Магия логического доказательства. ч-11. ДЕДУКЦИЯ (Аксиоматический метод)

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин
Систематизация и связи
Логика

ДЕДУКЦИЯ (Аксиоматический метод)

Всё это время мы рассматривали только классическую "логику высказываний", которая, как мы убедились, не лишена недостатков: при "её помощи" можно "доказать" всё что угодно, даже всякие нелепицы, она неспособна охватывать в единой "логической системе" бесконечное число высказываний, - но главный её недостаток, - в ней вполне могут случаться "логические противоречия", когда "А=-А", - и всё из-за того, что все высказывания по своему "содержанию" никак не связаны между собой (из одного "содержания" не создаётся другое – скажем, из самого смысла высказывания, что "переключатель включён", вовсе не следует истинность высказывания, что "лампочка горит", - а СВЯЗЬ между "значениями истинностей" высказываний в "логической системе" может задаваться абсолютно произвольно (хотя обычно опирается на жизненный опыт).

Теперь перейдём к рассмотрению других видов "логических рассуждений". Существует всего несколько видов "логических рассуждений" (т.е. нахождения НОВЫХ знаний, не используя непосредственное наблюдения) - это ИНДУКЦИЯ (обобщение), ДЕДУКЦИЯ (от общего к частному), АНАЛОГИЯ (схожесть ситуаций), АБДУКЦИЯ (как нахождение обобщающей посылки по заключению) и ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ (как продолжение тенденции). Многим представляется, что в мире Логики все эти виды "логических рассуждений" равноправны в деле обоснования своих тезисов – однако это ошибочное мнение: хотя все эти "рассуждения" по своему функционалу и являются "логическими" (как разные способы получения НОВЫХ высказываний (знаний) из других – первичных, уже известных), - тем не менее неоспоримым превосходством среди них обладает ДЕДУКЦИЯ: единственная среди всех прочих "рассуждений", которой можно доверять полностью: только она способна получать бесконечное число "логически строгих следствий", гарантируя при этом , что ни одно из них не будет противоречить никакому другому. При ДЕДУКТИВНЫХ рассуждениях "логических противоречий" не может быть никогда в принципе! Никакой другой вид "логических рассуждений" не соответствует этому жесткому логическому требованию.

ДЕДУКЦИЯ полностью исключает основные недостатки классической "логики высказываний". Самое главное отличие, - это то, что СВЯЗЬ между высказываниями в "Дедуктивной системе" является не скрытой (в виде произвольной матрицы "таблицы истинностей"), - а создаётся на основе внутренней, видимой: дедуктивная СВЯЗЬ очевидным образом "следует" из самого "содержания" высказываний. Все свои СВЯЗИ между высказываниями в "дедуктивной логической системе" полностью и однозначно определяет сама ДЕДУКЦИЯ.

Главной отличительной чертой "дедуктивной логической системы" является то, что в ней обязательно должна присутствовать ВСЕОБЩАЯ посылка-высказывание, а это означает, что в ней обязательно должны присутствовать две составляющие:

  •  (а) КВАНТОР ВСЕОБЩНОСТИ (КВ) (такие слова, как: "каждый", "всегда", "везде", "любой", "никогда", "нигде," "никто" и т.п.), - и
  • (б) подкванторное множество, встроенных в эту ВСЕОБЩУЮ посылку.

 

Пример ДЕДУКТИВНОГО рассуждения из трёх высказываний:

  1. "ВСЕ люди смертны" - как ВСЕОБЩАЯ посылка, где слово "ВСЕ" – Квантор Всеобщности, - а "люди" – "подкванторное множество";
  2. "Сократ – человек" - как частная посылка, где "Сократ" - как элемент "подкванторного множества";
  3. "Сократ смертен" - логическое следствие.

 

"Дедуктивная логическая система" может порождать бесконечно число заключений, и ни одно из них никогда не будет противоречить какому-либо другому. Посмотрим, что собой представляет "ДЕДУКТИВНАЯ логическая система".  

Всякая "Дедуктивная система" обязательно должна содержать не менeе трёх высказываний: две из них – ПОСЫЛКИ (одна всеобщая, другая – частная), - а третье – ЗАКЛЮЧЕНИЕ (логическое следствие из двух посылок). В зависимости от числа частных посылок, "логических следствий" может быть хоть бесконечное множество.

