Магия логического доказательства. Ч-1. Логические системы

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин
Систематизация и связи
Логика

Поговорим об основах Математической Логики, - о том, как устроен механизм "строгого логического доказательства" и о том, как следует строить научные ТЕОРИИ. Но прежде чем перейти к разбору устройства этого чудесного механизма "строгого логического доказательства" (или короче - "логического доказательства", или ещё короче -"доказательства"), следует разобраться с самым начальным понятием, - что такое ЛОГИКА (логические рассуждения) вообще.


ЛОГИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ

ЛОГИКА (логические рассуждения) – это способ определения "значений истинности" у одних высказываний (называемых "логическими следствиями", "заключениями"), исходя из "значений истинности" других высказываний ("посылок"), согласно ранее уже известной СВЯЗИ между этими высказываниями.

Вообще "логические рассуждения" – это такой способ получения НОВЫХ знаний (смыслов), когда для их получения не требуется никакого непосредственного наблюдения, когда эти новые знания извлекаются как следствия (заключения)  из набора совсем других знаний, а именно: (а) знаний значений истинности исходных высказываний-посылок и (б) знаний СВЯЗЕЙ между разными высказываниями. Именно наличие определённых жёстких СВЯЗЕЙ между разными высказываниями и может образовывать всевозможные "логические системы", внутри которых и возможно будет вести эти самые "логические рассуждения".

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логические ОБЪЕКТЫ:

  1. Высказывания – (содержание + значение истинности),
  2. Значения истинности (истина/ложь),
  3. Логические системы (связь между значениями истинностей разных высказываний).

Все знания в логике, все её логические манипуляции производятся с логическими объектами, называемыми "высказываниями".

ВЫСКАЗЫВАНИЕ (утверждение или отрицание) – это повествовательное предложение, имеющее два (в двузначной логике) противоположных смысла при разных значениях истинности (истина/ложь).

Каждое логическое ВЫСКАЗЫВАНИЕ состоит из двух частей: (1) содержания (смысла) как правило сформулированного в утвердительной форме (например, "лампочка горит") и (2) "значения истинности" (истина или ложь) этого содержания. Таким образом полный смысл высказывания складывается из двух составляющих: неизменного содержания и его значения истинности. Отсюда следует, что два высказывания с одинаковым содержанием, но с разными значениями истинности являются РАЗНЫМИ высказываниями, а не одинаковыми.

Например, (1) истинное высказывание "дверь открыта" и (2) ложное высказывание "дверь открыта" – это два совершенно разных высказывания, хотя и с одинаковым содержимым. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести второе высказывание к "истинному" – у нас получится "неверно, что дверь открыта" (т.е. дверь закрыта). Становится очевидным, что эти два высказывания по своему полному смыслу действительно совершенно разные.

Первый раздел Математической Логики, называемый "логикой высказываний", работает как раз только со "значениями истинности" всевозможных высказываний и совершенно безразличен к смысловому содержанию этих самих высказываний. Такой подход позволяет инкапсулировать "смыслы высказываний" в символы (например: А, В, С и т.д.), что очень удобно для краткости описания логических рассуждений, когда снаружи остаются "видимыми" только оболочки в виде "значений истинностей" этих высказываний.

"Логические рассуждения" при всём своём бесконечно огромном разнообразии, тем не менее, не могут быть совершенно произвольными: они всегда предполагают некую СВЯЗЬ между всеми "значениями истинностей" различных "смыслов-содержаний", входящих в данное конкретное "логическое рассуждение". Если никакой СВЯЗИ между высказываниями нет (не подразумевается) – то и никакой Логики в таких рассуждениях не может быть в принципе, - такие рассуждениями уже будут "нелогическими". Как правило "нелогические рассуждения" абсурды, противоречивы и поэтому никакого интереса для науки не представляют. В противоположность им во всех "логических рассуждениях" СВЯЗЬ между высказываниями непременно должна быть, и должна быть чётко определена ещё ДО начала "логических рассуждений" (либо явно, либо подразумеваться), что позволяет нам, исходя из каких-либо заданных "значений истинности" начальных высказываний-посылок, и, двигаясь по этой СВЯЗИ между высказываниями , устанавливать значения истинностей высказываний-заключений.

ЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Все "логические рассуждения" в логике ведутся не произвольно, а только внутри своих заранее заданных "логических систем".

Каждая "ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА" состоит из двух компонентов: (1) некоторого множества различных высказываний (а точнее, - "смыслов высказываний") и (2) выявленных СВЯЗЕЙ между значениями истинностей этих высказываний. Именно СВЯЗИ между значениями истинностей конкретно заданных высказываний позволяют нам получать однозначные значения истинностей "высказываний-заключений", исходя из известных "значений истинностей" начальных посылок. Таким образом, всякое "логическое рассуждение" имеет смысл только внутри своей "логической системы", что означает запрет на произвольную подстановку каких-то сторонних высказываний, не включённых в данную "логическую систему", т.е. не имеющих СВЯЗЕЙ с рассматриваемыми высказываниями.

Каждую "логическую систему" можно отобразить в наглядном табличном виде, где в строке заголовков будет находиться перечень всех высказываний, входящих в данную "логическую систему", а в нижних строках указывается СВЯЗЬ, в виде строк значений истинностей.

Разберём на примере. Рассмотрим табличный вид "логической системы", состоящей из четырёх высказываний: А, В, С и D (верхняя строка заголовков таблицы), - и СВЯЗЬЮ между ними, заданной в двух нижних строках таблицы.

Здесь следует обратить внимание на то принципиально важное обстоятельство, что в любой "логической системе" нет наперёд заданных высказываний-ПРИЧИН, и поэтому СВЯЗЬ между высказываниями не является однонаправленной (слева-направо).  В логической системе все высказывания равноправны: любая из них может выступать как в качестве начальной посылки (т.е. причины), так и в качестве логического следствия. Скажем, в нашем примере, если принять высказывание В за начальную посылку с "ложным" значением истинности (ячейка выделена зелёным цветом), - то она в данной логической сессии (строке таблицы) выступит в роли причины того, что все остальные высказывания (и А, и С, и D) примут "истинные" значения как "логические следствия" такой посылки (выделены жёлтым цветом).

