Парадокс двух конвертов и основания теории вероятностей
Парадокс двух конвертов играет с самими основаниями теории вероятностей, наглядно демонстрируя опасность использования усреднённых (частотных) вероятностей при вычислении матожиданий случайных величин.
Формулировка
Имеются два конверта, в которых находятся две суммы денег, причём в одном из конвертов сумма отличается от суммы в другом конверте ровно в два раза. Внешне конверты совершенно идентичны. Можно выбрать любой конверт и посчитать в нём деньги. После подсчёта предлагается сделать выбор — взять выбранный конверт или другой, в надежде получить большую сумму. В разных розыгрышах в конвертах находятся разные непредсказыемые суммы.
Из соображений симметрии вполне логично считать замену бессмысленной.
Но далее следует такое парадоксальное рассуждение:
Предположим, что мы увидели в одном из конвертов x рублей. Тогда в другом может быть 0,5x или 2x руб. Таким образом, считая что в другом конверте равновероятно находится либо 0,5x, либо 2x, определяем средний выигрыш на тот случай, если мы возьмём другой конверт: (0,5x+2x)/2=1,25x рублей (соответственно, разумнее выбирать именно его, хотя мы и не знаем, больше там денег или меньше) .
Соответственно, нам предстоит либо опровергнуть последнее рассуждение (найти "липу"), либо примирить с ним здравый смысл (развеять иллюзию симметрии).
Если кто-то ещё не сталкивался, условие и различные подходы решения здесь:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_двух_конвертах
http://burykind.blogspot.com/2010/09/blog-post.html
Сразу после совершения игроком выбора одного из конвертов вероятности удачно/неудачно обменять конверт принимают значения нуля и единицы (ведь оставшийся конверт только один - ЛИБО больший, ЛИБО меньший). В каком порядке - 0 и 1, или 1 и 0 - мы не знаем, но наше НЕзнание объективных (в смысле априорных) вероятностей их не отменяет, также как не отменяет и объективную СВЯЗЬ этих вероятностей с размером получаемой суммы, заложенную в самом условии задачи (нулевые вероятности удачного обмена для вдвое больших сумм, и единичные для вдвое меньших).
Любые другие вероятности удачного/неудачного обмена, которые рассматриваются в парадоксальном рассуждении (1/2 и 1/2) и в различных попытках решения, - суть не что иное, как разнообразные усреднения исходных (априорных) нулей и единиц. 1/2 и 1/2 из парадоксального рассуждения - это усреднение априорных нуля и единицы для одного розыгрыша в целом по двум равновероятным выборам игрока, условная вероятность по размеру конкретной суммы из наиболее популярной в сети попытки решения - усреднение априорных нулей и единиц по всем возможным выборам игрока во всех возможных розыгрышах, при которых в конверте оказывается данная сумма.
И в обоих случаях постольку, поскольку наличествует СВЯЗЬ между размером суммы и вероятностью её удачного обмена (бОльшая вероятность для мЕньших сумм и мЕньшая для бОльших), постольку же и вычисление матожидания с использыванием этих усреднённых вероятностей - бессмыслица. Именно это использование усреднённых вероятностей при наличии информационной связи между различными значениями случайной величины и априорными вероятностями этих значений и приводит к парадоксу!
Таким образом парадокс двух конвертов играет с самими основаниями теории вероятностей, наглядно демонстрируя опаснонсть использования усреднённых (частотных) вероятностей при вычислении матожидания случайных величин. При таком использовании должна явно формулироваться хотябы гипотеза отсутствия информационной связи между значениями величины и самими их вероятностями.
- BurykinD
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Эта тема уже была на ФШ: http://philosophystorm.ru/korvin/1391
Прокомментирую чуть позднее.
Спасибо! С Вашей темой знаком. Но, мне кажется, на окончательное решегие обсуждение там так и не вышло. Самое большое продвижение за последнее время, по-моему, случилось здесь: http://my-tribune.blogspot.com/2010/06/blog-post.html
Несколько обрывочных мыслей:
1. Если бы варианты 2x и ? x во втором конверте не зависимо от x были бы равновероятны, то правильно менять конверты. Но в том то и дело, что не будут они равновероятны при любом разумном распределении x.
2. В обычных вероятностных моделях любой случайный (не детерминированный) параметр должен иметь статистически-устойчивое распределение.
