В целях формулировки само собой возникающих эпатажных следствий из планиметрии Лобачевского, необходимо повторить его так называемые "теоремы", собранные воедино широко известным автором классического учебника геометрии [1,c.48], и дать соответствующие комментарии к ним. Вот как совершенно верно характеризует А.П. Киселев [1, с.47] основное отличие базиса геометрии Лобачевского от геометрии Евклида: "... в основание /планиметрии Лобачевского/ положены те же геометрические аксиомы, на которых основана геометрия Евклида, за исключением только его постулата параллельных линий, вместо которого Лобачевский взял следующее допущение: через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной...". Подчеркнем, что речь везде идет о плоскостной геометрии /планиметрии/. Ниже следуют упомянутые планиметрические "теоремы" "воображаемой геометрии", как ее поначалу совершенно справедливо назвал сам ее автор, Н.И. Лобачевский. После каждой такой "теоремы" пишущий эти строки формулирует следствия, неизбежно возникающие, если мысленно воспроизвести геометрические образы каждой такой "теоремы", нисколько не противореча геометрической логике Лобачевского. Итак.

Теорема 1. "Два перпендикуляра к одной и той же прямой, по мере удаления от этой прямой, расходятся неограниченно". Из "теоремы" 1 с неотвратимой логикой вырисовывается по крайней мере одно из следующих следствий: 1а: К любой прямой возможно по одну от ее сторон провести две такие, и только такие, прямые линии, которые будут отклонены друг от друга на угол больше 90̊ каждая; или иначе 1б: Перпендикуляр к прямой, тотчас по мере удаления от нее постепенно превращается в кривую линию, удаляющуюся в сторону от соседнего такого же "искривляющегося перпендикуляра"; или иначе 1в: Предполагаются перпендикуляры не к прямой, а к дуге окружности.

Теорема 2. "Сумма углов плоского, выпуклого треугольника меньше 2d (180̊ ), причем эта сумма не есть величина постоянная для различных треугольников, чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов разница от 2d /в сторону уменьшения/". "Теорема" 2 неизбежно завершается одним из двух следствий: 2а: При неограниченном увеличении площади плоского, выпуклого треугольника сумма его внутренних углов неограниченно приближается к 0˚; либо 2б: При неограниченном увеличении площади плоского, выпуклого треугольника сумма его внутренних углов неограниченно приближается к 90˚. В случае 2а наглядным примером такой трансмутации треугольника может служить законченное стягивание треугольника в бесконечно длинную прямую линию, когда его основание становится равным ∞, а высота - равной 0. Но, во-первых, такая трансмутация означает отрицание /исчезновение/ треугольника, то есть отсутствие предмета обсуждения; во-вторых, получается тупиковая для математики неопределенность S∆ = 0,5*0*∞. В случае 2б наглядным примером может служить трансмутация прямоугольного треугольника, когда один из его катетов является отрезком прямой, а другой является бесконечнодлинным перпендикуляром, восстановленным из конца этого отрезка. Но такая фигура в пределе вырождается в прямой угол, один из лучей которого равен ∞, то есть опять получается отрицание предмета обсуждения. Комментарий: Кто, где, когда и как удостоверился в справедливости "теоремы" 2 (?!) Все проводившиеся исследования с применением теодолитов и лазерных дальномеров указывали на ошибочность "теоремы" 2.

Теорема 3. "Если в выпуклом, плоском четырехугольнике три угла прямые, то четвертый угол острый". Следствие 3а из "теоремы" 3: "В плоскостной геометрии Лобачевского прямоугольники, в частности, квадраты невозможны". Следствие 3б: "В стереометрии, опирающейся на геометрию Лобачевского, прямые параллелепипеды и кубы невозможны". Комментарий: лобачевская "теорема" 3 явно противоречит его "теореме" 1. В реальности самые точные современные технологические операции опровергают "теорему" 3.

Теорема 4. "Если углы одного плоского треугольника соответственно равны углам другого плоского треугольника, то такие треугольники равны". Комментарий: Лобачевская "теорема" 4 должна быть привлекательна для разного рода эрудированных дельцов и мошенников по части земельных наделов; по части торговли мануфактурой, по ювелирной части и т.п. Многие из них при случае постараются убедить простодушного заказчика, что согласно теореме 4 общеизвестной геометрии гениального Лобачевского имеем:

• Следствие 4а: "Величина параллелограмма определяется его накрест лежащими углами";
• Следствие 4б: "Величина ромба определяется его накрест лежащими углами";
• Следствие 4в: "Величина трапеции определяется ее углами при основании";
• Следствие 4г: "Величина n-мерного многоугольника определяется образующими его углами" - любой адвокат, - пояснят эти аферисты, - знакомый с книгой академика Яши Успенского "Введение в неевклидову геометрию Лобачевского-Болиаи", издательство "Сеятель" Е.В. Высоцкого - Петроград, 1922 года, подтвердит это..."

