Александр Болдачев. Локальная контрадикторность и парадокс брадобрея

Информация
Год написания: 
2013
Систематизация и связи
Логика
Ссылка на персону, которой посвящена статья: 
Бертран Рассел

Парадокс Брадобрея встречается в различных формулировках – одна из которых (в виде загадки) звучит так:

В одном городе все мужчины бреются, причем одни из них бреются сами, а другие бреются у брадобрея. Кто бреет брадобрея?

Понятно, что каждый из ответов:

1. брадобрей бреется сам,

2. брадобрей бреется у брадобрея

приводит к противоречию:

1. если он бреется сам, то не должен бриться у брадобрея,

2. если он бреется брадобреем, то не должен бриться сам.

Парадокс апеллирует к нашему пониманию закона исключенного третьего, из которого следует, что любое множество можно строго разделить на два непересекающиеся подмножества по признаку обладания их элементов некоторым предикатом: в одно подмножество войдут те элементы, кто обладают предикатом, в другое – те, которые не обладают предикатом (или обладают его отрицанием). Подобные предикаты называются  контрадикторными, и предложения, в которых одному субъекту приписываются такие предикаты, образуют логические противоречия, подчиняющиеся упомянутому закону исключенного третьего. Так мужчины города, включая брадобрея, строго делятся на два множества:

1. обладающие предикатом «бриться самому»,

2. обладающие отрицанием этого предиката, то есть не бреющиеся сами.

Также строго на два непересекающихся множества мужчины делятся и по признаку обладания предикатом «бреется у брадобрея»:

1. те, кого бреет брадобрей,

2. те, кого кто не бреет брадобрей.

При делении по предикату «бриться самому» брадобрей попадет в множество самостоятельно бреющихся, а по признаку «бреется у брадобрея» будет отнесен к тем, кого бреет брадобрей. Следовательно, если бы в условиях парадокса было предложено делить мужчин по признаку обладания каким-то одним предикатом и его отрицанием (то есть контрадикторно):

1. все мужчины в городе делятся на тех, кто бреется сам и не бреется сам или

2. все мужчины в городе делятся на тех, кто бреется у брадобрея и не бреется у брадобрея,

то при ответе на вопрос «к какому из подмножеств следует отнести брадобрея?» ни в первом, ни во втором случае никакой проблемы не возникло бы.

Парадокс же получился вследствие подмены однозначно контрадикторных предикатов – «бреется сам»/«не бреется сам» или «бреется у брадобрея»/«не бреется у брадобрея» – на псевдоконтрадикторные. Действительно, в условиях парадокса предлагается разделить всех мужчин города на два множества:

1. бреются сами и

2. бреются у брадобрея,

что явно некорректно, поскольку предикат «бреется сам» не является отрицанием предиката «бреется у брадобрея» на всем множестве мужчин деревни включая брадобрея.  То есть предложенное разделение не является контрадикторным, а следовательно не может подчиняться закону исключенного третьего. Поэтому и не следует удивляться, что брадобрей  оказывается одновременно и в одном, и в другом подмножествах.

Для логически строгой формулировки решения парадокса брадобрея предлагается ввести понятия абсолютной и локальной контрадикторности. Абсолютно контрадикторными следует считать такую пару предикатов, для которой предложения, образованные приписыванием их одному логическому субъекту, подчиняются закону исключенного третьего всегда и везде на любом множестве логических субъектов. К абсолютно контрадикторным, безусловно, следует отнести пару «предикат» / «его отрицание». В нашем случае абсолютно контрадикторными являются предикаты «бреется сам» / «не бреется сам» или «бреется у брадобрея» / «не бреется у брадобрея». Однако можно указать ситуации, когда закон исключенного третьего выполняется и для любых несовместимых предикатов. Например, если на столе находятся только красные и зеленые шары, то на этом множестве предложение «шар красный» и «шар зеленый» являются контрадикторными: они одновременно не могут быть истинными, и ложность одного однозначно подразумевает истинность другого. В этом случае мы можем говорить о локальной контрадикторности в пределах некоторого множества. Так, скажем, предикаты «мальчик» и «девочка» локально контрадикторны на множестве учеников класса, но не контрадикторны на множестве всех людей находящихся в школе, включая персонал. В парадоксе брадобрея предикаты «бреется сам» и «бреется у брадобрея» являются контрадикторными – локально контрадикторными –  на множестве мужчин города за исключением брадобрея и не являются контрадикторными на всем множестве мужчин включая брадобрея, а следовательно, требование, чтобы брадобрей принадлежал лишь к одному из подмножеств, следует считать логически некорректным.