3. Если есть два возможных исхода о вероятности которых нам ничего не известно, то мы не вправе считать их равно вероятными, потому что это означало бы знание на основе незнания.
Вообще я начал тему 2-х конвертов, потому что остался не удовлетворенным обсуждением темы парадокса неожиданной казни. Там вопрос упирается в то, что такое знание. И была надежда увидеть это знание так сказать в числовом виде в вероятностных моделях. Или увидеть, почему его нельзя увидеть.
Конкретных значений условных вероятностей по X (размеру суммы) мы не знаем точно также, как и конкретных значений условных вероятностей (ноль или единица) по условию первого выбора игрока. Зачем вообще вспоминать про равно-неизвестную, но при этом куда более "неточную" условную вероятность?
Предполагаю, что это переформулированное утверждение о несуществовании равновозможного выбора на бесконечности, обосновываемое невозможностью его математического моднлирования. Кстати, это идеальная тема для топика именно на философском форуме!
Утверждение справедливое, но к проблеме конвертов отношения не имеющее: 1/2 и 1/2 получаются строго теоретически по формуле плной вероятности.
На мой взгляд - это самая Высокая Цель на свете. Но на пути к ней может понадобиться не один топик. И не только по основаниям теории вероятностей, но и по основаниям теории информации. А в данном случае мы имеем весьма нетривиальный случай: мы не имеем точного знания более определённой вероятности (если бы мы его имели, то работа с менее определённой была бы бессмысленной очевидно), но некоторая неполная информация всё же имеется, и её тоже оказывается достаточно для "ограничения в правах" единственной достоверно известной.
Разумеется, бессмысленно выбирать сначала один конверт, а потом менять его на другой, рассчитывая, что это увеличит выигрыш (в среднем) на 0,25 от суммы х. Чтобы уточнить ситуацию, нужно отдавать себе отчет в том, что это некоторое лицо А, после того, как оно взяло первый конверт, делает описанное рассуждение:
А наша задача, значит, заключается в том, чтобы уяснить (или объяснить), почему это рассуждение лица А на самом деле несостоятельно, и никакого реального выигрыша от замены конвертов быть не может.
В основе такого объяснения должно лежать то обстоятельство, что всё должно основываться на исходном пространстве событий (до выбора первого конверта), а то пространство, которое строится после выбора первого конвнрта, уже не является независимым, и это должно учитываться подобно тому, как это делалось в отношении освобождения Эйба, Бена и Криса в сочинении ВЕРОЯТНОСТЬ на странице 39 книги
http://vekordija.narod.ru/R-VIEWS.PDF
Замечательный разбор про Эйба, Бена и Криса. Эта задача часто упоминается в связи с конвертами (чаще, правда, под именем парадокса Монти-Холла). Но, почему-то, у многих из тех, кто не испытывает проблем с заключёнными и козами, в случае с конвертами трудностей - хоть отбавляй. Отстаивать само рассуждение из условия никто, правда, не пытается, но зато почти все склонны требовать "математически корректных распределений" сумм по конвертам, чтобы можно было работать с условными вероятностями по размеру суммы и т.п.
Абсолютно согласен с вашим тезисом о том, что любая "объективная" вероятность отражает лишь тот или иной уровень неосведомлённости субъекта. Но о том, что будучи однажды задан в условии этот уровень неосведомлённости (уровень детализации) не должен меняться в процессе решения - постоянно приходится напоминать. Причём - безуспешно.
И при этом больше всего удручает не непонимание, а полнейшая непроработанность понятийного аппарата. Каждый раз разговор ведётся буквально на пальцах!!!
Это бич всех дискуссий, особенно в Интернете, но не только.
Мне кажется, тут виноваты не столько дискутирующие стороны, сколько непроработанность самих оснований темы. По-моему, неплох это отражено здесь: ОБОСНОВАНИЕ И ПРОБЛЕМА ВЫБОРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ещё: парадоксальность конвертов в том-то и состоит, что 1/2 для вычислений матожидания получается в строгом соответствии с теоремой Байеса:
1/2*1 + 1/2*0 = 1/2
Вот вам, казалось бы, и полная вероятность удачного обмена в исходном пространстве событий. НО В ДАННОМ СЛУЧАЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТОЖИДАНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ЕЁ НЕЛЬЗЯ!!!
