Аксиомы не доказываются. А как насчёт обосновываются?

Аватар пользователя Спокус Халепний
Систематизация и связи
Гносеология
Термины: 
Ссылка на философа, ученого, которому посвящена запись: 

Четыре непонятности (моего личного недогоняния).

1. В теме А.Болдачева "Истинность, аксиомы и доказательства теорем"  лишь немного уделяется вопросу о том нужно ли обосновывать (пусть даже в самом общем виде) введение в логическую систему именно такой, а не иной аксиомы (аксиом). То есть, на каких основаниях введены именно такие аксиомы? Ещё точнее - надо ли определять цель с которой формулируются аксиомы?

2. Вообще говоря, можно начинать построение теоретической части какой-либо дисциплины с формулировки аксиом под самым общим понятием того, что мы подразумеваем под обоснованием. Например, можно прямо так и говорить: Давайте, друзья, [перед тем как разливать], сформулируем вот такие аксиомы и посмотрим что из этого получится! Обещаю сюрприз! Во всяком случае, после пятой рюмашки!

3. Ладно, черт с ним - с ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ обоснованием. Хорошо. Но нужен ли хотя бы философский анализ ПОСЛЕ? Полезен ли он? Надо ли вернуться к анализу аксиом на предмет их обоснованности ПОСЛЕ того, как теоретическая часть логической системы выстроена, куча теорем доказана, и даже когда теория нашла своё применение на практике? У Болдачева выходит как-то так: "аксиомы не требуют доказательства и обоснований. тчк.", что мне почему-то напоминает рассказ Чехова, где женщина говорит следователю: "жила только с вами и больше ни с кем".

4. Кроме того факта, что аксиомы не требуют доказательств, надо ли ещё указать что-то без частицы "не"? То есть,  хотелось бы получить от нашего Всевышнего хоть какую-то рекомендацию положительного свойства. Например, можно ли (рекомендуется ли) закладывать в аксиомы некие очевидные вещи чтобы они (эти очевидности) получили выпуклую формулировку, то есть чтобы было понятно, что без их принятия дальнейшее вникание в построение теории будет мартышкиным трудом. Отсюда и противоположный вопрос - следует ли считать нормальным (по умолчанию), если в аксиому вкладывается нечто противоположное очевидности (мой любимый пример - существование избушки на курьей ножке с Бабой-Ягой)? В этом случае тоже не требуется никакого пояснения - ни до формирования теории, ни анализа аксиом - после?

 

0
Ваша оценка: Нет

Комментарии

Аватар пользователя boldachev

У Болдачева выходит как-то так: "аксиомы не требуют доказательства и обоснований. тчк."

Я стараюсь писать в самом общем виде, давать определения не для частного случая.

Может ли ввод аксиом быть как-то обоснован, обдуман, мотивирован и пр.? Конечно, может. Тем более, когда речь идет о научных теориях (там по сути иначе и быть не может, хотя постулат о скорости света в СТО ничем не обоснован, кроме как математическими соображениями доказательства формул/теорем). Но мы не имеем права требовать обоснования в общем случае: если я возьму с потолка произвольные аксиомы и докажу с их помощью ряд теорем, то это будут самые всамделишные аксиомы и теоремы самой настоящей логической системы. Поэтому и стоит "тчк". Дальше начинаются специфические проблемы предметных областей и частных случаев.

Можно и формулировать цели, и доказывать коллегам, что ты не с потолка взял, а из философских соображений (просто когда думал задирал голову) и пр.

Отсюда и противоположный вопрос - следует ли считать нормальным (по умолчанию), если в аксиому вкладывается нечто противоположное очевидности

Ну, да. Постоянство скорости света в разных системах очевидно? А то, что через точку можно провести много прямых не пересекающихся с указанной очевидно? А про прерывистый поток энергии? Часто, когда в качестве исходного суждения (аксиомы, постулата) бралось что-то не очевидное получалась новая теория.

То есть,  хотелось бы получить от нашего Всевышнего хоть какую-то рекомендацию положительного свойства.

