Магия логического доказательства. Ч-2. Логические системы из ДВУХ высказываний

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин
Систематизация и связи
Логика

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Давайте разберёмся, каким образом появляются и что собой представляют всем нам известные классические "логические операции" и почему никаких других (новых) "логических операций" нет и не может быть вообще.

Итак, как мы уже знаем, "логические рассуждения" возможны только там, где СВЯЗЬ между какими-либо высказываниями определена заранее. Каждая такая СВЯЗЬ вместе с задействованными высказываниями образует свою собственную обособленную "логическую систему". Нам предстоит убедиться в том, что каждая из известных "логических операций" (те же: "отрицание", "конъюнкция", "дизъюнкция", "импликация", "равнозначность"), - и есть не что иное как один из видов "логических систем", - т.е. (1) набор определённых "содержаний высказываний" (смыслов) и плюс к ним (2) СВЯЗЬ между "значениями истинностей" этих содержаний.


ЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Начнём с самого простого. Построим таблицу истинностей всех возможных СВЯЗЕЙ (зависимостей, влияний) между "значениями истинностей" ДВУХ высказываний А и В, - пусть для наглядности это будут:

А - ("переключатель включён")
В - ("лампочка горит")

- Для этого зафиксируем два значения истинности у высказывания А ("истинно" (1) и "ложно" (0), - выделено жёлтым цветом) и путём простого перебора заполним колонки всех каких только возможных различных "значений истинностей" у В (горит ли лампочка или нет), где каждая номерованная колонка будет определять отдельную СВЯЗЬ. У нас получится, что таких СВЯЗЕЙ между А (переключателем) и В (лампочкой) может быть всего четыре – эти СВЯЗИ указаны под заголовком "В" в колонках 1-4.

 

 

Однако не все из этих вариантов СВЯЗЕЙ могут быть пригодными для логики. Скажем, СВЯЗЬ А с высказыванием В4 ("лампочка горит") не зависит от "значений истинности" высказывания А (включён переключатель или выключен), поскольку у В4 (у лампочки) "значение истинности" всегда равно нулю при любых "значениях истинности" у высказывания А, - (т.е. лампочка не реагирует на включение-выключение переключателя). Фактически, высказывание В4 ("лампочка горит") не имеет никакой СВЯЗИ с высказыванием А ("переключатель включён").

 

Точно так же СВЯЗЬ с высказыванием В3 ("лампочка горит") также совершенно не зависит от А, поскольку "значения истинности" у В3 всегда равно 1 ("лампочка горит"= истина), - то есть между высказываниями А и В3 никакой СВЯЗИ тоже нет.

Отбросим эти два варианта "связей" В3 и В4 как недействующие (отсутствующие) – у нас останется только два варианта: СВЯЗЬ с высказыванием В1 и с высказыванием В2. Разберём их по отдельности.

 

 

Начнём с В1. Что мы тут видим? - Мы видим, что СВЯЗЬ высказывания А (включён ли переключатель) с высказыванием В1 (горит ли лампочка) соответствует логической операции "равнозначности" ("эквивалентности") (обозначается "В1А" или "В1=А"), когда эти оба высказывания ("переключатель включён" и "лампочка горит") истинны или ложны одновременно.

 

А СВЯЗЬ высказывания А с высказыванием В2 соответствует логической операции "отрицания" (обозначается "В2=-(А)" ), когда значения истинностей этих двух высказываний всегда противоположны: если А истинно ("переключатель включён"= истинно), то высказывание В2 – ложно ("лампочка НЕ горит"), и наоборот: когда А ложно ("переключатель выключен"), то В2 – истинно ("лампочка горит").

Итак, мы рассмотрели все виды Логических Систем с однозначной СВЯЗЬЮ между высказываниями, - когда "значение истинности" у одного из высказывания определяет "значение истинности" у второго высказывания однозначно (с абсолютной точностью), - и убедились, что у ДВУХ высказываний таких видов СВЯЗИ (видов логических систем) может быть только два:

  • 1) равнозначность (эквивалентность) ("В=А" или "ВА")
  • 2) отрицание ("В=-(А)" ).