Какая может быть объективная связь между вероятностью и размером получаемой суммы??? Если я меняю сумму в конверте, то вероятность у меня увеличивается (уменьшается), так что ли? :)
Есть два конверта, выбираем один из двух. Наверное, говорить о выигрышной стратегии можно тогда, когда вероятность выигрыша больше, чем вероятность проигрыша. Здесь же события равновероятны - 1/2. Зная эти вероятности мы рассчитываем мат. ожидание: 0,5x*1/2+2x*1/2=1,25x. Величина мат. ожидания есть среднее арифметическое возможных сумм в конверте, которое ничего не говорит о выигрышности стратегии. Что мат. ожидание может сказать о вероятности, если оно рассчитывается на основании вероятности? Детская задача, что ж так клинит-то народ? :)
Связь - следующая: меньшую сумму мы выгодно обмениваем с вероятностью "единица", бОльшую - с вероятностью "ноль".
Утешительный самообман:) Говорит, и ещё как говорит (если корректно посчитано).
А по-конкретнее? ;)
Поконкретнее - если мы будем придерживаться стратегии с наибольшим матожиданием M, то в конце концов и получиим (при достаточно большом числе N розыгрышей) N*M. Если же мы будем придерживаться стратегии с меньшим матожиданием L, то в конце концов и получим N*L.
Вы проводили ипытания? На основании чего сделан такой вывод?
Аналогичная ситуация: я получаю некоторую сумму, потом мне предлагают подбросить монетку - если выпадет орел, получаю сумму вдвое больше, если решка - вдвое меньше. Вероятность - 1/2.
В том-то и дело, что это - другая задача. Здесь действительно одновременно присутствуют два альтернативных конверта. В исходной же задаче перед нами только один конверт, другой (альтернативный) - в воображении. И если бы в реале был тот, воображаемый конверт, то и цена игры (сумма в выбранном конверте) была бы другой.
Мистика какая-то. Вы зациклились на мелочах и совершенно не понимаете сущности задачи. А задача проста как день. Просто надо дать себе время отдохнуть от размышлений, расслабиться, и решение само придет. Вы взгляните на задачу простыми глазами. Вы и вправду уверены, что при большем мат. ожидании выигрыш наиболее вероятен? Вы на практике задачу не проверяли? Проведите эксперимент. Мат. ожидание 1,25х - это среднее между 0,5х и 2х. Каким же образом средний выигрыш Вам дает гарантию выбрать именно большую сумму, а не меньшую?
Естественно, матожидание на вероятности не влияет - это просто произведение значения величины на его вероятность. Но если вам предложат кинуть монетку и с вероятностью 1/2 выиграть 100 р. ИЛИ кинуть игральную кость и с вероятностью 1/6 выиграть 1 000 000 р., то какую из игр вы предпочтёте??
Можно рискнуть и кинуть игральную кость - шансов мало, но выигрыш большой.
В исходной задаче это не имеет никакого значения. Вспомните парадокс Монти Холла. Поскольку там три двери, то вам как будто дают второй шанс. В нашей же задаче нам никакого второго шанса не дают, мы как будто заново делаем выбор, и понимание того, что в случае выигрыша мы выиграем больше, чем сможем проиграть, никак не увеличивает наши шансы.
Вот вы и приняли решение, исходя из большего матожидания :)
Как такое может быть, если это понимание адекватно реальности?
В парадоксальном рассуждении, безусловно, есть слабое звено. Но не здесь.
:) Не из мат. ожидания, а из возможного выигрыша. При чем тут мат. ожидание?
А по-Вашему, мат. ожидание увеличивает шансы? Т.е. на выше приведенный мною вопрос: влияет ли средний выигрыш на шансы получить большую сумму, а не меньшую, - Вы отвечаете утвердительно? Это по каким же формулам Вы считаете?
Ну, например, в одном конверте лежит 500р., в другом - 1000р. Вы выбрали конверт с 1000р и, сбитый с толку мат. ожиданием, считаете, что во втором конверте, скорее всего, лежит сумма 2000р., но это же неверно. Вы проиграли.
Да при том, что матожидание и есть произведение возможного выигрыша на степень его возможности. Если бы я предложил вам выиграть миллион с вероятностью обычной лотереи (1/10 000 000), вы бы наверняка выбрали монетку!
