Магия логического доказательства. Ч-3. Логические системы из трёх высказываний

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин
Систематизация и связи
Логика

ЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ИЗ ТРЁХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Чтобы разобраться с тем, что собой представляют известные бинарные логические операции, как то: конъюнкция, дизъюнкция, импликация и равнозначность (эквиваленция), - нам следует рассмотреть все комбинации "логических систем", состоящих уже из ТРЁХ разных высказываний А, В и С. Пусть для наглядности это будут:

А - ("переключатель А включён")
В - ("переключатель В включён")
С – ("лампочка горит")

Посмотрим, какие могут быть варианты однозначной зависимости между ними. Для этого составим "таблицу истинностей" всех каких-только возможных СВЯЗЕЙ (зависимостей) этих трёх высказываний. Проще всего эти СВЯЗИ расписать в виде номерованных столбцов-зависимостей "значений истинности" высказывания С (горит ли лампочка) от всех переборов "значений истинностей" двух взаимно-независимых высказываний А и В (столбцы выделены жёлтым цветом). У нас получится следующая таблица истинностей:

Четырём возможным различным сочетаниям "значений истинностей" двух высказываний А и В (четырём строкам), комбинаторно мы сможем набрать 16 столбцов разных вариантов значений истинностей высказывания С ("лампочка горит"). - Таким образом у нас получилось, что из ТРЁХ высказываний можно составить всего 16 различных "логических систем", каждая из которых будет состоять из трёх столбцов: двух первых (жёлтых), где указаны значения переключателей А и В, и ещё какого-нибудь одного из 16 столбцов, относящихся к высказыванию С ("лампочка горит").

Приглядимся внимательней. Среди этих столбцов сразу можно выделить два особых варианта – это 1 и 16, - они постоянны ("вариант 1" – всегда истинный (лампочка горит всегда), "вариант 16" – всегда ложный – лампочка не горит) и не зависят от "значений истинностей" высказываний А и В (т.е. от положения переключателей А и В) вообще. В логике такие варианты не рассматриваются по причине полного отсутствия какой-либо "логической связи" (зависимости) С (горит ли лампочка) от высказываний А и В (положения переключателей). Причём, сами начальные высказывания А и В также изначально независимы между собой. Отбросим их, и далее рассматривать не будем.

 

Вот ещё четыре интересных варианта: 4, 6, 11 и 13, - они также не представляют интереса для логики (создания "логических систем"), поскольку значение истинности результирующего высказывания С зависит только от одного высказывания, а не от двух.

А именно, - варианты 4 и 13 (горит ли лампочка) – однозначно зависят только от высказывания А (включён ли переключатель А), и совершенно не зависят от высказывания В (т.е. от положения второго переключателя). – Почему? Да потому, что в варианте 13 какими бы ни было В (истинным или ложным), значения 13 полностью определяется значением А (положением первого переключателя): когда А истинно – тогда и "высказывание 13" истинно (лампочка горит), когда А ложно, - то и "высказывание 13" – ложно (лампочка не горит).

Отбросим и эти четыре варианта, поскольку они представляют СВЯЗИ только между двумя высказываниями, а не тремя. У нас остаётся только 10 рабочих варианта.

 

 

 

 

Далее здесь можно выявить пять пар "зеркальных" отображений. Скажем, вариант 5 есть "логическое отрицание" варианта 12: "С5=-С12"

Если отбросить по одному из пары всех подобных "зеркально-одинаковых" вариантов (являющихся простыми отрицаниями), а это следующие пять пар вариантов: (С2-С15), (С3-С14), (С5-С12), (С7-С10), (С8-С9), - то у нас останется всего 5 различных вариантов:

 

 

 

В -> А

Теперь рассмотрим два варианта: 3 и 5.

Можно заметить, что вариант "3" – есть не что иное, как операция "импликации", а именно: "А->В", а вариант "5" – есть не что иное, как тоже операция "импликации", только "В->А" – то есть зеркален варианту "3".