Таким образом, зная значения истинности хотя бы одного из высказываний данной "логической системы", мы всегда сможем высчитать "значения истинностей" всех остальных высказываний, входящих в эту "логическую систему".

Комментарии

Аватар пользователя К.Б.Н.

.

Для  Дмитрия Бояркина и не только.

 

1.  Вы пишете:

«Поговорим об основах Математической Логики …»

 

Отвечаю.

 

А вы можете перечислить те философские вопросы, которые были решены с помощью математической логики?

Вопрос риторический, поскольку ясно – не можете.

Почему?

Потому что все достижения математической логики находятся в очень узком секторе, из которого выхода в философию – нет (либо можно с трудом, «дотянутся» до краешка философии, и не более).

Что бы с помощью математической логики можно было решать философские вопросы её надо существенно изменить.

Так что с точки зрения философии всё, что вы тут выдаёте – слишком похоже на бесполезное.

 

(Теоремы Гёделя можете не упоминать, поскольку им уже скоро сто лет будет, но что с ними делать, никто не знает до сих пор.)

 

 

 

2.  Вы пишете:

«…Но прежде чем перейти к разбору устройства этого чудесного механизма "строгого логического доказательства" (или короче - "логического доказательства", или ещё короче -"доказательства")…»

 

Отвечаю.

 

Короче?

Это такой логический термин?surprise

Или это такая логическая операция – укорочение?surprise

Вы что не знаете, что понятия «строгое логическое доказательство», «логическое доказательство» и «доказательство» - это разные понятия?

 

3.  Вы пишете: «…механизм "строгого логического доказательства"…»

 

Отвечаю.

 

Выдайте определения понятиям «строгое логическое доказательство» и «логическое доказательство».

Что бы была понятна разница между этими понятиями.

А то раньше вы в этом путались.

 

4.  Вы пишете:

«…Например, (1) истинное высказывание "дверь открыта" и (2) ложное  высказывание "дверь открыта" – это два совершенно разных высказывания, хотя и с одинаковым содержимым. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести второе высказывание к "истинному" – у нас получится "неверно, что дверь открыта" (т.е. дверь закрыта). Становится очевидным, что эти два высказывания по своему полному смыслу действительно совершенно разные…»

 

Отвечаю.

 

Если суждение «дверь открыта» в одном случае – истинно, а в другом случае – не истинно, то это означает, что, либо, речь идёт о разных дверях, либо, об одной двери, но в разное время.

 

А путаница возникает из-за не полной формулировки суждения.

Пример полной формулировки.

 

Дверь открыта в кухне квартиры №3 по улице Мира в городе Кирове в 13 часов 28 минут 30 секунд. (Это, например - истина).

Дверь открыта в кухне квартиры №3 по улице Мира в городе Курске в 13 часов 28 минут 30 секунд. (Это, например - не истина).

 

 

Вот если так формулировать, то и никаких странностей с истинностью и не истинностью  суждения – не будет.

То есть, что бы с оценкой суждений не было недоразумений, необходимо их точно формулировать, а для этого - нужны конкретные подробности по времени и месту (и т.п.).

 

 

5. Если вы полагаете, будто вы с помощью вашей строгой логики можете что-то строго доказывать в философии, то приведите пример. А без этого  непонятно - зачем вы это всё тут пишете.

 

(Так же многим  будет непонятно, что вы здесь  выдали - от себя, а что действительно - основы математической логики.)

.

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

К.Б.Н., ссылка:
.. Чтобы с помощью математической логики можно было решать философские вопросы её надо существенно изменить.

Скорее "уточнить", чем "изменить". – Главное уточнение, которое я здесь хотел бы указать, - что логической доказательной силой обладает только ДЕДУКЦИЯ, и ничто больше.

Второе важное уточнение касается внутреннего устройства Аксиом, - что каждая Аксиома (постулат, принцип, закон) – обязательно должен содержать Квантор Всеобщности и подкванторное множество. Почему-то никто из математиков до сих пор этого не знает.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..Вы что, не знаете, что понятия «строгое логическое доказательство», «логическое доказательство» и «доказательство» - это разные понятия?

Для меня все эти три понятия абсолютно одинаковые. А вот – "логическое РАССУЖДЕНИЕ" – действительно, понятие другое: оно может являться "доказательством", но может и не являться. Например, ИНДУКЦИЯ – это логическое РАССУЖДЕНИЕ, но "строгим логическим доказательством" не является.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..Если суждение «дверь открыта» в одном случае – истинно, а в другом случае – не истинно, то это означает, что, либо, речь идёт о разных дверях, либо, об одной двери, но в разное время. А путаница возникает из-за не полной формулировки суждения.

Вы говорите про "высказывания-ФАКТЫ" из Объективной Реальности. С ними никакой путаницы никогда не было и нет. Вся путаница у философов возникает тогда, когда они говорят об одинаковых высказываниях из различных Теорий, утверждая, что это мол является "логическим противоречием", - что неверно.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Если вы полагаете, будто вы с помощью вашей строгой логики можете что-то строго доказывать в философии, то приведите пример. А без этого непонятно - зачем вы это всё тут пишете.

Да, я полагаю, что при помощи строгой логики мы сможем решать (доказывать логически) задачи на Онтологию (устройство Мира). Например, при помощи строгой логики можно абсолютно однозначно ответить на вопрос "существует ли бог или нет". Есть и другие интересные онтологические задачи, которые тоже имеют однозначное решение.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 ..Так же многим  будет непонятно, что вы здесь  выдали - от себя, а что действительно - основы математической логики.

ВСЁ, что я здесь выдал – это только "от себя", а не из учебников. Всё это мои собственные исследования, которые должны окончательно уточнить самые основы математической логики.

Аватар пользователя К.Б.Н.

.

Для  Дмитрия Бояркина  и не только.

