Маленькое терминологическое согласование

  С гордостью сообщаю, что открыл в математике новый термин - "аксотеорематика". Скорее всего меня кто-нибудь разочарует, ткнув пальцем в википедию, и тогда моя гордость сменится стыдом, но по крайней мере компетентные источники не смогли мне предложить альтернативу этому термину. Да простит меня всемирная ассоциация терминологов за такую вольность в обращении с математическими дефинициями - мне просто приходится так делать, потому что если я назову жопу, для которой как в той хохме не нашлось слова, спиной, то рискую получить втык за несоблюдение терминологического соответствия. Хотя от этого не легче - когда я в таких случаях называю вещи своими именами, то мне обычно отвечают, что я "чего-то там себе понапридумывал". Чувствуется, что вся эта терминология ещё при царе Горохе клепалась, а вышеупомянутую ассоциацию большего всего беспокоит то, что о её решениях подумает Аристотель - из-за чего нередко возникают ситуации, когда отдавая дань традициям приходится оперировать атавизмами и тем самым создавать в дискуссиях массу проблем из ничего, или же наоборот - когда под рукой не оказывается нужных и полезных терминов, и тогда Александру Болдачёву, например, приходится изобретать колёса типа "контрадикторности" или "инкорпорированности" - надо понимать это очень специфические и труднодогоняемые вещи, если о них даже сам Аристотель ничего не знал. Ну а поскольку отсебятины здесь будет много, то дальнейшее не рекомендуется к прочтению людям, страдающим излишней сентиментальностью по отношению к древним мыслителям.

* В ходе обсуждения темы мне так и не удалось определиться с термином, обозначающим то, что именно развивается в математике при появлении новых доказательств для принятых в логической системе формальных запретов. Поэтому во избежание накладок с устоявшейся терминологией "ФС" в контексте данной темы следует считать не статической как это принято, а динамической - то есть появление истинных утверждений в ней заведомо не определено, что даёт основания рассматривать такие логические системы в контексте их развития. Здесь принципиально наличие в составе ФС  недоказуемых истинных утверждений, которые в случае с "динамической ФС" не предзаданы, а обнаруживаются в процессе её развития.

Логика нулевого порядка

  Мысленно вернёмся во времена безоблачного детства, когда было всё просто и понятно - математика называлась ещё наукой "о числах" а не "о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов", а запрет был всего один - на совмещение утверждения о чём-то с одновременным его отрицанием. Так как любая логическая дисциплина начинается с операции сравнения (ведь принцип поиска сходств и различий справедлив для любой области приобретения знаний), сравнение чисел можно считать "операцией №0" в математике, дающей в качестве результата тезисно-антитезисную пару { больше >|< меньше }, которую следует считать "результатом №1" (в качестве "результата №0" по умолчанию предполагается { тождество >|< различие }, за которым следует вопрос о том, как именно числа могут быть различны). Не пугайтесь, всю математику я таким образом расписывать не буду, хотя побаловаться этим бывает на досуге интересно. Здесь в этом нет необходимости, поскольку первые "облака на горизонте", которые заставляют нас "взрослеть", появляются в математике уже по факту возникновения "результата №3", а именно - { умножения >|< деления }. Правый аспект дихотомии, или антитезис, вечно подкидывает математикам какие-то сюрпризы, и если в контексте "результата №2" утверждение "мама дала Маше минус три яблока" ещё можно как-то преобразовать к рациональному виду, то утверждение "каждому из нуля человек достанется по бесконечному числу яблок" явно не проходит по критерию практической применимости. Вследствие чего в математике появляется первый запрет, отличный от запрета на противоречие.

Логика первого порядка

  А в это время геометрия дошла до определений окружности и площади фигуры, в совокупности поставивших перед математиками задачу о нахождении квадратуры круга. Как известно, решилась эта задача путём отмены запрета на использование бесконечности, что позволило математикам разработать теорию пределов и жонглировать этими бесконечностями вдоль о поперёк. А когда Курт Гёдель доказал свою теорему о неполноте, необходимость возникновения таких ситуаций в процессе развития формальной системы удалось формализовать - что дало объективные основания для разотождествления математики и формальной системы. До этого такой необходимости не возникало, поскольку система запретов по умолчанию предполагалась общей для всей математики. Теперь же становится понятно, что "формальность" системы обусловлена тем, что в своём развитии она лимитирована формальными запретами, набор которых может отличаться для разных ФС (за исключением, разумеется запрета на "A U ~A"). Тогда если какая-нибудь ФС собственными средствами сформулирует задачу, неразрешимую находящимися в её распоряжении производительными силами (то есть посредством своей аксотеорематики, производительный потенциал которой ограничен принятыми в этой системе формальными запретами), то ей приходится обращаться в центр поддержки и развития формальных систем (то есть к теореме Гёделя о неполноте) со стандартным запросом :

  - Я, такая-то и такая-то, клянусь в своей непротиворечивости и сожалею о своей неполноте, как мне разобраться с вот этой вот хренью ?
  На что приходит наводящий ответ из центра :
  - Обратитесь к формальной системе, не лимитированной запретом на вольное оперирование бесконечно большими и малыми величинами.
  Та идёт к теории пределов и задаёт ей тот же вопрос, после чего диалог между ними развивается по такому сценарию :
  - Дык там нечего делать - тупо делишь окружность не бесконечное число бесконечно узких прямоугольников, ну и там короче все должно срастись.
  - Я так не умею, по мне так сколько нулей не складывай - будь их хоть бесконечность бесконечностей, всё равно в результате получишь ноль.
  - Ну так это ты дурные нули складываешь, а ты умные попробуй. Ладно, проехали - держи решение и не мучайся.

