Александр Болдачев. Никогда не говори никогда (Ахиллес и черепаха)

Информация
Год написания: 
2013
Систематизация и связи
Логика
Ссылка на персону, которой посвящена статья: 
Зенон Элейский

Представьте: Греция, Элея, площадь, Зенон - и я, простой слушатель в толпе. Зенон завершает свое изложение апории об Ахиллесе и черепахе: «... и так далее, и так далее... Вот и получается: Ахиллес никогда не догонит черепаху! Так?» Толпа раскрыв рот кивает. Хотя, возможно, он говорил про бегунов, то есть излагал ту версию апории, которая дошла до нас благодаря Аристотелю: «Самый быстрый бегун никогда не догонит самого медленного, так как догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, так что более медленный всегда будет чуть впереди». Неважно, «никогда» или «всегда» –  главное, что  не догонит и что толпа кивает.

И тут я: «Постойте, мудрый, что-то я не понял, как это вы из заключения, что описанное вами перемещение черепахи и Ахиллеса будет продолжаться и продолжаться, сделали вывод, что Ахиллес никогда (по времени) не догонит черепаху? Да, понятно, что мы никогда не остановим последовательность этих «и так далее» и каждая итерация будет иметь некоторую длительность во времени, но разве из этого следует, что сумма этих длительностей будет неконечна, то есть что Ахиллес и через минуту, и через час, и через день будет позади черепахи? Ведь, мудрый, если я возьму любой интервал времени, то смогу разделить его на любое число частей, так? И это деление так же, как в вашей апории, никогда не может быть закончено – каждую часть можно делить и делить на все более мелкие части. Но, согласитесь, сумма всех частей, полученных на каком-то этапе деления промежутков времени, как и сумма на всех возможных последующих этапах деления всегда будет конечна - равна исходному интервалу времени. Так что тут вы нас обманываете – из неконечности числа суммирований никак не следует неконечность суммы».

Основной ответ, который дают сейчас те, кто хочет защитить Зенона от моих вопросов, касающихся нарушении логики в апории, сводится к тому, что, мол, философ в те далекие древнегреческие времена  не мог знать, как можно суммировать бесконечно малые, куда сходятся ряды, что такое актуальная бесконечность, и другие математические тонкости, которыми свободно оперирует любой студент спустя более чем две тысячи лет после формулирования апорий. Да, не мог знать, отвечаю я. Да, не мог вычислить предел, применить математический анализ для решения поставленной им задачи. Но это не дает ему индульгенцию на перескок от чисто логического вывода «повторение указанной процедуры никогда не завершится» к выводу онтологическому, в эмпирических временных терминах «никогда не закончит» или «будет всегда впереди». Да и вообще, какое отношение знание или незнание имеет к логике? Нас должен интересовать факт алогичного вывода. Ну и конечно, вопрос, а мог ли Зенон (или кто-либо другой) в те времена избежать этого конфуза?

Особо требуется пояснить, что мои претензии к Зенону никак не сводятся к банальному указанию на расхождение вывода апории с реальностью. Мне говорят: «Вы что, думаете Зенон и сам не знал, что Ахиллес догонит и перегонит? Вы хотите опровергнуть логический вывод Зенона, указав пальцем на отставшую черепаху?» На что я еще раз хочу ответить: речь идет только и исключительно о логике самой апории, о логической допустимости предложенного Зеноном вывода без обращения к каким-либо  аргументам от эмпирии. Ведь понятно, что доказать алогичность можно только логическими методами и только не выходя за пределы предложенной в апории логики рассуждений (без обращения к современной математике).

Итак, ставится задача показать не только то, что в апории «Ахиллес и черепаха» делается недопустимый переход от рассуждений к выводу, но и то, что Зенон сам (или с помощью других) мог бы еще в античные времена понять и обосновать нелогичность этого перехода, не выходя за рамки условий апории. Начнем с самого простого рассуждения, которое безусловно должно вселить сомнение в приемлемость вывода апории.