По-моему, вы путаете две вещи: полезность матожидания, как такового (как ориентира при выборе стратегии), и адекватность матожидания, вычисляемого в парадоксальном рассуждении. Ориентируясь на него, я бы проиграл, поскольку оно некорректно вычислено.
А как его корректно рассчитать?
Вот в этом-то и вся заковыка!
Выходит, что при наличии информационной связи между значением случайной величины и значением вероятности [этого значения] на уровне детализации A системы случайных событий, любые вычисления матожидания на более "грубых" уровнях детализации A+i [и к таковым относится даже полная вероятность события, получаемая как взвешенная сумма всех условных вероятностей] - НЕДОПУСТИМЫ.
Этот вывод кажется настолько глобальным и выходящим за рамки конвертов, а сами математики настолько не любят говорить, а любят просто считать, что я и предлагаю проверить его на прочность философам.
Хм... А я вот считаю, что мат. ожидание вычисленно вполне корректно. Для равновероятных событий мат. ожидание - среднее арифметическое. Что тут некорректного? Есть формула и все хорошо высчитывается. Есть конверт - там либо 0,5х, либо 2х. Среднее арифметическое - 1,25х, которое никак не влияет на вероятность угадать 2х или 0,5х. Что ж тут такого сложного?
Теория вероятности достаточно широко применяется во многих областях, скажем, в теории связи. И очень эффективно применяется, дает очень надежные результаты, например, государство дает ученым задание спроектировать ракету, у которой вероятность отклонения от цели втечение первых 10 минут была бы равна десяти в минус тринадцатой степени, и ученые успешно ее проектируют. А Вы из детской задачки делаете какие-то глобальные выводы об основаниях теории вероятности.
"Детской" эту задачку Вы могли назвать только по случайному легкомыслию))) Если вам не лень посмотреть, как на ней клинит взрослых математиков - прошу сюда: много-много вычислений .
В том-то и дело, что ВЕРНО (тоесть строго по формуле) рассчитанное матожидание реальности не соответствует. Следовательно - есть ограничения применимости формулы.
В том-то и дело, что есть не только один конверт, но и ОДНА сумма. Другая - только у нас в голове. И есть рассчёт на уровне РЕАЛЬНЫХ конвертов и сумм, говорящий о строгой бессмысленности замены конверта. Но теоретическое право ВЫЧИСЛЯТЬ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ на любом уровне детализации (например на уровне нашего НЕзнания о системе) даёт нам возможность на уровне НЕзнания опровергать выводы, сделанные на уровне ЗНАНИЯ реального положения дел.
Когда Вы выше определили мат. ожидание как связь между возможным выигрышом и степенью его возможности, Вы упустили из виду важное слово, которое обязаельно должно фигурировать в определении мат. ожидания. Это слово - средний. Мат. ожидание - это не просто связь между величиной и вероятностью, а среднее значение между величинами, помноженными на их вероятность.
Это не имеет значения - где сумма реальная, а где в голове. В тервере мы оперируем с возможными событиями, мы их определяем. В данной задаче четко определяютя эти события: 1-ое событие - сумма в конверте вдвое больше полученной, вероятность - 1/2; 2-ое событие - сумма в конверте вдвое меньше полученной, вероятностью тоже 1/2. Какую информацию нам может дать подсчет мат. ожидания, т.е. средней величины возможного выигрыша? Только то, что мы можем выиграть больше, чем проиграть. И я бы сказал, что это выигрышная стратегия, если бы вероятность выигрыша была бы больше, чем вероятность проигрыша. А так шансов по-прежнему 50/50.
Но если же Вы настаиваете, что тут есть какой-то реальный парадокс, то я желаю Вам удачи в Ваших исследованиях.
Матожидание (для конкретного исхода) я определил как чисто арифметическое произведение выигрыша и его вероятности. Для всего постранства исходов - это сумма таких произведений. Или "взвешенная" сумма выигрышей по всем исходам.
О связи же я говорил совершенно по другому поводу:
[Извиняюсь за привкус тавтологии, но неспроста жалобы на понятийный аппарат!]
Этой связью я намеренно манипулировал, предлагая вам выиграть миллион с меньшей вероятностью, чем сотню. Эта связь заложена в условии парадокса (удваиваются только меньшие суммы) и т.п.
Вот в допустимости (в рамках ТВ) такой позиции и видится одна из главных проблем.
