Бесконечность натурального ряда

Аватар пользователя Пенсионер
Систематизация и связи
Логика

Давайте посчитаем до десяти. Если под этими цифрами понимать элементы множества, то мощность полученного множества будет равна десяти.

Посчитаем до миллиона, получим множество, содержащее миллион элементов.

Посчитаем до 987654321, получим множество, мощность которого равна 987654321.

Короче говоря, до какой бы цифры мы ни досчитали, она будет в точности равняться мощности полученного множества.

Теперь возьмём множество всех положительных целых чисел. Каждый элемент данного множества представляет собой конечное число, но множество, тем не менее, бесконечно.

Как же так? Ведь мы имеем дело с натуральным рядом чисел, которые отсчитывают сами себя, своё полное количество в данном множестве! Возьмите любое число из этого множества - оно конечно.

Ни одного бесконечного числа не содержит, а мощность, тем не менее, бесконечна!

Могут возникнуть возражения: дескать, мощность натурального ряда выражается самым последним числом этого ряда, а его-то как раз и нет!

Но тогда и мощности быть не должно! На каком основании мы утверждаем, что мощность натурального ряда бесконечна? В чём тут дело?

Комментарии

Аватар пользователя fidel

Могут возникнуть возражения: дескать, мощность натурального ряда выражается самым последним числом этого ряда, а его-то как раз и нет!

мощность не выражается числом

Аватар пользователя Пенсионер

fidel, 21 Февраль, 2018 - 14:51, ссылка

мощность не выражается числом

Почему, интересно спросить, не выражается числом? Выражалась, выражалась, и вдруг перестала выражаться.

Аватар пользователя fidel

шутить изволитеwink

мощность никакого отношения к числам не имеет Это чисто качественная характеристика связанная с отношением между элементами двух множеств

Аватар пользователя Пенсионер

fidel, 21 Февраль, 2018 - 22:53, ссылка

мощность никакого отношения к числам не имеет

Возьмём множество из пяти элементов: {1, 2, 3, 4, 5}.

Мощность данного множества = 5.

Один из элементов данного множества тоже есть число 5.

По-вашему, получается:

в одном случае имя 5 - это число (количественная характеристика);

в другом случае имя 5 - это качественная характеристика, т.е. не-число.

Я вас правильно понял? Проблема в путанице имён?

Аватар пользователя fidel

Мощность данного множества = 5. 

есть разные определения мощности множества

 

Аватар пользователя Не_Пью

есть разные определения мощности множества

Например?

Аватар пользователя fidel

например как класс множеств с которыми можно установить биективное отображение на данное множество 

Бесконечные множества в любом случае относятся к мат. моделям и откуда столь пристальное внимание к числовому ряду ? 

Аватар пользователя Не_Пью

А еще? Вы же сказали, что можно дать разные определения.

Аватар пользователя fidel

например :) можно считать определения двух равномощных множеств и определение класса равномощных множеств разными определении. В данном случае множество счетное и не равномощно никакому конечному множеству

Аватар пользователя Не_Пью

Ну, вы же сами, надеюсь, понимаете, что так считать нельзя, поскольку два это частный случай класса... И если определения разные, то это означает, что класс определен некорректно.

Аватар пользователя Lak

Чтобы понять такой парадокс, необходима культура математического мышления.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Чтобы понять такой парадокс, необходима культура математического мышления.

Остаётся самая малость - продемонстрировать культуру математического мышления.

И тут наступает самое интересное: входит ли в культуру математического мышления попытка обвинить другого в отсутствии культуры математического мышления, без демонстрации этой культуры?

Если входит, то (как по мне) хорошо бы указать метод избавления от такой культуры математического мышления. А то заразишься ненароком, а противоядия-то и нет!

Аватар пользователя Спокус Халепний

Но тогда и мощности быть не должно! На каком основании мы утверждаем, что мощность натурального ряда бесконечна? В чём тут дело?

Ответ, как это ни странно, довольно простой. Он состоит из одного слова. :) Вы спрашиваете - на каком основании? Наш "ответ Керзону" : на аксиоматическом [основании].

Намного интереснее вопрос - зачем понадобились эти аксиомы о бесконечности? Ещё более интересным будет уточнение вопроса о "зачем": лежит ли это "зачем" в области математики?

Аватар пользователя Пенсионер

Спокус Халепний, 21 Февраль, 2018 - 20:53, ссылка

Наш "ответ Керзону" : на аксиоматическом [основании].

Что ж вы тогда так упорно спорили о множестве всех множеств? Ведь в аксиоматике теории множеств формулировка Рассела является ложной.

Намного интереснее вопрос - зачем понадобились эти аксиомы о бесконечности? Ещё более интересным будет уточнение вопроса о "зачем": лежит ли это "зачем" в области математики?

А вот это уже ближе к телу - телу философии. Математики не разбираются в том, чем занимаются - числами ли, сущностями ли, качественными ли характеристиками... Даже число "пи" у них, видите ли, число. Им до лампы, ввели "корень квадратный из минус единицы" и работают с ним так, как будто это и правда число, пусть и мнимое. Нет без нас, хфилософов, им не разобраться.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Что ж вы тогда так упорно спорили о множестве всех множеств? Ведь в аксиоматике теории множеств формулировка Рассела является ложной.

Если вы имеете в виду мой разбор парадокса Рассела, который дан в Приложении моей книжечки, то там с самого начала анализа парадокса сказано, что именно о множестве всех множеств можно даже не рассуждать, потому что в формулировке Рассела есть другое противоречие, причины которого я там как раз и разбираю (речь идёт о множестве, [не]содержащее само себя в качестве элемента).

Тем не менее, мой ответ из одного слова ("аксиоматический") - это беспроигрышный вариант ответа. Другое дело - как нужно (можно/нельзя) относиться к аксиомам современной математики? Как для меня - это ужас ужасный. Но это, возможно, от моей низкой математической кльтуры и общей недоразвитости. К сожалению, мне никто не может ответить на совершенно наивные вопросы. Обращался с ними даже к прфессиональным математикам, а также пытался читать всевозможную литературу в поисках ответа. Но все эти попытки мне ассоциируются с тем, как будто я общаюсь с религиозными фанатиками мусульманского мира или читаю талмуд.

Аватар пользователя vlopuhin

Давайте посчитаем до десяти.

Давайте! С чего начнем, с ноля или с единицы? Сколько получилось? У меня одиннадцать, а у Вас? Может быть начнем договариваться? Предлагаю ноль и бесконечность считать обычными числами, одно обозначается кружочком, другое двумя (восьмёрка на боку). И тогда вопрос

Но тогда и мощности быть не должно! На каком основании мы утверждаем, что мощность натурального ряда бесконечна? В чём тут дело?

отпадает сам собой. Более того, сумму бесконечного ряда, например ряда Фурье, можно указать с точностью до самого децельного децела, а не пальцем в небо, типа плюс-минус полстакана...

Предлагайте свои версии, объясняющие эту странность, но я почти уверен, что правильного ответа вам не угадать. 

Ну да, типа не ищите кошку там, где её нет. Хорошо, пусть ряд натуральных чисел принадлежит Фа-Универсуму. Мне от этого не жарко не холодно. Вы мне вот что скажите, ряд натуральных чисел Вы как пользуете? Как числа, или как модель бесконечности? Если принять второе, то с какого перепуга вы решили, что эта модель адекватно представляет оригинал? Другими словами, Вы имеете хотя бы малое представление/понимание о том, о чем говорите? Скорее всего имеете, иначе бы не говорили. Тогда откуда вылезло слово "угадать"? Так Вы гадаете, или имеете представление/понимание?

 Потому что его надо не угадывать, его надо вычислять логически, а с логикой на этом форуме что-то уж очень большие сложности.

У Вас логика какой системы? Предлагаю Бразильскую, это когда догоняет не только на словах, но и на деле. Примерно так (попёрли аксиомы!):

- ноль это число крайнее слева, бесконечность это число крайнее справа на числовой оси

- если к любому числу прибавить ноль получится то же самое число

- если к любому числу прибавить бесконечность, получится бесконечность

- если к бесконечности прибавить ноль, получится бесконечность

- если к нолю прибавить ноль, получится ноль

- если к бесконечности прибавить бесконечность, получится бесконечность

- если любое число поделить на бесконечность, получится ноль

- если любое число поделить на ноль, получится бесонечность

- если ноль поделить на ноль, получится единица

- если бесконечность поделить на бесконечность, получится единица

и т.д., логику улавливаете, или полный Атас?

Теперь про договорённость, а что по Вашему получится, если ноль умножить на бесконечность? По моему единица! А Вы как думаете? По моему надо доказывать на основе принятых аксиом, тут уже пора привлекать чистых математиков, а не балаболов типа меня... Хотя попробую:

0*бесконечность=(0/бесконечность)*(бесконечность/0)=(0/0)*(бесконечность/бесконечность)=1*1=1

То же самое можно объяснить так. Ряд натуральных чисел упорядочен по возрастанию. Когда ноль умножается на бесконечность получается единица, поскольку она обозначает эту самую упорядоченность, если количество должно обнулиться, то качество неуничтожимо, как раз качество и преобразуется в единицу при умножении ноля на бесконечность. Можете спросить у диамата, не даст мне соврать!

И вот теперь можно поговорить и про мощности. Честно говоря, где Вы у ряда натуральных чисел увидели множество мощностей мне не понятно, там одна мощность: счетное множество. Мощность множества действительных чисел на порядок мощнее, поскольку такое множество несчетное.

Аватар пользователя Пенсионер

vlopuhin, 22 Февраль, 2018 - 07:38, ссылка

С чего начнем, с ноля или с единицы? Сколько получилось? У меня одиннадцать, а у Вас?

Вот за что я вас люблю, Виктор Борисович, так это за любовь к детям. Умеете вы разговаривать с малоразумными существами! Внучат воспитываете? Дело благороднейшее!

Но неужели, по-вашему, я тоже впал в детство?

В общем, я на вас обиделся. Как минимум на неделю.

Аватар пользователя vlopuhin

Жаль, честное слово, даже в мыслях не держал кого то обидеть. Раз задели тему про внуков, то таки да, у меня четверо (это как минимум) аболтусов, а внуков ноль, по тому и аболтусы. Хотя младший думаю не подведёт, 18, ровесник века. Старшим уже по тридцатнику, но напридумывали всякую хрень типа чилдфри, с Запада всё плывёт...

Но вернёмся к числам, аксиомам и парадоксам. Самый известный из парадоксов это парадокс "Грандотель". В самом деле, если бесконечность плюс бесконечность получится та же бесконечность, то пора бы задуматься о психиатре. Но почему ни у кого не вызывает подобных помыслов ноль плюс ноль равно ноль? Или два плюс два равно четыре? Ряд натуральных чисел один? Один! Двойка одна? Одна! Откуда взялась вторая? У них там гнездо? Это анекдот такой есть, лезут два альпиниста в гору, вдруг сверху пролетает ещё один, через некоторое время другой, один другому говорит: да не обращай внимания, у них там гнездо.