 

1. Вы написали, что математическую логику не надо существенно изменять, что бы с её помощью решать философские вопросы, а надо лишь уточнить.

 

Я с этим не согласен, но спорить про это – не буду, поскольку это слишком длинный спор с очень сомнительным результатом.

Ваши  рассуждения про аксиомы – ничего не понял, и выяснять про это – не буду, поскольку это будет слишком длинное выяснение с очень сомнительным результатом.

 

2.  Вы пишете:

«Для меня все эти три понятия абсолютно одинаковые.»

 

Отвечаю.

 

Для вас?

А для других?

Вас это не интересует?

Ладно, здесь можно было бы вас «погонять», но – не буду (ниже гораздо интереснее).

 

3.  Вы пишете:

«…Например, при помощи строгой логики можно абсолютно однозначно ответить на вопрос "существует ли бог или нет". Есть и другие интересные онтологические задачи, которые тоже имеют однозначное решение.»

 

Отвечаю.

 

 Вы утверждаете, что можете с помощью своей «строгой» логики однозначно ответить – есть ли бог?

Так это любой может.

Для этого только и надо, на соответствующий вопрос ответить  – «Да» или «Нет» (без всяких «но …»).

И всё – однозначный ответ готов.

Это даже ребёнок может сделать.

Может вы что-то другое имели ввиду?

 

Во всяком случае, выдайте эти ваши однозначные рассуждения про бога (да хоть про что, лишь бы покороче).

А мы посмотрим – что там однозначного.

(Я вообще спец по однозначности.)

.

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

К.Б.Н., 12 Май, 2020, ссылка:
.. Вы утверждаете, что можете с помощью своей «строгой» логики однозначно ОТВЕТИТЬ – есть ли бог? Так это любой может. Для этого только и надо, на соответствующий вопрос ОТВЕТИТЬ – «Да» или «Нет» (без всяких «но …»). И всё – однозначный ОТВЕТ готов. Это даже ребёнок может сделать. Может вы что-то другое имели ввиду?

Конечно "другое"! - Странные у вас какие-то представления о "строгой логике": кто-то нехотя буркнул "Да" (или "Нет") – вот тебе и всё "логическое доказательство". – Разве это логика? - Это высказывание своих СУБЪЕКТИВНЫХ представлений, не более того. Я имел в виду не просто "ОТВЕТИТЬ однозначно" на какой-то заданный вопрос, (что, действительно, вовсе нетрудно "сделать" даже ребёнку), - а именно ДОКАЗАТЬ этот однозначный ответ ЛОГИЧЕСКИ.

Что это значит? Это значит, прийти к такому "однозначному ответу" (логическому заключению) путём проведения логических рассуждений из АКСИОМ (постулатов, принципов, - как это делается в геометрии, как это делается в физике), - и никак по-другому. Добавлю к сказанному, – в "логическом доказательстве" не должно быть места никаким Субъективным мнениям (типа, "ДА, потому что Я так считаю", или "НЕТ, потому что Я так думаю").

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Во всяком случае, выдайте эти ВАШИ однозначные рассуждения про бога (да хоть про что, лишь бы покороче). А мы посмотрим – что там однозначного.

Какие ещё "МОИ однозначные рассуждения"? - Я нигде не говорил про "однозначные рассуждения"! – Не приписывайте мне свои выдумки! - Я всегда говорил только о "логических доказательствах", в результате которых можно прийти к однозначному логическому заключению (т.е. получить логически обоснованный однозначный ответ).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. (Я вообще спец по однозначности.)

Надо полагать, по "однозначным рассуждениям" вы тоже спец?

Аватар пользователя К.Б.Н.

.

Для  Дмитрия Бояркина  и не только.

 

1.  Вы пишете:

 

«Конечно "другое"! - Странные у вас какие-то представления о "строгой логике"…»

 

Отвечаю.

 

В приведённом мною примере не было никаких умозаключений, ни строгих, ни не строгих, это было опущено в моём примере.

Вы этого не заметили?

 В моём тексте я вам выдал пример однозначного ответа.

Ответ, который я привел, был однозначным?

Да.

Это - факт.

И какие из этого можно сделать умные выводы?

Умные выводы:

Ответить однозначно, это дело не хитрое.

Это можно сделать и без всякой строгой логики.

Это могут сделать и дети.

Это – факт.

 

Какой из этого умный вывод?

Однозначный ответ, это не однозначная ценность в философии.

Почему?

На этот вопрос я ответил выше.

 

А что надо?

В научных рассуждениях в качестве вывода (заключения) необходима – однозначная истина.

Вот это умная ценность в науке, и в философии в частности.

Это – факт.

А у вас про это – ничего.

Почему?

Потому что в вашем мировоззрении много логических провалов.

 

2.  Вы пишете:

«Какие ещё "МОИ однозначные рассуждения"? - Я нигде не говорил про "однозначные рассуждения"! – Не приписывайте мне свои выдумки! - Я всегда говорил только о "логических доказательствах", в результате которых можно прийти к однозначному логическому заключению (т.е. получить логически обоснованный однозначный ответ»

 

Отвечаю.

 

Это что за отговорки?

То для вас разные (для грамотных людей)  понятия «доказательство», «логическое доказательство» и «строгое логическое доказательство» - абсолютно одинаковые. А здесь вы удивляетесь, что ваше «однозначное логическое заключение» я называю однозначными рассуждениями?

Это отговорки,  которыми вы пытаетесь отвертеться от приведения примера ваших однозначных заключений про бога.

Выдайте пример ваших строгих логичных рассуждений однозначно доказывающих что бог есть (или его нет).

Или выдайте что нибудь подобное, по более лёгкому предмету, но философскому.

 

Или опять будете отговариваться?

 

3.  Повторяю, вы пишете:

«… понятия «строгое логическое доказательство», «логическое доказательство» и «доказательство» …  Для меня все эти три понятия абсолютно одинаковые.»

 

Отвечаю.

 

Абсолютно одинаковые?

Абсолютно?

Вы понимаете, что любой адекватный (и не подкупленный) преподаватель логики за эту вашу точку зрения поставит вам двойку по логике?