Дмитрий Бояркин предложил такое положительное свойство: аксиома должна содержать квантор всеобщности. Вроде на первый взгляд предельно логично. Но несколько минут поиска и, увы, нашлись примеры аксиом без КВ:

Вот заглянул в аксиомы теории множеств: "Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента" или "Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов". А вот первая аксиома Пеано: "0 является натуральным числом".  

Я уже писал о необходимых требованиях к аксиоме: она должна быть сформулирована на языке  системы, соответствовать правилам его синтаксиса и содержать некоторое утверждение об объекте теории (чтобы отличить аксиому от определения, в котором производится поименование объектов). Если рассматривать системы, построенные на естественном языке, то аксиома должна быть повествовательным предложением (утвердительным или отрицательным). Вроде все, тчк.

Аватар пользователя Фристайл

Может ли ввод аксиом быть как-то обоснован, обдуман, мотивирован и пр.? Конечно, может. Тем более, когда речь идет о научных теориях (там по сути иначе и быть не может, хотя постулат о скорости света в СТО ничем не обоснован, кроме как математическими соображениями доказательства формул/теорем). Но мы не имеем права требовать обоснования в общем случае

Как только у аксиомы появляется мотивировка в виде наблюдений и экспериментальных данных об объективной реальности, она перестает быть аксиомой и переходит в разряд научных гипотез. Я так понял из истории создания ОТО, что Эйнштейн не на голом месте постулировал постоянство скорости света, а этому предшествовали эксперименты с измерением скорости света, которые не давали разбросов измеренных скоростей  в разы или на десятки процентов.

Поэтому, аксиома - продукт ума, не замутненного соображениями о соответствии измышлений объективной реальности. А научная гипотеза - продукт ума, удовлетворяющий эйштейновскому критерию: внутренняя непротиворечивость и внешнее оправдание. А вот внешнее оправдание включает в себя и соответствие известным экспериментальным данным, и бритву Оккама, и наверное что-то ещё, что сразу не вспомнил.

Аватар пользователя Владимир К

Фристайл, 8 Март, 2018 - 10:01, ссылка

Как только у аксиомы появляется мотивировка в виде наблюдений и экспериментальных данных об объективной реальности, она перестает быть аксиомой и переходит в разряд научных гипотез...

Поэтому, аксиома - продукт ума, не замутненного соображениями о соответствии измышлений объективной реальности.

Из такого понимания аксиомы не может не следовать вывод: логика для учёных вещь крайне вредная, нежелательная. Куда ж учёным без научной гипотезы? Никуда. А логика -кыш, зараза!

Аватар пользователя Алла

Вадим

Надобность в аксиомах продуцирует характер нашей натуральной практики.
И это легко доказать, если вспомнить всю историю становления науки Геометрии.

В самом начале строительства любого сооружения и для уверенности в том, что это сооружение реально приобретет ту форму, которая была выражена в представлении - необходимы действительные измерения на месте строительства и которые подтверждали бы, что сделанное соответствует задуманному.

Ну, например, при квадратном основании устраиваемого необходим прямой угол между стенами сооружаемого. Это было реализуемо посредством треугольника со сторонами 3, 4, 5 ед. измерений.
Для сооружения с круглыми абрисами  и при задуманной площади - необходимо было знать о соотношении диаметра сооружения к его площади. (Шумеры (а может и ранее) было использовано отношение 22 ед. к 7 ед. (22/7).

Но практика практикой, а человеку было необходимо знать, что такое не зависит от принятых размеров, т.е., что это всегда так и есть.

Так вот, Эти проблемы и породили проблемы параллельности прямых, проблемы треугольников и их углов, а затем и задачу о квадратуре круга. И пошло - поехало.

Аватар пользователя Михаил ПП

Спокус Халепний, 7 Март, 2018 - 23:11

+++

Аксиома требует 99,99...99% ВНИМАНИЯ в любом логическом построении! Всё остальное составляет 0,00...01%, ибо "все", кроме "тяжёлых случаев", рассуждают логично, включая "блондинок". Меняются только исходные посылки суждений...