Отбросим вариант 5 как "зеркального" двойника варианта 3. Вот и всё – больше подчищать нечего.

 

 

 

Таким образом, очистив нашу таблицу от всевозможных подобий-дубликатов, мы придём к тому, что из всех возможных зависимостей между ТРЕМЯ высказываниями А, В и С, у нас останется только четыре чистых варианта "логических СВЯЗЕЙ" (логических систем) – это хорошо нам знакомые логические операции: 1) конъюнкция "и", 2) дизъюнкция "или", 3) импликация и 4) равнозначность (эквиваленция).

Заметим, хотя мы начали строить нашу таблицу СВЯЗЕЙ между ТРЕМЯ высказываниями как некую функцию высказывания С от двух начальных независимых аргументов А и В, тем не менее не следует думать, что из-за этого эти зависимости являются "однонаправленными", - т.е. именно А и В могут быть посылками, а высказывание С всегда  только зависит от них. Нет, - эта зависимость взаимная: здесь высказывания А и В точно также могут "зависеть" и от С как от начальной посылки.

Иначе говоря, после того, как будет определена нужная "логическая система" (т.е. какая-либо СВЯЗЬ из возможных базовых четырёх), - далее, уже в качестве "начальных посылок" могут выступать любые из них (в том числе и высказывание С), - и уже по ним можно будет искать значения истинностей для оставшихся высказываний-заключений.

Например, если задана логическая система "конъюнкция" и задана начальная посылка, что "С истинна" (лампочка горит) (ячейка окрашена зеленым цветом), - то из этого мы можем сделать логический вывод, что оба высказывания - и А, и В – тоже истинны (оба переключателя включены) (ячейки крашены в жёлтый цвет). 

В случае, если посылка С будет "ложной" (лампочка не горит), - мы уже никак не сможем определить логически значения истинностей у высказываний А и В, поскольку такой посылке (лампочка не горит) будет соответствовать целых три различных варианта рассуждений (логических сессий), а не один. Но добавив к этой посылке (лампочка не горит) какую-нибудь вторую, - скажем, что В "истинно" (переключатель В включён) (обе начальные посылки окрашены зелёным цветом) – мы сможет сделать однозначное логическое заключение, что А ложно (первый переключатель выключен) (заключение окрашено жёлтым цветом).  

 


Резюме:

1) В логике высказываний между ТРЕМЯ различными высказываниями (А, В, С) можно установить только четыре вида СВЯЗИ (логические системы), которые записываются в виде таблицы истинностей (логических операций), - это конъюнкция, дизъюнкция, импликация и равнозначность.

2) В логике высказываний все высказывания, включённые в "логическую систему" равноправны: логическими ПОСЫЛКАМИ могут являться любые из них (хоть А, хоть В, хоть С, - либо их любые комбинации).

Связанные материалы Тип
Магия логического доказательства. Ч-4. Проблемная импликация Дмитрий Бояркин Запись

Комментарии

Аватар пользователя vlopuhin

Возможно я ошибаюсь, поскольку чего то не понял уже в первой части Ваших изысканий, но по моему Вы взяли неудачный пример. Любой школьник заметит, что для включения/выключения лампочки необходимо и достаточно одного выключателя. То есть Вы скорее всего намеренно ввели в рассуждения избыточность, а затем "героически" от неё избавились. В этом заключается Ваша "магия дедукции"?

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

vlopuhin, .. ссылка:
..для включения/выключения лампочки необходимо и достаточно одного выключателя.

Верно. Но мы же здесь разбираем не электрические схемы, а логические СВЯЗИ. Я посчитал, что было бы лучше для понимания, если объяснять устройство "логических систем" не просто на абстрактных символах высказываний А, В и С, - а наполнить их каким-то наглядным содержанием. Так что мои "выключатели" и "лампочка" – только для наглядности.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. В этом заключается Ваша "магия дедукции"?