 

 

 

 

  1. АКСИОМА (ВСЕОБЩАЯ посылка) – ВСЕОБЩЕЕ начальное утверждение, говорящее, что ВСЕ элементы х некоторого множества Х обладают некоторым общим свойством Р (или находятся в отношениях Р(х1, х2)).
  2. Частная посылка - утверждение, что некий элемент х (или элементы) принадлежат тому самому множеству Х (области определения, подкванторному множеству), которое прописано в первом высказывании.
  3. Заключение – высказывание, говорящее о том, что этот отдельный элемент х1 обладает свойством Р.

 

СВЯЗЬ в "дедуктивной логической системе" устанавливается следующим образом:

  • Первая строка зависимостей: в тех случаях, когда посылки А и В истинны, то и заключение С истинно (первая строка таблицы, окрашена в жёлтый цвет).
  • Вторая и третья строки зависимостей (окрашены красным): в тех случаях, когда В ложно (элемент х не принадлежит Х), то заключение С может быть как истинным, так и ложным.
  • Последние четыре строки, где ВСЕОБЩАЯ посылка (высказывание  А) ложно, - все прочие СВЯЗИ между высказываниями исчезают: каким бы ни была вторая посылка В (истинной или ложной) – "логическое следствие" С не может быть определено – поскольку может принимать как истинное, так и ложное значение.

Строгий однозначный результат возможен только в первой строке зависимости, именно он и есть ДЕДУКЦИЯ (аксиоматический метод).

 

Важный момент.  "Логическая система ДЕДУКЦИИ" определяет не просто СВЯЗЬ, а выявляет саму ПРИЧИНУ: т.е. определяет, что именно высказывания А и В являются ПРИЧИНОЙ появления заключения С, но не наоборот. В самом деле, если попробовать логически идти в обратном направлении (от частного заключения к всеобщности), то у нас ничего не получится, поскольку из одновременной истинности высказываний В и С (первая и четвёртая строки, окрашены жёлтым) может следовать как "истинное" обобщение А (первая ячейка в первой строке), - так и "ложное" А (первая ячейка четвёртой строки). Такие логические рассуждения (по заключению вычислять обобщающую посылку) называется "АБДУКЦИЕЙ" – такие рассуждения не относятся к строгим логическим рассуждениям из-за своей неоднозначности логического заключения.

В "дедуктивной логической системе" исключён (невозможен) только один единственный вариант рассуждений, - когда из "истинных" посылок А и В не следует "истинность" заключения С (красная строка). ДЕДУКЦИЯ гарантирует, что такого варианта не может быть никогда. Все остальные варианты возможны. Этим и обеспечивается строгость именно ДЕДУКТИВНЫХ рассуждений (логических доказательств), как движения рассуждения от ВСЕОБЩЕЙ посылки А (и частного значения В) к единственно возможному логическому следствию С.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

ВЫВОД: кроме ДЕДУКЦИИ никакой вид "логических рассуждений", - будь то: "классическая логика высказываний", индукция, абдукция, аналогия, экстраполяция, - не могут служить основой для построения такой "логической системы", которая охватывала бы огромное число высказываний (т.е. описывала бы широчайший круг явлений на единой основе), и которая гарантировала бы при этом непротиворечивость всех высказываний данной "логической системы" между собой. Именно поэтому все "ТОЧНЫЕ НАУКИ" (геометрия, математика, логика, физика) - всегда строятся только на ДЕДУКЦИИ (аксиоматическом методе).

Строгое Логическое Доказательство – это всегда ДЕДУКЦИЯ, - это ход рассуждений от АКСИОМ (начальных всеобщих утверждений) к доказываемым частным следствиям.

Доказать логически – это значит, указать АКСИОМЫ, из которых непреложно будет следовать данный доказываемый тезис.

 


Большая просьба ко всем:

  • Здесь обсуждается только моя основная тема. (и ничего стороннего)
  • Вести обсуждение следует только со мной, а НЕ между собой.
  • Излагайте свою мысль как можно короче и как можно проще. 
  • Ваш аватар  в моей теме - обязателен(!). (комментарии без аватаров буду удалять не читая).