Логическое доказательство. - "Почему Сократ смертен?"

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин
Систематизация и связи
Логика

Рассмотрим хрестоматийный пример логического доказательства:

В1) ВСЕ люди смертны.

В2) Сократ - человек.

В3) Сократ смертен.

Разберём его по пунктам. Но прежде определимся с терминами:


  • ТЕОРИЯ - набор взаимосвязанных Аксиом и Определений.
  • ВСЕОБЩАЯ ПЕРЕМЕННАЯ (всеобщий аргумент) - переменная, связанная с Квантором Всеобщности (КВ), в которую можно подставлять различные частные значения (которые могут трактоваться как субъекты, объекты, элементы, сущности).
  • АКСИОМА ("аксиоматическое определение") - начальное высказывание с КВ, задающее какое-либо всеобщее свойство или всеобщее отношение для всех элементов множества, которые можно подставлять во всеобщую переменную.
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ [обычное] - начальное высказывание, задающее некоторое множество из элементов, соответствующих определённым требованиям (свойствам).
  • НАЧАЛЬНОЕ ПОНЯТИЕ - это то, что удовлетворяет всем требованиям Определения (аксиоматического или обычного) данной теории, где это начальное понятие упоминается.
  • ДАННЫЕ (условие задачи) - частные значения всеобщих переменных, которые указываются в качестве исходных в постановках конкретных логических задач.
  • СЛЕДСТВИЯ (заключения) - все возможные логические следствия Теории (как результаты подстановок частных значений (данных) во всеобщие переменные).
  • ТЕОРЕМЫ - те из следствий теории, которые содержат КВ (а значит, и всеобщие переменные).
  • ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - теория вместе со всеми её следствиями: (т.е. в неё входят: аксиомы, определения, частные значения всеобщих переменных (данные, начальные условия) и все следствия вместе с теоремами).
  • ДЕДУКЦИЯ - метод получения строгих логических следствий из высказываний с КВ путём подстановки частных значений во всеобщую переменную.
  • ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ - теория, логические следствия которой хорошо согласуются с фактами (критерий АДЕКВАТНОСТИ теории).


На что надо обратить внимание: определения бывают двух типов: аксиоматическими или обычными. И те, и другие являются изначальными утверждениями и принимаются без каких-либо [логических] доказательств. Но в отличие от Аксиом, которые непременно имеют КВ и задают какое-то общее свойство (или отношения) для ВСЕХ значений всеобщих переменных, - обычные Определения могут как иметь КВ, так и не иметь, - и предназначение их совершенно иное: они просто задают какое-то множество элементов с какими-то определёнными свойствами. Это делается двумя способами:

  • либо задаётся критерий, по которому происходит отбор некоторого подмножества элементов из какого-то более общего множества (скажем, "мужчина - это человек, который …";
  • либо просто объявляется одно множество в качестве подмножества какого-либо другого - бóльшего - множества. (скажем, "все мужчины - люди" или "Сократ - человек")

Вся суть любого обычного Определения [в рамках логической системы при дедуктивном доказательстве] - задать некоторое подмножество из другого - непременно бóльшего - множества, с единственной целью: чтобы в дальнейшем элементы заданного подмножества можно было бы подставлять во всеобщую переменную в качестве частных значений (данных).


Приступаем к разбору примера с Сократом:

  • Первое утверждение В1 ("Все люди смертны") - является Аксиомой, поскольку это утверждение 1) изначально, 2) в нём присутствует КВ (слово "ВСЕ") и 3) задаёт некое свойство для всеобщей переменной "люди" (а именно, - что они смертны). С КВ связана всеобщая переменная с названием "люди", которая задаёт ВСЁ множество допустимых частных значений (данных) для подстановки.
  • Второе утверждение В2 ("Сократ - человек") - задаёт конкретное исходное данное (частное значение "Сократ"), пригодное для подстановки вместо всеобщей переменной "люди" в аксиоме В1.
  • Третье высказывание В3 ("Сократ смертен") - является логическим Следствием аксиомы В1, полученным в результате подстановки во всеобщую переменную "люди" частного значения "Сократ" (взятого из начального условия В2).