Да, вероятность 1/2 получается по формуле Байеса (другими путями тоже). Расчет мат.ожидания должен учитывать не только ожидаемый выигрыш, но и ожидаемый проигрыш. Тогда они уравновесят друг друга, и всё станет опять симметрично - как и должно быть. Так кажется по беглому взгляду.
Хотелось бы убедить вас в том, что задачка стоит того, чтобы в неё углубиться. Идея учёта проигрыша возникала периодически в разных рассмотрениях, но плодотворной не оказывалась: любая из стратегий беспроигрышная (даже согласно парадоксальному рассуждению из условия). Согласно этому рассуждению чистый выигрыш либо X (без обмена), либо 0,5X или 2X (с обменом). Но всегда - в плюсе!
Хотя, есть одна запись от почти-что анонимного пользователя Dn-V в блоге :
Она верно описывает ключевой момент ситуации и содержит "попрвку" на цену игры, что можно понимать и как учёт проигрыша. Но она уже не является матожиданием, а иначе автор проинтерпретировать её не смог. Можем попытаться ему помочь :)
Судя по всему, это матожидание прибыли от смены конвертов для двух параллельных розыгрышей, в одном из которых C - бОльшая сумма, а в другом - меньшая. Причём матожидание ДО первого выбора конвертов. Но на этой стадии и так всё прозрачно.
Всё это довольно интересно, но поскольку настоящий форум - философский, хотелось бы спросить: а в чем философский смысл этой ветви? В мире существуют тысячи и тысячи не менее интересных математических, физических, химических, биологических, исторических, экономических, политических и прочая и прочая задач и проблемных ситуаций. И если кто-то выносит инопредметную философии задачу на философское обозрение - в лоно царицы наук - то, наверное, для этого должны быть веские философские основания. В чем они?
Очень и очень ожидаемый вопрос. Спасибо за то, что вы задали его столь мягко :)
Для начала хочу повторить то, что только что написал в своём ответе Дмитрию:
А теперь подробнее, по пунктам.
1.Мне всегда казалось, что предмет философии не ограничивается одним ОСНОВНЫМ вопросом, что есть ещё и ВТОРОСТЕПЕННЫЕ - вроде оснований математики или концептуального завершения физики).
2.Проблемы интерпретации понятия вероятности и различения уровней детализации системы случайных событийц, на которые выводит нас парадокс двух конвертов - вполне философские по духу, и по степени общности, и по традиционной "локализации" посвящаемых им текстов.
3.Сами математики упорно именуют подобные темы "мутной философией" и плохо контактируют, пока не предложишь им хороший повод для вычислений.
4.Самой математике (теории вероятностей и особенно теории информации) уже давно есть что сказать о философии ;), вот бы только ещё совсем чуть-чуть разобраться с собственными основаниями.
ЗЫ. Как-то вот так)))
Предметом философского рассмотрения может стать любой предмет. Даже просто "башмак", как, например, у Хайдеггера. Но Хайдеггер смотрит на башмак не как башмачник, а сквозь призму философского метода. И эта призма всегда может быть отделена от предмета и сформулирована как философская суть.
Согласен, "проблема интерпретации понятия вероятности и различения уровней детализации системы случайных событий", как и башмак, выводит нас на какую-то философскую суть. Можете ли Вы сформулировать в философских терминах эту суть, эту призму? Если можете, то сформулируйте. Если не можете, то Ваша проблема так и останется очень интересной, но инопредметной философскому знанию, математической задачкой.
Увы, Вы неявно, но требуете ради легализации на философском форуме перевда разговора на некий минимально-необходимый по Вашему мнению, а на самом деле предельный уровень абстрактности и общности. Этот приём хорош в ВУЗЕ как средство воспитания будущих НАСТОЯЩИХ философов. Но продуктивности работы над конкретными проблемами он не способствет. Говорить о предмете полезнее на том предельном уровне КОНКРЕТНОСТИ, который ВСЁ ЕЩЁ позволяет продвигаться вперёд (а не топтаться на месте, коллекционируя прмеры и образцы). В данном вопросе УЖЕ НЕТ ВОЗМОЖНОСТИ производить конкретные математические вычисления, НО ВСЁ ЕЩЁ ЕСТЬ ВОЗМОЖНОСТЬ говорить на языке локальной предметной области (уже не математической, а скорее - метаматематической). Если Вы обнаружите, что некий новый надзрез темы можно осуществить только скальпелем истинно-филосовских категорий - милости прошу воспользоваться отличной возможностью.