Те, кто полагает, что аксиома - ПРОИЗВОЛЬНОЕ основание, не мыслят, а МНЯТ МНЕНИЯ, начиная с мнения об ""аксиоме"" как ИСХОДНОЙ ПОСЫЛКЕ рассуждений...

Аксиома ДОЛЖНА БЫТЬ бесспорна ("очевидна") для любого мыслящего. Если она спорна, то она - вовсе не аксиома, а МНЕНИЕ, служащее основанием ЛОЖНЫХ рассуждений, ибо если "аксиома" (исходная посылка) ложна, то и все, основанные на ней, рассуждения ложны, при всей их логической безупречности...

София ДОЛЖНА иметь реальную аксиому (исходную посылку размышления) - "краеугольный КАМЕНЬ" ("АЛМАЗ"), а не МНЕНИЯ, подменяющие АКСИОМУ. В последнем случае софия подменяется софистиками - логическими системами с ПРОИЗВОЛЬНЫМИ основаниями (исходными посылками)...

Софии нет уже со времён "грекопадения" - неспособности отличить мысль от мнения ("по Пармениду")...

Аватар пользователя boldachev

Аксиома ДОЛЖНА БЫТЬ бесспорна ("очевидна") для любого мыслящего.

Да, полностью согласен. Вот, к примеру, аксиома выбора аксиоматической теории множеств бесспорна и очевидна для любого мыслящего: 

{\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество d, в котором есть по одному элементу c от каждого множества b данного семейства a

Хотя для меня очевиднее «Аксиома множества подмножеств»: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество d, каждый элемент c которого является [собственным либо несобственным] подмножеством b данного множества a

{\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))}

 

Аватар пользователя Спокус Халепний

Вот, к примеру, аксиома выбора аксиоматической теории множеств бесспорна и очевидна для любого мыслящего: 

{\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество d, в котором есть по одному элементу c от каждого множества b данного семейства a

Ну, кто так летает! Вам сейчас будет стыдно за эту наивнейшую, любому школьнику понятную запись. :)

Приступим. Известно, что чуть ли не самое строгое в мире описание основ математики средствами логики на базе теории множеств, разработано группой французских математиков под псевдонимом Николо Бурбаки. Ясно, что для этого разработан специальный, абсолютно строгий логический аппарат описания, где последовательно определяются и формируются обозначения математических объектов из заданных тегов (системы знаков), а также специальная система обозначений для связей между тегами и т.д.

После этого математические объекты и теоремы связанные с такими объектами можно записывать в краткой, но строгой форме, но чтобы их полностью "расшифровать" надо подставить для каждого тега и связи предшествующую более полную форму (которая подверглась сжатию за счёт введения специальной системы знаков). Например, обозначение пустого множества (перечёркнутый кружок) является сокращением записи (тоже формальной) по определению пустого множества, обозначения в котором (в определении) тоже являются сокращениями, и т.д.

Шедевром краткости многие считают, например, вот такую запись:

{\displaystyle \tau _{Z}((\exists u)(\exists U)(u=(U,\{\varnothing \},Z)\land U\subset \{\varnothing \}\times Z\land (\forall x)((x\in \{\varnothing \})\Rightarrow }{\displaystyle (\exists y)((x,y)\in U)\land (\forall x)(\forall y)(\forall y')}

{\displaystyle (((x,y)\in U\land (x,y')\in U)\Rightarrow (y=y'))\land (\forall y)((y\in Z)\Rightarrow (\exists x)((x,y)\in U))))}

Любой человек на досуге (но, конечно, на свежую голову) может, заменяя последовательно все сокращения знаков, а также сокращения связей между знаками, получить, так сказать, расшифрованную запись данного выражения.

Нюансик заключается в том, что полная запись будет содержать примерно 2 на 10 в 54 (пятьдесят четвёртой) степени знаков и ещё примерно столько же знаков, расшифровывающих связи между знаками.