Мы имеем последовательность этапов рассуждения: за то время, пока Ахиллес добежит, черепаха отползет, и так далее. За первым этапом последует второй, за n-ым – n+1, n+2, n+3, и этот ряд всегда может быть продолжен. Каждый этап мы можем отличить от других (скажем, от предыдущего) по положению черепахи, указав расстояние Sn, пройденное ею от точки, где она была на момент начала бега Ахиллеса, и зафиксировав прошедшее с начала движения время Тn. И ясно, что по условиям, заданным в апории, за Sn и Тn  последуют Sn+1 и Тn+1, то есть этот ряд не имеет завершения, и мы вынуждены сделать вывод: описанная ситуация  «Ахиллес догоняет черепаху» никогда не закончится. А теперь зададимся вопросом: а что это значит? Какой смысл мы должны вкладывать в фразу «никогда не закончится»? Вариант (1): не закончится число итераций или, точнее, ни за какое число итераций положение Ахиллеса и положение черепахи не совпадут. Вариант (2): время Тn будет постоянно расти и достигнет часа, двух, суток, года, а черепаха всё будет впереди. В обоих случаях можно сказать «никогда», но с существенной разницей в смысле: (1) никогда не закончится наше говорение о поэтапном приближении Ахиллеса к черепахе, мы можем долго-долго хоть сутками, неделями и месяцами говорить «и так далее, и так далее» или (2) Ахиллес никогда, сколько бы времени ни прошло, не догонит черепаху – на каком-то этапе время Тn будет равняться часу, суткам, году и так далее, а Ахиллес ну хоть на чуть-чуть, но будет позади черепахи. Судя по тому, что рассуждения и вывод Зенона были названы именно апорией, а не остались в истории лишь как казус определенного способа логического описания движения, следует предположить, что Зенон имел в виду именно второй вариант. Но тогда мы должны прийти к интересному выводу, что за время Тn на некотором этапе n, достигшем, скажем, нескольких часов или суток, Ахиллес и черепаха пробегут практически одинаковое расстояние Sn (если, к примеру, допустить, что Ахиллес изначально находился лишь на несколько шагов позади черепахи), а это однозначно противоречит условиям задачи, согласно которым черепаха ползет значительно медленнее, чем бежит Ахиллес. Следовательно, вывод о неограниченности во времени бега Ахиллеса до черепахи вступает в противоречие с начальными условиями.

Итак, перед нами два варианта интерпретации полученной нескончаемой последовательности этапов («и так далее»): (1) либо мы должны признать (как это ни странно для античного ума), что сумма отрезков времени, как ни прибавляй, не может превысить некоторого значения, и говорить можно только о нескончаемости нашего говорения; (2) либо мы должны признать, что суммирование времени на каждом этапе будет идти своим ходом и сумма интервалов может достигнуть любого значения в будущем (через сколько-то итераций), а следовательно, получить  право сделать вывод «никогда не догонит», но тогда мы неизбежно приходим к заключению, что черепаха бежит со скоростью, равной скорости Ахиллеса, что противоречит условиям задачи. А третьего не дано.

Здесь еще и еще раз следует отметить, что я не апеллирую к нашему эмпирическому опыту, а просто исхожу из структуры апории: указанное противоречие имеет исключительно логическое происхождение – это противоречие между выводом и начальными условиями, а не между утверждением  («никогда не догонит») и нашим опытом («но мы же знаем, что догонит и перегонит»).

В предыдущем рассуждении мы пришли к выводу, что избежать внутреннего противоречия апории (скорость Ахиллеса равна скорости черепахи) возможно, если принять, что время бега Ахиллеса позади черепахи  (Tn) никогда превысит некоторого фиксированного значения. Попробуем показать, что к этому тезису можно прийти и строго логически, оперируя только рассуждениями на уровне апории, без привлечения  математического анализа и прочих позднейших штучек. Итак, на каждом этапе, после каждого «и так далее» к исходному времени (от начала бега Ахиллеса до момента достижения того места, где была черепаха) добавляется время во столько раз меньшее, во сколько скорость черепахи меньше скорости Ахиллеса.  Пусть для простоты черепаха  ползет в два раза медленнее. Тогда на втором этапе к исходному времени t (времени бега до точки, где была черепаха на момент начала бега Ахиллеса) прибавится его половина - t/2, на следующем этапе половина половины - t/4, на третьем - t/8 и так далее. А теперь отдельно возьмем фиксированный интервал времени T продолжительностью в два исходных времени (T=t*2). Разделим интервал Т пополам, и у нас получится длительность первого этапа – время бега Ахиллеса до точки исходного положения черепахи (Т/2=t). То есть на первом делении интервала T мы получаем время первого этапа бега. Далее разделим пополам остаток от интервала и получаем время (Т/4), которое равно времени второго этапа (Т/4=t/8). Понятно, что время каждого последующего этапа бега будет равно длительности отрезка, полученного на соответствующем шаге деления интервала Т. И естественно, что общее время бега Ахиллеса от начала до любого по счету этапа всегда будет равно сумме длительностей отрезков времени, полученных соответствующим по счету делением интервала T. Так было на первых этапах, так будет и на миллионном.