Приведённое рассуждение из трёх утверждений являются примером Дедуктивного логического доказательства. В результате такого рассуждения мы [в рамках нашей теории из аксиомы В1 и начального условия В2] чисто логически доказали истинность высказывания "Сократ смертен".

Три утверждения (аксиома - В1, условие - В2 и заключение - В3) образуют логическую систему.


Рассмотрим ещё один пример логического доказательства:

  • С1) ВСЕ люди смертны.
  • С2) ВСЕ мужчины - люди.
  • С3) ВСЕ мужчины смертны.

Первое утверждение С1 - аксиома, поскольку а)изначально и б)содержит КВ "Все".

Второе утверждение С2 - [обычное] определение, поскольку а)изначально и б)задаёт множество "мужчин" как подмножество другого -  бóльшего - множества "люди".

Третье утверждение С3 - теорема, поскольку является логическим следствием подстановки частного значения "мужчины" во всеобщую переменную "люди" первой аксиомы С1 и содержит КВ "Все".


 

Связанные материалы Тип
Ментальное конструирование. Аксиома и Лжеаксиома. Виталий Андрияш Запись

Комментарии

Аватар пользователя boldachev
  • ТЕОРИЯ - набор взаимосвязанных Аксиом и Определений.

Вроде всегда считалось, что теория - это ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

И есть сомнение, что в логическую систему - теорию входят все частные следствия. На то теория и есть теория, чтобы в ней не было эмпирических суждений. И поэтому доказательство смертности Сократа - это не логическая система. А вот про мужчин - да.

Аватар пользователя Виталий Андрияш

Теоретически теория основывается на аксиомах и определениях. Но практически это не так. В основе всех логических умозаключений лежит опыт восприятия мира при помощи органов чувств. А здесь у нас нет универсального критерия истинности нашего восприятия. Связано это с тем что истинность опыта восприятия мира при зарождении логического анализа, чаще воспринималась на веру, чем подвергалась анализу. Рудименты этого недостатка сохранились в анализе до сих пор. Пример со временем я уже приводил.

Второй пример это вера в то что мир отражается в нашем сознании адекватно. Но проанализировав работу органов чувств мы видим что вся информация передается в мозг по нервным волокнам в форме электрических импульсов. А как известно электрический импульс, сам по себе не несёт конкретной информации, конкретную информацию определяет программа которая его расшифровывает. Один и тот же импульс разные программы могут читать по разному.

Но кроме объективных проблем логического анализа, возникают проблемы субъективного характера. Например теория большого взрыва основана на гипотезе сингулярности. По определению сингулярность должна иметь бесконечно малую размерность. Но по определению размерность это отношение А к В, где Б есть длина измерительной линейки. Но если сингулярность изначально одна, то о какой размерности можно тут говорить. Ещё Евклид говорил если отрезок один то о размерности мы не имеем права  говорить. Размерность это результат сравнения или другими словами продукт процесса познания, а не свойство отрезка. Можно сказать по другому, размерность возникает как свойство отрезка только в результате его процесса познания. Но тогда ставится под сомнение объективная реальность.

Таким образом возвращаемся к тому что логические рассуждения можно считать безупречными только в том случае если они начинаются с анализа первичного понятия. Иначе не исключена возможность ошибки. Но в логике,  кажется, этот закон не возведен в ранг фундаментального  и основополагающего закона. Или мы должны признать что вера в истинность первоначальных понятий допускается при построении логических моделей и эти модели истины только в рамках установленных этой верой.

Аватар пользователя boldachev

Виталий Андрияш, 21 Март, 2018 - 14:56, ссылка

Теоретически теория основывается на ...

Спасибо за рассуждения. Но вопрос то был сугубо терминологический: словом "теория" мы называем только аксиомы и определения или построенную на них логическую систему (определения, аксиомы, теоремы). Ну и попутно был вопрос: следует ли к теории относить частные высказывания?

Аватар пользователя Виталий Андрияш

Я понимаю куда вы колоните. Если исходные предпосылки в результате построения теории находят свое подтверждение в полученных выводах, то они принимаются как истинные. Например, как мне объяснял знакомый физик теоретик, теория относительности не имеет экспериментального подтверждения, но она хорошо вписывается в другие теории, которые экспериментальное подтверждены, поэтому она истина.