Одним словом, мне кажется, философия должна не выталкивать из себя нефилософски-конкретные темы, а впитывать всё, что выталкивают из себя специальные науки, как неспецифически-общее.
Бурыкину,
Уважаемый коллега, позвольте сделать несколько комментариев к вашему пониманию взаимодействия частных наук и философии.
1, Философский взгляд на предмет не определяется тем, является ли он предельно общим или нет. Правда иногда еще встречаются люди для которых занятия философией тождественны занятиям наукой. Но тогда это слово "философия" можно смело выбросить на свалку, заменив терминами " мета наука", "мета теория", "метабазис". Если же мы возьмемся отстаивать специфику философского взгляда на мир, то мы естественно не сможем его найти в предметах конкретных наук и теорий.
2,
Ну, в терминах позитивизма, можно охарактеризовать подобный подход как самый общий на уровне частнонаучного исследования. Это вопрос методологии, но еще не философии. Как известно, методология формирует предмет своего исследования, но ведь это определенный субъективизм, который затем воплощается в реальность. На мой взгляд, философия обсуждает выработку научных стратегий не с точки зрения действенности той или иной методологии, а выявления состоятельности научных идей, направлений для человеческого существования. Короче говоря, философия это гуманитарное основание для любой научной методологии...
Практически со всем согласен. Если из этого не вытекает требование "замкнутости философии снизу".
Если кто-то пытается отождествить методологию и философию или исчерпать вторую первой - гнать его в шею. Но если кто-то маргинальный просится погреться у очага, не стремясь заселить весь дом своими чадами и домочадцами - зачем спесивиться?
Ну нету в нашей табели о рангах метанауки, как самостоятельной дисциплины. Нет и учёных советов по метанауке. А специальные дисциплины только и делают, что всё замыкаются и замыкаются "сверху".
И во что должна превратиться методология? В хобби?
Ну, если методология игра, то она может быть и хобби. Если нечто большее, например, средство по достижения какой-то цели, то уже труд. А если не просто труд по доставанию куска хлеба, а еще реализация собственных талантов то уже искусство... Список примеров может быть длинным. В конечном итоге можно придти к выводу, что методология это способ человеческого проявления и бытия.
Уважаемый Денис! Я не утверждаю, что философия должна выталкивать. Проблема, которую Вы подняли, интересная. Вы как математик пришли с ней на философский форум, т.е. задекларировали, что в ней есть что-то "неспецифически общее, непонятое математиками". Следовательно, Вы это "общее" уже понимаете и знаете. Я единственно прошу Вас: обозначьте для меня и других философов эту Вашу интуицию вербально, чтобы и мы поняли, что это за общее. И делов-то. Вот об этом общем и поговорим. А пока Вы только декларируете, что-де оно есть, а в чем оно состоит, не показываете.
Спасибо.
Мне, правда, казалось, что я не только декларировал ), но попробую ещё раз, более акцентированно. Я уже писал:
Что в этом чуждого для математиков?
Во-первых, различение для вероятностей уровней детализации. Пока-что я нашёл его лишь на уровне предложения в философско-методологической работе. Предложение это сделано в контексте рассмотрения вопроса об интерпретации понятия вероятности, в частности её субъективности-объективности. Если для понимания есть необходимость дальше разворачивать, думаю, это лучше сделать в новом отдельном сообщении.
Во-вторых, пока что в ТВ считается самоочевидным, что рассчёт мат.ожидания согласно определённой вероятности неуместен лишь в том случае, когда известна более точная вероятность события. Данный парадокс демонстрирует нам принципиально новый случай: более точные вероятности не определены, но наличие информационноц связи между параметрами процесса на более детальном уровне всё равно делает такой рассчёт недопустимым.
Денис, и Вам спасибо. Раз у Вас хватает сил терпеть мой скепсис, то и я попробую еще раз.
У каждой науки и даже теории есть свой предмет.
Раз речь идет о ТВ, то таким предметом является вероятность. Любые высказывания о вероятности и ее исчислении (допустимые или не допустимые и т.д.) не выходят за границы предмета ТВ и никакого отношения к философии не имеют. Если одни теоретики ТВ, обозначим их ТВ1, не признают других теоретиков ТВ2, то это тоже их внутреннее дело, не выходящее за предметность ТВ.
