ЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ИЗ ТРЁХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Чтобы разобраться с тем, что собой представляют известные бинарные логические операции, как то: конъюнкция, дизъюнкция, импликация и равнозначность (эквиваленция), - нам следует рассмотреть все комбинации "логических систем", состоящих уже из ТРЁХ разных высказываний А, В и С. Пусть для наглядности это будут:

А - ("переключатель А включён")
В - ("переключатель В включён")
С – ("лампочка горит")

Посмотрим, какие могут быть варианты однозначной зависимости между ними. Для этого составим "таблицу истинностей" всех каких-только возможных СВЯЗЕЙ (зависимостей) этих трёх высказываний. Проще всего эти СВЯЗИ расписать в виде номерованных столбцов-зависимостей "значений истинности" высказывания С (горит ли лампочка) от всех переборов "значений истинностей" двух взаимно-независимых высказываний А и В (столбцы выделены жёлтым цветом). У нас получится следующая таблица истинностей:

Четырём возможным различным сочетаниям "значений истинностей" двух высказываний А и В (четырём строкам), комбинаторно мы сможем набрать 16 столбцов разных вариантов значений истинностей высказывания С ("лампочка горит"). - Таким образом у нас получилось, что из ТРЁХ высказываний можно составить всего 16 различных "логических систем", каждая из которых будет состоять из трёх столбцов: двух первых (жёлтых), где указаны значения переключателей А и В, и ещё какого-нибудь одного из 16 столбцов, относящихся к высказыванию С ("лампочка горит").

Приглядимся внимательней. Среди этих столбцов сразу можно выделить два особых варианта – это 1 и 16, - они постоянны ("вариант 1" – всегда истинный (лампочка горит всегда), "вариант 16" – всегда ложный – лампочка не горит) и не зависят от "значений истинностей" высказываний А и В (т.е. от положения переключателей А и В) вообще. В логике такие варианты не рассматриваются по причине полного отсутствия какой-либо "логической связи" (зависимости) С (горит ли лампочка) от высказываний А и В (положения переключателей). Причём, сами начальные высказывания А и В также изначально независимы между собой. Отбросим их, и далее рассматривать не будем.

Вот ещё четыре интересных варианта: 4, 6, 11 и 13, - они также не представляют интереса для логики (создания "логических систем"), поскольку значение истинности результирующего высказывания С зависит только от одного высказывания, а не от двух.

А именно, - варианты 4 и 13 (горит ли лампочка) – однозначно зависят только от высказывания А (включён ли переключатель А), и совершенно не зависят от высказывания В (т.е. от положения второго переключателя). – Почему? Да потому, что в варианте 13 какими бы ни было В (истинным или ложным), значения 13 полностью определяется значением А (положением первого переключателя): когда А истинно – тогда и "высказывание 13" истинно (лампочка горит), когда А ложно, - то и "высказывание 13" – ложно (лампочка не горит).

Отбросим и эти четыре варианта, поскольку они представляют СВЯЗИ только между двумя высказываниями, а не тремя. У нас остаётся только 10 рабочих вариантов.

Далее здесь можно выявить пять пар "зеркальных" отображений. Скажем, вариант 5 есть "логическое отрицание" варианта 12: "С5=-С12"

Если отбросить по одному из пары всех подобных "зеркально-одинаковых" вариантов (являющихся простыми отрицаниями), а это следующие пять пар вариантов: (С2-С15), (С3-С14), (С5-С12), (С7-С10), (С8-С9), - то у нас останется всего 5 различных вариантов:

В -> А

Теперь рассмотрим два варианта: 3 и 5.

Можно заметить, что вариант "3" – есть не что иное, как операция "импликации", а именно: "А->В", а вариант "5" – есть не что иное, как тоже операция "импликации", только "В->А" – то есть зеркален варианту "3".

Отбросим вариант 5 как "зеркального" двойника варианта 3. Вот и всё – больше подчищать нечего.

Таким образом, очистив нашу таблицу от всевозможных подобий-дубликатов, мы придём к тому, что из всех возможных зависимостей между ТРЕМЯ высказываниями А, В и С, у нас останется только четыре чистых варианта "логических СВЯЗЕЙ" (логических систем) – это хорошо нам знакомые логические операции: 1) конъюнкция "и", 2) дизъюнкция "или", 3) импликация и 4) равнозначность (эквиваленция).

Заметим, хотя мы начали строить нашу таблицу СВЯЗЕЙ между ТРЕМЯ высказываниями как некую функцию высказывания С от двух начальных независимых аргументов А и В, тем не менее не следует думать, что из-за этого эти зависимости являются "однонаправленными", - т.е. именно А и В могут быть посылками, а высказывание С всегда  только зависит от них. Нет, - эта зависимость взаимная: здесь высказывания А и В точно также могут "зависеть" и от С как от начальной посылки.

Иначе говоря, после того, как будет определена нужная "логическая система" (т.е. какая-либо СВЯЗЬ из возможных базовых четырёх), - далее, уже в качестве "начальных посылок" могут выступать любые из них (в том числе и высказывание С), - и уже по ним можно будет искать значения истинностей для оставшихся высказываний-заключений.

Например, если задана логическая система "конъюнкция" и задана начальная посылка, что "С истинна" (лампочка горит) (ячейка окрашена зеленым цветом), - то из этого мы можем сделать логический вывод, что оба высказывания - и А, и В – тоже истинны (оба переключателя включены) (ячейки крашены в жёлтый цвет). 

В случае, если посылка С будет "ложной" (лампочка не горит), - мы уже никак не сможем определить логически значения истинностей у высказываний А и В, поскольку такой посылке (лампочка не горит) будет соответствовать целых три различных варианта рассуждений (логических сессий), а не один. Но добавив к этой посылке (лампочка не горит) какую-нибудь вторую, - скажем, что В "истинно" (переключатель В включён) (обе начальные посылки окрашены зелёным цветом) – мы сможет сделать однозначное логическое заключение, что А ложно (первый переключатель выключен) (заключение окрашено жёлтым цветом).  

Резюме:

1) В логике высказываний между ТРЕМЯ различными высказываниями (А, В, С) можно установить только четыре вида СВЯЗИ (логические системы), которые записываются в виде таблицы истинностей (логических операций), - это конъюнкция, дизъюнкция, импликация и равнозначность.

2) В логике высказываний все высказывания, включённые в "логическую систему" равноправны: логическими ПОСЫЛКАМИ могут являться любые из них (хоть А, хоть В, хоть С, - либо их любые комбинации).