Возможно в некоторых случаях это так. Но никто пока не доказал что это правило имеет универсальный характер. Наоборот большинство научных теорий, за последние сто лет оспорены и заменены новыми. Где гарантия что так не произойдет с остальными и все логически выведенные таким образом теории не окажутся короткоживущие. Или другими словами ошибочными.

В этом случае нам остаётся признать логику не состоятельной в качестве инструмента познания. Или признать что исходные аксиомы и определения продукт веры и эта вера ограничивает область истиности наших теорий. И наконец, может все же будет благоразумно перед построением теорий детально анализировать исходные утверждения и не делать категорических выводов. Нпример: Сократ возможно смертный, возможно безсмертный, пока точно установить это мы не можем.

Аватар пользователя Виталий Андрияш

Простите, я оставил свою мысль незавершенной. Тут возникает вопрос что нам даёт такая неопределенность. А она даёт очень много, в этом случае наше сознание остаётся открытым для новых идей и точек зрения. Как я убедился на ФШ самая большая проблема, это закрытость для восприятия новых идей если они не согласуются с ранее утвердившиеся у нас знанием, которое подсознательно возводятся в разряд догмы.

Аватар пользователя boldachev

Как я убедился на ФШ самая большая проблема, это закрытость для восприятия новых идей если они не согласуются с ранее утвердившиеся у нас знанием, которое подсознательно возводятся в разряд догмы.

Тут нет специфики ФШ) 

Аватар пользователя Владимир К

boldachev, 21 Март, 2018 - 12:50, ссылка

...И поэтому доказательство смертности Сократа - это не логическая система. А вот про мужчин - да.

Тогда вам придётся принять положение относительно аксиом. Что вот эти аксиомы это да - логической системы, а те - к логической системе отношения не имеют.

Тогда как -

ЛОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — последовательность высказываний, часть которых является ее исходными утверждениями аксиомами, а все другие выводятся из них по четко указанным правилам вывода (основные из них дедукция, математическая индукция, правило подстановки) или вводятся с …   Философия науки: Словарь основных терминов

То есть, такого не оговаривается.

Аватар пользователя boldachev

Владимир К, 21 Март, 2018 - 16:15, ссылка

Тогда вам придётся принять положение относительно аксиом. Что вот эти аксиомы это да - логической системы, а те - к логической системе отношения не имеют.

Да, именно так. В первом случае (с Сократом) суждение "Все люди смертны" не является аксиомой, просто по причине, что одиночное суждение - это не аксиома. Суждение может быть признано аксиомой только в рамках логической системы.

Тут сложный момент с доказательством. Допустим у нас есть выражение х+х=2х. Подставим произвольные значения вместо х:

  • 2+2=2*2
  • 3+3=2*3
  • 695943+695943=695943*2

Можно ли процедуру получения из исходно истинного выражения  х+х=2х трех приведенных истинных выражений считать их доказательством? У меня язык не поворачивается. Формально вроде вот это "х+х=2х, х=2, 2+2=2*2" есть  "последовательность высказываний, часть которых является ее исходными утверждениями аксиомами, а все другие выводятся из них по четко указанным правилам вывода". Но я скорее признаю, что что-то не так с определением, чем назову эту подстановку доказательством. Скорее всего проблема возникла потому, что ни математика ни логика при построении систем, при доказательствах не используют частные значения выражений, поэтому и никому в голову не пришло уточнять определение доказательства, мол, под высказываниями подразумеваются общие высказывания, а не частные значения.

Аватар пользователя Владимир К

boldachev, 21 Март, 2018 - 17:48, ссылка

Владимир К, 21 Март, 2018 - 16:15, ссылка

Тогда вам придётся принять положение относительно аксиом. Что вот эти аксиомы это да - логической системы, а те - к логической системе отношения не имеют.

Да, именно так. В первом случае (с Сократом) суждение "Все люди смертны" не является аксиомой, просто по причине, что одиночное суждение - это не аксиома. Суждение может быть признано аксиомой только в рамках логической системы.

