В неком магазине 10000-му покупателю дают подарок. Для рекламного шоу ему не просто дают чек на некоторую сумму, а предлагают участвовать в беспроигрышной лотерее. Можно выбрать один из двух запечатанных конвертов с чеками на заранее не известную сумму. Про размер суммы известно только то, что одном конверте она в два раза больше чем другом. Покупатель делает выбор, теперь чек из конверта его. Чтобы продлить шоу устроители предлагают, если он пожелает, поменять то, что было в выбранном конверте на содержимое другого (еще закрытого) конверта. Стоит ли ему это делать?
Попробуем оценить это с точки зрения теорвера. Выгодно менять если матожидание суммы в закрытом конверте больше чем сумма в открытом. Считаем матожидание:
пусть сумма в открытом – S, тогда в закрытом либо S/2, либо Sx2; оба варианта равновероятны, поэтому матожидание = (1/2)x(S/2)+(1/2)x(Sx2) = Sx(5/4) > S. Следовательно, менять выгодно.
Но в сущности это же парадокс! Почему наилучшей стратегией будет сначала открыть один конверт, а потом поменять его на другой?
Спасибо за парадокс. Математическое ожидание говорит о том, что в случае выиграша мы выиграем больше, чем проиграем, т.е. как бы имеет смысл рискнуть. Но события равновероятны, и рисковать не имеет смысла.
Допустим, учредитель конкурса пишет на бумажке: орел - 2000 рублей, решка - 1000 рублей. Потом спрашивает участника: орел или решка. Тот отвечает: решка. Учредитель говорит: вы сделали выбор, но имеете шанс передумать. Участник: какая разница? Ну, орел. И выигрывает 2000. Хотя мог бы настоять и на решке.
(1/2)x(S/2)+(1/2)x(Sx2) = Sx(5/4) > S - бред )
во первых левую часть надо заменить на (1/2)x(S)+(1/2)x(Sx2) (или (1/2)x(S)+(1/2)x(S/2) )
а во вторых формула просто не имеет смысла )
Здесь задача решается как задача по оценке неизвестного параметра совокупности. В этом случае находится среднее взвешенное арифметическое (с учетом частоты) В данном случае, есть дискретный вариационный ряд, в котором возможность нахождения суммы в конверте в двое меньшей, чем в открытом конверте равна 0,5Х (х - сумма в открытом конверте) может быть проявлена - n1=1 раз и 2Х - сумма в два раза больше, чем в отрытом конверте, также может быть проявлена n2=1 раз.
Задача решается по формуле (0,5Х*n1+2Х*n2)/(n1+n2)=1,25Х (при n1 и n2 равными 1). Возможность получения более крупного выигрыша будет возрастать при количестве выборов.
Так, что формула, с точки зрения теории вероятности, имеет смысл.
смысла нет
-------------
предположим мы вынули 10 рублей
исходя из условий это значит что есть две функции распределения:
одна функция дает с 50% вероятностью 10 или 20
вторая функция дает с 50% вероятностью 10 или 5
и нет функции которая давала бы 20 и 5 :)
а значит (0,5Х*n1+2Х*n2)/(n1+n2) - бред
Для определенности - покупатель открывает конверт и видит в нем 1000р. Следовательно, в другом конверте 2000р. или 500р. Точно он не знает. Стоит ли ему менять 1000р. на содержимое закрытого конверта? Тут нужно выбрать стратегию. Стратегии могут быть разные. Например: мне всегда не везет, менять не буду. На звание научно обоснованной стратегии претендует такая: нужно менять, если матожидание выигрываемой суммы больше теряемой (1000р.). Вероятности обнаружить в закрытом конверте 2000 и 500 одинаковы и равны 1/2. Следовательно матожидание выигрыша 2000/2+500/2=1250р. Т.е. больше 1000р.
Парадокс в том, что при такой стратегии всегда нужно менять вне зависимости от суммы в открытом конверте. Т.е. получается, что первый конверт можно и не открывать! Но тогда зачем менять? Закрытые конверты ведь одинаковые.
Это говорит о том, что в случае выиграша мы выиграем больше, чем проиграем. Была 1000, можем, казалось бы, рискнуть 500 ради 2000, но события равновероятны! :) И поэтому нельзя сказать, выиграшная эта стратегия или проигрышная. Не то и не другое, или и то и другое. 50/50.
Теория вероятностей хороша там, где речь идет о действительной вероятности, например, "черт" Максвелла. В магазине при розыгрыше приза, вряд ли идет речь о вероятности. Приз, скорее всего должен быть "круглым". В моем представлении - 1000 - круглая сумма. Поэтому менять "денежку" я не буду. Речь идет о "психологии", точнее, об оценке совпадении моих представлений о сумме выигрыша и организаторов шоу. Открывая второй конверт, я для себя, должен решить вопрос: готов ли я проиграть и буду ли рад любому выигрышу. Теория вероятностей, в данном случае, негодный советчик.
я посчитал ..не обижайтесь но это немножечко бред)))
Обожаю парадоксы, собственно, это одна из причин, по которой я здесь бываю. И настоящий парадокс - это большая находка. В рассматриваемом случае никакого парадокса увы нет, а есть логическая ошибка, связанная с подменой понятий. А именно подменено понятие выигрыша. После того, как мы вскрыли первый конверт у нас на руках оказывается сумма S, которую надо НЕ ЗАБЫТЬ ВЫЧЕСТЬ в дальнейшем. Следовательно, средний выигрыш после вскрытия второго конверта ожидается вот таким:
(S/2-S)x(1/2)+(2S-S)x(1/2)=0,
а вовсе не таким
(S/2-0)x(1/2)+(2S-0)x(1/2)=(5/4)S.
Что означает, что в надежде урвать побольше второй конверт вскрывать абсолютно бесполезно. Только из любопытства.
…на сайте Чалмерса (D.Chalmers).
Ну, во-первых, в этой измененной формуле речь идет уже о прибыли, а не о выигрыше. И потом, (S/2-S)x(1/2)+(2S-S)x(1/2) равно не нулю, а S/4. Алгебра, однако!
Совершенно с вами согласен. В моем предыдущем посте все написанное - полный бред. Действительно, согласно ЛОГИКЕ в такой лотерее участник должен вскрывать оба конверта. Вскрывая первый конверт, он получает некую сумму S и оценивает средний выигрыш, который он получит, вскрыв второй конверт. Видит, что эта сумма ожидаемого выигрыша (5/4)S превосходит ту, что у него на руках и вскрывает второй конверт. При этом, со стороны видится иная картина. Участник вскрывает сначала один конверт, потом другой, и в любом случае довольствуется суммой, находящейся во втором конверте. Полный абзац! Неужели так работает суета-сует?