Подсчитатно, что это заняло бы примерно сто миллиардов квинтиллионов квинтиллионов книг.

Ну, и чтоб вам, Александр, ваша логическая жизнь не казалась совсем уж мёдом, надо всё же подчеркнуть последний нюансик - штрих, который делает это произведение гениальным. Вышеприведённая запись описывает строгое определение натурального числа 1.

Напомню, что именно подобный путь изложения математики принят не только во Франции (а упрощённый его вид - даже в школах), но и во многом на него перешли в России и некоторых других странах.

Академик В.И.Арнольд (1937-2010) - математик, профессор МГУ и Парижского университета, ученик Колмогорова, основатель целых направлений в математики и научных школ с известнейшими его учениками; член академии наук США, Французской академии, Лондоннского королевского общества, Американского философского общества, и т.д. и пр. награждённый кучей специальных математических премий в разных странах... Да, так вот он говорит о проблеме МИРОВОЙ "бурбакизации" простым языком плаката. Он говорит о бурбакистской мафии (именно так!). Другие известные математики ввели более точное (на мой взгляд) определение этому процессу. Они называют это обурбачиванием населения.

 

Аватар пользователя Юрий Павлович из Караганды

Ну, кто так летает! Вам сейчас будет стыдно за эту наивнейшую, любому школьнику понятную запись. :)

smileyyes 

Аватар пользователя boldachev

Вам сейчас будет стыдно за эту наивнейшую, любому школьнику понятную запись. :)

Да, стыдно. Я-то думал, что нашел самую бесспорную ("очевидную") аксиому) 

Аватар пользователя Спокус Халепний

Цитируя "классику" я немного напутал. Фраза "Ну, кто так летает!" относится не к тому мультику, который я на самом деле имел в виду.

Я имел в виду вот этот коротенький мультфильм.

Кстати, интересно, показывают ли его сейчас по российским ТВ, спустя 35 лет с момента создания?
 

Аватар пользователя Михаил ПП

_Вышеприведённая запись описывает строгое определение натурального числа 1._

_Он говорит о бурбакистской мафии (именно так!). Другие известные математики ввели более точное (на мой взгляд) определение этому процессу. Они называют это обурбачиванием населения._

smileyyes

Если ранее шизофрения была болезнью отдельных людей, ибо индивидуальные фантазии не располагали к образованию устойчивых сообществ ("мафий"), то ныне процесс кем-то явно возглавлен и организован, ибо шизофрении придаётся весьма высокий статус чуть ли не "гениальности"...

Это касается не только МАТеМАТики ("науки о мнимом"), но и современного "искусства", публичной "политики" и прочая... 

Аватар пользователя Вернер

Аксиомы формулируются по результатам мысленного эксперимента.

Аватар пользователя Дмитрий

Что значит "доказать"? Доказать значит подвести под основания, из которых данный тезис следует с логической необходимостью. Доказать - это и есть обосновать.

Можно приводить основания, затем искать основания для оснований и т.д., но нельзя же обосновывать до бесконечности. Рано или поздно вам придется просто принять на веру какие-то положения.

Вообще, доказывать можно любой тезис, никто не может вам этого запретить. Что хотите, то и доказывайте, если можете. Вот известную аксиому Евклида веками пытались доказать. Если бы это вдруг удалось, то данное положение уже было бы не аксиомой, а доказанной теоремой.

Математикам проще, а вот ученые часто строят свои рассуждения от следствий к основаниям. Постулаты СТО все же не с потолка взяты. Эти положения предложены как основания, объясняющие некоторые данные, полученные из опыта, экспериментов, наблюдений и т.д. Но никто не гарантирует, что все может быть объяснено только так, а не как-то по-другому.