  Примерно это я имел в виду, когда говорил что термин "аксотеорематика" удобен и полезен в использовании при изучении особенностей виртуальной коммуникации формальных систем в контексте логики как сферы развития оных. Если исследования логики как дисциплины выходят за рамки изучения особенностей производственных отношений внутри рассматриваемых по отдельности ФС, то за ответами на эти вопросы приходится обращаться к следующим мета-логическим уровням. Пересекаем, значится, границу родины сложения и умножения, а там этих ФС - хоть спиной кушай.

  Для дальнейшей дифференциации способов коммуникации между ФС я буду использовать дихотомию { экстраверсия >|< интроверсия }, и как можно будет убедиться из дальнейших рассуждений, она обеспечивает точное соответствие "психологии формальных систем" представлениям о стремлении экстравертов "к-объекту", а интровертов, соответственно, "от-объекта". По умолчанию под субъектом подразумевается тот, кому охота всю эту ерунду визуализировать, но в дальнейшем изложении я больше не буду нагружать этот термин значением по умолчанию, а отведу его для сопоставления с принципами виртуальной коммуникации между формальными системами, любую из которых можно считать субъектом взаимодействия в мире логики.

  Итак, отмечаем на карте ФС красными кружочками случаи появления недоказуемых истинных утверждений, и ведём от них стрелочки к соответствующим ФС, способным эту истинность установить, получая таким образом экстравертный принцип виртуальной коммуникации (то есть к-объекту, у которого есть то, что составляет предмет насущной потребности рассматриваемого субъекта). В результате получаем сферу взаимодействия формальных систем, в центре которой находится теорема Гёделя о неполноте, которая в единственном числе составляет ФС, задающую принципы экстравертной коммуникации между остальными ФС (других вроде нет теорем, которые бы утверждали нечто о формальных системах для общего случая). Потребность выходить за пределы этой сферы возникает в том случае, если нарушается безусловный для логики первого порядка запрет на формальное противоречие.

Логика второго порядка

  Поскольку формальные системы "ничего не знают" о наличии в составе своей аксотеорематики несовместимых суждений, инкорпорировать это дело приходится по принципу интровертной коммуникации - то есть следуя от-объектов, внутри которых такие суждения обнаруживаются, к-субъекту, который находится за пределами сферы производственных отношений между ФС - ведь соединяющие эти суждения "перемычки" следует рассматривать за пределами сферы влияния законодательства, запрещающего формально несовместимые утверждения в любом виде. Точнее не за пределами этой сферы, а на её поверхности - если предполагать в дальнейшем выстраивание снаружи логических схем, использующих эти "перемычки" в качестве составных элементов. Семантика "интроверсии", помимо инверсии направления коммуникаций, как антитезис должна включать в свой контекст некий дополнительный наворот, каковым в её случае является процедура сопоставления объектов (только такой ценой удаётся предотвратить покушение на святую святых логики - закон непротиворечивости).

  Классическим примером здесь может послужить случай инкорпорирования геометрий Евклида, Римана и Лобачевского в одной логической абстракции, совмещающей в себе представление о пространстве с произвольной кривизной. Чтобы понять суть логической операции, которая здесь производится, представим себе функцию, которая в качестве входного параметра принимает числовое значение кривизны, и в зависимости от её знака возвращает одну из трёх перечисленных геометрий. Очевидно, что здесь имеет место принципиально иная нежели в предыдущем случае ситуация, поскольку экстравертный принцип взаимодействия осуществляет прямую логику разрешения возникшей внутри одной ФС непонятки путём обращение к другой, компетентной в этом вопросе ФС - в то время как для интровертного принципа виртуальной коммуникации формальных систем эта логика является обратной. Тогда если предполагать наличие какого-то смысла в разрешении противоречий средствами обратной логики, то из этого должна следовать возможность использования поверхности сферы ФЛ для выстраивания на ней логических схем второго порядка. Из сказанного не следует, что такие схемы могут себе позволить нарушение требования непротиворечивости логических построений, ведь посредством обратной логики разрешения противоречий эта проблема устраняется. Но поскольку такой способ решения нейтрализует оценку логических построений (для которых, напомню, строительным материалом служат результаты интровертной коммуникации между ФС) на предмет их непротиворечивости, то критерием их логической корректности вместо истинности становится целесообразность - по аналогии с представлениями о той целесообразности, которая принята для информационных технологий, индифферентных к математической истинности производимых ими формул. Таким образом, логические схемы второго порядка попросту лишены возможности содержать в себе формальные противоречия, а поскольку на данном мета-логическом уровне единственный запрет, принятый в ФЛ безусловным, становится очередной (и последней) формальностью, это даёт терминологическое основание не считать такую логику формальной.

  Здесь антитезис, коим является коммуникационная интроверсия, как обычно подкидывает логике очередной сюрприз, тем не менее логические построения на основе взаимодействия инкорпорированных систем вполне мыслимы. Например, комбинируя знаковую характеристику кривизны пространства с одной из кантовских антиномий, задающей показатель существования у мира начала, можно получить шесть соответствующих вариантов мироустройства. Промежуточные состояния, предполагающие возможность существования миров, для которых допустимо варьирование этих показателей в зависимости от сложившихся условий (здесь подразумевается оперирование инкорпорированными системами как цельными объектами, а не отдельными их составляющими), я пока не рассматриваю - при первом рассмотрении думаю вполне можно обойтись мирами с фиксированными состояниями этих и прочих интро-коммуникационных параметров.

***

  Всё, дальше мне лень думать в одиночку.