Аватар пользователя Спокус Халепний

ноль это число крайнее слева, бесконечность это число крайнее справа на числовой оси

Неужели вас не смущает эта формулировка?

Аватар пользователя vlopuhin

Поправьте, если что то не так. Честно говоря, я предлагаю другую модель бесконечности, полевую.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Я не знаю что можно поправить. Могу сказать лишь за себя: попытка понять эту "тривиальную" фразу заставляет мои волосы вставать дыбом. И уже потом (беря в руки расчёску) я начинаю белой завистью завидовать тем, у кого после чтения этой фразы, даже волосок с головы не упадёт. Я представляю, что у вас пышная шевелюра, не требующая особого ухода.

Аватар пользователя vlopuhin

Что же тогда должно было меня смущать в формулировке?

В общем то цель у меня была благая, что то вроде "оправдать бесконечность". Если на то пошло, то ведь парадокс "Грандотель" обязан своей парадоксальностью не столько бесконечности, но уже самой парадоксальности числа/чисел вообще. Если двоек в математике как донов Педро в Бразилии, то есть и не сосчитать, то они с таким же успехом могут исчезать, как и плодиться.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Вы меня не поняли. Мне уже скоро умирать, а тут я вижу, что ВСЕ (!) - повторяю все, бля, совершенно нормально воспринимают элементарную фразу  [вроде как на русском языке]: "бесконечность это число крайнее справа на числовой оси".

То есть, мне вроде как говорят: что ж ты, старый поц, не понимаешь такой элементарщины - бесконечность, идущая вправо по числовой оси, имеет справа край. Очевидно, думаю я, если рассматривать некий отложенный по оси вправо "отрезок", который уходит неизведано как далеко вправо, то именно это следует считать конечным отрезком... ну, потому что если бы он имел край справа, то ведь он (согласно приведённой фразы) бесконечный.

Ещё раз. Меня не смущает моё непонимание. Ну, не дорос. Меня смущает ВСЕОБЩЕЕ понимание, бля!

Аватар пользователя vlopuhin

Не поверите, у меня такие же проблемы с нолём. Соответственно вот это "(False==False) возвращает True" выше моего понимания. Придётся поверить программистам на слово.

По этому ещё раз спрошу на всякий случай, в какое место числовой прямой мне следует запендюрить бесконечность?

Почему функтор "==" позволяет превратить две лжи в истину, и не позволяет мне нарисовать в самом конце справа стрелочку и восьмёрку на боку?

Аватар пользователя Спокус Халепний

Я бы сказал проще: ось Х от нуля влево и вправо - бесконечна [т.е. не имеет границ, краёв,..].

Аватар пользователя vlopuhin

Чем же Вам не нравится моё предложение? Вроде бы так же не шибко заумно: если существует функтор, превращающий две лжи в истину, то на таком же основании существует функтор, превращающий безграничные концы числовой прямой в минус и плюс бесконечности (два числа). На мой взгляд точно до бескрайности, точнее не придумаешь! Как с этими числами обращаться? Аккуратно! У всякого числа имеются свои особые свойства. Ну не имеет краёв, что же с того? Пусть не имеет, никто и не лишает неимения.

Кстати у меня в тумбочке валяется мультиметр (чем не функтор?), он умеет показывать числа, плюс/минус бесконечность и Error.

Аватар пользователя Сергей Борчиков

Число как тройка

Спокус Халепний, 22 Февраль, 2018 - 12:35, ссылка

Вы меня не поняли. Мне уже скоро умирать, а тут я вижу, что ВСЕ (!) - повторяю все, бля, совершенно нормально воспринимают элементарную фразу  [вроде как на русском языке]: "бесконечность это число крайнее справа на числовой оси".

Ещё раз. Меня не смущает моё непонимание. Ну, не дорос. Меня смущает ВСЕОБЩЕЕ понимание, бля!

Да нет, говоря, что "ВСЕ!", Вы видите перед собой мизерный круг участников ФШ. Не расстраивайтесь, это далеко-далеко не ВСЕ. Есть огромное количество иных мнений и концепций.
Вот, например, точка зрения В.И. Моисеева, которой и я придерживаюсь. Любое конечное число на числовой оси на самом деле является триадой, тройкой, содержащей в себе, вокруг своего ядра 1) область монады - множества бесконечно малых чисел (аналог нуля) + 2) перпендикулярную ось - как развертку бесконечно больших, в том числе актуально бесконечных чисел. Тривиальная арифметика от этих областей абстрагируется.
Чуть подробнее сегодня высказался здесь - ссылка. А детальнее - так это требует более детального изложения R-анализа В.И. Моисеева.

Аватар пользователя Спокус Халепний

...например, точка зрения В.И. Моисеева, которой и я придерживаюсь. Любое конечное число на числовой оси на самом деле является

Я бы тоже, наверное, придерживался этой точки зрения, если бы не впал в ступор от словосочетания "конечное число".

Аватар пользователя Сергей Борчиков

Не стоит такое эмоциональное значение придавать математическим понятиям. Это всего лишь мыслительная игра в идеальные объекты. Играйте в радость.

Аватар пользователя Михаил ПП

+++

Спокус Халепний, 22 Февраль, 2018 - 12:35, ссылка

_Меня смущает ВСЕОБЩЕЕ понимание..._

И меня тоже! Нас уже, по крайней мере, двое "тупых"! Хотя, может статься, мы тупим по-разному!)) И тогда этот комментарий направлен не только к Вам... 

Спокус Халепний, 22 Февраль, 2018 - 12:58, ссылка

_Я бы сказал проще: ось Х от нуля влево и вправо - бесконечна [т.е. не имеет границ, краёв,..]._

Может все бесы)) "Кантора и Ко" в подмене одной буквочки? Может "всё дело" в том, что неправильно написано: "БЕСконечна", а надо бы "БЕЗконечна"?)) 

Нельзя оперировать с тем, что "БЕЗ" = НЕ ИМЕЕТ "конца" - границ, краёв, также как и и с "БЕСами"!))

Кроме того, есть "проблема" и с нулём, ибо нуль - условность условности (чисел) - точка отчёта, без которой мы не можем обойтись, но которая введена нами произвольно. В результате возникают как БЫ "отрицательные" числа: минус 30-40 по "шкале"...  

Аватар пользователя Фристайл

Я так понял, вы ни разу не математик. Как, к примеру, и не вирусолог. Так чем перед вами провинилась математика, а заодно и посетители ФШ, что вы посчитали нужным оскорбить и первую и вторых своими дилетантскими рассуждениями, а не что-нибудь из проблем вирусологии?

Аватар пользователя Пенсионер

Фристайл, 22 Февраль, 2018 - 10:05, ссылка

Я так понял, вы ни разу не математик. Как, к примеру, и не вирусолог. Так чем перед вами провинилась математика, а заодно и посетители ФШ, что вы посчитали нужным оскорбить и первую и вторых своими дилетантскими рассуждениями, а не что-нибудь из проблем вирусологии?

Маленькая просьба: отсылайте к цитате или хотя бы к имени того человека, кому вы адресуете своё сообщение.

Если ваши претензии относятся ко мне, отвечу.

Аватар пользователя Не_Пью

Предлагайте свои версии, объясняющие эту странность, но я почти уверен, что правильного ответа вам не угадать. Потому что его надо не угадывать, его надо вычислять логически, а с логикой на этом форуме что-то уж очень большие сложности.

Поскольку вы считаете возможным давать такую оценку форуму, а, значит, и мне, как участнику форума, то мой ответ, уж не обессудьте, будет нелицеприятен.

Я бы порекомендовал вам поинтересоваться что такое "мощность множества", прочитав об этом хотя бы в википедии. И, если поймете, что там написано, то, наверняка, впредь не будете задавать идиотских вопросов даже на форуме, на котором с логикой большие сложности.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 22 Февраль, 2018 - 11:27, ссылка

Я бы порекомендовал вам поинтересоваться что такое "мощность множества", прочитав об этом хотя бы в википедии. И, если поймете, что там написано, то, наверняка, впредь не будете задавать идиотских вопросов даже на форуме, на котором с логикой большие сложности.

Прочитал. Ничего нового не узнал: как было в моей юности, так до сих пор и трактуется.

Но, вы не поверите, я страсть как люблю задавать "идиотские" вопросы.

Вот ответьте, о чём идёт речь в аксиоме бесконечности:

Существует множество X такое, что ∈ X и для всякого Z, принадлежащего X, множество Z ∪ {Z} также принадлежит X».

Я понимаю это так:

элемент + множество = множество.

Может, растолкуете? Справа понятие "множество" и слева понятие "множество", но разве могут они быть одним и тем же? Разве "элемент = множество"?

Чистый парадокс Рассела! Или я что-то путаю?

Аватар пользователя Не_Пью

Прочитал. Ничего нового не узнал: как было в моей юности, так до сих пор и трактуется.

Очень плохо. Это означает лишь то, что у вас, действительно, серьезные проблемы с пониманием теории множеств.

Существует множество X такое, что ∈ X и для всякого Z, принадлежащего X, множество Z ∪ {Z} также принадлежит X».

Где вы взяли эту чудовищно безграмотную формулировку  аксиомы бесконечности? Это просто какой-то математический суржик!

Я понимаю это так:

элемент + множество = множество.

Возможно вам легче будет смириться с этим, если примете во внимание, что результатом сложения множества {1,2,3,4} с множеством {3,4,5,6} будет множество {1,2,3,4,5,6}, а вовсе не множество {1,2,3,4,3,4,5,6}.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 22 Февраль, 2018 - 22:00, ссылка

Где вы взяли эту чудовищно безграмотную формулировку  аксиомы бесконечности? Это просто какой-то математический суржик!

Добросовестно списал из математической энциклопедии.

Очень плохо. Это означает лишь то, что у вас, действительно, серьезные проблемы с пониманием теории множеств.

Я действительно её не понимаю, поэтому существенно её переделал. У меня она работает превосходно.

Но раз уж мне повезло с таким специалистом, как вы, прошу указать мне, бестолковому, где я исказил истину.

Записываем аксиому бесконечности на языке системы Цермело-Френкеля:

где:

Пустое множество не содержит ни одного элемента. Стало быть, если к элементу а первого множества {а} прибавить элементы пустого множества, то мы получим исходное множество без изменений, тождественное самому себе.

Но математиков такой результат не устраивает, им же надоть получить бесконечное множество!

Тогда они идут на уловку: прибавляют к элементу первого множества не элементы пустого множества, а само это пустое множество.

И у них получается совсем другой коленкор! Судите сами:

а + ни одного элемента = а.