И будет прав.

Вы это понимаете?

.

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

К.Б.Н., ссылка:
.. А здесь вы удивляетесь, что ваше «однозначное логическое ЗАКЛЮЧЕНИЕ» я называю "однозначными РАССУЖДЕНИЯМИ"?

Как же мне не удивляться? – Вы, как признанный "спец по однозначности", - сами должны были бы понимать, что [моя] "однозначность ЗАКЛЮЧЕНИЯ" вовсе не означает, и не предполагает никакой "однозначности РАССУЖДЕНИЙ", ибо "рассуждение" и "заключение" – это две абсолютно разные вещи. К одному "однозначному заключению" может вести огромное множество "логических рассуждений", подтверждающих это "заключение". Например, к "однозначному СЛЕДСТВИЮ" – что "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов", - ведёт 365 способа доказательства, каждое из которых представляет совершенно другой "способ рассуждений".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..Выдайте пример ваших строгих логичных РАССУЖДЕНИЙ "однозначно доказывающих", что бог есть (или его нет).

Я бы с радостью, но это уведёт нас от темы данного обсуждения - "устройство логических систем".

Аватар пользователя К.Б.Н.

.

Для  Дмитрия Бояркина  и не только.

 

1. Вы пишете:

«…ибо "рассуждение" и "заключение" – это две абсолютно разные вещи…».

 

Отвечаю.

 

Абсолютно разные вещи?

Абсолютно?

Из словаря:

Рассуждение — последовательный ряд мыслей и умозаключений в контексте определённой темы, изложенных в логически последовательной форме.

… Наконец, третий и последний момент всякого рассуждения — самый вывод или конечный результат его.

 

 

Вы слово «абсолютно» используете так, как будто не знаете значение этого слова.

И это уже не первый раз вы такие ляпы делаете.

 

Повторяю опять ваши слова:

«… понятия «строгое логическое доказательство», «логическое доказательство» и «доказательство» …  Для меня все эти три понятия абсолютно одинаковые.»

 

Повторяю свои слова по этому поводу:

 

Отвечаю.

Абсолютно одинаковые?

Абсолютно?

Вы понимаете, что любой адекватный (и не подкупленный) преподаватель логики за эту вашу точку зрения поставит вам двойку по логике?

И будет прав.

Вы это понимаете?

 

 

 

 

У вас явные провалы по темам - «Понятия», «Отношения понятий», «Определения понятий».

И это как минимум.

А вы всё это пытаетесь скрыть.

 

2.  Вы пишете:

 «Я бы с радостью, но это уведёт нас от темы данного обсуждения - "устройство логических систем".»

 

Отвечаю.

 

Вы отговариваетесь  от демонстрации значения вашей главной идеи?

Хоть что-нибудь.

Ведь только после этого можно сделать вывод о полезности ваших тем.

 

Именно после подобной демонстрации можно будет понять – о чём вы тут пытаетесь вести речь.

Ведь до сих пор вы ничего внятного не выдали.

Математическая логика бессильна в философии.

Это факт.

Причины  такого бессилия математики - можно обсуждать, но вы к этим причинам даже рядом не приближаетесь. Можно сделать вывод, что вы про это, просто ничего не знаете.

 

Я помню ваши смешные рассуждения,  в которых вы называете - строгой логикой, любой дедуктивный вывод, даже абсурдный.

Я помню, как вы не могли понять – почему дедуктивный метод не может выдавать истины в любом случае – по своему определению. Этот чисто логический аргумент вас поставил в тупик, и вы просто убежали с форума после него.

Недавно  вы выдали  рассуждения о аксиомах, из этих рассуждений  тоже ничего толкового не выходит.

Теперь вы выдаёте рассуждения о магии логии, и опять ничего толкового.

Зато есть словесные ляпы (это я про ваше странное использование слова «абсолютно»).

 

Поэтому я и прошу вас продемонстрировать полезность ваших идей в философии.

И если вы впечатлите людей, то они сделают вывод о том, что – есть смысл знакомиться более подробно с вашими идеями.

 

А пока у вас есть только пересказ того, как вы понимаете отдельные темы из логики.

(Да - отговорки от демонстрации полезности ваших идей.)

А кому это интересно?

.

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

К.Б.Н.ссылка:
..Я помню, как вы не могли понять – почему ДЕДУКТИВНЫЙ метод не может выдавать ИСТИНЫ в любом случае – по своему определению.

А что тут понимать? - Всё верно, - ДЕДУКЦИЯ может выдавать только "значения истинностей" (истина/ложь) своих высказываний-заключений и ничего больше. В том числе не выдаёт она и никаких "ИСТИН" - такого понятия в логике нет.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..Поэтому я и прошу вас продемонстрировать полезность ваших идей в философии.

Три года назад я уже публиковал здесь свою онтологическую Теорию под названием "Субъект-Объектная Парадигма" (СОП). - Там классификация "философских объектов" по онтологическим регионам велась как раз с использованием Аксиоматического метода (ДЕДУКЦИИ). Можете ознакомиться по ссылкам:

Аватар пользователя К.Б.Н.

.

 

Для  Дмитрия  Бояркина и не только.

 

1. Вы пишете:

«А что тут понимать? - Всё верно, - ДЕДУКЦИЯ может выдавать только "значения истинностей" (истина/ложь) своих высказываний-заключений и ничего больше. В том числе не выдаёт она и никаких "ИСТИН" - такого понятия в логике нет.

Три года назад я уже публиковал здесь свою онтологическую Теорию под названием "Субъект-Объектная Парадигма" (СОП).»

 

Отвечаю.

 

Вы опять не поняли простого  аргумента из логики (учащиеся средних классов вполне могут понять этот аргумент).

Для вас многие азы логики,  это «тайна за семью печатями».

У вас большие провалы в знаниях.

Но вы этого не знаете, и знать – не хотите.

Или уже – не можете.

Но это уже – не важно.

 

 

Общий вывод по дискуссии с вами.