Ситуацию с парадоксом брадобрея можно проиллюстрировать на таком примере. Допустим, на столе находятся красные шары и зеленые кубики. Понятно, что пары предикатов «красный»/«зеленый» и «шарообразный»/«кубический» являются локально контрадикторными. Более того, на этом множестве предметов локально контрадикторными являются и пары предикатов «красный»/«кубический» и «зеленый»/«шарообразный». То есть мы можем сказать, что все предметы на столе однозначно можно разделить на два множества «красные» и «кубические» или «шарообразные» и «зеленые». Однако, как следует из определения, локальная контрадикторность выполняется лишь на строго фиксированном множестве, и если мы, к примеру, выложим на стол еще красный кубик, то на полученном множестве предметов закон исключенного третьего выполняться не будет – на вопрос «к какому из множеств –  к красным или кубическим – нам следует отнести новый предмет?» мы не получим однозначного ответа.

Итак, теперь мы можем строго зафиксировать логическую природу парадокса брадобрея: в его формулировке заложена элементарная логическая ошибка –  применение локально контрадикторных противоположностей за пределами множества, на котором они контрадикторны.

Для полноты рассмотрения проблемы необходимо проанализировать и другую распространенную формулировку парадокса брадобрея – в виде абсурда:

Брадобрею власти города приказали брить всех, кто сам не бреется, и не брить того, кто бреется сам. Должен ли брадобрей брить себя?

В ней парадоксальность ситуации подчеркивается невозможностью выполнить приказ: если брадобрея отнести к тем, кто не бреется сам, то он должен себя брить, а если он будет бриться сам, то он не должен себя брить. Хотя на первый взгляд парадокс в данной формулировке, вроде, и не связан с подменой абсолютной контрадикторности на локальную (деление идет по предикатам «бреется сам»/«не бреется сам»), но при детальном рассмотрении становится очевидным, что мы, как и в случае с парадоксом-загадкой, имеем дело с неоднозначностью применения закона исключенного третьего. Нам предлагается два варианта разделения: с позиции отдающего приказ деление производится по предикату «бреется сам», а с позиции брадобрея разделение должно осуществляться по предикату «бреет брадобрей». И понятно, что эти разделения совпадают только на множестве всех мужчин города за исключением брадобрея – можно констатировать локальную контрадикторность. А вот при  добавлении к мужчинам брадобрея однозначность пропадает: при одном разделении он относится к одному подмножеству, а при другом – к другому. То есть мы опять имеем дело с неоднозначностью контрадикторного деления, с нарушением закона исключенного третьего.

В заключение хотелось бы отметить, что парадокс брадобрея не связан, как это принято считать, с теорией множеств, хотя и был впервые сформулирован Расселом в качестве иллюстрации к так называемому парадоксу «множества всех множеств». Действительно, странно было бы мыслить брадобрея как множество, включающее или не включающее в себя других мужчин города.  Гораздо осмысленнее выглядит заключение, что парадокс Рассела, который звучит так:

Пусть К — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению К, оно не должно быть элементом К — противоречие. Если нет — то, по определению К, оно должно быть элементом К — вновь противоречие.

имеет ту же логическую природу, что и парадокс брадобрея – нарушение контрадикторности деления на подмножества. Если мы рассмотрим все множества за исключением самого множества К, то предикаты «содержит себя в качестве элемента» и «входит в множество К» будут однозначно контрадикторными (локально контрадикторными): из истинности предложения «множество содержит себя в качестве элемента» однозначно следует ложность  «множество не входит в множество К» и наоборот.   И понятно, что эта контрадикторность нарушается при рассмотрении всех множеств включая К.

Итак, мы безусловно можем и должны говорить, что парадокс брадобрея иллюстрирует парадокс Рассела, но именно и только как общелогический парадокс, связанный с нарушением закона исключенного третьего, а не как специальный парадокс теории множеств.

5
Ваша оценка: Нет Средняя: 5 (1 голос)