Но зато-о-о:

а + {ни одного элемента} = другое множество, отличное от {а}

Повторяя эту проце-, извините за выражение, -дуру до посинения, получаем то, чего пожелали – бесконечное множество.

Спасибо Кантору уже хотя бы за то, что он хоть иногда, но всё же отдавал себе отчёт в том, что элемент – это не множество: а ≠ {а}

Возможно вам легче будет смириться с этим, если примете во внимание, что результатом сложения множества {1,2,3,4} с множеством {3,4,5,6} будет множество {1,2,3,4,5,6}, а вовсе не множество {1,2,3,4,3,4,5,6}.

В теории множеств, построенной строго логически, нет и не может быть пересекающихся множеств. Потому что вам ни за что не удастся объяснить, как одни и те же тройки и четвёрки оказались в двух разных множествах, участвующих в одной и той же логической (математической) операции. Как вы их образовали? Делили общество на блондинов и демократов?

Аватар пользователя Не_Пью

Добросовестно списал из математической энциклопедии.

Не верю! Дайте, плз., ссылку, если есть в сети, или скан страницы.

Но раз уж мне повезло с таким специалистом, как вы, прошу указать мне, бестолковому, где я исказил истину.

Я не представлялся специалистом в теории множеств.

Тогда они идут на уловку: прибавляют к элементу первого множества не элементы пустого множества, а само это пустое множество.

Вашу бы фантазию, да в мирных целях!:) То, о чем вы так переживаете, является просто формальным объявлением множества а. Иначе, не ясно множество это или элемент.

В теории множеств, построенной строго логически, нет и не может быть пересекающихся множеств. Потому что вам ни за что не удастся объяснить, как одни и те же тройки и четвёрки оказались в двух разных множествах, участвующих в одной и той же логической (математической) операции. Как вы их образовали? Делили общество на блондинов и демократов?

А чем вам, собственно, блондины с демократами не угодили? Хотите что-нибудь поближе к реальной жизни? Ну, тогда возьмите, например, формирование списка (множества) легирующих элементов на основе анализа поэлементного состава различных сталей.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 23 Февраль, 2018 - 14:50, ссылка

Добросовестно списал из математической энциклопедии.

Не верю! Дайте, плз., ссылку, если есть в сети, или скан страницы.

Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000454/index.shtml

Вашу бы фантазию, да в мирных целях!:) То, о чем вы так переживаете, является просто формальным объявлением множества а. Иначе, не ясно множество это или элемент.

Ага! Значит, мыслим мы всё-таки по-большому одинаково (по большому счёту, я хотел сказать).

Возьмём множество двух подмножеств:

Множество U = подмножество ФА + подмножество МИ.

Подмножество ФА = {элементы фа};

Подмножество МИ = {элементы ми}.

Возникает глупый вопрос:

Являются ли элементы подмножеств ФА и МИ элементами также множества U?

Если да, то у математиков должно получится, что бесконечное множество, которое они получили из аксиомы бесконечности, содержит лишь один элемент а. Ну, и плюс, конечно, ни одного элемента, ни одного элемента, ни одного элемента...

Аватар пользователя Не_Пью

Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000454/index.shtml

Ну, я так и знал! Внимательнее проверяйте свои копи-пасты. Из-за вашей ошибки я минут 10 тупо смотрел на вашу запись и не мог понять, что там написано. Берегите время ваших собеседников!:))

Значит, мыслим мы всё-таки по-большому одинаково (по большому счёту, я хотел сказать).

Не думаю, чтоб...

Являются ли элементы подмножеств ФА и МИ элементами также множества U?

Разумеется.

Если да, то у математиков должно получится, что бесконечное множество, которое они получили из аксиомы бесконечности, содержит лишь один элемент а.

Аргументы - в студию!;)

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 23 Февраль, 2018 - 19:36, ссылка

Из-за вашей ошибки я минут 10 тупо смотрел на вашу запись и не мог понять, что там написано.

Так в чём же ошибка?

Я ещё раз перепроверил, прямо по тексту статьи в энциклопедии. Цитата точная, слово в слово.

Ой, нет, действительно, при копировании на сайт из вордовской версии исчез значок пустое множество. Видимо, его нет среди местных символов. Но об этом и так можно было догадаться.

Виноват, каюсь.

Аватар пользователя Не_Пью

Существует множество X такое, что ? ∈ X и для всякого Z, принадлежащего X, множество Z ∪ {Z} также принадлежит X».

На месте знака вопроса в вашем копи-пасте (это я его поставил) должен находится символ пустого множества.

Ой, нет, действительно, при копировании на сайт из вордовской версии исчез значок пустое множество. Видимо, его нет среди местных символов. Но об этом и так можно было догадаться.

Вы бы лучше догадались не с десятого раза свои ошибки замечать...:((

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 23 Февраль, 2018 - 20:33, ссылка

Вы бы лучше догадались не с десятого раза свои ошибки замечать

Сосредоточимся на технической ошибке? Логические ошибки, допущенные в рассуждениях, вас больше не интересуют?

Аватар пользователя Не_Пью

Логические ошибки, допущенные в рассуждениях, вас больше не интересуют?

Но вы же так и не предоставили аргументы в ответ на мою просьбу: аргументы - в студию. Так что, ждем-с...

Аватар пользователя Фристайл

Да вроде как это коммент к вашему посту. Впрочем, вы правы в том, что я не сдержался. Увидел очередную глупость в вашем исполнении, и теперь корю себя за собственную глупую попытку объяснить глупцу, что он глупец.

Аватар пользователя Пенсионер

Фристайл, 22 Февраль, 2018 - 18:57, ссылка

корю себя за собственную глупую попытку объяснить глупцу, что он глупец.

Пусть я глупец, но всё же не настолько, чтобы не видеть того, что никаких "объяснений" вы не даёте. Просто назвали всё, что я написал на ФШ, глупостью - и дело с концом. Легко и просто! Зачем корпеть над аргументами? Быть умником, оказывается, гораздо легче, чем быть глупцом.

Аватар пользователя Lak

Энергия и масса вселенной, как конечная так и бесконечная одновременно, в этом трудно обьяснимый парадокс

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 24 Февраль, 2018 - 10:58, ссылка

Но вы же так и не предоставили аргументы в ответ на мою просьбу: аргументы - в студию. Так что, ждем-с...

Вот это совсем другой разговор! Продолжаем вести себя корректно. (Начал сверху страницы, чтобы расширить поле для текста).

Аргументов у меня нет, у меня сплошные претензии. Аргументы я могу предоставить, защищая дихотомическую теорию множеств, которую построил на основе дефиниции понятия "множество".

В математической же теории множеств, основанной Кантором, и по сей день отсутствует мало-мальски точное определение ключевого понятия "множество". Поэтому я не понимаю, как можно складывать элементы и множества. Сложить элементы двух разных множеств - это ещё туда-сюда (хотя логикой индукция запрещается). Сложить два подмножества - это тоже понять нетрудно.

Но как сложить элемент с множеством, да ещё пустым - убейте, не понимаю!

Смотрите, как, по моему мнению, выглядит эта суть.

Возьмём простейшее множество A:

{Вася, Маша, Петя}

Возьмём второе множество B:

{Фёдор, Екатерина, Варвара}

Конъюнкция этих множеств A?B (под знаком вопроса надо понимать знак конъюнкции, здесь этот символ не проходит):

{Вася, Маша, Петя, Фёдор, Екатерина, Варвара}

Но это справедливо лишь в случае объединения элементов. А что надо сделать, чтобы сложить элементы первого множества со вторым множеством? Пишем:

Вася, Маша, Петя + {Фёдор, Екатерина, Варвара} = ?

Чтобы осуществить такую операцию, надо понимать смысл того, что мы складываем. Что ж, давайте этот смысл назначим:

А – это шайка разбойников;

B – это семья Ивановых.

Складываем – получаем абсурд. Почему? Видимо, потому, что мы сами не ведаем, что творим. Определений-то у нас нет!

А теперь сравните эту ситуацию с той, которая складывается при наличии нужной дефиниции.

МНОЖЕСТВО определено тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:

  1. задано общее свойство всех элементов данного множества;
  2. вне пределов данного множества не остаётся ни одного элемента, обладающего заданным свойством;
  3. внутри данного множества нет ни одного элемента, не обладающего заданным свойством.

Вводим определение кардинального свойства (продолжая терминологию Кантора):

Общее свойство, которое есть у всех без исключения элементов данного множества и нет ни у одного элемента за пределами данного множества, назовём КАРДИНАЛЬНЫМ СВОЙСТВОМ.

Если проследить за действиями математиков с этой позиции, картина вырисовывается удручающая:

Пусть элемент а – это число 7.

А кардинальное свойство элементов множества {b} – это температура 36,6°С.

Сложили семёрку с температурой – что получили?

Получили, как и полагается в таких случаях, полную бессмыслицу. Строго по логике. По математической.

Возможно, в существующей теории множеств всё объясняется совсем не так, как я здесь изложил, но тогда укажите мне на мою ошибку. Освободите меня от ненужных терзаний по этому поводу.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Насчёт необходимости иметь определение самого понятия множество я с вами согласен. В этом смысле позиция математиков заключается в том, что они вроде как гордятся тем, что у них такого определения нет. Чуть ли не каждый учебник по теории множеств начинается с торжественного провозглашения, типа: что такое множество - мы не знаем, но можем на пальцах попытаться объяснить - ну эта такая штуковинка, когда чего-то много, хотя в принципе может быть и вообще ничего, но всё же называться множеством... короче - вы ж понимаете, житуха сейчас такая... и т.д. И всё было бы не так страшно, если бы эти суки - математики - после такого заявления не претендовали бы на создание самого точного инструмента, который только возможен во Вселенной. То есть, основываясь в самом главном (в понятии множество) на положении првозглашенном религиозным фанатиком в порыве достучаться до бога (что равносильно порыву алкоголика добыть бутылку в период запоя) они требуют в дальнейших рассуждениях такой точности, о которой и не мечтал Создатель, в которого они уверовали. Например, вводя понятие бесконечность в качестве аксиомы.

Однако, вернёмся к нашим баранам об определении понятия множество. Не кажется ли вам, что есть ЕЩЁ что-то, что стоит по иерархии чуть выше, чем провозглашенные вами a. b. c. условия? То есть, то, что стоит как бы на подступах к даче определения математического понятия множество.

Аватар пользователя Пенсионер

Спокус Халепний, 25 Февраль, 2018 - 00:33, ссылка

Например, вводя понятие бесконечность в качестве аксиомы.