 

К основным вашим ошибкам  (то, что «бросается в глаза» в первую очередь) относиться  - вы легко подменяете определения понятий своими выдумками.

 В результате этого  ваши рассуждения слишком похожи на бестолковщину (это я проявляю тактичность).

У вас нет никаких шансов достичь своих познавательных целей.

 

Не вижу никакого смысла продолжать диалог с вами.

.

Аватар пользователя vlopuhin

Так в чем же магия логического доказательства? Получается Вы как фокусник, не хотите делиться секретом.

Вообще "логические рассуждения" – это такой способ получения НОВЫХ знаний (смыслов), когда для их получения не требуется никакого непосредственного наблюдения, когда эти новые знания извлекаются как следствия (заключения)  из набора совсем других знаний, а именно: (а) знаний значений истинности исходных высказываний-посылок и (б) знаний СВЯЗЕЙ между разными высказываниями

Думаю логика не занимается получением новых знаний, она доказывает и опровергает то, что есть. Но это так себе, лирическое отступление, не принципиально.

 Именно наличие определённых жёстких СВЯЗЕЙ между разными высказываниями и может образовывать всевозможные "логические системы", внутри которых и возможно будет вести эти самые "логические рассуждения".

Итак, связи, вот что меня интересует. Что это за "зверь такой", если:

Здесь следует обратить внимание на то принципиально важное обстоятельство, что в любой "логической системе" нет наперёд заданных высказываний-ПРИЧИН, и поэтому СВЯЗЬ между высказываниями не является однонаправленной (слева-направо).

 На каком основании в таком случае в математике ложные высказывания отбрасываются? Разве ложь и истина не связаны и не упорядочены? Разве можно пропустить сложение с умножением, и и сразу переходить к интегралам? Может быть Вы вынесли истину и ложь за скобки логических систем на основании того, что они есть ""высказывания-ФАКТЫ" из Объективной Реальности"? Вроде бы нет, поскольку у Вас

Логические ОБЪЕКТЫ:

  1. Высказывания – (содержание + значение истинности),
  2. Значения истинности (истина/ложь),
  3. Логические системы (связь между значениями истинностей разных высказываний).

По моему ноль и единица связаны - они противоположены! И упорядочены! А вот Ваш принцип "квантора всеобщности" никак не упорядочивает высказывания и связи, он лишь обеспечивает полноту теорий (как Вы говорите "логических систем"). Но вот дедукция и индукция упорядочены и встречно направлены (в информизме я это называю двунаправленностью информационных потоков), первая позволяет доказывать и опровергать теории (разрешает противоречия), вторая давать полные (лишенные недостатков и избыточности *) непротиворечивые определения.

* Кстати избыточность есть один из источников противоречий. Что делать, если в теории, например, два разных определения одного и того же?

Добавлено.

С этой точки зрения логика это не столько "способ получения НОВЫХ знаний (смыслов), когда для их получения не требуется никакого непосредственного наблюдения, когда эти новые знания извлекаются как следствия (заключения)  из набора совсем других знаний", сколько наоборот: логическая верификация теорий (собственно не только теорий, но и любых текстов (заметили как используется квантор всеобщности?)) это, помимо коммуникационной функции**, основной, чуть ли не единственный, способ избавления от ложных и избыточных знаний. В частности такое замечание не позволяет комбинаторику (банальный перебор вариантов) назвать логикой, поскольку варианты плодятся как грибы в лесу, в геометрической прогрессии. Тем не менее математика призвана, образно выражаясь, "затыкать дыры" в физике. Математическая логика, точнее логика вообще, это не только плохо, но и шибко хорошо.

** Под коммуникационной функцией следует понимать как средство, обеспечивающее объединение (люди, говорящие на разных языках всё же способны понять друг друга), так и способ изоляции (всякого рода секты, типа "Не геометр да не войдёт!").

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

vlopuhin, 13 Май, 2020, ссылка:
.. Так в чем же магия логического доказательства? Получается Вы как фокусник, не хотите делиться секретом.

Секретов у меня нет: "магия логического доказательства" - это целая серия статей, - пока опубликованы только две из порядка десяти. Все "секреты" (каким образом кролики-заключения появляются из, казалось бы, пустой шляпы "логических рассуждений") там будут раскрыты.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Думаю, логика НЕ занимается получением НОВЫХ знаний, она доказывает и опровергает ТО, ЧТО ЕСТЬ.

Скажите, зачем "доказывать-опровергать" ТО, ЧТО уже ЕСТЬ?

По-вашему, "доказательство" и "опровержение" – это не НОВЫЕ знания? Вы в этом уверены?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. На каком основании в таком случае в математике ложные высказывания отбрасываются?

В математике "ложные высказывания" вовсе "не отбрасываются", как полагаете вы, - в целом они равноправны с "истинными": ложными могут быть как посылки, так и заключения. Дискриминацию можно усмотреть лишь в одном: АКСИОМЫ и ТЕОРЕМЫ не могут быть ложными - они всегда только истинны. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Разве ложь и истина не связаны и не упорядочены?

В двузначной логике "истина" и "ложь" - это два равноправных элемента одного множества "значений истинности": они никак не упорядочены, и никак не связаны между собой: из "лжи" невозможно получить "истину", как и наоборот: невозможно из "истины" получить "ложь".

Менять "значение истинности" можно только у отдельных высказываний, тем самым меняя смысл только у самих высказываний. Заметьте, "логика высказываний" работает вовсе не с чистой "истиной" и "ложью", - а именно с ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ (т.е. "содержание" + "значение истинности"). И неспроста: сами по себе "истина" и "ложь", в отрыве от "содержания высказывания", – совершенно бессмысленны.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. А вот Ваш принцип "квантора всеобщности" никак не упорядочивает высказывания и связи, он лишь обеспечивает полноту ТЕОРИЙ (как Вы говорите "логических систем").

Значение "Квантора Всеобщности" в доказательной логике и в построении Теорий мы разберём позже.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Но вот ДЕДУКЦИЯ и ИНДУКЦИЯ упорядочены и встречно направлены...