Аватар пользователя Спокус Халепний

В открытой мною теме я намеренно подчёркиваю, что здесь меня не интересует понятие доказать. Тем более в интерпретации отождествления понятий доказать и обосновать [Об таком "тождестве" я надеюсь почитать в отдельном издании вашего сочинения]

Другими словами, я специально открыл тему, чтобы не смешивать проблему доказательства и обоснования, особенно в плане выявления ЦЕЛИ формулировки аксиом (об этом никто не хочет почему-то даже заикаться).

Короче, насчёт "доказательства". Прям-таки, по-черномырденски: сроду этим не занимался, и вот - опять.
 

Аватар пользователя Дмитрий

Об таком "тождестве" я надеюсь почитать в отдельном издании вашего сочинения

А что об этом особо расписывать? Это одно и то же. Или сами объясните, в чем разница, ведь вы же сформулировали название темы как "Аксиомы не доказываются. А как насчёт обосновываются?"

Аватар пользователя Спокус Халепний

Ещё раз. Прямо в заглавии темы, не говоря уже о 4-х пунктах пояснений, я намеренно ПРОТИВОПОСТАВЛЯЮ понятия доказать и обосновать. Да, понятие обосновать в какой-то своей отдельной интерпретации может приближаться к понятию доказать. Именно это меня и НЕ интересует., а интересует понятие обосновать совсем в других значениях этого слова, а именно, привести доводы, поясняющие введение аксиомы; узнать о ЦЕЛИ введения аксиомы; указать ПРИНЦИПЫ формулировки аксиом, например, нужна ли очевидность формулируемого, обязательна ли она; насколько правомерно формулировать аксиомы на базе полной неочевидности, и даже - полнейшей неопределённости?

И вот, после всех этих уточнений, которые в общем-то, я прописал в открытой теме (и в заглавии) вы возвращаетесь к понятию доказательство... тут мы ставим многоточье, тут у нас конец куплета.

Аватар пользователя Дмитрий

Я не просто возвращаюсь к понятию "доказательство", я утверждаю, что доказать и обосновать - это одно и то же. Мне не понятно, как тезис может быть обоснован, но не доказан. Ну, ладно.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Если тезис доказан, то этот тезис уже не будет аксиомой. А тема посвящена аксиомам.

Аватар пользователя Дмитрий

... аксиомам, которые не могут быть доказаны, но как-то могут быть обоснованы? Ну и как вы обосновываете аксиомы Евклида? :)

Аватар пользователя Спокус Халепний

Здрасьте! Об этом же и речь!  Попытайтесь объяснить-обосновать введение аксиом. У меня на этот счёт очень призрачные мысли.

Ну, например, вся евклидова геометрия была заимствована от древнеегипетской. То есть, задолго до всякой там аксиоматики Евклида & K. Там геометрией пользовались на всю катушку в прикладных задачах, в частности в землемерии, астрономии, строительстве и пр. Прямые углы конструировали без всяких транспортиров и лазерных лучей, при помощи верёвки с несколькими узлами, и т.д.

Аксиомы они не формулировали, но математику использовали так, что современный цивилизованный человек, знающий аксиоматику геометрии, умер бы в судоргах, не догадавшись о многих прикладных математических заначках, которые помогли бы ему выжить, и которые были известны древнеегипетским "конструкторам".

Это один из многих нюансов насчёт целесообразности аксиоматического построения, который входит в понятие обоснование.

 

Аватар пользователя Михаил ПП

Спокус Халепний, 9 Март, 2018 - 00:41, ссылка

Весь комментарий просто великолепен!!

Я "устал" Вас нахваливать, ибо для возможного "диалога" нужно обнаружить какое-то "противоречие" с Вашими тезисами, а почему-то всё ещё никак не могу! Это "расстраивает"!))

А возможно, просто "современные изыски" математики меня не привлекают, ибо участвовать в этом бурбачизме - время (= Жизнь!!) терять!

_У меня на этот счёт очень призрачные мысли._

Вы интуитивно чувствуете, что "разгадка" аксиоматики где-то "совсем рядом", но словоблудие "логиков" мешает это сформулировать... 