О, если бы! Математики не замечают даже того, что их аксиома бесконечности на самом деле не является аксиомой. Вдумайтесь в её содержание - это же самая типичная теорема или, на худой конец, учебная задача, с той лишь разницей, что решение ни из чего не выводится, ибо не заданы ни начальные условия, ни правила выводимости (правила образования всё новых множеств с помощью пустого множества), ни, что самое поразительное, у них нет ни одной аксиомы, необходимой для доказательства данной теоремы или для решения данной задачи. Аксиома - это утверждение, принимаемое без доказательства. А что мы имеем в их "аксиоме"? Именно что доказательство, т.е. решение чего-то там непонятно заданного. Словом, классическая апория Зенона.

Не кажется ли вам, что есть ЕЩЁ что-то, что стоит по иерархии чуть выше, чем провозглашенные вами a. b. c. условия? То есть, то, что стоит как бы на подступах к даче определения математического понятия множество.

Ну, разумеется, я отдаю себе отчёт в том, что теория множеств может быть построена и на другом определении понятия "множество". И не совпадающих версий таких определений разные авторы могут насочинять не только три, как в существующих геометриях, а гораздо больше.

Я ведь выводил свою формулировку из практической надобности, когда поставил себе целью превратить философию в точную аксиоматическую теорию наподобие геометрии.

И вот берусь я что-либо в очередной раз утверждать, и тут же себя одёргиваю: а на каком основании, собственно? Откуда это следует и чем доказывается? И тогда я с ужасом обнаруживал, что логика сформирована ещё далеко не вся, в ней отсутствует огромное множество законов и правил, без которых гуманитарную сферу аксиоматизировать не удастся. И мне пришлось восполнять пробелы, но только, в отличие от абстрактных кабинетных мыслителей, я это делал в процессе построения конкретной модели.

Вот так меня записали в сумасшедшие.

Аватар пользователя Не_Пью

Вася, Маша, Петя + {Фёдор, Екатерина, Варвара} = ?

Ваша запись не совсем корректна, ну, да ладно - суть вопроса ясна.

Для сложения элементов и множества необходимо предварительно преобразовать каждый элемент в множество этого элемента, помня, что a = {a}. После этого каждое единичное множество сложить с заданным множеством. Т.е.:

Вася = {Вася}

{Вася} + {Фёдор, Екатерина, Варвара} = {Фёдор, Екатерина, Варвара,Вася}

и т.д.

Идея с кардинальными свойствами не пройдет, поскольку теория множеств, как вся математика работает с абстрактными объектами. Если у них и есть свойства, то это свойства абстрактных объектов, а не реальных. Забота о том, чтобы при применении математики в реальной жизни не было проблем, связанных с реальными свойствами, всецело лежит на пользователе. Иначе, мы  до сих пор пытались бы сложить 2 яблока и три апельсина. И в этом смысле никакие кардинальные свойства в теории множеств не нужны.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 25 Февраль, 2018 - 16:48, ссылка

Идея с кардинальными свойствами не пройдет, поскольку теория множеств, как вся математика работает с абстрактными объектами.

Если использовать вашу терминологию, то все без исключения теории работают с абстрактными объектами - оперируют понятиями, а не их реальными денотатами (прототипами) в окружающей действительности.

Что такое множество натурального ряда? Это множество элементов, кардинальным свойством которых является "целые положительные числа".

Что такое область допустимых значений? Это опять-таки множество, за пределами которого не может быть решений данной задачи. Стало быть, кардинальным свойством ОДЗ является свойство, которое можно назвать допустимость, или возможность быть решением. Если это множество пустое, то данная задача решений не имеет.

Что такое окружность? Это множество точек, кардинальным свойством которых является их равноудалённость от некоторой заданной точки.

Признаться, немного удивлён. Не верю, что вашим единственным посылом является: "во что бы то ни стало возражать! возражать! возражать!"

Теперь по поводу аксиомы бесконечности.

Ранее вы согласились, что элементы двух подмножеств являются также элементами множества U.

Перечислим элементы бесконечного множества, полученного по аксиоме:

а; ничто; ничто; ничто...

где ничто - это содержимое пустого множества, которое можно назвать и так: "ни одного элемента".

С учётом сказанного, можно записать иначе:

а; ни одного элемента; ни одного элемента; ни одного элемента...

Так сколько же элементов в бесконечном множестве?

Аватар пользователя Не_Пью

Что такое множество натурального ряда? Это множество элементов, кардинальным свойством которых является "целые положительные числа".

Проблема в том, что вы смешиваете под понятием "кардинальные свойства", как свойства абстрактных, так и свойства реальных объектов. Этого делать нельзя.

Признаться, немного удивлён. Не верю, что вашим единственным посылом является: "во что бы то ни стало возражать! возражать! возражать!"

Давайте без глупостей, а! А то я просто прекращу обсуждение.

Перечислим элементы бесконечного множества, полученного по аксиоме:

а; ничто; ничто; ничто...

Каким образом вы это получили? Из аксиомы это не следует.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 25 Февраль, 2018 - 21:42, ссылка

Каким образом вы это получили? Из аксиомы это не следует.

А что следует? Объясните.

Аватар пользователя Не_Пью

А что следует? Объясните.

Как что? Следует существование, по меньшей мере, одного бесконечного множества.

В любом случае, в множестве может содержаться только одно пустое подмножество.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 25 Февраль, 2018 - 22:05, ссылка

В любом случае, в множестве может содержаться только одно пустое подмножество.

Итак, в бесконечном множестве содержится только одно пустое множество. Стало быть, если его изъять, то оно перестанет быть бесконечным? Зачем оно вообще нужно, если в новом множестве, откуда ни возьмись, появилось бесконечное множество элементов: а, b, c...

Откуда они? Ведь сначала был всего один элемент а. Возникновение нечто из ничего?

Аватар пользователя Не_Пью

Итак, в бесконечном множестве содержится только одно пустое множество. Стало быть, если его изъять, то оно перестанет быть бесконечным?

Нет, оно останется бесконечным. См. свойства бесконечных множеств.

Зачем оно вообще нужно, если в новом множестве, откуда ни возьмись, появилось бесконечное множество элементов: а, b, c...

Пустое множество содержится во всех множествах. Это, если угодно, родовая метка множества. 

Откуда они? Ведь сначала был всего один элемент а. Возникновение нечто из ничего?

Что значит откуда? Они "возникли" в соответствии с выражением: для каждого b принадлежавшему a, если b принадлежит a... и т.д.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Пустое множество содержится во всех множествах. Это, если угодно, родовая метка множества. 

Это замечательная аксиома, перед которой сразу хочется встать на колени.

Заметьте, между нами говоря (но чтоб, не дай бог, Аристотель не услышал): с одной стороны аксиома говорит, что ЕСТЬ ТОЛЬКО ОДНО пустое множество. А другая аксиома провозглашает, что это одно единственное (мы за ценой не постоим) пустое множество содержится во ВСЕХ множествах.

И тут мы обнаруживаем. что нас подслушал Аристотель, который, впрочем, сразу застрелился, потому что изначальные понятия ОДНО и ВСЕ слились в экстазе - в одно одно.

Аватар пользователя Не_Пью

Это замечательная аксиома, перед которой сразу хочется встать на колени.

Не нужно подавлять желания, поэтому  встаньте, если хочется.:)

Заметьте, между нами говоря (но чтоб, не дай бог, Аристотель не услышал): с одной стороны аксиома говорит, что ЕСТЬ ТОЛЬКО ОДНО пустое множество.

А что, их могло бы быть и несколько?

А другая аксиома провозглашает, что это одно единственное (мы за ценой не постоим) пустое множество содержится во ВСЕХ множествах.

Ну да и что?

потому что изначальные понятия ОДНО и ВСЕ слились в экстазе - в одно одно.

Из чего это следует?

Аватар пользователя Спокус Халепний

Вас не смущает, что пустое множество, которое согласно аксиоме может быть только ОДНО, согласно другой аксиоме (в рамкках единой аксиоматике) содержится во ВСЕХ множествах?

Аватар пользователя Не_Пью

Вас не смущает, что пустое множество, которое согласно аксиоме может быть только ОДНО, согласно другой аксиоме (в рамкках единой аксиоматике) содержится во ВСЕХ множествах?

Абсолютно не смущает, поскольку в рамках теории множеств: {{},{},{},...} = {{}} = {}.

Аватар пользователя Спокус Халепний

То есть, вас не смущает это, потому что имеется возможность эту логическую несуразицу записать с помощью условных математических обозначений?
 

Аватар пользователя Не_Пью

Нет, не поэтому. А всего лишь потому, что это вовсе не несуразица. Во всяком случае, ее несуразность вами никак не аргументирована. Что может смущать в том, например, что  атом водорода присутствует во всех углеводородах?
 

Аватар пользователя Спокус Халепний

Что может смущать в том, например, что  атом водорода присутствует во всех углеводородах?

Ничего не смущает. Но если бы вы сказали, что существует только ОДИН атом водорода, то меня бы смутило, если бы он присутствовал во МНОГИХ молекулах.

Аватар пользователя Не_Пью

Если вы захотите сформировать множество типов атомов входящих в углеводороды, то в этом множестве он будет один. И в этом же смысле, пустое множество является подмножеством всех множеств.

Аватар пользователя Спокус Халепний

пустое множество является подмножеством всех множеств.

Раз кому-то данная аксиома нужна... ну что ж, поверим им на слово. Но ведь им нужна и другая аксиома, о том, что есть только одно пустое множество. Образуется противоречие, т.к. получается, что под понятием ВСЕ следует понимать НЕ БОЛЬШЕ ОДНОГО.

На это вы возражаете: дивись-но, дядько, сколько во Вселенной нашей водорода! А ты, мол, скулишь тут!

 

Аватар пользователя Не_Пью

Но ведь им нужна и другая аксиома, о том, что есть только одно пустое множество.

Оно одно не в том смысле, что "одын я, совсэм одын":), а в том смысле, что {} + {} = {}. Другими словами, сколько не прибавляй к пустому множеству пустых множеств, а все-равно получится то же самое пустое множество.

Аватар пользователя Спокус Халепний

О!!! Вы заговорили о смысле! Браво!

Итак, если аксиома нам говорит, что существует ТОЛЬКО ОДНО пустое множество, то вы не имеете право даже произнести такие крамольные слова, как: "прибавить к пустому множеству пустое множ..." Откуда у вас взялось второе пустое для прибавления к единственному пустому? Кто вам его подбросил? Это фальшак! За это можно и в цугундер угодить!

Аватар пользователя Не_Пью

Мда-а... Боюсь, что мое красноречие по этому вопросу исчерпано.:( Успехов в оригинальных трактовках теории множеств!

Аватар пользователя Спокус Халепний

Я совершенно искренне расчитывал на вашу помощь как человека разбирающегося в этой области. Если вам не по душе вольный стиль моих возражений, то готов перейти на академический - скучно осогбенно не будет (: потому что просто сразу наступит лёгкая и быстрая смерть от скуки :).