Когда кто-то говорит о ДЕДУКЦИИ и ИНДУКЦИИ как о равных методах логических рассуждений, - это вызывает подозрение, что он не понимает сути ДЕДУКЦИИ, - её абсолютного превосходства над всеми другими видами логических рассуждений: в отличие от всех остальных, только ДЕДУКЦИЯ может вести строгие логические доказательства.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. ДЕДУКЦИЯ ... позволяет доказывать и опровергать теории (разрешает противоречия..

Это не совсем так. Дедуктивные рассуждения (доказательства) могут вестись только ВНУТРИ отдельных Теорий, и соответственно, саму ТЕОРИЮ эти рассуждения "доказать" никак не смогут. Теории вообще логически не доказываются. – А вот "опровергнуть" саму Теорию могут – если в ходе дедуктивных рассуждений выявится хоть одно логическое противоречие.

ДЕДУКЦИЯ (аксиоматический метод) - и есть единственный способ устройства Теорий, который гарантирует отсутствие каких-либо логических противоречий внутри Теории.  

Аватар пользователя vlopuhin

Дмитрий Бояркин, 15 Май, 2020 - 16:37, ссылка

Скажите, зачем "доказывать-опровергать" ТО, ЧТО уже ЕСТЬ?

Если что то уже есть, то это не даёт основания утверждать, что это что то истинно. Или, например, то, что в одной логической системе принимается без доказательства, в другой логической системе доказывается.

В математике "ложные высказывания" вовсе "не отбрасываются", как полагаете вы, - в целом они равноправны с "истинными": ложными могут быть как посылки, так и заключения. Дискриминацию можно усмотреть лишь в одном: АКСИОМЫ и ТЕОРЕМЫ не могут быть ложными - они всегда только истинны. 

Теоремы всегда доказываются. Но что значит "В математике "ложные высказывания" вовсе "не отбрасываются"? Как используются в математике ложные высказывания? Приведите, пожалуйста пример.

В двузначной логике "истина" и "ложь" - это два равноправных элемента одного множества "значений истинности": они никак не упорядочены, и никак не связаны между собой: из "лжи" невозможно получить "истину", как и наоборот: невозможно из "истины" получить "ложь".

Истина и ложь диаметрально противоположны, в этом заключается их связь. И они упорядочены, ложь исключается из дальнейших рассуждений. Если есть истинное суждение, то противоположное ему ложное получается автоматом, типа в подарок.

Менять "значение истинности" можно только у отдельных высказываний, тем самым меняя смысл только у самих высказываний.

По моему всё же менять можно неопределённое значение истинности на истинное или ложное в процессе доказательства. 

Заметьте, "логика высказываний" работает вовсе не с чистой "истиной" и "ложью", - а именно с ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ (т.е. "содержание" + "значение истинности"). И неспроста: сами по себе "истина" и "ложь", в отрыве от "содержания высказывания", – совершенно бессмысленны.

А как быть с самой логикой, которая сама по себе теория? 

Когда кто-то говорит о ДЕДУКЦИИ и ИНДУКЦИИ как о равных методах логических рассуждений, - это вызывает подозрение, что он не понимает сути ДЕДУКЦИИ, - её абсолютного превосходства над всеми другими видами логических рассуждений: в отличие от всех остальных, только ДЕДУКЦИЯ может вести строгие логические доказательства.

Можете привести пример, как с помощью дедукции генерируются определения? Другое дело, когда берётся "с потолка" некоторое суждение и с помощью дедукции устанавливается его истинность, или ложность. А для того, что бы генерировать истинные определения, скорее всего потребуется индукция. 

Дедуктивные рассуждения (доказательства) могут вестись только ВНУТРИ отдельных Теорий, и соответственно, саму ТЕОРИЮ эти рассуждения "доказать" никак не смогут. Теории вообще логически не доказываются. – А вот "опровергнуть" саму Теорию могут – если в ходе дедуктивных рассуждений выявится хоть одно логическое противоречие.

По моему Вы не разделяете логику на теоретическую и прикладную. Тогда как прикладная логика как раз призвана производить логическую верификацию теорий. 

ДЕДУКЦИЯ (аксиоматический метод) - и есть единственный способ устройства Теорий, который гарантирует отсутствие каких-либо логических противоречий внутри Теории.  

Если не ошибаюсь, Вы называете дедукцией логическую форму доказательства. Что то вроде по шагам:

1. Берётся заведомо истинное суждение (аксиома).

2. Берутся два противоположных суждения (первое противоречие).

3. Допускается истинность одно из этих суждений, допустим первого.

4. Проводятся рассуждения до получения противоречия с исходной аксиомой (второе противоречие).

5. На основании полученного противоречия первое суждения признаётся ложным, второе истинным.

Так? Если суждение одно (шаг 2.), то второе получить не составит труда. В качестве исходной аксиомы может выступать метод, например, метод построения в геометрии, суть логической формы доказательства при этом остаётся прежней.

Квантор всеобщности по моему используется как раз в индукции, конкретно в генерации суждений. Если принимается в качестве дедукции представленная логическая форма доказательства, то там квантор всеобщности как зайцу стопсигнал.

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

vlopuhin, 15 Май, 2020, ссылка:
..Как используются в математике "ложные высказывания"? Приведите, пожалуйста пример.

П р и м е р 1. Из ложной посылки "Х < 0" (т.е. "неверно, что Х является отрицательным числом") следует истинность заключения "Х => 0" ( "Х является положительным числом").

П р и м е р 2. Из истинной посылки "Х = 0" следует ложность высказывания "Х = 2" ("неверно, что Х равно 2").

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..Если есть истинное суждение, то противоположное ему ложное получается автоматом, типа в подарок.

