Предлагается решение задачи обоснования геометрии: как не впадая в ересь суммирования того, что не имеет размеров, то есть точек, ввести основные понятия геометрии (линия, прямая, поверхность, плоскость). Идея проста: не надо обсуждать то, что не дано непосредственно, то есть точки, давайте оперировать проявленным, однозначно выделяемым - границами. И тогда не придется искать ответ на вопрос: а сколько точек в отрезке длиной в 1 см, если он состоит из точек. В описании геометрии через границы отрезок - это фрагмент прямой между двумя границами. Можно и нужно, конечно, писать "между двумя точками", но имея в виду, что точка - это граница на линии. У этой границы, как и у каждой границы нет протяженности.
- исходно непосредственным неопределяемым понятием геометрии, что и естественно, является пространство - тут надо просто развести руками и сказать что-то типа "вот это все, где мы будем строить нашу геометрию;
- далее отмечается, что пространство делимо, в нем можно выделять области - можно показать руками шар или рассечь одной рукой пространство на две части;
- то, что отделяет одни области пространства от других областей следует называть границами, и очевидно, что границы не имеют толщины, то есть они ни из чего не состоят;
- поверхность - это граница между областями пространства
- линия - это граница между между областями на поверхности
- точка - это граница между областями на линии
Далее еще один важный момент: отмечаем, что точек (границ) на линии может быть множество. И если мы выделим на линии одну из точек, то все остальные точки на линии относительно нее будут характеризоваться неким свойством, которое можно назвать удаленностью. То есть некоторые точки на линии будут менее удалены (ближе) от выделенной точки, а другие более удалены (дальше).
Теперь можно ввести понятие "расстояние между точками в пространстве". Для этого отметим, что границы областей (точки) на разных линиях могут совпадать и линии с совпадающими точками будем называть пересекающимися (по сути, можно говорить, что границы на линии и задаются взаимным пересечением линий). Понятно, что две линии могут пересекаться во множестве точек. То есть через две точки на некой линии может проходить множество других линий, и на каждой линии из этого множества удаленность одной точки от другой будет разная. И среди всех линий найдется такая, на которой удаленность точек друг от друга будет минимальной. Эту линию будем называть прямой (по крайней мере, на отрезке между двумя этими точками). Продолжим:
- прямая - это линия, для двух любых точек которой будет выполняться условие минимальности их удаленности друг от друга по сравнению со всеми другими линиями проходящими через эти две точки;
- расстояние между точками - это удаленность друг от друга точек, расположенных на прямой;
- отрезок - это область прямой между двумя границами (точками);
- длина отрезка - расстояние между границами отрезка;
- точка на поверхности - это точка на линии, являющейся границей областей на этой поверхности
- плоскость - это поверхность, на которой прямая линия, проведенная между любыми двумя точками на поверхности является линией (границей между областями) этой поверхности.
Можно еще шлифовать, но и так очевидно, что такая схема ввода геометрический понятий менее противоречива и более стройна, чем традиционный подход с суммированием точек.
Следует отметить, что при всех геометрических построениях (скажем, при доказательстве теорем), которые начинаются постановкой точек на доске, в конечном итоге не остается ни одной точки, через которую не проведена линия. То есть после завершения построений все точки оказываются именно и только на линиях, то есть должны трактоваться как границы, задаваемые пересечением линий.