Аватар пользователя Не_Пью

Нет, дело здесь совершенно не в вашем стиле. Я просто действительно не вижу каким образом я смог бы объяснить по-другому. И дело здесь, на мой взгляд, уже не в теории множеств, а в специфике вашего мировосприятия, поскольку восприятие аксиоматики построено на самоочевидности, а не на доказательстве. Конечно, что-то можно и объяснить, но далеко не все. Ясно, что в вашем случае механизм самоочевидности почему-то не срабатывает. Почему он не срабатывает, я, к сожалению, не знаю...

Аватар пользователя Спокус Халепний

Формулировка и использование аксиом, как все это хорошо знают, возникло очень давно. Ещё до Евклида.

А вот аксиоматика как целостное понятие, т.е. как система аксиом (а не просто несколько утверждений, которым "приказали" быть аксиомами) по-настощему возникла около ста лет назад. Гильберт был одним из основоположников аксиоматики теории множеств, на базе которой начали строить ВСЮ математику.

Так вот, первое правило в таком подходе - аксиомы не должны противоречить друг другу. Гильберт даже провозгласил красочную максиму для математических объектов: "Существует всё, что непротиворечиво". То есть, если нечто описанное не противоречит системе аксиом, то такой математический объект следует считать существующим.

Так вот, я ищу помощь, т.к. не могу нигде прочесть в явном виде некую, как по мне(!) элементарщину, которую можно сформулировать так: а) согласно Гильберту&K математический объект считается законным, если он не противоречит заданной системе аксиом; б) мне не ясно - разрешается ли формировать такой математический объект, сам способ формирования которого нарушает аристотелевские законы тождества, непротиворечия и исключённого третьего? В этом смысле я и не понимаю теорию множеств, т.к. вижу на каждом шагу расхождения с аристотелевскими законами рассуждений.

P.S. Подробней об этом можно посмотреть в моей книжечке на последних страницах (в Приложении).

Аватар пользователя Не_Пью

... разрешается ли формировать такой математический объект, сам способ формирования которого нарушает аристотелевские законы тождества, непротиворечия и исключённого третьего? В этом смысле я и не понимаю теорию множеств, т.к. вижу на каждом шагу расхождения с аристотелевскими законами рассуждений.

В общем случае - да, разрешается. Объясню почему. Дело в том, что аристотелева логика отражает мир Сущий, а математика - мир Бытия. При этом, Бытие нужно понимать не в аристотелевском смысле (бытие - в возможности, сущее - в действительности), а гораздо шире (я предпочитаю понимать Бытие, как то, относительно чего нельзя помыслить "вне"). Математика черпает свое содержание непосредственно из Ничто и поэтому она далеко не всегда описывает реальность. И в этом смысле, поверять теорию множеств можно исключительно посредством ее правил.

Поясню на примере. В вашей книжке вы разбираете парадокс Рассела, и вас смущает понятие "множество содержащее само себя в качестве элемента". При этом вы пытаетесь использовать аристотелеву логику вместо правил (логики) теории множеств и получаете противоречие. А давайте попробуем использовать формальные правил теории множеств.

Итак, имеются множества: а, b, c. Формируем множество d = {a, b, c}. Это множество не включает себя в качестве элемента. Сформируем множество d1 = {a, b, c, d}. Теперь нам остается только сравнить два множества d и d1, и, если они окажутся равными, то запись d = {a, b, c, d} корректна в рамках теории множеств. Для того, чтобы сравнить эти множества нужно объединить все подмножества, входящие в каждое из этих множеств. Нетрудно увидеть, что  d и d1 равны, поскольку с очевидностью каждый элемент множества d, после объединения входящих в него множеств, будет являться элементом множества d1  и наоборот. Таким образом, мы доказали, что добавление себя в качестве элемента множества корректно в рамках теории множеств.

 

Аватар пользователя Спокус Халепний

 аристотелева логика отражает мир Сущий, а математика - мир Бытия...

 Стоп! Заметьте, я говорю лишь о законах правильного мышления аристотеля - законов, которые говорят о возможных ошибках рассуждений. Ну, когда нарушаются закон непротиворечия, тождества... То есть эти законы не о бытии, не о реальности (объективной, субъективной, божественной или просто ангельской), а о выстраивании рассуждения. Эти законы предохраняют нас от неправильного мышления. Если позволено нарушать эти законы, то нет ничего такого, чего мы не могли бы доказать. Это была бы В ПОЛНОМ СМЫСЛЕ СЛОВА ситуация, когда ВСЁ ПОЗВОЛЕНО - любой абсурд можно было бы признавать, т.к. полученные противоречия - не считались бы нарушениями.

Итак, имеются множества: а, b, c. Формируем множество d = {a, b, c}. Это множество не включает себя в качестве элемента. Сформируем множество d1 = {a, b, c, d}. Теперь нам остается только сравнить два множества d и d1

Не совсем корректно. Множество d имеет вид: {{a},{b},{c}} т.к. вы определили a, b и с как множества.

Давайте упростим. Просто имеем множество d = {a, b, c} где a, b и c - его элементы. Теперь помещаем само себя в это множество. Получим d1 = {a, b, c, {d}}

У нас было в d три элемента, а в d1 стало: эти же три элемента и подмножество d. Вы хотие сказать, что можно "безболезненно" отбросить фигурные скобки вокруг d ? Как вроде их и не было?

Аватар пользователя Не_Пью

То есть эти законы не о бытии, не о реальности (объективной, субъективной, божественной или просто ангельской), а о выстраивании рассуждения.

Заблуждаетесь. Логика это универсальный язык описания реальности.  Описания реальности, а, вовсе, не рассуждения о реальности, и, уж, тем более, не мышления. Мы лишь облекаем наши рассуждения в логическую форму, чтобы удостовериться в соответствии наших рассуждений реальности, а  также для того, чтобы сделать возможной коммуникацию.

Если позволено нарушать эти законы, то нет ничего такого, чего мы не могли бы доказать.

 Да, но только у большинства из всего этого не будет никакой связи с реальностью, с сущим. В математике этого добра навалом. Но, порой, эти "безумные" теории очень хорошо вписываются в реальность, в результате чего мы начинаем лучше ее понимать.

Множество d имеет вид: {{a},{b},{c}} т.к. вы определили a, b и с как множества.

У-у-у, как все запущено!:) Вы не правы: {a} означает неименованное множество с одним элементом - a. А моя запись корректна, потому что я заранее объявил  a, b и с множествами.

Все остальные выкладки тоже записаны неверно.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Вы не правы: {a} означает неименованное множество с одним элементом - a.

Согласен. Шибко быстро писал.

Итак у нас есть d= { a, b, c } где a,b и c - элементы множества d.

Теперь d1 = {a, b, c, d} где a,b и c - это по-прежнему элементы, но теперь уже множества d1, а также d - множество, являющенеся подмножеством d1. То есть у d1 один из элементов является множеством. Или правильне сказать: d1 содержит некое подмножество, чего в d не было. Как же можно говорить о тождестве d и d1 (т.е. о само в себе, ведь само и себе - получается НЕ одно и то же).

Аватар пользователя Не_Пью

Теперь d1 = {a, b, c, d} где a,b и c - это по-прежнему элементы, но теперь уже множества d1, а также d - множество, являющенеся подмножеством d1. То есть у d1 один из элементов является множеством. Или правильне сказать: d1 содержит некое подмножество, чего в d не было. Как же можно говорить о тождестве d и d1

А, если d=1; d1=1*3+2-4, то тождественность d и d1 вас не смущает?

Или еще нагляднее: d = 2*d+4?

Аватар пользователя Спокус Халепний

Меня смущает, что в d1 = {a,b,c,d} , где a,b и c - элементы, а d - подмножество... так вот вдруг оказывается, что нет никакой разницы в том, что d - некое подмножество, а a,b,c - не являются подмножествами. И у нас получается, множество - хуёжество - лишь бы был здоров, т.е. ТОЧНО, как в анекдоте: - Ты знаешь, Абрам умер.  - Ну и хорошо: умер-шмулер - лишь бы был здоров.

 

Аватар пользователя Не_Пью

Что-то вас опять клинит...:(( Ведь все элементарно просто: в том же алгебраическом уравнении вы можете заключить в скобки любую группу членов уравнения и вам за это ничего не будет. В теории множеств, по-сути, то же самое: вы можете объединить любую группу элементов в подмножество и вам за это, опять-таки, ничего не будет. Это просто разрешенные формы записи одного и того же содержания.
 

Аватар пользователя vlopuhin

Не_Пью, 28 Февраль, 2018 - 15:03, ссылка

В общем случае - да, разрешается. Объясню почему. Дело в том, что аристотелева логика отражает мир Сущий, а математика - мир Бытия.

И следом:

  Теперь нам остается только сравнить два множества d и d1, и, если они окажутся равными, то запись d = {a, b, c, d} корректна в рамках теории множеств. Для того, чтобы сравнить эти множества нужно объединить все подмножества, входящие в каждое из этих множеств.

Смею сказать, что так дело не пойдёт, доказывать на яблоках заведомо проигрышный вариант. Предлагаю другой вариант, что то вроде "Курить не только вредно, но и полезно", или по другому : к черту аристотелевский закон тождества, дурная бесконечность двигатель прогресса, без неё ни один генератор не запустится. В принципе можно и по Аристотелю, только тогда придётся признать, что в записи d1 = {a, b, c, d} d это не само множество, а ссылка на него, подстава то есть, слово есть, а жопы нет. Ну не выполняется закон тождества в том Виде, в котором его лепят здесь Спокус с Пенсионером, пока встраивали d в d1, оно трошки скуксилось. Что же теперь и не жить вовсе?

Аватар пользователя bulygin69

Абсолютно не смущает, поскольку в рамках теории множеств: {{},{},{},...} = {{}} = {}.

 

Если вы отстаиваете общепринятое толкование теории множеств, то ваша запись неверна.

Это {{}, {}} = {{}} верно

Это {{}} = {} неверно.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

0 = | {} |

1 = | { {} } |

2 = | { {}, { {} } } |

 

Если бы {{}} = {} было верно, то { {}, { {} } } было бы тоже, что { {} } и было бы тоже, что {} 

http://wp.wiki-wiki.ru/wp/index.php/Натуральное_число 

Аватар пользователя Не_Пью

Да, запись оказалась действительно неудачной... Не знал, что подобная символика занята для записи натуральных чисел. Спасибо за замечание!

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 25 Февраль, 2018 - 22:46, ссылка

Они "возникли" в соответствии с выражением: для каждого b принадлежавшему a, если b принадлежит a... и т.д.

Вы не ошиблись в записи? Всюду именно b, c..., а не {b}, {c}...?