По-моему, вы перемудрили. - Сами посудите, - допустим, нам известно, что высказывание А ("лампочка горит") – истинно. – У вас получается, что "в подарок" к нему мы получаем "автоматом" и его отрицание неА ("лампочка не горит"). - Надеюсь, вы в курсе, что такой "автоматический подарок" в логике называется "логическим противоречием". - Зачем нам такие подарочки?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..По-моему, всё же МЕНЯТЬ можно неопределённое значение истинности на истинное или ложное В ПРОЦЕССЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

Как только началось логическое доказательство, мы уже "МЕНЯТЬ" никакие "значения истинности" ни у каких высказываний не можем. "Менять" значение истинности можно только у высказываний-посылок ДО НАЧАЛА логического рассуждения (но не в процессе!). - А в "процессе доказательства" мы может только ОПРЕДЕЛЯТЬ [ещё неизвестные] "значения истинности" у высказываний-заключений (исходя из известных "значений истинности" у посылок).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..Можете привести пример, как с помощью ДЕДУКЦИИ генерируются определения?

В процессе самой ДЕДУКЦИИ, как методе рассуждений от всеобщих посылок к частным следствиям, - мы никак не сможем "сгенерировать какие-либо определения", - мы сможем только определить значение истинности у каких-либо высказываний-заключений.

Тем не менее в формулировках самих Аксиом, которые будут использоваться в последующих ДЕДУКТИВНЫХ рассуждениях, - мы может задавать смыслы "начальных понятий", - то есть давать их точные определения. Это так называемое "аксиоматическое определение" начальных понятий Теории.

К примеру, ТОЧКА (а так же "прямая", "плоскость") – это ТО, о чём говорится во всех аксиомах конкретной геометрии (удовлетворяет их требованиям).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Если не ошибаюсь, Вы называете ДЕДУКЦИЕЙ логическую форму доказательства. Что-то вроде по шагам:

  1. Берётся заведомо истинное суждение (аксиома).
  2. Берутся два противоположных суждения (первое противоречие).
  3.  ...

Так?

Совсем не так. Прежде, чем говорить про ДЕДУКЦИЮ, вначале давайте разберёмся с самым простым – с "логикой высказываний" (т.е. с тем, как устроены "логические системы").

Аватар пользователя vlopuhin

Из Вашего 

 Дмитрий Бояркин, 17 Май, 2020 - 19:33, ссылка

vlopuhin, 15 Май, 2020, ссылка:
..Как используются в математике "ложные высказывания"? Приведите, пожалуйста пример.

П р и м е р 1. Из ложной посылки "Х < 0" (т.е. "неверно, что Х является отрицательным числом") следует истинность заключения "Х => 0" ( "Х является положительным числом").

П р и м е р 2. Из истинной посылки "Х = 0" следует ложность высказывания "Х = 2" ("неверно, что Х равно 2").

А так же : 

Например, (1) истинное высказывание "дверь открыта" и (2) ложное высказывание "дверь открыта" – это два совершенно разных высказывания, хотя и с одинаковым содержимым. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести второе высказывание к "истинному" – у нас получится "неверно, что дверь открыта" (т.е. дверь закрыта). Становится очевидным, что эти два высказывания по своему полному смыслу действительно совершенно разные.

Следует, что только добавление к исходному истинному высказыванию "неверно, что ...", без всяких логических выкладок/рассуждений, даёт противоположное ложное высказывание. Равно и наоборот. Это же просто сказка, результат падает в руки с неба, то есть задаром (подарок).

Как только началось логическое доказательство, мы уже "МЕНЯТЬ" никакие "значения истинности" ни у каких высказываний не можем.

Железно! Абсолютно согласен, как говорится, "цыплят по осени считают":

 "Менять" значение истинности можно только у высказываний-посылок ДО НАЧАЛА логического рассуждения (но не в процессе!). - А в "процессе доказательства" мы может только ОПРЕДЕЛЯТЬ [ещё неизвестные] "значения истинности" у высказываний-заключений (исходя из известных "значений истинности" у посылок).

 Идём дальше.

Тем не менее в формулировках самих Аксиом, которые будут использоваться в последующих ДЕДУКТИВНЫХ рассуждениях, - мы может задавать смыслы "начальных понятий", - то есть давать их точные определения. Это так называемое "аксиоматическое определение" начальных понятий Теории.

К примеру, ТОЧКА (а так же "прямая", "плоскость") – это ТО, о чём говорится во всех аксиомах конкретной геометрии (удовлетворяет их требованиям).

Нет, в корне не согласен. Аксиома это то, что не поддаётся определению, по этому такое суждение принимается без доказательства. То есть смысл понятен каждому, а выразить словами практически невозможно. Ну в самом деле, попробуйте "папуасу" объяснить, что такое точка...

Совсем не так. Прежде, чем говорить про ДЕДУКЦИЮ, вначале давайте разберёмся с самым простым – с "логикой высказываний" (т.е. с тем, как устроены "логические системы").

В самую точку! Давайте перейдём к индукции! :) 

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

vlopuhinссылка:
..Следует, что только добавление к исходному истинному высказыванию "неверно, что ...", без всяких логических выкладок/рассуждений, даёт противоположное ложное высказывание. Равно и наоборот.

Всё верно.

..Это же просто сказка, РЕЗУЛЬТАТ падает в руки с неба, то есть задаром (подарок).

Где вы тут обнаружили дармовой "подарок с небес"? Ведь "значение истинности" у высказывания мы меняем САМИ, своими руками, уже наперёд зная, к какому результату это приведёт! – а вовсе не по волшебству логики! – Вы и сами это прекрасно знаете - в предыдущем предложении так и говорили:

...", без всяких логических выкладок/рассуждений..

Если уж говорить про "подарки", которыми нас может одаривать ЛОГИКА, – то это могут быть только "логические СЛЕДСТВИЯ", и не что иное. А при собственноручной смене "значения истинности" у высказывания (которой может являться только начальной посылкой) результат не является "логическим следствием", - и поэтому нет никаких оснований расценивать его (результат СВОЕГО ЖЕ труда), в качестве "небесного подарка". 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Дмитрий Бояркин:
..К примеру, ТОЧКА (а так же "прямая", "плоскость") – это ТО, о чём говорится во всех аксиомах конкретной геометрии (удовлетворяет их требованиям).

vlopuhin:
Нет, в корне не согласен. АКСИОМА это то, что не поддаётся определению, поэтому...