Остается задать самый интересный вопрос: превысит ли когда-нибудь сумма длительностей отрезков, полученных при делении интервала Т, длительность этого интервала? Ответ очевиден: можно с уверенностью сказать, что сколько бы ни делили и ни суммировали отрезки, сумма не превысит длительности интервала Т. А следовательно, и время бега Ахиллеса за черепахой должно уложиться в этот интервал. Да, согласно логике апории на каждой итерации черепаха будет оставаться чуть впереди Ахиллеса. Так и хочется сказать «всегда будет впереди». Но рассмотренный пример показывает, что это «всегда» будет длиться во времени не дольше вполне конкретного конечного интервала времени: в нашем примере – удвоенного времени бега Ахиллеса до точки исходного положения черепахи.

Конечно, можно возразить: но это лишь частный пример. Да, но даже одного частного примера достаточно, чтобы опровергнуть обобщенный онтологически нагруженный вывод в терминах времени - «никогда не догонит». Тем более, рассматривая и другие произвольные отношения скоростей Ахиллеса и черепахи, можно показать, что сумма длительностей этапов не будет превышать некоторый фиксированный интервал времени – просто это будет менее наглядно.

Также уместно задать вопрос: не вышли ли мы за рамки логики Зенона, обращаясь к  примеру с делением интервала времени, не стали ли апеллировать к каким-либо математическим конструктам, которые были недоступны для античных умов? Действительно, может показаться, что вывод «сумма длительностей промежутков не превысит длительности интервала Т» не может быть получен без обращения к понятию «актуальная бесконечность», которое не могло фигурировать в рассуждениях древних греков. Однако тут следует обратить внимание, что в примере с делением интервала времени не упоминается «сумма всех промежутков», а говорится лишь об их сумме на конкретной счетной итерации – всегда идет сопоставление некоторого конечного этапа «и так далее» в погоне Ахиллеса за черепахой и соответствующего числа промежутков времени, полученных при делении интервала Т. То есть не утверждается, что сумма всех промежутков равна Т (это невозможно без обращения к понятию «актуальная бесконечность»), а делается  вполне понятный вывод, что время бега на любом этапе не превысит времени T. А этого достаточно для того, чтобы показать невозможность перехода от заключения о неконечности числа этапов к выводу в терминах времени, к утверждениям «Ахиллес никогда не догонит» или «медленный всегда будет впереди».

Иные утверждают, что Зенон не делал никаких онтологических выводов о времени, мол, говоря «никогда» или «всегда», он лишь констатировал невозможность завершить начатую последовательность. Допустим. Мы не знаем, что думал сам Зенон. Но если спросить у любого знакомого с апорией, что значит «Ахилл никогда не догонит», то мы получим однозначный ответ: Ахилл будет бежать за черепахой всегда – через минуту, две, час, сутки... Хотя, конечно, слово «никогда» мы используем не только в смысле неограниченного дления, но также и как указание на невозможность некоторого события - например, произнося «это никогда не случится». И тут можно согласиться с Зеноном: мы никогда не сможем с абсолютной точностью указать момент времени и точку, в которой Ахиллес догонит черепаху. В предложенной логике описания движения как прохождения последовательности точек между любыми точками или любыми моментами времени всегда можно вставить неограниченное число точек и моментов. А значит, действительно, можно утверждать, что момента времени под названием «Ахиллес догнал черепаху» никогда не будет: мы его просто не в состоянии выделить в ряду моментов от «вот-вот еще чуть-чуть и догонит» и «уже перегнал». А оно нам надо? Главное, что мы можем указать (логически, в самой задаче, а не эмпирически, не ткнув пальцем в Ахиллеса), так вот, мы можем указать некоторый момент, когда Ахиллес еще не догнал черепаху (скажем, в точке, где черепаха начинала свой бег), и момент, когда она уже позади (в нашем примере – удвоенное исходное время). Тем более, что тут имеется очень любопытное соображение: нас же не смущало, что как невозможно точно указать момент настижения Ахиллесом черепахи, используя логику поточечного прохождения расстояния, так же и с той же степенью логичности невозможно  зафиксировать момент достижения Ахиллесом точки, где была черепаха на начало своего бега. Там наблюдается та же проблема «бесконечного» приближения: сначала Ахиллес должен пробежать половину пути, потом половину половины и т.д. Но мы, анализируя апорию, без всякого смущения позволили Ахиллесу переступить через эту проблему. Точно так же он переступит и через черепаху. А проблема поиска абсолютно точного момента не более чем ловля блох.