Если каждое b принадлежит a, то либо "элемент принадлежит элементу", либо "элемент принадлежит множеству", либо "множество принадлежит множеству", либо, что совсем уж зашкаливает, "множество принадлежит элементу".

Вариантов несколько, обратите внимание на эту разницу в записи:

Сколько же элементов и сколько множеств у нас задано изначально? Вас не смущает "пустое множество принадлежит элементу а + ..."?

Аватар пользователя Не_Пью

Вы не ошиблись в записи?

Не ошибся.

Если каждое b принадлежит a, то либо "элемент принадлежит элементу", либо "элемент принадлежит множеству", либо "множество принадлежит множеству", либо, что совсем уж зашкаливает, "множество принадлежит элементу".

Вы правы, в символической записи аксиомы присутствует неоднозначность. Но у вас же есть формулировка из мат.энциклопедии, там все однозначно.

Аватар пользователя Горгипп

Вы об абстрактной бесконечности числового ряда... А конкретную бесконечность в пример привести можете? Говорили обычно о бесконечности Вселенной. Недавно узнаю, что её размер определяют в 94 млрд. световых лет. Конечный (!).

Аватар пользователя Lak

От минус 273 по цельсии и до бесконечности с плюсом???

Аватар пользователя Пенсионер

Горгипп, 25 Февраль, 2018 - 12:04, ссылка

Вы об абстрактной бесконечности числового ряда... А конкретную бесконечность в пример привести можете?

А почему числовой ряд абстрактен? Почему не конкретен?

Аватар пользователя Горгипп

Если укажете, где живут и плодятся числа в дикой природе вроде перелётных птиц, признаю их конкретность.

Аватар пользователя Пенсионер

Горгипп, 25 Февраль, 2018 - 12:04, ссылка

Вы об абстрактной бесконечности числового ряда... А конкретную бесконечность в пример привести можете?

Пенсионер, 25 Февраль, 2018 - 13:56, ссылка

А почему числовой ряд абстрактен? Почему не конкретен?

Горгипп, 25 Февраль, 2018 - 14:18, ссылка

Если укажете, где живут и плодятся числа в дикой природе вроде перелётных птиц, признаю их конкретность.

Видимо, вы по-своему и весьма оригинально трактуете смысл понятий "абстрактное" и "конкретное". Благодарите Бога, что вас не слышат Спокус с Болдачёвым, а то бы они уж накрутили вам хвоста, не сомневайтесь.

Ну да ладно, внимайте и набирайтесь ума.

Вам, наверное, и невдомёк, но мыслите вы отнюдь не реальными (по-вашему - конкретными) перелётными птицами, обитающими в дикой природе, а понятиями об этих птицах и этой природе (по-вашему абстракциями).

Так вот, конкретные птицы живут и плодятся в дикой природе, а абстрактные птицы живут и плодятся в окультуренном сознании Homo sapiens.

Таким образом, конкретные птицы подчиняются физическим законам природы, а абстрактные птицы подчиняются законам логики, то есть законам правильного мышления. Неправильному мышлению они не подчиняются, начинают вести себя алогично, безобразничают и ведут себя самым непредсказуемым образом.

Так вот. Сколько конкретных птиц в дикой природе? Какую бы историческую эпоху вы ни приняли к рассмотрению, я, полагаю, их конечное число. А абстрактных птичек - вы даже себе представить не сможете, какая их прорва! Бесконечное множество! Правда, настаивать на этом не буду, не считал.

Аватар пользователя Горгипп

весьма оригинально трактуете смысл понятий "абстрактное" и "конкретное". Благодарите Бога, что вас не слышат Спокус с Болдачёвым,

Понятие - абстракция, денотат - конкретное.  Не знаю как Спокус, а Болдачёв в таких вещах разбирается.

 конкретные птицы подчиняются физическим законам природы, а абстрактные птицы подчиняются законам логики, то есть законам правильного мышления

 Позвольте не поверить)) 

 

Аватар пользователя Пенсионер

Горгипп, 26 Февраль, 2018 - 09:49, ссылка

 конкретные птицы подчиняются физическим законам природы, а абстрактные птицы подчиняются законам логики, то есть законам правильного мышления

Позвольте не поверить))

Как же так? Вы только что сами пояснили смысл понятия "абстракция":

Понятие - абстракция, денотат - конкретное.

А раз абстракция - это понятия, то оно просто обязано подчиняться законам логики (законам мышления). Ведь мыслим мы не конкретными (реальными) утками, подчиняющимся законам аэродинамики, а именно что понятиями о них. Или, по-вашему, наши мысли тоже подчиняются законам гравитации? Тяжёлые мысли ложатся на дно, а лёгкие воспаряют?

Аватар пользователя Горгипп

Вот! Мыслим понятиями об утках, или посредством абстрактного о конкретном. Смешно наверное, но утки тоже "подчиняются законам логики". 

Аватар пользователя vlopuhin

Потомучто число из натурального ряда и порядковый номер вещи разные. Например, банальная неспособность пронумеровать все атомы во вселенной зачастую выдаётся за доказательство абсурдности бесконечности. К тому же Вы так и не ответили, о чем Вы говорите?, в смысле есть ли у Вас представление/понимание, или всё с потолка?:

vlopuhin, 22 Февраль, 2018 - 07:38, ссылка

 Другими словами, Вы имеете хотя бы малое представление/понимание о том, о чем говорите? Скорее всего имеете, иначе бы не говорили. Тогда откуда вылезло слово "угадать"? Так Вы гадаете, или имеете представление/понимание?

Грубо говоря, подскажите, что мне делать, когда у меня измерительный прибор зашкаливает (показывает бесконечность)?

А для того, что бы Вы не обиделись в очередной раз, попробую растолковать, чего я добиваюсь. Если бы мы завели разговор о рыбалке, то не смотря на все разногласия, я думаю нашли бы общий язык. И, скажем, выяснили некоторые вещи, которые бы в корне изменили моё мнение о предмете примерно так: блин, а ведь действительно до сих пор я не имел понятия о рыбалке, или так: всё, что я раньше знал о рыбалке это полный пробел в знаниях. Всё дело в том, что я хотя бы приблизительно имею понятие и образное представление об обсуждаемом предмете. Хотелось бы добиться примерно того же самого в случае с бесконечностью. Допустим я отстал от жизни, и мои представления о бесконечности ложны, как же это определить, что то я не уверен, о чем Вы хотите сказать в теме под названием "бесконечность натурального ряда", собственно про бесконечность, или о чем угодно, только не о бесконечности? И краешком глаза про аксиому бесконечности. На мой взгляд смысл совсем в другом, а именно, для того, что бы в множество добавить элемент, для него сначала нужно подготовить/освободить место. Соответственно с кардинальным свойством нескладушки получаются, во-первых для начала бы не плохо было выяснить что такое свойство (откуда оно берётся? и куда девается), во-вторых, если вне множества нет и не может быть элементов обладающих кардинальным свойством, то само множество можно смело назвать химерой. Например, как уже где то говорили, множество слов на букву "ф" всегда будет пустым, либо в этом множестве будет единственный элемент слово "фсё". И тут уже, как мне кажется, медленно подкрадываемся к понятию системы.

Добавлю немного про кардинальное свойство. Сначала по взрослому, это в обоснование того, почему множество слов на букву "ф" будет всегда пустым, примерно по тому же, по чему всегда пустым будет множество "идеальный муж для блондинки": слепоглухонемой капитан дальнего плавания. И детский вариант: попали в яму медвежонок, зайчонок и лисёнок, день сидят, другой, жрать охота..., лисёнок говорит а давайте съедим самого младшего, мне три годика, зайчонок тебе скока? четыре?... Медвежонок: "А я, а мне... А я так дам, что весь аппетит пропадёт!" Вроде бы понятно теперь, что такое кардинальное свойство и что с ним делать?

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 28 Февраль, 2018 - 15:03, ссылка

Итак, имеются множества: а, b, c. Формируем множество d = {a, b, c}. Это множество не включает себя в качестве элемента. Сформируем множество d1 = {a, b, c, d}...

Давайте отбросим трость интеллектуального инвалида и обопрёмся на закон тождества, который для данного случая сформулируем так:

Всякий термин (имя) должен сохранять своё значение от начала до конца рассуждений.

Разберёмся с терминологией.

  1. Элементы: а, b, c.
  2. Подмножество: d = {a, b, c}.
  3. Множество: d1 = {a, b, c, d}

Для того, чтобы сравнить эти множества (d и d1) нужно объединить все подмножества, входящие в каждое из этих множеств.

Убеждаемся: d1 = {a, b, c, d} = {a, b, c, {a, b, c}} = {a, b, c} = d.

Таким образом, мы доказали, что добавление себя в качестве элемента множества корректно в рамках теории множеств.

То есть как это, позвольте, "доказали"?  Мы доказали как раз обратное:

Мы не смогли добавить множество в состав самого себя.

Аватар пользователя Не_Пью

Всякий термин (имя) должен сохранять своё значение от начала до конца рассуждений.

Вы выходите за пределы утверждений теории множеств.

Мы не смогли добавить множество в состав самого себя.

Я не вижу продуктивности в такой трактовке.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 28 Февраль, 2018 - 17:45, ссылка

Всякий термин (имя) должен сохранять своё значение от начала до конца рассуждений.

Вы выходите за пределы утверждений теории множеств.

Ничуть. Вот что вы утверждаете в рамках теории множеств:

запись d = {a, b, c, d} корректна в рамках теории множеств.

Нет, не корректна. Имя d есть и в правой, и в левой части записанного вами равенства. Разве могут эти имена означать одно и то же?

Пенсионер, 28 Февраль, 2018 - 16:24, ссылка

Мы доказали как раз обратное:

Мы не смогли добавить множество в состав самого себя.

Не_Пью, 28 Февраль, 2018 - 17:45, ссылка

Я не вижу продуктивности в такой трактовке.

Вопрос о продуктивности важен, но в данном случае он второстепенен. Сначала надо признать (или опровергнуть) истинность полученного заключения, которое противоположно вашему выводу.

Аватар пользователя Не_Пью

Имя d есть и в правой, и в левой части записанного вами равенства. Разве могут эти имена означать одно и то же?

Могут! И как только (и если) вы это поймете, все остальное для вас станет очевидным.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Давайте просто задумаемся во что превратилась бы математика (да и любая другая дисциплина) если бы в рамках одного целостного рассуждения мы под одним и тем же именем (обозначением) понмали бы нечто разное... а иногда - строго одинаковое? Короче, "захоцу вскацу, захоцу не вскацу!" [Достоевский, "Братья Карамазовы"]

 

Аватар пользователя Не_Пью

А давайте, без пафоса. Лучше просто приведите пример того, к чему ужасному приводит свойство самореферентности теории множеств.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Например, тогда получается, что часть может быть равна целому. То есть понятия часть и целое, которые мы использовали в куче областей знаний (и в математике - тоже), подразумевая, что часть меньше целого, теперь всё идёт насмарку. Остался один маленький шаг до признания того, что в Земном шаре есть ещё один шар, но большего размера. [Я.Гашек глава о Швейке в сумасшедшем доме]

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 28 Февраль, 2018 - 21:23, ссылка

Могут! И как только (и если) вы это поймете, все остальное для вас станет очевидным.