А разве сама словесная формулировка какой-либо Аксиомы не является её "определением"?

..не поддаётся определению, поэтому такое суждение принимается без доказательства.

Вообще-то Аксиомы принимаются "без доказательств" не потому, что "не поддаются определению" (что, конечно же, вздор) – а по причине их ИЗНАЧАЛЬНОСТИ в логических рассуждениях. Разве вы этого ещё не знали?

..То есть смысл понятен каждому, а выразить словами практически невозможно.

С чего вы взяли, что Аксиомы "практически невозможно выразить словами"? - Откройте школьный учебник по геометрии, - там все Аксиомы выражены именно словами.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Давайте перейдём к индукции! :)

Только не сейчас. В данной теме мы разбираем саму первооснову устройства логики - "логику высказываний" (т.е. что такое "логические системы", внутри которых и возможно ведение "логических рассуждений"). А такие виды "логических рассуждений" как ДЕДУКЦИЯ (оно же "доказательство"), Индукция, Абдукция, а также Аналогия и Экстраполяция, – это уже надстройки к "логике высказываний". Не будем спешить – всему своё время.

Аватар пользователя vlopuhin

Если уж говорить про "подарки", которыми нас может одаривать ЛОГИКА, – то это могут быть только "логические СЛЕДСТВИЯ", и не что иное. А при собственноручной смене "значения истинности" у высказывания (которой может являться только начальной посылкой) результат не является "логическим следствием", - и поэтому нет никаких оснований расценивать его (результат СВОЕГО ЖЕ труда), в качестве "небесного подарка". 

С утра, пока сайт не работал, я написал следующее:

 Кажется я начинаю понимать причину нашего недопонимания :) , в чем заключается наше принципиальное разногласие. Попробую в нескольких строках изложить так сказать "магию логического доказательства". Вы в центр
Вашей "картины" водрузили дедукцию, но что Вы называете дедукцией, я так и не понял, хотя спрашивал напрямую вот здесь ссылка . Для меня это было откровением в дискуссиях с Дмитрием (axby1). В центр необходимо водрузить ту самую логическую форму доказательства, которую я привел в своём комментарии по указанной ссылке. Таким образом получается теоретическая часть формальной логики (ФЛ), которая состоит в следующем порядке (и никак иначе):
- закон тождества;
- закон исключения третьего;
- закон исключения второго;
- закон исключения первого (фиксируется результат, освобождается память).
Это и есть логическая форма доказательства (ЛФД). И уже в прикладной части ФЛ можно вести речь о дедукции, индукции, абдукции, принципе минимального действия, Вашем принципе "квантор всеобщности", моём "правиле буравчика". Суть в том, что магическая универсальность формы логического доказательства применяется на равных и в дедукции (разрешении противоречий), и в индукции (формулирование определений). Основное отличие логического результата в том, что логические абстракции 
ходят парами: истина и ложь, число и точка, деление и умножение, сложение и вычитание, интегрирование и дифференцирование, Что же является результатом в индукции? Ну основное определение это понятно, где пара? Пара идёт в довесок, то есть как я говорил выше даром, её остаётся только сформулировать, как Вы говорите, потрудиться малость, присвоить инверсивное значение определению. Если я не ошибаюсь, это по Гегелю называется отрицанием отрицания, а на самом деле это банальное растождествление смысла: во-первых это то, что в результате определено, 
во-вторых это всё, что уж точно таковым не является. 

Вот тут и всплывает источник наших разногласий. К чему применить логическую форму доказательства? По Вашему к высказываниям, а по моему - к смыслам! Именно только и только смысл может быть самотождественным. Выразить смысл словами (обозначить, присвоить имя), красками, или танцем это уже дело вкуса.

Важное замечание. Кажется у Аександра Болдачева я встречал рассуждения о том, что такое мышление? А именно мышление это не просто созерцание, шевеление мозгами. Мышление это оперирование смыслами, применение абстракций, и получение результата в виде новых абстракций, точнее генерирование смыслов. ЛФД состоит из законов, которые невозможно нарушить. Именно по этому до сих пор никому на ФШ не удалось привести пример нарушения закона тождества. Если говорить о суждениях/рассуждениях, то здесь устанавливаются правила, кто во что горазд, нарушай - нехочу... Отсюда такой вывод. Логика это о законах мышления, оперирующего смыслами. Булева математика это лишь часть
логики вообще. Философия это про содержания смыслов, философия требуется там, где речь идёт о мировоззрении, где необходимо дать определения, то есть связать слова со смыслом (терминология).

Теперь надеюсь понятен мой "наезд" на К.Б.Н.? Одно дело порыться в словарях, и связать слова в правильные предложения, и другое дело получить результат собственным умом, пусть даже  при этом повторить чей то "подвиг". Или даже так. Логика это про законы мышления. Прикладная логика это искусство
донести свою мысль до читателя, если она конечно же есть, то есть есть что доносить. Я ещё пока учусь, могу и ошибаться... :)

 

А разве сама словесная формулировка какой-либо Аксиомы не является её "определением"?

..не поддаётся определению, поэтому такое суждение принимается без доказательства.

Вообще-то Аксиомы принимаются "без доказательств" не потому, что "не поддаются определению" (что, конечно же, вздор) – а по причине их ИЗНАЧАЛЬНОСТИ в логических рассуждениях. Разве вы этого ещё не знали?

Так говорится в учебниках, кто же этого не знает? Но нескладушки получаются, точка, прямая это в геометрии всё же такие объекты, у которых есть только название, они принимаются без определений, примерно так:"Трактор видели? Так вот это совсем не то же самое." Так же переместительный закон в математике (от перестановки слагаемых сумма не изменяется) является аксиомой только потому что его вломы доказывать.

..То есть смысл понятен каждому, а выразить словами практически невозможно.

С чего вы взяли, что Аксиомы "практически невозможно выразить словами"? - Откройте школьный учебник по геометрии, - там все Аксиомы выражены именно словами.

Согласен, в этом месте я погорячился, имелось ввиду дать определение, или доказать.