Формализация логического закона достаточного основания

Аватар пользователя Кормин Михаил
Систематизация и связи
Основания философии
Логика
Ссылка на философа, ученого, которому посвящена запись: 

30 мая 2020 года во время диалектического обсуждения методологии статьи в разделе Александра Леонидовича Бурылова (Пермского) (Кормин Михаил, 30 Май, 2020 - 20:51, ссылка) совершенно случайно мне пришло в голову как формализовать правило достаточного основания логики высказываний.  Правило впервые было сформулировано Лейбницем.

«…ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым, — без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе, хотя эти основания в большинстве случаев вовсе не могут быть нам известны»

— Лейбниц, «Монадология»

Правило достаточного основания, несмотря на то, что стоит в одном ряду с таким основополагающими законами логики, как закон тождества, закон исключенного третьего,  закон запрещенного противоречия до сих пор не формализовано. Оно дополняет основную триаду логических законов, опираясь только на основания здравого смысла. Формализация в состоянии превратить этот, безусловно полезный принцип теоретического мышления, в полноценный логический закон. Вопросов как назвать новый формализованный закон логики у меня не возникло. Как автор формализации, я называю его «Формализованный Закон Достаточного Основания Лейбница». Формализация опирается на общепринятый символьный аппарат формальной логики и таблицы истинности. Никаких изменений в существующий матаппарат не вносится.

Формализация правила достаточного основания.

Начнем с единственной аксиомы на которую будет опираться Формализованный Закон Достаточного Основания Лейбница.

 

Импликация истинна тогда и только тогда, когда посылка включена в следствие. 

 

В качестве доказательства аксиомы возьмем таблицу истинности импликации. В соответствии с общепринятыми стандартами математической логики когда истинно принимается 1, а лож принимается 0, можно использовать графическое представление полного соответствия таблицы истинности импликации аксиоме.

таблица истинности импликации

Во всех трех случаях когда импликация истинна, посылка включена в следствие. В единственном случае когда импликация ложна следствие включено в посылку. 

 

Графическое представления я буду использовать и дальше, для того, чтобы показать в чем коренное различие Логического Квадрата Аристотеля, от логики эквивалентности, на которую опирается закон достаточного основания Лейбница.

Логический квадрат Аристотеля

 

Логический квадрат Аристотеля учитывает все возможные варианты Логики предикатов первого уровня. Множество субъектов S может как обладать свойством P, так и не обладать им. В том числе учитывается, что часть субъектов S может обладать свойством, а другая часть им не обладать. Недостаток логического квадрата в том, что все множество свойств, которые после последовательных итераций можно выявить у постоянно уменьшающегося множества субъектов оказываются предикатами первого уровня.

Вложение свойств друг в друга (категории) не предусмотрено логическим квадратом Аристотеля, поскольку отрицание множества субъектов нарушает фундаментальный закон логики «Закон Тождества». Для вложения свойств друг в друга в мат аппарате формальной логики используется логика предикатов высших порядков.

Графическое изображения квадрата вложения свойств друг в друга отличается от Логического квадрата Аристотеля поскольку запрет на отрицание субъекта снимается переходом на второй уровень вложения свойств. Само множество субъектов обозначаемое в символьных записях (s) не отрицается, и соответственно закон тождества не нарушен. А вот свойства могут отрицаться в независимости от уровня вложения, без разницы первого или второго.

Я называю этот квадрат логикой эквивалентности поскольку в сумма контрарных отношений квадрата составляет запись эквивалентности свойств. Но по сути, этот квадрат можно смело назвать логическим квадратом Платона, поскольку он полностью соответствует тому, что утверждал Платон под наукой «Философия».

 "Моя теория содержит "идеи", или "форм". Эта теория является частично логической, и частично метафизической. Логическая часть имеет дело со значением общих слов. Когда ряд индивидов имеет общее название, они имеют также общую "идею" или "форму". Например, имеется много отдельных животных, о которых мы можем точно сказать: "Это кошка", но существует лишь одна "идея", или "форма", кошки. Что мы подразумеваем под словом "кошка"? Очевидно, нечто отличное от каждой отдельной кошки. По-видимому, какое-либо животное является кошкой потому, что оно разделяет общую природу, свойственную всем кошкам. Язык не может обойтись без таких общих слов, как "кошка", и такие слова, очевидно, не являются бессмысленными. Но если слово "кошка" означает что-либо, то оно означает что-то, не являющееся той или этой кошкой, а представляющее собой нечто в роде универсальной кошачности. Она не родилась, когда родилась отдельная кошка, и не умрет вместе со смертью отдельной кошки. На самом деле она не имеет места в пространстве или времени: она "вечна". Это логическая часть теории. Аргументы в ее пользу, независимо от того, являются они, в конце концов, безусловно верными или нет, сильны и совершенно независимы от метафизической части этой теории. Согласно метафизической части этой теории, слово "кошка" означает некоторую идеальную кошку. Об этой одной "кошке", созданной Богом, и единственную в своем роде, возможно знание. Отдельные кошки разделяют природу Кошки, но более или менее несовершенно, являясь лишь копиями "идеи". Только благодаря этому несовершенству может быть много кошек. Идеальная Кошка реальна: отдельные кошки являются лишь кажущимися, и в отношении многих кошек, сделанных Богом, может быть лишь мнение. Я признав идею первопричиной всего сущего, определяю и основную задачу философии, и предмет науки как познание мира идей, которое возможно лишь посредством диалектического процесса мышления как процесса образования и разделения понятий, и выявление их совместимости (или несовместимости) с предметным миром." Платон