Боюсь, что я никогда этого не пойму. Утешает только то, что вы тоже кое-чего не можете - не можете этого объяснить.

Попробуем в последний раз, упростив задачу до предела: исправьте знак равенства на знак неравенства в уравнении, которое я вам предложил.

d1 = {a, b, c, d} = {a, b, c, {a, b, c}} = {a, b, c} = d.

Аватар пользователя Не_Пью

Я не понимаю, в чем смысл вашего предложения.:(

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 2 Март, 2018 - 14:58, ссылка

Я не понимаю, в чем смысл вашего предложения.:(

Вы добавили в множество d само это множество d и в результате некоторых математических процедур у вас выяснилось, что после такого добавления ничего не изменилось, то есть множество осталось тем же, чем оно было до добавления:

d1 = d.

По-моему, это значит, что мы не смогли добавить множество в состав самого себя.

По-вашему, это значит обратное: мы смогли добавить множество в состав самого себя.

Если я не прав, то укажите то место в записанном уравнении, где знак равенства неправомерен.

Аватар пользователя Не_Пью

По-моему, это значит, что мы не смогли добавить множество в состав самого себя.

По-вашему, это значит обратное: мы смогли добавить множество в состав самого себя.

В теории множеств нет понятия "смочь" или "не смочь". Я утверждал только следующее: включение в состав множества самого себя ничего в множестве не меняет, а значит и не противоречит теории множеств.

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 2 Март, 2018 - 17:46, ссылка

включение в состав множества самого себя ничего в множестве не меняет, а значит и не противоречит теории множеств.

А ранее вы писали совсем другое.

Пенсионер, 28 Февраль, 2018 - 16:24, ссылка

Мы не смогли добавить множество в состав самого себя.

Не_Пью, 28 Февраль, 2018 - 17:45, ссылка

Я не вижу продуктивности в такой трактовке.

У меня получается, что бесконечное множество нельзя получить путём добавления пустого множества к данному множеству . А вы упорно стоите на том, что аксиома бесконечности, принятая в теории множеств, логически безупречна.

Тупик? Нет возможности понять друг друга?

Аватар пользователя Не_Пью

А ранее вы писали совсем другое.

Пенсионер, 28 Февраль, 2018 - 16:24, ссылка

Мы не смогли добавить множество в состав самого себя.

Не_Пью, 28 Февраль, 2018 - 17:45, ссылка

Я не вижу продуктивности в такой трактовке.

Ну да, не вижу продуктивности, поскольку  теории множеств плевать с высокой колокольни на все, что мы смогли или не смогли.

У меня получается, что бесконечное множество нельзя получить путём добавления пустого множества к данному множеству.

А почему вы решили, что именно так нужно получать бесконечное множество?

Аватар пользователя Пенсионер

Не_Пью, 2 Март, 2018 - 18:20, ссылка

А почему вы решили, что именно так нужно получать бесконечное множество?

У меня такое чувство, что вы знаете решение, но скрываете его от меня намеренно, иначе давно бы уже всё объяснили. Продлеваете удовольствие?

Аватар пользователя Не_Пью

Вы еще и конспиролог.:)) Нет, я просто не понимаю, что именно вам там не понятно.

Совершенно очевидно, что при помощи многократного объединения с пустым множеством бесконечного множества не получить. Но эта аксиома вообще не о способе получения бесконечного множества. Она лишь утверждает, что такое множество существует.
 

Аватар пользователя vlopuhin

Пенсионер, 28 Февраль, 2018 - 19:10, ссылка

Давайте отбросим трость интеллектуального инвалида и обопрёмся на закон тождества, который для данного случая сформулируем так:

Всякий термин (имя) должен сохранять своё значение от начала до конца рассуждений.

Нет, Владимир Михайлович законы движения всё, закон тождества в Вашем варианте "тормоз перестройки", предлагаю такой вариант закона тождества:

Всякий термин (имя) в ходе рассуждений может изменить своё значение строго в соответствии с принятыми в теории тождественными преобразованиями.

Есть множество всех множеств, назовём его М. Тем самым допускается в М включать любое множество, предварительно забив в М место под новый элемент. И тут тождественный финт ушами, а не включить ли в М само М? Почему нет? Вы не согласны с тем, что М это множество? Так что либо М это множество, либо закон тождества в Вашем варианте в задний карман брюк, с таким подходом из гусеницы никогда не получится бабочка, и как я уже Вам говорил, ни одна рыбка на крючок не сядет. "Там брат умирает, ухи просит" ( ссылка ), а Вы мне тут про "ошибку в условиях" голову морочите.

Добавлено.

Ах да, забыл про обоснования:

- А на кой хрен в таком случае вообще Вам понадобились рассуждения? Всякий термин сохранит своё значение и без Ваших на то усилий, и в этой сессии, и во всех следующих.

- Если же в какой то момент значение должно измениться, то куда девается изначальное?

- Если изначальное значение вдруг вернётся на место, как Вы узнаете, что Вас не обманули, и не подсунули подпорченную копию?

Собственно для этого по всей видимости Вам и потребовались да-моны и не-моны, предмет каждое мгновение исчезает и воскрешается?

Аватар пользователя Спокус Халепний

Уважаемый Не_Пью, во-первых, спасибо вам, что находите время заниматься мною -"недогоняющим" в теории множеств. Во-вторых, я переношу сюда продолжение моего "недогоняния", потому что предыдущая ветка стала узковатой.

Итак, мы говорили о размещении множества в самом себе. Да, меня действительно клинет и вводит в ступор само выражение на русском языке, когда говорят что нечто может содержаться в самом себе. Может быть потому, что в таком случае понятие "содержаться в" у меня ассоциируется с понятием "входит в", и тогда слабость и беспомощность воображения давит на меня тем, что весь остальной мир прекрасно это себе воображает. Хотя,.. может быть это потому, что именно моё искалеченное сознание никак не может зайти по ступенькам в своё собственное сознание. Возможно, природа тут надо мной посмеялась, не проложив ко входу дорожки для инвалидов рядом со ступеньками. Короче, не откажите калеке в помощи.

Для примера вы предложили разобраться с неким множеством d, которое состоит из элементов a,b,c. То есть: d - это {a, b, c}. После добавления в это множество самого себя образуется множество {a, b, c, {d}}.

Далее вы говорите, что согласно аксиомам, множество d как {a,b,c} это то же самое, что множество d как {a,b,c,{d}}. Потому что в подмножестве {d} можно как бы безболезненно "раскрыть скобки" и у нас получится {a,b,c,a,b,c}, а это, в свою очередь, есть ничто иное как просто {a,b,c}.

Мне не ясно тогда понятие подмножество. Ведь как и во множестве элементы подмножества - это не просто любые сущности, которые вдруг пришли в голову, а сущности, обладающие каким-то признаком, позволяющим оформить некие сущности в множество (или подмножество). Следовательно, в конструкции {a,b,c,{d}} элементы подмножества d имеют какой-то отличительный признак, позволяющий такому подмножеству существовать. Следовательно, просто a,b,с чем-то должны отличаться от a,b,c представляющих собой подмножество. Не?

Первый же пример, который приходит в голову. Множество учеников в школе заданных фамилиями: {Иванов, Петров, Сидоров, Сергеев, Котов, Медведев,..}

Однако такое множество не может содержать однофамильцев. Поэтому вполне логичным (на мой взгляд) было бы оформление однофамильцев в подмножество в рамках этого множества: {Иванов, Петров, Сидоров, Сергеев, Котов, Медведев,.. {Петров, котов}}. В этом случае "открытие скобок" было бы некорректным. Не?

Опять же, получается, что оформление (или ликвидацию) подмножества в некоем множестве мы можем выполнять, так сказать, по велению сердца: если надо показать, что вхождение самого в себя это норма поведения нормального человека, то милости просим, т.е. нам наплевать на подмножество (можно не обращать внимание на фигурные скобки); а когда душа и сердце указывают на особую роль понятия подмножества, то за это будем бить по рукам и гнать поганой метлой с математического поля. Так?

 

 

Аватар пользователя Не_Пью

Да, меня действительно клинет и вводит в ступор само выражение на русском языке, когда говорят что нечто может содержаться в самом себе.

Но, ведь, есть рефлексия, в которой мышление обращено на самое себя. Вполне реальная вещь...

После добавления в это множество самого себя образуется множество {a, b, c, {d}}.

Еще раз: нужно писать  {a, b, c, d}, а не так, как вы. Вернее, так как вы писать тоже можно, но это не будет соответствовать предмету обсуждения.

Мне не ясно тогда понятие подмножество. Ведь как и во множестве элементы подмножества - это не просто любые сущности, которые вдруг пришли в голову, а сущности, обладающие каким-то признаком, позволяющим оформить некие сущности в множество (или подмножество).

Это не так. Я уже говорил об этом Пенсионеру, но повторю и вам: теории множества совершенно все-равно что вы объединяете в множества и подмножества. Ответственность за смысл подобных объединений полностью возлагается на исполнителя. Другими словами, множество не имеющее ни малейшего смысла для теории множеств ничем не отличается от прочих множеств.

Однако такое множество не может содержать однофамильцев.

Может. Такого запрета в теории множеств нет. Там есть утверждение: {a,a} = {a}. При этом как левая, так и правая запись имеют право на существование. Другое дело, что переход от {a,a} к {a} это аналогия сокращения  в арифметике.

Опять же, получается, что оформление (или ликвидацию) подмножества в некоем множестве мы можем выполнять, так сказать, по велению сердца: если надо показать, что вхождение самого в себя это норма поведения нормального человека, то милости просим, т.е. нам наплевать на подмножество (можно не обращать внимание на фигурные скобки); а когда душа и сердце указывают на особую роль понятия подмножества, то за это будем бить по рукам и гнать поганой метлой с математического поля.

Еще раз повторяю: работа с содержанием множеств не имеет никакого отношения к теории множеств. 

Кстати, а почему вас не смущает, что 2 + 3 = 5? Ведь, там может оказаться 2 яблока и 3 идиота.:)

Аватар пользователя Спокус Халепний

...теории множества совершенно все-равно что вы объединяете в множества и подмножества. Ответственность за смысл подобных объединений полностью возлагается на исполнителя.

Мне кажется, что тут есть путаница насчёт смысла объединения в множества (подмножества). Совершенно ясно, что теория множеств вообще не "дотрагивается" до того, что именно мы мыслим под элементами множеств или подмножеств. Договоримся, что к этому возвращаться больше не будем. Уже хотя бы потому, что если бы теория множеств зависела от таких смыслов, то сама теория стала бы необозримо бесконечной.

