Мы же говорим об истинности суждений/высказываний! Все косяки про кнопочки/выключатели с лампочками тоже на физиков будем валить? :) Типа:
Где критерий адекватности? Доверимся физикам? Мол ребята ответственные, не подведут? Ещё как подведут! Разведут на бабло... :) Типа спишут спирт на протирку оптических осей.
У вас вопрос поставлен таким образом, будто бы существует какая-то абсолютная "логическая система", относительно которой высчитываются "значения истинностей" у всех мыслимым высказываний. Так вот, - в мире логики таких "абсолютных логических систем" не существует и не может быть в принципе. Ведь каждая "логическая система" (точнее, автор этой системы) вправе задавать произвольный набор высказываний и устанавливать произвольную СВЯЗЬ между ними (таблицу истинностей). – То есть все "логические системы" абсолютно равноправны.
Во ВСЕОБЩЕЕ утверждение (с Квантором Всеобщности) можно преобразовать только второе утверждение В. Оно будет звучать так:
"Число пи равно L (длина [ЛЮБОЙ] окружности) поделить на D (диаметр той же окружности)".
ЕСЛИ исходить из такого определения числа "пи", то первое утверждение А будет ложным.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Я знаю только, что такое "значение истинности" (это "истина" или "ложь"). – А что такое "критерий истинности" – понятия не имею. - Что это такое?
Вы неверно думаете. При логических рассуждениях ничего "подкидывать" не нужно. Логическое ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ведётся только путём ДЕДУКТИВНЫХ рассуждений (от постулатов к доказываемому тезису), а не путём каких-то действий с материальными объектами из объективной реальности ("подкидывания монетки").
"Приблизительные результаты" могут быть только при замерах в материальном мире – тогда, когда вы, например, подкидываете монетку. Никакого отношения такие "замеры-наблюдения" к "логическим расчётам" не имеют вообще! Логические рассуждения "существуют" сами по себе в другом онтологическом регионе, - и вообще не связаны с объективной реальностью никаким образом.
Как ГДЕ? - А значение вероятности равное "1/2"? Разве это не "абсолютно точный" результат? Или полагаете, он "приблизительный"?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Критерий АДЕКВАТНОСТИ определяет, насколько точно "логические следствия" данной Теории совпадают с наблюдениями из реальности. Что тут может быть непонятного? – Физики как раз только тем и занимаются, что ищут наиболее АДЕКВАТНЫЕ теории. Так что можете им доверяться по полной.