 

Платон отделяет чтойность Р от множества субъектов (s) и тем самым снимает запрет на отрицание субъекта наложенный фундаментальным законом Тождества. Это дает возможность итерационно плести из предикатов первого уровня семантические цепи какого угодно уровня вложений. Пирамида категорий может быть бесконечной, но для отдельной итерации всегда используется один и тот же логический квадрат.

Логический квадрат Платона имеет четыре агрегатных состояния в соответствии с двумя горизонтальными и двумя вертикальными делениями.

1) Эквивалентность свойств.

Логический квадрат Платона. Эквивалентность.

2) Не связанность свойств.

Логический квадрат Платона. Не связанность свойств

3) Видовой признак.

Логический квадрат Платона. Видовой признак.

4) Родовой признак.

Логический квадрат Платона. Родовой признак

Контрадикторные отношения в  логическом квадрате Платона, в точности так же как и в логическом квадрате Аристотеля предполагают смену квантора. Взаиморасположение логического квадрата Аристотеля и логического квадрата Платона можно показать на графическом изображении логической звезды. 

Логическая звезда

В качестве контрарных отношений квадрата эквивалентности (красный квадрат) выступают импликация и репликация. И в том и в другом случае под квантором общности нет необходимости привлекать логическую операцию отрицания. 

 

В случае, если будет заранее известно, что понятия, скрывающиеся под переменными связаны родовым, либо видовым признаком, то достаточно выявить истинное высказывание под квантором общности, чтобы его пара в контрарных отношениях без вариантов оказалась ложной.

Отсечь состояния №1 и №2. горизонтального деления логического квадрата Платона на истинную и ложную часть нам поможет аксиома подтвержденная таблицей истинности импликации.

Импликация истинна тогда и только тогда, когда посылка включена в следствие. 

Аксиома в трех из четырех случаев подтверждает что посылка и следствие связанны и неэквивалентны. Единственным пограничным случаем, когда ложная посылка вложена (либо эквивалентна) в ложное следствие можно пренебречь из соображения здравого смысла.

Поскольку формальные записи мат аппарата логики высказываний практически не отличаются от мат аппарата логики предикатов за исключением обязательного отображения кванторов, и обозначения переменных не строчными а прописными буквами, будем считать, что само наличие операции импликации либо репликации уже считается введением квантора общности.

 

В случае, когда аксиома, отсекает горизонтальное деление квадрата эквивалентности остается только вертикальное деление. Истинность правой части квадрата, означает ложность левой части квадрата и наоборот. Это аналог контрадикторного противоречия, но уже записи контрарных отношений несовместимы ни по лжи, ни по истине, без перемены квантора. Это дает возможность отобразить формализованный закон достаточного основания Лейбница в форме закона исключенного третьего и  запрещенного противоречия.

 (S -> P) v (S <- P) = 1

 (S -> P) ˄ (S <- P) = 0

 

С чисто формальной точки зрения, формализованный закон достаточного основания Лейбница – аналог трехзначной математической логики (истинно, лож, не определено). Но вместо значения «не определено», используется значение «не рассматривается», поскольку, не рассматриваемые варианты не неопределены, а отсечены аксиомой.

Сравнительный анализ раскрытия законов исключенного третьего и непротиворечия через логический квадрат Аристотеля, и формализованный закон достаточного основания Лейбница представлены в следующей презентации.

закон достаточного основания.

Формализованный закон достаточного основания Лейбница, в отличии от логического квадрата Аристотеля, позволяет работать с абстрактными конструкциями любой степени вложения. Это не означает, что привязка к квантору существования не нужна. Это означает, что теория  может в любой момент спустится с любого горизонта абстракции и свериться с фактами чувственного восприятия. Квадрат логики эквивалентности располагает такой возможностью, она просто не рассматривается без насущной необходимости.

Образным языком, это корабль снабженный компасом, который следует заданному направлению в открытом море, в отличии от корабля без компаса, который вынужден идти вдоль берега сверяя курс по береговой линии.

Применимость Формализованного Закона Достаточного Основания

Формализованный закон достаточного основания Лейбница однозначно выявляет обоснованность, истинность и ложность речевых оборотов: потому что, следовательно, если….то, и других аналогов использования операций импликации и репликации в рассуждениях, тремя способами.

Истинно

Ложно

Не обоснованно

Обоснование применения логической операции репликации, одновременно является обоснованием логической операции импликации и наоборот.