Теперь рассмотрим заодно и все возможные варианты "неоднозначной" логической СВЯЗИ (зависимости) между высказываниями – такие тоже могут быть.

ЧАСТИЧНАЯ связь (полусвязь "α" [альфа]) - когда у одного из высказываний по одному из "значений истинности" возможны сразу два следствия (два значения истинности у другого высказывания).

Посмотрим, каким образом такая "логическая система" с частичной СВЯЗЬЮ отображается в таблице.

В такой таблице будет уже три строки: одна – где связь однозначная, и две следующие – где связь неоднозначная (т.е. её нет). Мы видим, что в случае, когда начальная посылка А "истинна" (переключатель включён), то значение В может быть только "истинным", но если высказывание А "ложно" (переключатель выключен), то высказывание В может принимать любое из двух значений истинности - как "истинно", так и "ложно" (лампочка может гореть, а может и не гореть), – в таблице эти ячейки выделены красным цветом), - т.е. получается, что в этом втором случае (когда начальная посылка А "ложна") никакой СВЯЗИ между А и В (между выключенным переключателем и лампочкой) уже нет. Обозначим такую неоднозначную СВЯЗЬ в виде "В=αА" и назовём её "частичной равнозначностью" (здесь символ "α" [альфа] можно трактовать как "часть от").

Легко сообразить, что аналогичным образом устроена и "логическая система" с "частичным отрицанием".  Дадим ей следующее символическое обозначение: "В=-αА" и построим соответствующую таблицу истинностей.

Поскольку такие логические системы с "частичной связью" не всегда дают однозначный результат, в логике высказываний их не рассматривают вообще. Мы их тоже пока рассматривать не будем, а только примем к сведению, что "логические системы" могут быть и такими. Немного позже они нам ещё пригодятся.

И как самый крайний случай "неоднозначной СВЯЗИ", рассмотрим последний случай - её полное отсутствие. В таких случаях значение истинности у двух высказываний совершенно не зависят друг от друга: скажем, когда А истинно, то В может принимать значения как истинно, так и ложно (при включённом переключателе лампочка может гореть, а может и не гореть). Тоже самое и когда А будет ложно – "значение истинности" у высказывания В также может быть любым (при выключенном переключателе лампочка может гореть, а может и не гореть). В приведённой таблице истинности отображена "логическая система", где между высказываниями А и В никакой СВЯЗИ нет вообще. А поскольку между А и В связи нет, - значит, эти высказывания никогда не могут участвовать в каких-либо логических рассуждениях, ведь логические рассуждения всегда предполагают какую-то заранее определённую СВЯЗЬ между высказываниями.


Подведём итоги. Между ДВУМЯ высказываниями может быть только ДВА варианта однозначной СВЯЗИ (два типа "логических систем"), которые соответствуют двум классическим "логическим операциям": это либо "равнозначность" (когда "В=А"), - либо "отрицание" (когда "В=-(А)" ). – Никаких иных "логических операций" ("логических систем"), пригодных для однозначных (абсолютно точных) логических рассуждений, - у ДВУХ высказываний быть не может.

Связанные материалы Тип
Магия логического доказательства. Ч-3. Логические системы из ТРЁХ высказываний Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. Ч-4. Проблемная импликация Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. Ч-5. Обманчивое отрицание Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. Ч-6. Логические системы из ОДНОГО высказывания. Что следует из одной посылки "А"? Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. Ч-7. ТРИ компоненты одного высказывания. ИСТОЧНИКИ "значений истинностей". Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. Ч-10. Изъяны логики высказываний Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. Ч-8. "СТРОГОСТЬ" в логических рассуждениях. Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. Ч-9. Является ли конъюнкция "А&В" "логическим следствием" высказываний А и В? Дмитрий Бояркин Запись
Магия логического доказательства. ч-11. ДЕДУКЦИЯ (Аксиоматический метод) Дмитрий Бояркин Запись