Откуда у Вас интуиция "=" ..."аксиоматичность" (не путать с догматичностью!!) мышления? Возможно "с рождения", а возможно "Ваш Мельников" оказал на Вас сильное влияние... 

_вся евклидова геометрия была заимствована от древнеегипетской. То есть, задолго до всякой там аксиоматики Евклида & K_

Именно так! Аксиомы Евклида & K стали уже априорными ("очевидными" и не требующими никакого обоснования) ЗАДОЛГО до него, и могу сказать, и до "древнеегипетских вершин", хотя это и "кануло в лету".

Аксиомы - НЕЗЫБЛЕМЫЕ положения, которые стали таковыми в результате лярдов практических "проверок" ("доказательств"). Любой может попробовать усомниться в них и "обнародовать"... свою шизу! 

Шиза в математике, и НЕ ТОЛЬКО, появляется, когда вводятся не "априорные", а ПРОИЗВОЛЬНЫЕ "основания" - результат буйной фантазии авторов, стремление "ВЫПЕНДРИТЬСЯ" которых очень точно совпадает с интересами тех, кто НУТРОМ заинтересован во всеобщем бурбачизме!! 

Тогда появляется "параллельные", которые пересекаются, и значит... НЕ параллельны, оперирование бесконечностью как с чем-то конечным, и прочая-прочая-прочая...

Рассматривая очередной ВЫПЕНДРЁЖ и говорить при этом об "аксиомах" - это впадать в шизу, нарушив все заветы наших безвестных предков!))

Нельзя путать аксиомы с "авторитетным" МНЕНИЕМ!! Это означает МНИТЬ МНЕНИЯ совместно с ВОЗОМНИВШИМИ себя "гениями" шизиками. Если шиза "цветёт и пахнет", значит это кому-то ОЧЕНЬ надо!!

Аватар пользователя Дмитрий

Ну, например, вся евклидова геометрия была заимствована от древнеегипетской.

Тут бы и спросить: а что греки не заимствовали у египтян? Если египтянин в математике собирал, так сказать, "с миру по нитке", то греки занимались тем, что египтянам, может быть, показалось бы совершенно бессмысленным - греки не довольствовались одними лишь какими-нибудь математическими правилами и установками, им надо было как раз все доказывать, даже если доказываемый тезис казался очевидным, общепринятым и не требующим каких-то доказательств. Доказательство очевидного - не правда ли странно звучит? Разве не понятно и так, что углы при основании равнобедренного треугольника равны? Зачем это доказывать? Начертите равнобедренный треугольник, и на глаз можно будет определить, что это так. Грек мог похвастаться перед египтянином тем, что мало ли что там кому кажется очевидным, одни просто довольствуются чувственной достоверностью, а он - грек - доказал, что это так! Вот вам и обоснование аксиоматического метода и построения систем - так надежней, что ли. Достовернее как-то. :) Логическое доказательство более убедительно, чем "на глаз".

Аватар пользователя Алла

узнать о ЦЕЛИ введения аксиомы; - достоверность и минимизация реальных измерений
при реализации этапов возведения сооружения

указать ПРИНЦИПЫ формулировки аксиом, - их измеримость и их конструктивно оправданность. 

Аватар пользователя Вернер

Очевидность аксиом - кажущаяся.

Автор аксиомы, пытаясь решать задачи, не сразу её находит, как полезный, не меняющийся инструмент для решения задач. Методом тыка.

Аватар пользователя Спокус Халепний

Метод тыка - это ясно, как огурец. Интересен "послетычный" период жизни аксиомы. Когда уже всё подано к столу, когда теория уже работает - вот тогда интересно получить анализ аксиомы.

Аватар пользователя Вернер

Спокус Халепний, 9 Март, 2018 - 00:02, ссылка

Метод тыка - это ясно, как огурец. Интересен "послетычный" период жизни аксиомы. Когда уже всё подано к столу, когда теория уже работает - вот тогда интересно получить анализ аксиомы.

Легко.

Аксиома - продукт удачного тыка.