Дальше. В каком случае проблема иной теории или науки может считаться принадлежащей в том числе и к философии. Ответ: в том случае если она затрагивает предмет философии. А что есть предмет философии? Я не буду разводить мудрствования по всему спектру точек зрения на предмет философии. Для меня однозначно предметом философии является единственно формалия (см. ветвь «Формалия – предмет философии» ). Но поскольку этот термин – неологизм, не всеми принимаемый, скажу проще: всеобщая форма.
Примеры. Башмак не является предметом философии, но форма, в которой башмак выражается, скажем, восприятие или воображение, может стать предметом философии. Другими словами, «Что есть башмак?» – не вопрос философии, но «Чем отличается восприятие (башмака) от образа (башмака) или от понятия (башмака)?» – это философская проблема.
Аналогично. Вопросы религии или политики – не философские вопросы. Но чем отличается форма религиозного сознания от формы политического или художественного сознания – философская проблема.
В нашем случае вероятность – однозначно не предмет философии. Но вот чем отличается форма представления вероятности в ТВ1 от формы представления вероятности в ТВ2 – это будет философской проблемой. Из Вашего объяснения я увидел содержательную (математическую) разность вероятностей в ТВ1 и ТВ2, но не увидел формальную разность: поскольку и ТВ1, и ТВ2 – всего лишь модусы (пусть и противоположные) одной формы – формы математического понимания вероятности. А посему мне пока и философский смысл не открылся. Если бы Вы смогли показать, что нового привносит форма ТВ2 в общую теорию форм, то, думаю, это было бы настоящим философским делом.
Увы, на такой уровень всеобщности я однозначно не претендую, и претендовать, видимо, никогда не буду. Но что-то мне подсказывает, что данное Вами описание скорее характеризует область Ваших научных интересов, чем реальный круг вопросов и тем, традиционно относимых к философии. Иначе подобные следующему высказывания были бы просто недопустимы:
Однако, я совершенно не стремлюсь утверждать, что данное Вами определение не правомочно. И меня, в принципе, не обескуражит такой поворот дел, при котором разговор только о вероятности как таковой, без выхода на более абстрактные вопросы общей теории форм, окажется в данном уважаемом сообществе никому не интересен.
Согласен, что для продуктивности такого разговора собеседникам нужно не только владение философским методом, но и знание узкой предметной области. Но я очень надеялся таких собеседников здесь найти (и мне кажется - даже нашёл). И буду искать дальше, если всё-таки не повезёт здесь.
PS: Если Вам интересно оценить, насколько готовы сами математики к подобному уровню анализа, могу прислать Вам в личку соответствующие ссылки))).
Философия математики versus математика философии
Тут есть несколько соображений.
Я много лет веду некоторые разработки в области математики философии. Для этого надо владеть каким-либо математическим методом и прикладывать его к узкой философской предметности.
Со своими результатами я участвовал в нескольких конференциях по философии математики. Но там был крен (процентов 90) в сторону философии математики. Т.е. демонстрировалось, обратное: владение философским методом, который прикладывался к очень широкой (почти всей) математической предметности.
Как видите, ни в том, ни в другом случае не требуется узкое знание предметной математической области. Это требование справедливо только в случае самого математического знания.
Хотя, возможно, Вы и правы. Например, применительно к математике философии я обнаружил такую проблему: в формулу энтропии и термодинамической вероятности входит символика (p*ln p), которая свойственна и такому философскому феномену, как понятие. Для того чтобы предметно говорить на эту тему, надо хорошо владеть знанием свойств трех инородных предметов: физической энтропии, математического логарифма и философского интенциального понятия.
Возможны ли такие синкретические умы, я не знаю. Пока, как и Вы, ищу…
РS. С удовольствием посмотрю, как математики готовы к освоению узкого философского знания…
Чрезвычайно заинтересовало использование взвешенного логарифма вероятности (это ведь ещё и информация Хартли-Шеннона) в математико-философской иетерпретации понятия. В последние десятилетия стало модным настаивать на том, что категория информации к знанию не приложима.
Ссылку высылаю в личку, но доходят сообщения здесь, по моему, лишь в виде уведомлений на почтовый ящик.