Со своей стороны, обобщая "теорему" 4, добавлю: Геометрия Лобачевского не признает подобия геометрических фигур: окружностей разного диаметра; эллипсов разных полуосей при одинаковых эксцентриситетах; шаров разного диаметра; правильных конусов с разными высотами и диаметрами оснований при одинаковых отношениях этих характеристик и т.п. Комментарий: Поскольку аксиоматичен факт неравенства фигур, называемых в геометрии Евклида подобными, любопытно было бы знать, каким термином характеризуют апологеты геометрии Лобачевского взаимосвязь между такими фигурами?!

Теорема 5. "Геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от какой-нибудь прямой этой плоскости, есть некоторая кривая линия".

• Следствие 5а: "Перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки на прямую, не является единственным кратчайшим расстоянием от этой точки до прямой"; либо
• Следствие 5б: "Прямые линии, равноотстоящие от какой-либо прямой и образующие с ней прямые углы, не являются равновеликими".
• Следствие 5в: "Кривая линия, которую предполагает "теорема" 5 по существу этой теоремы, если учесть еще "теорему" 1, должна представлять собой выпуклую линию (дугу), концы которой в пределе замыкаются с бесконечнодлинной "базовой" прямой.

Другими словами, если в поле нашего зрения еще может находиться какая-то часть бесконечнодлинной "базовой" прямой, то замыкающая ее дуга никоим образом не может быть визуализирована, ибо радиус кривизны такой дуги равен ∞. Геометрия Евклида, в отличие от таковой Лобачевского, совершенно точно (правомерно) переводится как "землемерие", ибо ориентирована на реализуемые построения, о чем свидетельствуют все ее постулаты. В самом деле, для чего утверждать реальность построений, которые осуществить в принципе невозможно?! А ведь в этом - вся ущербность логики "геометрии" Лобачевского.

Общие комментарии к "геометрии" Лобачевского

1. Некоторые сторонники "геометрии" Лобачевского, считающие себя знатоками астрономии, уверяют, что эта "геометрия", кажущаяся нереальной для практических построений на Земле, вполне удовлетворительно подтверждается астрономическими наблюдениями. На эти астрометрические инсинуации видится такой теоретически и экспериментально обоснованный ответ. Пятый "постулат" Евклида, равно как и соответствующий антиевклидов постулат Лобачевского, относятся только к прямым линиям на плоскости. Но любые лучи света от звезд, представляющие собой потоки фотонов (материальных квантов света), являют собой движение фотонов по спиралевидным траекториям, а отнюдь не по прямым геометрическим линиям, не имеющим толщины. Даже лазерные лучи, строго говоря, нельзя считать геометрическими прямыми линиями. Более того, по причине переменной вязкости "космического вакуума", который преодолевают на своем пути от звезды до Земли эти фотонные "спиральки", они сами постоянно искривляются. О какой же прямолинейной астрометрии Лобачевского можно говорить, учитывая эти факты?! В довершение всего: точность инструментальных астрономических наблюдений нередко не превышает 50%, то есть это подобно гаданию цыганских гадалок - цена высокая, а предсказания сомнительны.

2. "Теоремы" 1, 2 и 5 "геометрии" Лобачевского предлагают геометрам в конечном счете оперировать с бесконечностями, а это всегда было и остается тупиком в прикладной математике.

3. "Теорема" 1, наряду с "теоремой" 5 делают фривольными такие очевидные, однозначные понятия, как "кратчайшее расстояние в планиметрии", "перпендикуляр, опущенные из точки на прямую", "перпендикуляр, восстановленный из прямой к данной точке", "прямой угол", "равенство отрезков прямой" и т.п.

4. В моих брошюрах 2 и 3 сформулированы и доказаны несколько теорем /без привлечения какого-либо представления о параллельности/, каждая из которых переводит 5-ый постулат Евклида в формулировке Джона Плейфера в разряд строго доказуемых геометрических истин. Формулировка 5-го постулата Евклида, данная Джоном Плейфером в 1795 году: "Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой".

Литература

1. Киселев А.П. Элементарная геометрия /книга для учителя/, М., "Просвещение", АО "Учебная литература", 1996

2. Чулков Л.Е. Геометрические аксиомы и геометрические казуистики, Международный союз общественных объединений "Всемирный фонд планеты Земля", М., 2001

3. Чулков Л.Е. Неевклидовы концепции в геометрии и альтернативная им теорема Прокла-Даламбера, Международный союз общественных объединений "Всемирный фонд планеты Земля", М., 2002.