Нет, до ДЕДУКЦИИ мы ещё не дошли. Сейчас мы находимся ещё в самом начале пути к пониманию этого замечательного механизма - "строгого логического доказательства" – в районе "логики высказываний" (устройства "логических систем").

Радует, что вы уже ухватили мою главную мысль – что "логическое доказательство" возможно только в рамках ДЕДУКЦИИ (аксиоматического метода) и больше нигде.

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий Бояркин, 18 Май, 2020 - 13:20, ссылка

Нет, до ДЕДУКЦИИ мы ещё не дошли. Сейчас мы находимся ещё в самом начале пути к пониманию этого замечательного механизма - "строгого логического доказательства" – в районе "логики высказываний" (устройства "логических систем").

 Да, я это заметил. Именно то, что Вы склоняете речь именно к строгим логическим выкладкам. Меня смущает тот факт, что Вы "скачете по верхам", то есть оставшиеся от 16-ти булевых операций настолько же строги, как и Ваши четыре. А ещё точнее здесь действует момент относительности (абсолютный релятивизм, заключается в том, что если добавить единичку в любую клеточку, то есть инвертировать значение, получится другой код из того же, замкнутого самого на себя, множества), можно сдвинуть все "клетки" таблиц истинности, и от этого ничего не изменится. Может быть я не совсем понятно выразился, но по другому можно ввести в формулы некий суммарный элемент, который сдвигает эти таблицы, типа псевдо-Евклидова пространства. Откуда я это взял? Всё это из наших дискуссий с Вадимом Саковичем. То есть Вам известен исходный код, Вам известен результирующий код. Можно ли однозначно определить код операции? Однозначно ДА! И Вы это подтверждаете в своём тексте, поскольку у Вас исходные и результирующие посылки равноположены! Научно выражаясь, это называется регрессионный анализ. Вопрос, откуда берутся "нелинейные искажения"? Тут в соседней ветке не на шутку народ озаботился эмерджентностью... Даже если дедукция это метод, так сказать, Шерлока нашего Хомса, то человеческий фактор никуда не девался... И вот тут Ваш принцип квантора всеобщности как нельзя к стати!

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

vlopuhinссылка:
..то есть 16-ть булевых операций настолько же строги, как и оставшиеся Ваши четыре.

Какие ещё "булевы операции"? – Не забывайтесь, - мы здесь занимаемся не низкоуровневым программированием, а ЛОГИКОЙ. - И операции здесь только "логические", а не "булевы".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..А ещё точнее здесь действует момент относительности (абсолютный релятивизм), можно СДВИНУТЬ все "клетки" таблиц истинности, и от этого ничего не изменится.

Как же не изменится? – Из логически связанных высказываний мы получим абсурд, вот к чему это приведёт. Ведь ЛОГИКА предполагают, что между высказываниями существует неизменная СВЯЗЬ, - те самые столбцы единиц и нулей (истин/лжи). Если мы эту СВЯЗЬ начнём лопатить, как заблагорассудится, то в результате последующих рассуждений мы получим бессмыслицу.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..То есть Вам известен исходный код, Вам известен результирующий код. Можно ли однозначно определить код операции? Однозначно ДА!

О чём вы? Поясните на наглядном примере, только без таких сторонних словечек как "код". – Правильно говорить, "строки или столбцы значений истинности".

Вот задана "логическая система" из трёх высказываний, где высказывание С связано с высказываниями А и В посредством операции "конъюнкции".

  • Что такое у вас "исходный код"?
  • Что такое "результирующий код"?
  • Что такое "код операции"?

- в переводе на нормальный язык ЛОГИКИ.

 

 

 

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий Бояркин, 19 Май, 2020 - 19:58, ссылка

Какие ещё "булевы операции"? – Не забывайтесь, - мы здесь занимаемся не низкоуровневым программированием, а ЛОГИКОЙ. - И операции здесь только "логические", а не "булевы".