Меня на 5 дней отключили от этой дискуссии (насчет причин надо разбираться, они, видимо, технические), поэтому извиняюсь за поздний ответ. Итак, отвечаю.
Мне всё же кажется, что весь «парадокс» здесь заключается только в недостаточно четкой постановке задачи, из-за чего происходит «перепрыгывание» с одной системы понятий на другую, что и создает путаницу и иллюзию какой-то проблемы.
Системы понятий же здесь фигурируют две (т.е. имеются ДВА набора вероятностей и мат.ожиданий):
Первый набор (первая система) – это вероятности и ожидания в момент Т0, в исходной точке – до взятия первого конверта. Тогда, если в одном конверте х, втором 2х рублей, то математическое ожидание для каждого конверта – 1,5х.
Второй набор (вторая система) – это вероятности и ожидания в момент Т1 – после того, как один конверт уже взят. Теперь у игрока на руках уже выигрыш (ожидаемый) 1,5х, а мат.ожидания дальнейшего шага (взятия второго конверта): –0,5х или +0,5х с равной вероятностью.
А при «парадоксе» в ситуации Т1 вместо второй системы понятий перескакивают опять на первую и начинают считать мат.ожидание так, будто первого шага и не было и будто всё еще продолжается ситуация Т0. В этом и вся разгадка.
Вполне понимаю, что хочется отразить этим рассуждением, но если на руках 1,5x, то трудно будет объяснить, почему потенциальные прибавок/убыль симметричны (а не 0,75x и не 3x соответственно).
А с тем, что имеет быть перескок между системами (моделями) - совершенно согласен.
Ну как: если у игрока на руках 1,5х , а он конверт МЕНЯЕТ, то есть, свои 1,5х отдает, а взамен получает либо х, либо 2х, то у него в первом случае будет убыток –0,5х , а во втором выигрыш +0,5х . 3х он получил бы, если первый конверт не отдавал бы, а забрал бы оба конверта. 0,75х он получил бы, если в игре были бы не два конверта с х и 2х рублями, а фигурировал бы шанс уменьшить банк в 2 раза. Но такой шанс в условиях задачи не оговорен.
0,5x или 2x игрок получает, если у него на руках x. Если же у него на руках 1,5x, то и штрафы-бонусы тоже в полтора раза больше. У него же не среднее двух конвертов на руках!
Именно среднее двух конвертов на руках - при неоткрытом конверте и при правильных расчетах в рамках теории вероятностей.
Весь парадокс держится на том, что конверт открыт и деньги пересчитаны :(
Липа в формуле (0,5x+2x)/2=1,25x заключена в том, что она вычисляет средний размер выигрыша, а вовсе не вероятность более удачного выбора. Но и для этих целей формула не верна: в случае удачи игрок получает 2х, а при неудаче 1х, а не 0,5х. Таким образом, средний размер выигрыша 1,5х. Ясно, что размер выигрыша никак не связан с вероятностью получения этого выигрыша.
Попутно подмена во фразе: «определяем средний выигрыш на тот случай, если мы возьмём другой конверт». В действительности этот средний выигрыш вычисляется для любого случая – возьмём ли новый конверт или оставим старый. Средний выигрыш от этого нисколько не изменится. Так что нет никакого смысла менять конверты.
Итак, парадокса нет, а есть лёгкая престидижитация.
То, что мат.ожидание ("среднее") показательно, хоть и не тождественно вероятности, а является произведением вероятности выигрыша и самого выигрыша, мы уже рассмотрели с Дмитрием на следующем примере:
если вам предложат кинуть монетку и с вероятностью 1/2 выиграть 100 р. ИЛИ кинуть игральную кость и с вероятностью 1/6 выиграть 1 000 000 р., то какую из игр вы предпочтёте??
Если у игрока в руках X денег, как в другом конверте тоже может быть X ???
Повторюсь - все мои возражения не для того, чтобы доказать правильность парадоксального рассуждения, а для того, чтобы развеять иллюзию его поверхностности, "очевидной" необоснованности. В том-то и дело, что оно очень даже обосновано!
Да, никакого парадокса нет, и обсуждать тут больше нечего. Просто надо уметь считать вероятности и мат.ожидания.
Как легко, оказывается, успокоить себя ошибочными рассуждениями))).