 

Не имеет значения разговорная это речь здесь и сейчас, или текст любой давности.

 

Практическое применение формализованного закона достаточного основания Лейбница.

 

Если взять два высказывания не различая изначально которое из них посылка, а которое следствие то истинное следствие согласно аксиоме «Импликация истинна тогда и только тогда, когда посылка включена в следствие»  можно вычислить по вложению в него посылки. 

Например "ветер дует" "деревья качаются" 

Если не только ветер, но и я могу покачать дерево. Значит "деревья качаются" следствие. В "деревья качаются" кроме ветра включены и другие сторонние силы способные их покачать. 

В соответствии с формализованным законом достаточного основания мы вправе утверждать. 

Деревья качаются, потому что ветер дует  (истинно)

Ветер дует, потому что деревья качаются (ложно)

Применение речевого оборота «потому, что» обоснованно.

В качестве практики применения разберем примеры приведенные в википедии к неформализованному правилу достаточного основания.

 1)Это вещество является электропроводным, потому что оно — металл.

Это по сути логика предикатов, поскольку посылка и следствие представлены понятиями, но не высказываниями.

Хорошим проводником электричества кроме металлов является вода. Не только металл, но и вода проводит электричество. Электропроводность – следствие. Металл - посылка.

Электропроводен, потому что металл – истинно.

Металл, потому что электропроводен – ложно.

Применение речевого оборота «потому что» обоснованно.

 

В данном примере использована логическая операция репликации. В случае если использовать логическую операцию импликации суждение будет выглядеть следующим образом.

Если металл, то электропроводен – истинно

Если электропроводен, то металл – ложно.

Металл, следовательно электропроводен – истинно

Электропроводен, следовательно металл – ложно

 

Поскольку формализованный закон достаточного основания Лейбница аналог трехзначной логики я не могу сказать однозначно ДРУГИХ ВАРИАНТОВ НЕТ.

Если эта причинно-следственная связь является узловым элементом теории необходимо свериться с фактами. Нашли научные сотрудники неэлектропроводные металлы, или нет. Если нашли, то понятия электропроводность, и металл более не рассматриваются в рамках формализованного закона достаточного основания Лейбница. Это уже не связанные понятия, которые отсекаются аксиомой. Соответственно применение речевых оборотов заменяющих операции импликации и репликации становится необоснованным.

 

2) «Не ставьте мне двойку, спросите ещё, я же прочитал весь учебник (основание), что-нибудь уж точно отвечу (тезис)»

Этот пример нужно привести в форму импликации, либо репликации. По смыслу больше подходит репликация.

«Не ставьте мне двойку, спросите ещё, что-нибудь уж точно отвечу, потому что я прочитал весь учебник». 

 

Посылка и следствие не вкладываются друг в друга. Это несвязанные высказывания. Можно прочитать весь учебник, но ничего не ответить, а можно что-нибудь ответить, не читая учебник. Связки высказываний посредством импликации и либо репликации не обоснованы.

Применение речевого оборота «потому что» не обоснованно.

 

«Преступление совершил Н. (тезис), ведь он сам признался в этом и подписал все показания (основание)»

 

Приводим в форму репликации.

«Преступление совершил Н. , потому что он сам признался в этом и подписал все показания»

Пример аналогичен предыдущему. Можно совершить преступление, но не сознаться в этом, а можно не совершать преступление, но сознаться. Высказывания не связанны между собой. Применение операции импликации, либо репликации необоснованно.

Применение речевого оборота «потому что» не обоснованно.

 

То, что мне приходится приводить примеры из википедии к формальной базе нисколько не говорит о ущербности формализованного закона достаточного основания Лейбница, просто эти примеры искусственны. Связка импликации и репликации, основные связки мыслительного аппарата любого человека. По поводу каждого случая применения такой связки в опубликованном тексте можно вынести однозначный формальный вердикт. Обоснована она, или не обоснована, истинна или ложна.

Каждый раз, когда причинно-следственная связь, укоренившаяся в мировоззрении теряет свой статус истинности человеку немножечко больно. Неважно, обретает эта связь статус ложной, или необоснованной. Думайте об этом, когда применяете этот закон на практике.

Данная публикация не требует одобрения ни одного ученого совета любой Академии наук, поскольку в доказательствах применяются символьные записи и таблицы истинности, действенные во всех возможных мирах. Я выбрал ФШ в качестве резервации авторского права на формализацию «Формализованного закона достаточного основания Лейбница» только потому, что он был открыт именно на этой площадке. ФШ специализированный ресурс, который открывался для обсуждения актуальных философских вопросов, а не как ресурс для людей, которым не с кем поговорить. От комментариев с критикой самой формализации я жду сопровождения символьными записями, либо графическими материалами.

 

Вот таких результатов можно достичь, если не доказывать свою правоту с пеной у рта, а помогать другу развивать собственное мировоззрение посредством диалектической дискуссии.