Согласен отчасти, но всё же булева математика, как прочие математики, не с Луны свалилась, по моему логика она одна на всех. 

Как же не изменится? – Из логически связанных высказываний мы получим абсурд, вот к чему это приведёт.

Ну если это данные, то когда битики с байтиками в пути подпортятся, их можно восстановить, если это код логической операции, то последствия действительно могут быть плачевными, поскольку вместо одной логической операции, может быть выполнена другая. Но эта другая из того полного набора из 16-ти.

О чём вы? Поясните на наглядном примере, только без таких сторонних словечек как "код". – Правильно говорить, "строки или столбцы значений истинности".

Код это нечто промежуточное между числом и булевой константой, обозначающей ложность и истинность. Вам ничто не помешало обозначить суждения буквами A,B,C, чем Вас не устраивает код (идентификатор)? Фактически в приведённой Вами таблице, например, А можно без информационных потерь заменить её столбиком 1100. Грубо говоря, "мыслить взад", а как по Вашему составляются задачники по математике? Ответ уже известен, остаётся придумать подходящее условие задачи. По этому ответ уже есть в задаче по математике, нужно до него только добраться, выстроить тождественные ответу рассуждения.

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

vlopuhin, ссылка:
..Фактически в приведённой Вами таблице, например, А можно без информационных потерь заменить её столбиком 1100. Грубо говоря, "мыслить взад", ...

Как это можно "высказывание А" заменить на "столбец 1100"? – Вы прежде хоть немного подумали, к чему (к каким "информационным потерям") это приведёт? - Ведь в данной ЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ высказывание А имеет вполне конкретный НЕИЗМЕННЫЙ смысл, а именно А = "переключатель А включён". И если заменить содержание высказывания А на "1100" (как, судя по вашим словам, предлагаете вы), - то получится бред, - даже никакое не высказывание. - Это и есть ваша фича "мыслить взад"?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

И вообще, вы можете отвечать по существу и внятно? - Я же вас про "КОД" спрашивал! - Вы ранее уверенно различали ТРИ вида "КОДА". Вот ваши слова:

.. То есть Вам известен исходный КОД,
Вам известен результирующий КОД.
Можно ли однозначно определить код операции? - Однозначно ДА!

После чего я у вас спросил:

Дмитрий Бояркин:

  • Что такое "исходный КОД" (который известен)?
  • Что такое "результирующий КОД" (которой известен)?
  • Что такое "КОД операции" (который вы можете однозначно определить)?

Но в ответ ничего вразумительного не услышал. Поэтому прошу, поясните ещё раз, что означают ваши КОДЫ, относительно раскрашенных столбцов данной логической системы. (Например: "исходный код – это красные ячейки", "результирующий – это зелёные" и т.д.). Тогда вам самому будет понятно всё, что уже давно понятно мне.

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий Бояркин, 20 Май, 2020 - 16:51, ссылка

Как это можно "высказывание А" заменить на "столбец 1100"?

По моему всё же А это знак, обозначающий высказывание, но не само высказывание. Если это не так, то я вообще ничего не понимаю.

После чего я у вас спросил:

Дмитрий Бояркин:

  • Что такое "исходный КОД" (который известен)?
  • Что такое "результирующий КОД" (которой известен)?
  • Что такое "КОД операции" (который вы можете однозначно определить)?

Но в ответ ничего вразумительного не услышал.