Позвольте, позвольте, а почему суждение "Все люди смертны" у вас оказывается "одиночным суждением"? Вот ваше сообщение, в нём речь идет о "доказательстве смертности Сократа":

boldachev, 21 Март, 2018 - 12:50, ссылка

  • ТЕОРИЯ - набор взаимосвязанных Аксиом и Определений.

Вроде всегда считалось, что теория - это ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

И есть сомнение, что в логическую систему - теорию входят все частные следствия. На то теория и есть теория, чтобы в ней не было эмпирических суждений. И поэтому доказательство смертности Сократа - это не логическая система. А вот про мужчин - да.

Это, выходит, вам Бояркин написал, что "Сократ - человек" это условие (а не аксиома), и вы с этим согласились. И теперь важно объясняете, что "Все люди смертны" - одиночное суждение. А я даже не пойму, как суждение "Сократ -человек" может быть каким-то условием. Ибо условие это "Обстоятельство, от которого что-нибудь. зависит". Разве Сократ - обстоятельство?

И вообще, откуда Бояркин взял про условия? В статье словаря, что я привел, говорится только об аксиомах и высказываниях:

ЛОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — последовательность высказываний, часть которых является ее исходными утверждениями аксиомами, а все другие выводятся из них по четко указанным правилам вывода (основные из них дедукция, математическая индукция, правило подстановки) или вводятся с …   Философия науки: Словарь основных терминов

По этому определению "Сократ - человек" может быть только аксиома.

Может вас смущает, что данная логическая система очень короткая, всего 3 пункта. Но на эти три пункта можно написать три тома. В самом деле, в первом томе всячески повествуется о том, что все люди смертны. Во втором томе, соответственно, что Сократ - человек. А третий том увязывает два первых тома под трагически соусом "Сократ смертен". Разве этот трехтомник назовёшь каким-то "Силлогизмом..."? Нет, это будет "Теория о смертности Сократа".

 

Тут сложный момент с доказательством. Допустим у нас есть выражение х+х=2х. Подставим произвольные значения вместо х:

  • 2+2=2*2
  • 3+3=2*3
  • 695943+695943=695943*2

Можно ли процедуру получения из исходно истинного выражения  х+х=2х трех приведенных истинных выражений считать их доказательством? У меня язык не поворачивается. Формально вроде вот это "х+х=2х, х=2, 2+2=2*2" есть  "последовательность высказываний, часть которых является ее исходными утверждениями аксиомами, а все другие выводятся из них по четко указанным правилам вывода". Но я скорее признаю, что что-то не так с определением, чем назову эту подстановку доказательством. Скорее всего проблема возникла потому, что ни математика ни логика при построении систем, при доказательствах не используют частные значения выражений, поэтому и никому в голову не пришло уточнять определение доказательства, мол, под высказываниями подразумеваются общие высказывания, а не частные значения.

По-моему, ваша ошибка в том, что вы рассматриваете и одну логическую систему, и множество логических систем, и сразу хотите сказать и об одной, и о множестве, что-то одно. И у вас ничего не получается. Но это неспроста. Единичность и множественность сами по себе имеют различие.

Ещё можно создать логическую систему, из которой следует х+х=2х. И это выражение уже будет не аксиомой, а теоремой.

Например:

1. Складывание двух равных величин даёт их удвоение.

2. Наличествуют две равные величины х.

3. Следовательно, х+х=2х

Аватар пользователя boldachev

Может вас смущает, что данная логическая система очень короткая, всего 3 пункта

Это не логическая система (теория) просто потому, что из нее ничего не следует, она не может продуцировать ни одного нового суждения. 

По-моему, ваша ошибка в том, что вы рассматриваете и одну логическую систему

Я вообще не рассматриваю никакие логические системы.

Аватар пользователя Владимир К

boldachev, 21 Март, 2018 - 21:28, ссылка

Это не логическая система (теория) просто потому, что из нее ничего не следует, она не может продуцировать ни одного нового суждения. 

Новое суждение - "Сократ смертен".

Это, как я полагаю, соответствует такому положению о теории -

В теории одни суждения выводятся из других суждений на основе практических подтверждений и/или правил логического вывода.