Кстати, совместив пример с интервалом времени и пример с делением отрезка, который должен преодолеть Ахиллес, чтобы добраться до какой-либо указанной точки, можно сформулировать упрощенную версию апории с никогда не завершающимся движением, имеющую вполне тривиальное разрешение. Возьмем отрезок АВ и пустим бежать Ахиллеса из точки А в точку В. Для того, чтобы достичь точки В, Ахиллес сначала должен пробежать половину расстояния, потом еще половину половины и т.д. Но параллельно мы будем фиксировать время его бега: пусть первую половину он пробежал за время равное Т, тогда второй отрезок пути (половину половины) он преодолеет за время T/2. Тут мы предполагаем, что равные расстояния Ахиллес преодолевает за равные промежутки времени. Продолжительность бега Ахиллеса на третьей итерации будет равно Т/4, на следующей Т/8 и так далее. Понятно, что время каждой итерации, начиная со второй, получается последовательным делением пополам остатка от деления на предыдущей итерации (аналогично как и с делением отрезков расстояний). Все предельно просто и в полном согласии с буквой и духом апорий Зенона. А теперь делаем два логически очевидных вывода. (1) Процесс параллельного деления отрезка АВ и интервала времени Т завершить невозможно – после каждого деления остается остаток, который опять необходимо делить пополам. И это так ясно, так логично, что невольно напрашивается вывод в онтологических (эмпирических) терминах: бег Ахиллеса никогда не завершится или точка В всегда будет впереди него («Ахилл никогда не догонит черепаху» или «медленный бегун всегда будет впереди»). Но от соблазна сделать такое эффектное заключение нас должен удержать второй столь же очевидный вывод: (2) сумма всех пройденных Ахиллесом расстояний, как и сумма всех длительностей, полученных при делении интервала Т, никогда не превысит конечного значения –  длины отрезка АВ и длительности интервала времени равного Т*2. Следовательно, никаких онтологических «никогда» или «всегда», а только элементарный логический вердикт: предложенное описание движения через деление отрезков, а по сути представление движения как прохождение последовательности точек является логически неадекватным, поскольку приводит к явной неоднозначности.

Итак, Зенон совершенно справедливо использовал в выводе своей апории слово «никогда».  Только он  ошибся в его применении: вместо того, чтобы заключить «мы никогда не закончим наши рассуждения о беге Ахиллеса» или «используя предложенный метод описания движения, мы никогда не сможем указать точку настижения Ахиллесом черепахи», он сделал совершенно алогичный вывод в онтологических терминах -  Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Логика логикой, но все же почему так убедителен вывод Зенона? Понятно, что нельзя легким движением руки логическое «никогда» превратить в онтологическое «всегда». Но ведь хочется же. Ведь просто же: и так далее, и так далее, и так далее... Основанием как логики самой апории (и других зеноновских апорий), так и онтологической очевидности вывода, на мой взгляд, является предложенная форма описания движения. Зенон предлагает нам  мыслить движение как последовательное прохождение всех точек пути. И время в таком представлении движения, естественно, должно складываться из множества отдельных моментов. Ведь если есть точка, значит есть и момент времени. Другая точка – другой момент. Однако в обыденном опыте мы не ощущаем время как сумму моментов – события-моменты это лишь засечки на прямой времени. Они лишь отмечаются, фиксируются, но не суммируются. Понятно же, что больше или меньше моментов мы отметим – времени ни прибавится, ни убавится. Но с другой стороны, обратившись к прошедшему времени мы видим его, ощущаем его именно как множество моментов-событий. И если речь идет о чем-то повседневном, то для нас вполне рабочей является гипотеза: больше событий – больше времени. И вот на использовании этой интуитивно принимаемой гипотезы нас и поймал Зенон. Для нас «и так далее, и так далее» это последовательность моментов, равномерно помечаемых на прямой времени, больше отметок –  больше времени. А у Зенона каждое «и так далее» это точка и привязанный к ней момент. И моменты эти множатся и множатся, их накапливается хренова туча – вот и создается иллюзия нескончаемого времени. Можно еще сказать так: для нас момент – это граница между до и после, момент ничего не говорит о длительности, он лишь фиксирует их (длительностей) пределы. А в логике Зенона момент времени есть атрибут точки  пространства, и как расстояние складывается из точек, так и время у него складывается из моментов – больше моментов, больше длительность.

И если подводить черту под анализом Зеноновских апорий, то я бы сказал так: все противоречия и внешне эмпирические и внутренне логические в них есть следствие выбранного способа описания движения (как последовательного прохождения всех точек пути). Это более наглядно видно в апориях «Стрела» и «Дихотомия». Только вот вывод здесь следует сделать не тот, что предложил Зенон: мол, из факта, что описание не соответствует объекту описания, следует, что нет и самого объекта (движения). Согласитесь, логичнее предположить, что проблемы не в движении, а в неадекватности описания.

1
Ваша оценка: Нет Средняя: 1 (1 голос)