Вы же видите столбцы и строки? Не отдельные клеточки а целиком? Вот эта последовательность нолей и единичек (столбец) однозначно идентифицирует, например А. Это не само высказывание, это его формализованный вид. Ну как число можно визуально представить точкой на числовой прямой, так и высказывание его кодом в логической системе. Тогда столбцы А и В это исходные коды, столбец С это результирующий код, он же код логической операции. Или я ошибаюсь? Почему у Вас результирующим высказыванием стало В? Суть в том, что знак и его значение в кодах совпадают. Что можно трактовать как отождествление носителя информации с содержанием (с самой информацией). По крайней мере их "сближение", удаление некоего посредника в виде буквенных символов (аналогично из текста можно удалить лишние слова без информационных (смысловых) потерь).

Помните бородатый анекдот про двух заключенных, сидящих в одной камере? Что бы не повторять анекдоты они их пронумеровали, и называли только числа, типа "тринадцать - ха-ха-ха"...

И ещё один важный момент. Что такое сама таблица в логической системе? Фактически она состоит из обессмысленных клеточек (битов). В самом деле какой смысл у таблицы в логической системе? По моему сама таблица, как и каждый отдельный бит, - это знакоместо. Место для чего? Для составных смыслов! Для чего же ещё? Ещё один шаг и из кодов получатся числа (фактически уже получились двоичные числа), а это уже булева математика. Получилось растождествление логической системы на смыслы и двоичные числа, зымыкающиеся на двоичных кодах. Числа попали в таблицы на бумаге, а смыслы остались в голове. Даже если реализовать эту таблицу в комбинаторную схему на электронных компонентах с ячейками памяти (триггерами), суть от этого не меняется. По этому мне представляется важным различение информационных технологий и цифровых технологий. Зачастую втрое выдаётся за перво. Тем самым через подмену понятий скрываются "коварные планы" проклятых капиталистов :) ... В частности из такого банального неразличения происходит якобы искусственный интеллект. Тупая железяка (компьютер) оперирует цифрами и алгоритмами, и никогда не сможет оперировать смыслами, работа у неё такая... Даже про оперирование цифрами, разностью потенциалов и токами для компа шибко круто сказано. Комбинаторика это ещё не логика.

Вот Вам единство индукции и дедукции. С одной стороны через обессмысленный код отождествляется носитель информации с самой информацией, с другой стороны разделение технологий на цифровые и информационные. В общем торжество единства противоположностей, просто клондайк для диамата :)

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

vlopuhinссылка:
..удаление некоего посредника в виде буквенных символов..

Как я понял, вы предлагаете идентификаторы высказываний (коими являются символы А, В и С) заменить "их кодами в логической системе" - т.е. строками из соответствующих столбцов значений истинностей: "1100", "1010", "1000". Так, что ли? - Но что это даст, кроме запутывания?

Ранее мы могли явно видеть СВЯЗЬ между высказываниями, обозначенными символами: "С = А&В" – здесь всё понятно.

А если перейти на вашу идентификацию "кодами в логической системе", то получится нечто несуразное: "1000 = 1100 & 1010".

И зачем такой мудрёж? Надеюсь, вам уже понятно, что в вашем предложении ничего разумного нет?

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий Бояркин, 21 Май, 2020 - 15:15, ссылка

Но что это даст, кроме запутывания?

 - позволяет избавится от "бессмысленных" букв А,В,С (в самом деле, какой от них толк?);

- позволяет "заглянуть" внутрь высказывания, получить некую формализованную структуру высказывания;

- позволяет однозначно заменить смысл кодом;

- позволяет перейти к логическим операциям в формализованном виде.

Но Вы пропустили мой вопрос:

vlopuhin, 21 Май, 2020 - 03:37, ссылка

Почему у Вас результирующим высказыванием стало В? 

 Понятно, что Вы этот момент конкретно оговорили, у Вас любое высказывание может выступать как в роли посылки, так и в роли вывода, но ведь в данном случае речь идёт о лампочке, ведь в данной логической системе важен вопрос горит она или нет? И по боку в каком там положении выключатель, если что то не так с выключателем, можно подойти к нему и установить в нужное положение, а если сломался - заменить. В самом первом моём комментарии в этой теме я обратил внимание на то, что пример с выключателями и лампочкой не очень удачен.