Я же говорю о другом. Множества и подмножества - это такие объединения элементов, для которых задан некий признак "быть в множестве (подмножестве)". Другое дело, что теории множеств плевать на содержание (смысл) этого признака. Но само наличие некоего признака (или признаков), как я считаю, должно быть обязательным, исходя из самого понятия множество.

Ещё более жёсткое условие, которое (как мне кажется) присуще множествам - это такой признак, который говорит о типе множества в рамках самой теории множеств. То есть, теория множеств не может не учитывать признак множества (признак, по которому "сформировано" множество), который она сама (теория множеств) ввела в свою теорию, если он присущ некоему множесту или подмножеству. Если в теорию введены, например, понятия элементы множества, подмножества, счётное множество, и т.д. то как минимум эти понятия должны чем-то отличаться, т.е. они имеют отличительные признаки, которые ограничивают некую "свободу делать с ними что хочу".

Вот я и говорю, что у вас получается, что рассматривая подмножества в множестве, мы имеем полную свободу действий с ними - такую, как будто самого понятия подмножество не существует. Ещё раз подчеркну: плевать какое содержание мы вкладываем при образовании подмножества! Важно только что есть такое содержание! Если бы такого содержания не было, то и не было бы понятия подмножество.

P.S. (: в примере складывания яблок с идиотами всё вполне законно; потому что и идиоту ясно, что яблоки и идиоты - находятся в одном подмножестве по признаку "наличие буквы 'о' в слове :)

Аватар пользователя Не_Пью

Множества и подмножества - это такие объединения элементов, для которых задан некий признак "быть в множестве (подмножестве)".

Кем задан? 

Вот я и говорю, что у вас получается, что рассматривая подмножества в множестве, мы имеем полную свободу действий с ними - такую, как будто самого понятия подмножество не существует.

"Неправда ваша, дяденька!" Я утверждал и утверждаю лишь, то, что мы в своих действиях должны руководствоваться только и исключительно правилами теории множеств, а все остальное, в том числе и т.н. "здравый смысл",  должны игнорировать.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Множества и подмножества - это такие объединения элементов, для которых задан некий признак "быть в множестве (подмножестве)".

Кем задан? 

Математика (как дисциплина) не интересуется кем заданы индикаторы, позволяющие выделять подмножества в множестве. Достаточно сказать просто задан. Потому что если такой индикатор не задан, то подмножество не может быть задано. Просто не надо путать явное задание индикатора с неявным, например, подразумеваемым, а также "скрываемым" под "одеждой" имени подмножества. К приимеру, когда мы говорим о подмножество чётных чисел, мы под именем "чётные числа" как бы скрываем явно выделенный индикатор, который вообще-то надо было бы точно описать в виде True-False, т.е. как результат функции, указывающей на принадлежность (True) элемента множества к данному подмножеству или непринадлежность (False).

Ещё раз. Важно, что такой индикатор есть - обязан быть (несмотря на то, что его часто не "видят", на него не обращают внимания, т.к. он присутствует как бы по умолчанию).

Иначе (без индикатора) - само понятие подмножество перестаёт быть понятием, оно становится неопределённым сочетанием каких-то букОв.

Аватар пользователя Не_Пью

Математика (как дисциплина) не интересуется кем заданы индикаторы, позволяющие выделять подмножества в множестве.

Если не интересуется, значит для нее они (индикаторы) не существуют.

Потому что если такой индикатор не задан, то подмножество не может быть задано.

Ваше утверждение не верно. Или докажите.

Иначе (без индикатора) - само понятие подмножество перестаёт быть понятием, оно становится неопределённым сочетанием каких-то букОв.

В теории множеств нет запрета считать  "неопределённое сочетанием каких-то букОв" множеством.

PS. Мне кажется, что вы уходите куда-то совсем в сторону от истины...

Аватар пользователя Спокус Халепний

Математика (как дисциплина) не интересуется кем заданы индикаторы, позволяющие выделять подмножества в множестве. Достаточно сказать просто задан.

Если не интересуется, значит для нее они (индикаторы) не существуют.

 Вы не учли мою фразу, которую я сейчас выделил жирным шрифтом.

 

Потому что если такой индикатор не задан, то подмножество не может быть задано.

Ваше утверждение не верно. Или докажите.

Наоборот, приведите пример подмножества, для которого не существует индикатор, по которму оно (подмножество) задаётся.

Иначе (без индикатора) - само понятие подмножество перестаёт быть понятием, оно становится неопределённым сочетанием каких-то букОв.

В теории множеств нет запрета считать  "неопределённое сочетанием каких-то букОв" множеством.

Прочтите внимательнее моё предложение. Я же ведь говорю о ПОНЯТИИ подмножество, а не о содержимом какого-либо подмножества. То есть, если существование индикатора отрицается в принципе, индикатора, - с помощью которого определяется принадлежит ли данный элемент к подмножеству или нет, - то само понятие (слово) подмножество становится неопределённым сочетанием букв, слово подмножество перестаёт что-либо обозначать. Ещё раз: сбивать с мысли тут могут примеры, когда этот индикатор присутствует неявно, например в обозначении какого-либо подмножества, типа, "подмножество целых чисел". В любом случае подразумевается некое универсальное множество (по отношению к рассматриваемому подмножеству), в котором с помощью какого-либо индикатора проверки элементов (на признак: "принадлежит/не_принадлежит") определяется подмножество. Можно ли задать подмножество иначе?

Аватар пользователя Не_Пью

Похоже, ваша проблема в том, что в своих рассуждениях и построениях вы постоянно пытаетесь выйти и выходите за пределы теории множеств (ТМ). А этого делать ни в коем случае нельзя.

В ТМ не определено понятие индикатора. Множества и подмножества в ТМ задаются совершенно произвольным образом - они просто объявляются. Вы можете задать признак или интдикатор,  или что-то еще, но это будет ваш способ практического пояснения, а, вовсе, не способ объявления. Например, когда вы говорите: множество натуральных чисел, то это значит, что вы пояснили объявление вот такого множества: {1, 2, 3, ..., n}, где n - целое число.
 

Аватар пользователя vlopuhin

Верно и обратное, для того, что бы число стало натуральным, достаточно включить его в множество натуральных чисел. То есть логика линейна, верно как то, что в прямом направлении, так и то, что в обратном. А это значит, что элемент можно преобразовать в множество, был один Брадобреев, стало множество, любой житель села Расселовка становится брадобреем, достаточно просто включить его в множество брадобреев, достаточно вручить Спокусу Российский паспорт, и он станет таким же гражданином России, как и я. Но вопрос в другом, что делать с потенциальной бесконечностью? Взять и запретить, как предлагает Пенсионер? "Им бы понедельники взять да отменить, вроде не бездельники и могли бы жить"? А куда девать бесконечное множество инопланетян - потенциальных Россиян?

Аватар пользователя Не_Пью

Но вопрос в другом, что делать с потенциальной бесконечностью?

Думаю, что, если ее не расчесывать, то обойдется.:) А в чем там проблема?

Аватар пользователя vlopuhin

Проблема в этой фразе: бесконечной может быть только человеческая глупость.

Аватар пользователя Не_Пью

Проблема в этой фразе: бесконечной может быть только человеческая глупость.

Ну, вот, и не надо ее расчесывать!

Аватар пользователя vlopuhin

В общем то да, получили производную (алгоритм вычисления) и всё, на бесконечность можно благополучно забить. Насколько такой подход соответствует человеческой сущности? Мир непознаваем. Истины нет. Да и идёт оно всё лесом, меньше знаешь, крепче спишь?...

Аватар пользователя Спокус Халепний

В ТМ не определено понятие индикатора. Множества и подмножества в ТМ задаются совершенно произвольным образом - они просто объявляются. Вы можете задать признак или интдикатор,  или что-то еще, но это будет ваш способ практического пояснения, а, вовсе, не способ объявления. Например, когда вы говорите: множество натуральных чисел, то это значит, что вы пояснили объявление вот такого множества: {1, 2, 3, ..., n}, где n - целое число.

При объявлении вот такого множества:  {1, 2, 3, ..., n}, где n - целое число... Вы сами же ввели индикатор, замаскировав его под фразу "где n - целое число". Иногда этот индикатор маскируется прямо в названии, например: рассмотрим множество чётных натуральных чисел.

В более строгом смысле в качестве индикатора обычно выступает специальная функция, которая индицирует выделение подмножества из множества. (см. например индикатор в математике).

Аватар пользователя Не_Пью

Вы сами же ввели индикатор, замаскировав его под фразу "где n - целое число".

Ну да, это пояснение. Мне просто лень было перечислять весь ряд натуральных чисел.:) К объявлению множества это никак не относится. Я уже говорил о том, что вы можете давать любые пояснения. Только не следует эти пояснения выдавать за утверждения ТМ и "будет вам щастье":).

В более строгом смысле в качестве индикатора обычно выступает специальная функция, которая индицирует выделение подмножества из множества. (см. например индикатор в математике).

Неправда, эта функция, вовсе, не "индицирует выделение подмножества из множества", а указывает на элемент принадлежащий множеству, который в то же время принадлежит и подмножеству, принадлежащему этому множеству. Ваша трактовка индикатора не имеет ничего общего с функцией принадлежности (индикатором) в ТМ.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Но всё же интересно было бы, если вы ответите на мою просьбу в пред-предыдущем сообщении: приведите пример подмножества, для которого не существует индикатор, по которму оно (подмножество) задаётся. Имеется в виду то, что не выполняет функцию индикатора выделения подмножества из некоего множества. О самом названии "индикатор" (или "признак", или "некое свойство", или "особенность", или "указатель на", или...) сейчас речи нет, т.к. мы о самой сути говорим.

Аватар пользователя Не_Пью

индицирует выделение подмножества из множества

Любое подмножество любого множества. Если вы не задаете индикатор, то его и не существует. Для примера, в качестве множества можно взять множество натуральных чисел, а в качестве подмножества: {4б, 171, 18}.

Аватар пользователя Спокус Халепний

То есть, в множестве натуральных чисел вы выбрали подмножество из трёх чисел, типа, на которых у вас случайно остановился глаз. Итак, индикатором выделения подмножества послужил "положенный случайным образом глаз непьющего" :)

Однако, даже если разобрать этот пример {46, 171, 18} то, как минимум, говорят о цели выделения именно такого подмножества, что и будет служить индикатором.

Короче, "даёшь выделение подмножества без индикатора!" Надо заступить на трудовую вахту и выдать на-гора хоть один пример! Партия зовёт!

Аватар пользователя Не_Пью

Извините, но вы пытаетесь отрицать очевидное. Это - жаль...