А логической системой является по вашему определению, данном вами в теме "Истинность, аксиомы и доказательство теорем":

Логическая система - совокупность выражений, связанных друг с другом логическими преобразованиями на основе фиксированного набора правил.

 

Вот еще положения:

В логике теория — это множество формул некоторого языка.

Формулы, принадлежащие теории, называются её теоремами.

И почему теория в логике не может состоять из одной теоремы? Во всяком случае, такого запрета я не нашёл.

Аватар пользователя boldachev

Новое суждение - "Сократ смертен".

То есть теорией является два суждения "Все люди смертны" и "Сократ - человек", так? А "Сократ смертен" - это не теория, а ее следствие?

В теории одни суждения выводятся из других суждений на основе практических подтверждений

Вы ничего не перепутали? Это же теория! То есть то, что противостоит практике, что по определению не практика. Теория - это логическая система. И как это вообще можно "вывести на основе подтверждения практикой"? Это какое-то новое слово в теории) 

А логической системой является по вашему определению, данном вами в теме "Истинность, аксиомы и доказательство теорем"

Там же могли бы и найти, что Теория и Логическая система - это синонимы (если речь идет о логике, в других познавательных дисциплинах теория лишь в идеале мыслится как логическая система). 

И почему теория в логике не может состоять из одной теоремы? Во всяком случае, такого запрета я не нашёл.

Не может. Просто потому, что в теории, в которой есть теоремы обязательно должны быть и аксиомы (теоремы - это то, что выводится из аксиом). Если в теории одна только одна формула, то она не теорема, а аксиома. Может ли теория состоять из одной аксиомы - решайте сами)))

Аватар пользователя Виталий Андрияш

доказательство смертности Сократа - это не логическая система. А вот про мужчин - да.

 Болдачеву. У меня к вам два вопроса, как вытекает из приведенной выше вашей цитаты, если Сократ мужчина то он смертен, а следующий логический вывод напрашивается сам собой, мужчина не человек. Что то вы меня тут запутали.

Теория и Логическая система - это синонимы (если речь идет о логике, в других познавательных дисциплинах теория лишь в идеале мыслится как логическая система).

Второй вопрос,вы выразились, теория лишь в идеале логическая система, не могли бы подробнее мотивировать эту мысль.Это я к тому, что тоже так думаю. Интересно сравнить наши подходы.

Аватар пользователя boldachev

Виталий Андрияш, 22 Март, 2018 - 12:08, ссылка

а следующий логический вывод напрашивается сам собой, мужчина не человек. Что то вы меня тут запутали.

Не понял кто куда напрашивается. У меня вообще не было про вывод. Я просто анализировал два предложенных примера так как они даны.

вы выразились, теория лишь в идеале логическая система

 Любая теория в математике, в физике, в логике - это логическая система в строгом значении этого слова, то есть набор выражений полученных логическим выводом из аксиом. Но в неточных науках и в философии теориями называют и любые в некоторой степени целостные изложения концепций, которые трудно назвать логическими системами (хотя логичность изложения и подразумевается).

Итак, в точных науках, в логике и в математике теория - это логическая  система, а в других рациональных познавательных сферах (в неточных науках и философии) теории лишь претендуют на звание логических систем, но не являются ими в полной мере.

Аватар пользователя Виталий Андрияш

Болдачеву. Вы утверждаете что в науке теория это логическая система. А как вы относитесь к тому что Патанджали полторы тысячи лет назад, на ряду с логическим умозаключением,  ввел в гносеологию, понятие ментального конструирования. Это когда качества реальных объектов из различных классов, не имеющих между собой ничего общего, отвлечённо синтезируются и приписываются некому вымышленному объекту.  Простейший пример - избушка на курих ножках.  Более сложный, это космологическая сингулярность, в теории большого взрыва, которую я объяснял в предыдущем посте.

Вопрос,  как ментальное конструирование, по вашему мнению, вписывается структуру логических систем и можно ли после этого логические системы считать идеальными.

 

 

 

Аватар пользователя boldachev

как ментальное конструирование, по вашему мнению, вписывается структуру логических систем

Никак. 

Аватар пользователя Виталий Андрияш

Если я вас правильно понял, вы не считаете теорию большого взрыва теорией. Тогда что это.