И всё таки я так и не понял, у Вас выключатель один? Вы два высказывания получили из двух возможных положений выключателя, оба из которых могут быть истинными? Точнее они связаны так, что если одно из них истинное, то другое обязательно тоже истинное, и наоборот - оба ложные? Но ведь это абсурдно, поскольку достаточно одного высказывания, которое может быть истинным или ложным. Зачем было плодить избыточность?

Если же выключателей два, то высказывания А и В никак не связаны, любое из них может быть как истинным, так и ложным, независимо друг от друга. Разве что их может связать схема последовательного или параллельного подключения. Вы логической системой называете в данном примере схему подключения двух выключателей и лампочки? Тогда почему об этом не было ни слова? Ведь тогда не хватает батарейки, то есть лампочка ни в каком положении выключателей светиться не будет. Прошу прощения, если что не так, инженерный склад ума. Или горе от ума :)

Добавлено.

И ещё один момент, как раз тот, о котором я говорил. Допустим в данном случае мы имеем логическую систему - это схема включения в единую цепь двух выключателей и лампочки (само собой разумеется, батарейка у нас есть, в кармане лежит, можем в любой момент вставить в фонарик). Вы привили пример таблицы, когда два выключателя и лампочка включены в схему последовательно. Что будет, если инвертировать одну из клеточек таблицы? А что если инвертировать всю таблицу (каждую клеточку)? Получится таблица, отображающая параллельное соединение тех же выключателей и последовательно им лампочки? Нет! Что будет если лампочку подключить параллельно выключателю? То есть такая логическая система не полна! Не хватает определений, необходимо её доопределять. По моему это будет как раз та избыточность, от которой Вы избавились, оставив только "строгое логическое доказательство". Или я ошибаюсь?

В принципе так оно и должно быть в такой логической системе. Правильных (истинных суждений) схем может быть только и только две:

- последовательное включение выключателей и последовательное подключение к ним лампочки;

- параллельное включение выключателей и последовательное подключение к ним лампочки.

Все прочие возможные подключения неправильные (все прочие суждения в такой логической системе ложные).

Итого, если приведённую Вами логическую систему доопределить, то она станет полной, замкнутой сама на себя. Вопрос!: "Ну и в какое место этой логической системе пристроить аксиомы? По моему если логическая система полна, то всякие там аксиомы для неё как зайцу пятая нога.

P.S. А теперь зацените моё определение логики в информизме:"Логика это информационный поток, замкнутый сам на себя!" По моему это как раз то, что Вы называете "логической системой".

Аватар пользователя Чифу

Для Лопухина:

Чтобы задать функцию однозначно, надо указать либо 1, либо 0:

Задаем минтермами (конституэнтами 1):

1: F(x1,x0) = х1*х0

0: F(x1,x0) = -(-х1*-х0 v -х1*х0 v х1*-х0)

Задаем численно:

1: F(х1,х0) = S(3) - суммы (дизъюнкции) минтермов (СДНФ)

0: F(х1,х0) = P(0,1,2) - произведения (конъюнкции) макстермов (СКНФ)

Задаем номером функции:

F(х1,х0) = F1

Аватар пользователя vlopuhin

Чифу, 22 Май, 2020 - 08:12, ссылка

Что такое СДНФ и СКНФ ?

Это как то ассоциируется со скалярным и векторным умножением?

Типа A,B,C Дмитрия Бояркина это векторы в булевом пространстве... С координатами {1,1,0,0}, {1,0,1,0}, {1,0,0,0}.

Аватар пользователя Чифу

Что такое СДНФ и СКНФ ?

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, другая конъюктивная.

Это как то ассоциируется со скалярным и векторным умножением?

Здесь просто разные названия одинаковых операций: И, конъюнкция, (логическое) произведение или ИЛИ, дизъюнкция, (логическое) сложение.