Аватар пользователя boldachev

Метафизический концепт, гипотеза. Там же никакой теории и нет.

Да и как можно назвать рациональной, то есть теорией, логической системой, утверждение возникновения всего из ничего? 

Аватар пользователя Виталий Андрияш

Я с вами согласен. Но вот парадокс который я не могу объяснить. Так называемая теория большого взрыва подтверждается не только многими экперементальными астрономическими фактами, но экперементальными фактами полученными в ядерной физике. Поэтому многие учёные считают одной из самых удачных космологических  теорий в теоретической физике.

Аватар пользователя boldachev

Ничего странного. И геоцентрическая модель подтверждалась наблюдениями.

Были и другие гипотезы. Вот тут об одной рассказывал 

Аватар пользователя Виталий Андрияш

Давайте рассуждать дальше. Дифференциал и число  i в математике ментально сконструированы. Поэтому, по вашему утверждению, теории с их использованием к теориям не относятся. В таком случае от ее математики остаётся одна арифметика, от физики не остаётся ничего.

Аватар пользователя boldachev

Дифференциал и число  i в математике ментально сконструированы.

Я не очень понимаю, что такое  "ментально сконструированы". Можете перевести на нормальный язык? Ведь любая теоретическая деятельность - это деятельность в мышлении, то есть и есть ментальное конструирование. 

И уж точно любые аксиоматические элементы типа мнимой единицы или бесконечно малых - берутся с потолка. Тут главное не путать произвольность аксиом с произвольностью при построении системы.

Аватар пользователя Дмитрий Бояркин

boldachev, 21 Март, 2018 - 12:50, ссылка

.. И есть сомнение, что в ЛОГИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ - теорию входят все частные следствия. На то теория и есть теория, чтобы в ней не было эмпирических суждений. И поэтому доказательство смертности Сократа - это не логическая система.

Какие тут могут быть сомнения? - В Логическую Систему (ЛС) все частные следствия входить должны! - ВСЁ, что можно доказать логически из данной Теории - и образует ЛС данной теории. Только надо понимать, что частные данные, из которых потом получаются частные логические следствия, берутся вовсе не из эмпирических суждений, а просто так, совершенно произвольно, как некие начальные данные некоторой абстрактной задачи. Скажем, можно взять х=4, и посчитать результат подстановки этого частного значения "4" в аксиому некой Теории. Какое отношение имеет число "4" к реальному миру (эмпирическим суждениям)? - Абсолютно никакого! Впрочем, как и сами аксиомы какой-либо Теории. 

Разумеется, в теориях нет места для эмпирических суждений - они относятся к совершенно различным онтологическим областям. Говоря человеческим языком, - Теории и Факты существуют совершенно независимо друг от друга, и вообще не оказывают друг на друга никакого влияния. Вообще!

Теории могут быть абсолютно любыми. Самыми безумными. Вот пример одной из них:

  • С1) ВСЕ люди бессмертны. (это теория)
  • С2) Сократ - человек. (частный случай)
  • С3) Сократ бессмертен. (логическое следствие теории С1)

Данная Теория С1 строго логически доказывает, что Сократ бессмертен, и доказывает это с абсолютной точностью: достаточно подставить частное значение "Сократ" во всеобщую переменную "люди" в аксиому теории С1. Насколько утверждение согласуется с действительностью как для ЛОГИКИ, так и для ТЕОРИИ С1 - совершенно не имеет значения, - это точно такая же теория, как и А1 "Все люди смертны", у которой логическое следствие для того же частного значения "Сократ" является совершенно другим.

В данном случае утверждение "Сократ бессмертен" - и есть часть Логической Системы теории С1 ("ВСЕ люди бессмертны"). Аминь.

Аватар пользователя boldachev

ВСЁ, что можно доказать логически из данной Теории

Тут мы с вами уже разошлись: подстановка частных значений не является доказательством, то есть подстановкой значений в логическое выражение (теорему или аксиому) невозможно получить (вывести, доказать) другую теорему. В результате подстановки получаются примеры, а не новые теоремы. Вот такие могут быть сомнения. И это подтверждает весь мой опыт работы с различными теориями. Поэтому не вижу смысла обсуждать эту тему. Спасибо